Mesatarja në statistika. Formula mesatare aritmetike

Çdo person në bota moderne Kur planifikoni të merrni një kredi ose të grumbulloni perime për dimër, ju hasni periodikisht një koncept të tillë si "vlera mesatare". Le të zbulojmë: çfarë është, cilat lloje dhe klasa ekzistojnë dhe pse përdoret në statistika dhe disiplina të tjera.

Vlera mesatare - çfarë është ajo?

Një emër i ngjashëm (SV) është një karakteristikë e përgjithësuar e një grupi fenomenesh homogjene, të përcaktuara nga çdo karakteristikë e një variabli sasior.

Megjithatë, njerëzit që janë larg përkufizimeve të tilla abstruktive e kuptojnë këtë koncept si një sasi mesatare e diçkaje. Për shembull, para se të marrë një kredi, një punonjës i bankës do të pyesë patjetër klient potencial jepni të dhëna për të ardhurat mesatare për vitin, domethënë shumën totale të parave të fituara nga një person. Ai llogaritet duke përmbledhur të ardhurat për të gjithë vitin dhe pjesëtuar me numrin e muajve. Kështu, banka do të jetë në gjendje të përcaktojë nëse klienti i saj do të jetë në gjendje të shlyejë borxhin në kohë.

Pse përdoret?

Si rregull, vlerat mesatare përdoren gjerësisht për të dhënë një karakterizim përmbledhës të disa dukuritë sociale, të cilat janë të natyrës masive. Ato mund të përdoren gjithashtu për llogaritje në shkallë më të vogël, si në rastin e një kredie në shembullin e mësipërm.

Sidoqoftë, më shpesh vlerat mesatare përdoren ende për qëllime globale. Një shembull prej tyre është llogaritja e sasisë së energjisë elektrike të konsumuar nga qytetarët gjatë një muaji kalendarik. Bazuar në të dhënat e marra, konstatohet më tej standardet maksimale për kategoritë e popullsisë që gëzojnë përfitime nga shteti.

Gjithashtu, duke përdorur vlerat mesatare, zhvillohet jeta e garancisë së pajisjeve të caktuara shtëpiake, makinave, ndërtesave, etj. Bazuar në të dhënat e mbledhura në këtë mënyrë, dikur janë zhvilluar standarde moderne të punës dhe pushimit.

Pothuajse çdo fenomen jeta moderne, e cila është e një natyre masive, në një mënyrë ose në një tjetër është e lidhur domosdoshmërisht me konceptin në shqyrtim.

Fushat e aplikimit

Ky fenomen përdoret gjerësisht pothuajse në të gjitha shkencat ekzakte, veçanërisht ato të natyrës eksperimentale.

Gjetja e mesatares ka një rëndësi të madhe në mjekësi, inxhinieri, gatim, ekonomi, politikë etj.

Bazuar në të dhënat e marra nga përgjithësime të tilla, ato zhvillohen preparatet medicinale, programe arsimore, caktoni paga dhe mëditje minimale të jetesës, ndërtoni orare arsimore, prodhoni mobilje, veshje dhe këpucë, produkte higjienike dhe shumë më tepër.

Në matematikë, ky term quhet "vlera mesatare" dhe përdoret për të marrë vendime shembuj të ndryshëm dhe detyrat. Më të thjeshtat janë mbledhja dhe zbritja me thyesa të zakonshme. Në fund të fundit, siç e dini, për të zgjidhur shembuj të tillë është e nevojshme të sillni të dy fraksionet në një emërues të përbashkët.

Gjithashtu në mbretëreshën e shkencave ekzakte përdoret shpesh termi "vlerë mesatare", i cili është i ngjashëm në kuptim. ndryshore e rastësishme" Shumica e njerëzve janë më të njohur me të si " vlera e pritur”, më shpesh konsiderohet në teorinë e probabilitetit. Vlen të theksohet se një fenomen i ngjashëm vlen edhe gjatë kryerjes së llogaritjeve statistikore.

Vlera mesatare në statistika

Sidoqoftë, koncepti që studiohet përdoret më shpesh në statistika. Siç dihet, vetë kjo shkencë është e specializuar në llogaritjen dhe analizën e karakteristikave sasiore të dukurive masive shoqërore. Prandaj, vlera mesatare në statistika përdoret si një metodë e specializuar për arritjen e objektivave të saj kryesore - mbledhjen dhe analizimin e informacionit.

Thelbi i kësaj metode statistikore është zëvendësimi i vlerave unike individuale të karakteristikës në shqyrtim me një vlerë mesatare të caktuar të balancuar.

Një shembull është shakaja e famshme ushqimore. Pra, në një fabrikë të caktuar të martën për drekë, shefat e saj hanë zakonisht tavë mishi, dhe punëtorët e zakonshëm hanë lakër të zier. Bazuar në këto të dhëna, mund të konkludojmë se, mesatarisht, stafi i uzinës darkon me rrotulla me lakër të martën.

Edhe pse ky shembull është paksa i ekzagjeruar, ai ilustron pengesën kryesore të metodës së gjetjes së vlerës mesatare - nivelimi karakteristikat individuale objekte apo persona.

Në vlera mesatare ato përdoren jo vetëm për të analizuar informacionin e mbledhur, por edhe për planifikimin dhe parashikimin e veprimeve të mëtejshme.

Përdoret gjithashtu për të vlerësuar rezultatet e arritura (për shembull, zbatimi i planit për rritjen dhe vjeljen e grurit për sezonin pranverë-verë).

Si të llogarisni saktë

Edhe pse në varësi të llojit të SV ekzistojnë formula të ndryshme për llogaritjen e tij, në teorinë e përgjithshme të statistikave, si rregull, përdoret vetëm një metodë e llogaritjes së vlerës mesatare të një karakteristike. Për ta bërë këtë, së pari duhet të mblidhni së bashku vlerat e të gjitha fenomeneve dhe më pas të ndani shumën që rezulton me numrin e tyre.

Kur bëni llogaritje të tilla, ia vlen të mbani mend se vlera mesatare ka gjithmonë të njëjtin dimension (ose njësi) si njësia individuale e popullsisë.

Kushtet për llogaritjen e saktë

Formula e diskutuar më sipër është shumë e thjeshtë dhe universale, kështu që është pothuajse e pamundur të gabosh me të. Sidoqoftë, gjithmonë ia vlen të merren parasysh dy aspekte, përndryshe të dhënat e marra nuk do të pasqyrojnë situatën reale.

Klasat SV

Pasi të keni gjetur përgjigje për pyetjet themelore: "Cila është vlera mesatare?", "Ku përdoret?" dhe "Si mund ta llogarisni?", ia vlen të zbuloni se cilat klasa dhe lloje të SV-ve ekzistojnë.

Para së gjithash, ky fenomen ndahet në 2 klasa. Këto janë mesataret strukturore dhe të fuqisë.

Llojet e SV-ve me fuqi

Secila nga klasat e mësipërme, nga ana tjetër, ndahet në lloje. Klasa e qetësimit ka katër.

• Mesatarja aritmetike është lloji më i zakonshëm i SV. Është termi mesatar, në përcaktimin e të cilit vëllimi i përgjithshëm i karakteristikës në shqyrtim në një grup të dhënash shpërndahet në mënyrë të barabartë midis të gjitha njësive të këtij grupi.

  Ky lloj ndahet në nëntipe: SV aritmetike e thjeshtë dhe e ponderuar.

• Mesatarja harmonike është një tregues që është anasjellta e mesatares së thjeshtë aritmetike, e llogaritur nga vlerat reciproke të karakteristikës në shqyrtim.

  Përdoret në rastet kur vlerat individuale të atributit dhe produktit janë të njohura, por të dhënat e frekuencës jo.

• Mesatarja gjeometrike përdoret më shpesh kur analizohen ritmet e rritjes së dukurive ekonomike. Bën të mundur ruajtjen e pandryshuar të produktit të vlerave individuale të një sasie të caktuar, dhe jo shumës.

  Mund të jetë gjithashtu e thjeshtë dhe e ekuilibruar.

• Vlera mesatare katrore përdoret kur llogariten treguesit individualë, si koeficienti i variacionit, karakterizimi i ritmit të prodhimit të produktit, etj.

  Përdoret gjithashtu për të llogaritur diametrat mesatarë të tubave, rrotave, brinjëve mesatare të një katrori dhe figurave të ngjashme.

  Ashtu si të gjitha llojet e tjera të mesatareve, katrori mesatar i rrënjës mund të jetë i thjeshtë dhe i peshuar.

Llojet e madhësive strukturore

Përveç SV-ve mesatare, llojet strukturore shpesh përdoren në statistika. Ato janë më të përshtatshme për llogaritjen e karakteristikave relative të vlerave të një karakteristike të ndryshme dhe strukturën e brendshme rreshtat e shpërndarjes.

Ka dy lloje të tilla.

Në procesin e llogaritjeve të ndryshme dhe punës me të dhëna, shpesh është e nevojshme të llogaritet vlera mesatare e tyre. Ai llogaritet duke mbledhur numrat dhe duke pjesëtuar totalin me numrin e tyre. Le të zbulojmë se si të llogarisim mesataren e një grupi numrash duke përdorur programet e Microsoft Excel në mënyra të ndryshme.

Më e thjeshta dhe metodë e njohur për të gjetur mesataren aritmetike të një grupi numrash është përdorimi i një butoni të veçantë në shirit Microsoft Excel. Zgjidhni një sërë numrash të vendosur në një kolonë ose rresht të një dokumenti. Ndërsa jeni në skedën "Home", klikoni në butonin "AutoSum", i cili ndodhet në shiritin në bllokun e veglave "Editing". Nga lista rënëse, zgjidhni "Mesatarja".

Pas kësaj, duke përdorur funksionin "MESATARE", bëhet llogaritja. Mesatarja aritmetike e një grupi të caktuar numrash shfaqet në qelizën nën kolonën e zgjedhur, ose në të djathtë të rreshtit të zgjedhur.

Kjo metodë është e mirë për thjeshtësinë dhe komoditetin e saj. Por ajo gjithashtu ka disavantazhe të rëndësishme. Duke përdorur këtë metodë, ju mund të llogaritni vlerën mesatare të vetëm atyre numrave që janë rregulluar në një rresht në një kolonë ose në një rresht. Por ju nuk mund të punoni me një grup qelizash, ose me qeliza të shpërndara në një fletë, duke përdorur këtë metodë.

Për shembull, nëse zgjidhni dy kolona dhe llogaritni mesataren aritmetike duke përdorur metodën e përshkruar më sipër, atëherë përgjigjja do të jepet për secilën kolonë veç e veç, dhe jo për të gjithë grupin e qelizave.

Llogaritja duke përdorur magjistarin e funksionit

Për rastet kur duhet të llogaritni mesataren aritmetike të një grupi qelizash, ose qelizash të shpërndara, mund të përdorni magjistarin e funksionit. Ai përdor të njëjtin funksion "MESATARE", i njohur për ne që nga metoda e parë e llogaritjes, por e bën atë në një mënyrë paksa të ndryshme.

Klikoni në qelizën ku dëshirojmë të shfaqet rezultati i llogaritjes së vlerës mesatare. Klikoni në butonin "Fut Funksionin", i cili ndodhet në të majtë të shiritit të formulës. Ose, shkruani kombinimin Shift+F3 në tastierë.

Funksioni Wizard fillon. Në listën e funksioneve të paraqitura, kërkoni "MESATARE". Zgjidhni atë dhe klikoni në butonin "OK".

Hapet dritarja e argumenteve për këtë funksion. Argumentet e funksionit futen në fushat "Numër". Këta mund të jenë ose numra të rregullt ose adresa të qelizave ku ndodhen këta numra. Nëse nuk ju vjen rehat të futni adresat e celularit me dorë, duhet të klikoni në butonin e vendosur në të djathtë të fushës së futjes së të dhënave.

Pas kësaj, dritarja e argumenteve të funksionit do të minimizohet dhe do të mund të zgjidhni grupin e qelizave në fletë që merrni për llogaritjen. Pastaj, përsëri klikoni në butonin në të majtë të fushës së futjes së të dhënave për t'u kthyer në dritaren e argumenteve të funksionit.

Nëse dëshironi të llogaritni mesataren aritmetike midis numrave të vendosur në grupe të veçanta qelizash, atëherë bëni të njëjtat veprime të përmendura më lart në fushën "Numri 2". Dhe kështu me radhë derisa të zgjidhen të gjitha grupet e nevojshme të qelizave.

Pas kësaj, klikoni në butonin "OK".

Rezultati i llogaritjes së mesatares aritmetike do të theksohet në qelizën që keni zgjedhur përpara se të filloni Function Wizard.

Shiriti i formulave

Ekziston një mënyrë e tretë për të nisur funksionin AVERAGE. Për ta bërë këtë, shkoni te skedari "Formulat". Zgjidhni qelizën në të cilën do të shfaqet rezultati. Pas kësaj, në grupin e mjeteve "Biblioteka e funksioneve" në shirit, klikoni në butonin "Funksione të tjera". Shfaqet një listë në të cilën duhet të kaloni në mënyrë sekuenciale artikujt "Statistikore" dhe "MESATARE".

Pastaj, hapet saktësisht e njëjta dritare e argumenteve të funksionit si kur përdoret Funksioni Wizard, punën e të cilit e kemi përshkruar në detaje më sipër.

Veprimet e mëtejshme janë saktësisht të njëjta.

Hyrja manuale e funksionit

Por, mos harroni se gjithmonë mund të futni manualisht funksionin "MESATARE" nëse dëshironi. Ai do të ketë modelin e mëposhtëm: “=MESATARE (adresa_range_qelizore(numri); adresa_range_qelize(numri)).

Sigurisht, kjo metodë nuk është aq e përshtatshme sa të mëparshmet dhe kërkon që përdoruesi të mbajë disa formula në kokën e tij, por është më fleksibël.

Llogaritja e vlerës mesatare sipas kushteve

Përveç llogaritjes së zakonshme të vlerës mesatare, është e mundur të llogaritet vlera mesatare sipas kushteve. Në këtë rast, do të merren parasysh vetëm ata numra nga diapazoni i zgjedhur që plotësojnë një kusht të caktuar. Për shembull, nëse këta numra janë më të mëdhenj ose më të vegjël se një vlerë specifike.

Për këto qëllime, përdoret funksioni "AVERAGEIF". Ashtu si funksioni AVERAGE, ju mund ta nisni atë përmes Funksionit Wizard, nga shiriti i formulave ose duke e futur manualisht në një qelizë. Pasi të hapet dritarja e argumenteve të funksionit, duhet të futni parametrat e tij. Në fushën "Range", vendosni gamën e qelizave, vlerat e të cilave do të marrin pjesë në përcaktimin e mesatares numri aritmetik. Ne e bëjmë këtë në të njëjtën mënyrë si me funksionin "AVERAGE".

Por në fushën "Kushti" duhet të tregojmë një vlerë specifike, numra më të mëdhenj ose më të vegjël se të cilët do të marrin pjesë në llogaritje. Kjo mund të bëhet duke përdorur shenja krahasimi. Për shembull, morëm shprehjen ">=15000". Kjo do të thotë, për llogaritjen, do të merren vetëm qelizat në intervalin që përmbajnë numra më të mëdhenj ose të barabartë me 15000, nëse është e nevojshme, në vend të një numri specifik, mund të specifikoni adresën e qelizës në të cilën ndodhet numri përkatës.

Fusha "Mesatarja e diapazonit" është opsionale. Futja e të dhënave në të kërkohet vetëm kur përdorni qeliza me përmbajtje teksti.

Pasi të jenë futur të gjitha të dhënat, klikoni në butonin "OK".

Pas kësaj, rezultati i llogaritjes së mesatares aritmetike për diapazonin e zgjedhur shfaqet në një qelizë të parazgjedhur, me përjashtim të qelizave, të dhënat e të cilave nuk i plotësojnë kushtet.

Siç mund ta shihni, në Microsoft Excel ka linjë e tërë mjete me të cilat mund të llogaritni vlerën mesatare të një serie numrash të zgjedhur. Për më tepër, ekziston një funksion që zgjedh automatikisht numrat nga diapazoni që nuk plotësojnë një kriter të paracaktuar nga përdoruesi. Kjo bën llogaritjet në Aplikacioni i Microsoft Excel është edhe më miqësor për përdoruesit.

Mesatarja në matematikë vlera aritmetike numrat (ose thjesht mesatarja) është shuma e të gjithë numrave në një grup të caktuar pjesëtuar me numrin e tyre. Ky është koncepti më i përgjithësuar dhe më i përhapur i vlerës mesatare. Siç e keni kuptuar tashmë, për të gjetur, duhet të përmblidhni të gjithë numrat që ju janë dhënë dhe të ndani rezultatin që rezulton me numrin e termave.

Cila është mesatarja aritmetike?

Le të shohim një shembull.

Shembulli 1. Numrat e dhënë: 6, 7, 11. Duhet të gjesh vlerën mesatare të tyre.

Zgjidhje.

Së pari, le të gjejmë shumën e të gjithë këtyre numrave.

Tani ndani shumën që rezulton me numrin e termave. Meqenëse kemi tre terma, prandaj do të pjesëtojmë me tre.

Prandaj, mesatarja e numrave 6, 7 dhe 11 është 8. Pse 8? Po, sepse shuma e 6, 7 dhe 11 do të jetë e njëjtë me tre tetë. Kjo mund të shihet qartë në ilustrim.

Mesatarja është paksa si "mbrëmje jashtë" një serie numrash. Siç mund ta shihni, grumbujt e lapsave janë bërë në të njëjtin nivel.

Le të shohim një shembull tjetër për të konsoliduar njohuritë e marra.

Shembulli 2. Numrat e dhënë: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Ju duhet të gjeni mesataren aritmetike të tyre.

Zgjidhje.

Gjeni shumën.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ndani me numrin e termave (në këtë rast - 15).

Prandaj, vlera mesatare e kësaj serie numrash është 22.

Tani le të shohim numrat negativë. Le të kujtojmë se si t'i përmbledhim ato. Për shembull, ju keni dy numra 1 dhe -4. Le të gjejmë shumën e tyre.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Duke e ditur këtë, le të shohim një shembull tjetër.

Shembulli 3. Gjeni vlerën mesatare të një serie numrash: 3, -7, 5, 13, -2.

Zgjidhje.

Gjeni shumën e numrave.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Meqenëse ka 5 terma, shumën që rezulton pjesëtojeni me 5.

Prandaj, mesatarja aritmetike e numrave 3, -7, 5, 13, -2 është 2.4.

Në kohën tonë të përparimit teknologjik, është shumë më e përshtatshme të përdoren programe kompjuterike për të gjetur vlerën mesatare. Microsoft Office Excel është një prej tyre. Gjetja e mesatares në Excel është e shpejtë dhe e lehtë. Për më tepër, ky program është i përfshirë në paketën softuerike të Microsoft Office. Le të shohim një udhëzim të shkurtër, vlerën e përdorimit të këtij programi.

Për të llogaritur vlerën mesatare të një serie numrash, duhet të përdorni funksionin AVERAGE. Sintaksa për këtë funksion është:
= Mesatarja(argumenti1, argumenti2, ... argumenti255)
ku argumenti1, argumenti2, ... argumenti255 janë ose numra ose referenca të qelizave (qelizat i referohen vargjeve dhe vargjeve).

Për ta bërë më të qartë, le të provojmë njohuritë që kemi marrë.

1. Futni numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16 në qelizat C1 - C6.
2. Zgjidhni qelizën C7 duke klikuar mbi të. Në këtë qelizë do të shfaqim vlerën mesatare.
3. Klikoni në skedën Formulat.
4. Zgjidhni Më shumë funksione > Statistikore për t'u hapur
5. Zgjidhni MESATAR. Pas kësaj, duhet të hapet një kuti dialogu.
6. Zgjidhni dhe tërhiqni qelizat C1-C6 atje për të vendosur diapazonin në kutinë e dialogut.
7. Konfirmoni veprimet tuaja me butonin "OK".
8. Nëse keni bërë gjithçka siç duhet, përgjigjen duhet ta keni në qelizën C7 - 13.7. Kur klikoni në qelizën C7, funksioni (=Mesatar(C1:C6)) do të shfaqet në shiritin e formulave.

Kjo veçori është shumë e dobishme për kontabilitetin, faturat ose kur thjesht duhet të gjeni mesataren e një serie shumë të gjatë numrash. Prandaj, shpesh përdoret në zyra dhe kompani të mëdha. Kjo ju lejon të mbani shënimet tuaja në rregull dhe bën të mundur llogaritjen e shpejtë të diçkaje (për shembull, të ardhurat mesatare mujore). Ju gjithashtu mund të përdorni Excel për të gjetur vlerën mesatare të një funksioni.

Ky term ka kuptime të tjera, shih kuptimin mesatar.

Mesatare(në matematikë dhe statistikë) grupe numrash - shuma e të gjithë numrave pjesëtuar me numrin e tyre. Është një nga masat më të zakonshme të tendencës qendrore.

Ajo u propozua (së bashku me mesataren gjeometrike dhe mesataren harmonike) nga Pitagorianët.

Raste të veçanta të mesatares aritmetike janë mesatarja (popullata e përgjithshme) dhe mesatarja e mostrës (kampion).

Prezantimi

Le të shënojmë grupin e të dhënave X = (x 1 , x 2 , …, x n), atëherë mesatarja e mostrës zakonisht tregohet nga një shirit horizontal mbi variablin (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), i theksuar " x me një vijë").

Për të treguar mesataren aritmetike të të gjithë popullatës përdoret shkronja grekeμ. Për një ndryshore të rastësishme për të cilën përcaktohet vlera mesatare, μ është mesatare probabilistike ose pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme. Nëse grupi Xështë një koleksion numrash të rastësishëm me një mesatare probabilistike μ, atëherë për çdo mostër x i nga ky grup μ = E( x i) është pritshmëria matematikore e këtij kampioni.

Në praktikë, ndryshimi midis μ dhe x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) është se μ është një variabël tipik sepse mund të shihni një mostër dhe jo të gjithë popullata e përgjithshme. Prandaj, nëse kampioni përfaqësohet në mënyrë të rastësishme (për sa i përket teorisë së probabilitetit), atëherë x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (por jo μ) mund të trajtohet si një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje probabiliteti në mostër ( shpërndarja e probabilitetit të mesatares).

Të dyja këto sasi llogariten në të njëjtën mënyrë:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cpika +x_(n)).)

Nëse Xështë një ndryshore e rastësishme, pastaj pritshmëria matematikore X mund të konsiderohet si mesatarja aritmetike e vlerave në matjet e përsëritura të një sasie X. Ky është një manifestim i ligjit numra të mëdhenj. Prandaj, mesatarja e mostrës përdoret për të vlerësuar vlerën e pritshme të panjohur.

Është vërtetuar në algjebër elementare se mesatarja n+ 1 numra mbi mesataren n numrat nëse dhe vetëm nëse numri i ri është më i madh se mesatarja e vjetër, më pak nëse dhe vetëm nëse numri i ri është më i vogël se mesatarja dhe nuk ndryshon nëse dhe vetëm nëse numri i ri është i barabartë me mesataren. Më shumë n, aq më i vogël është diferenca midis mesatares së re dhe asaj të vjetër.

Vini re se ka disa "mesatare" të tjera të disponueshme, duke përfshirë mesataren e fuqisë, mesataren e Kolmogorovit, mesataren harmonike, mesataren aritmetike-gjeometrike dhe mesatare të ndryshme të ponderuara (p.sh., mesatare aritmetike e ponderuar, mesatare gjeometrike e ponderuar, mesatare e ponderuar harmonike).

Shembuj

• Për tre numra, duhet t'i shtoni dhe pjesëtoni me 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Për katër numra, duhet t'i shtoni dhe pjesëtoni me 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ose më e thjeshtë: 5+5=10, 10:2. Për shkak se ne ishim duke mbledhur 2 numra, që do të thotë se sa numra mbledhim, ne pjesëtojmë me aq shumë.

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Për një sasi të shpërndarë vazhdimisht f (x) (\displaystyle f(x)), mesatarja aritmetike në intervalin [ a ; b ] (\displaystyle ) përcaktohet përmes një integrali të caktuar:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Disa probleme të përdorimit të mesatares

Mungesa e qëndrueshmërisë

Artikulli kryesor: Qëndrueshmëria në statistika

Megjithëse mesataret aritmetike përdoren shpesh si mesatare ose tendenca qendrore, ky koncept nuk është një statistikë e fortë, që do të thotë se mesatarja aritmetike ndikohet shumë nga "devijimet e mëdha". Vlen të përmendet se për shpërndarjet me një koeficient të madh anshmërie, mesatarja aritmetike mund të mos korrespondojë me konceptin e "mesatare" dhe vlerat e mesatares nga statistikat e forta (për shembull, mesatarja) mund të përshkruajnë më mirë qendrën tendencë.

Një shembull klasik është llogaritja e të ardhurave mesatare. Mesatarja aritmetike mund të keqinterpretohet si një mesatare, e cila mund të çojë në përfundimin se ka më shumë njerëz me të ardhura më të larta se sa ka në të vërtetë. Të ardhurat "mesatare" interpretohen të nënkuptojnë se shumica e njerëzve kanë të ardhura rreth këtij numri. Këto të ardhura "mesatare" (në kuptimin e mesatares aritmetike) janë më të larta se të ardhurat e shumicës së njerëzve, pasi të ardhurat e larta me një devijim të madh nga mesatarja e bëjnë mesataren aritmetike shumë të anuar (në të kundërt, të ardhurat mesatare në mesataren "i reziston" një animi të tillë). Megjithatë, kjo e ardhur "mesatare" nuk thotë asgjë për numrin e njerëzve pranë të ardhurave mesatare (dhe nuk thotë asgjë për numrin e njerëzve pranë të ardhurave modale). Megjithatë, nëse i merrni lehtë konceptet "mesatare" dhe "shumica e njerëzve", mund të nxirrni përfundimin e gabuar se shumica e njerëzve kanë të ardhura më të larta se sa janë në të vërtetë. Për shembull, një raport i të ardhurave neto "mesatare" në Medina, Uashington, i llogaritur si mesatare aritmetike e të gjitha të ardhurave neto vjetore të banorëve, do të prodhonte një numër çuditërisht të madh për shkak të Bill Gates. Merrni parasysh mostrën (1, 2, 2, 2, 3, 9). Mesatarja aritmetike është 3.17, por pesë nga gjashtë vlerat janë nën këtë mesatare.

Interesi i përbërë

Artikulli kryesor: Kthehen në investime

Nëse numrat shumohen, por jo dele, ju duhet të përdorni mesataren gjeometrike, jo mesataren aritmetike. Më shpesh ky incident ndodh kur llogaritet kthimi i investimit në financa.

Për shembull, nëse një aksion ra 10% në vitin e parë dhe u rrit 30% në të dytin, atëherë është e gabuar të llogaritet rritja "mesatare" gjatë këtyre dy viteve si mesatare aritmetike (−10% + 30%) / 2 = 10%; mesatarja e saktë në këtë rast jepet nga norma e përbërë e rritjes vjetore, e cila jep një normë rritjeje vjetore prej vetëm rreth 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Arsyeja për këtë është se përqindjet kanë një pikë të re fillimi çdo herë: 30% është 30% nga një numër më i vogël se çmimi në fillim të vitit të parë: nëse një aksion filloi me 30 dollarë dhe ra 10%, vlen 27 dollarë në fillim të vitit të dytë. Nëse aksioni do të rritej 30%, do të vlente 35.1 dollarë në fund të vitit të dytë. Mesatarja aritmetike e kësaj rritjeje është 10%, por duke qenë se aksionet u rritën me vetëm 5.1 dollarë në 2 vjet, gjatesi mesatare në 8.2% jep rezultatin përfundimtar $35.1:

[30 dollarë (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 dollarë (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 dollarë]. Nëse përdorim mesataren aritmetike prej 10% në të njëjtën mënyrë, nuk do të marrim vlerën aktuale: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3$].

Interesi i përbërë në fund të 2 viteve: 90% * 130% = 117%, domethënë rritja totale është 17%, dhe interesi mesatar vjetor i përbërë është 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\afërsisht 108,2\%) , pra një rritje mesatare vjetore prej 8,2%.

Drejtimet

Artikulli kryesor: Statistikat e destinacionit

Gjatë llogaritjes së mesatares aritmetike të disa ndryshoreve që ndryshojnë ciklikisht (si faza ose këndi), duhet pasur kujdes i veçantë. Për shembull, mesatarja e 1° dhe 359° do të ishte 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ky numër është i pasaktë për dy arsye.

• Së pari, masat këndore përcaktohen vetëm për diapazonin nga 0° deri në 360° (ose nga 0 në 2π kur maten në radianë). Pra, i njëjti çift numrash mund të shkruhet si (1° dhe −1°) ose si (1° dhe 719°). Vlerat mesatare të çdo çifti do të jenë të ndryshme: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ rreth )) .
• Së dyti, në këtë rast, një vlerë prej 0° (ekuivalente me 360°) do të jetë një vlerë mesatare gjeometrikisht më e mirë, pasi numrat devijojnë më pak nga 0° sesa nga çdo vlerë tjetër (vlera 0° ka variancën më të vogël). Krahaso:
  • numri 1° devijon nga 0° me vetëm 1°;
  • numri 1° devijon nga mesatarja e llogaritur prej 180° me 179°.

Vlera mesatare për një ndryshore ciklike e llogaritur duke përdorur formulën e mësipërme do të zhvendoset artificialisht në lidhje me mesataren reale drejt mesit të diapazonit numerik. Për shkak të kësaj, mesatarja llogaritet në një mënyrë tjetër, domethënë, numri me variancën më të vogël (pika qendrore) zgjidhet si vlerë mesatare. Gjithashtu, në vend të zbritjes, përdoret distanca modulare (d.m.th., distanca rrethore). Për shembull, distanca modulare ndërmjet 1° dhe 359° është 2°, jo 358° (në rrethin ndërmjet 359° dhe 360°==0° - një shkallë, ndërmjet 0° dhe 1° - gjithashtu 1°, në total - 2 °).

Llojet e vlerave mesatare dhe metodat e llogaritjes së tyre

Në fazën e përpunimit statistikor, mund të vendosen një sërë problemesh kërkimore, për zgjidhjen e të cilave është e nevojshme të zgjidhet mesatarja e duhur. Në këtë rast, është e nevojshme të udhëhiqemi nga rregulli i mëposhtëm: sasitë që përfaqësojnë numëruesin dhe emëruesin e mesatares duhet të lidhen logjikisht me njëra-tjetrën.

• mesataret e fuqisë;
• mesataret strukturore.

Le të prezantojmë konventat e mëposhtme:

Sasitë për të cilat llogaritet mesatarja;

Mesatarja, ku shiriti i mësipërm tregon se bëhet mesatarizimi i vlerave individuale;

Frekuenca (përsëritshmëria e vlerave individuale karakteristike).

Mesatarja e ndryshme rrjedhin nga formula e përgjithshme mesatare e fuqisë:

(5.1)

kur k = 1 - mesatarja aritmetike; k = -1 - mesatare harmonike; k = 0 - mesatare gjeometrike; k = -2 - rrënja mesatare katrore.

Vlerat mesatare mund të jenë të thjeshta ose të peshuara. Mesatarja e ponderuar Këto janë vlera që marrin parasysh se disa variante të vlerave të atributeve mund të kenë numra të ndryshëm, dhe për këtë arsye çdo opsion duhet të shumëzohet me këtë numër. Me fjalë të tjera, "shkallët" janë numrat e njësive agregate në grupe të ndryshme, d.m.th. Çdo opsion "peshohet" nga frekuenca e tij. Frekuenca f quhet peshë statistikore ose pesha mesatare.

Mesatarja aritmetike- lloji më i zakonshëm i mesatares. Përdoret kur llogaritja kryhet në të dhëna statistikore të pagrupuara, ku duhet të merrni termin mesatar. Mesatarja aritmetike është vlera mesatare e një karakteristike, pas marrjes së së cilës vëllimi i përgjithshëm i karakteristikës në agregat mbetet i pandryshuar.

Formula mesatare aritmetike ( thjeshtë) ka formën

ku n është madhësia e popullsisë.

Për shembull, paga mesatare e punonjësve të një ndërmarrje llogaritet si mesatare aritmetike:

Treguesit përcaktues këtu janë paga e secilit punonjës dhe numri i punonjësve të ndërmarrjes. Kur llogaritet mesatarja, shuma totale pagat mbeti i njëjtë, por i shpërndarë në mënyrë të barabartë midis të gjithë punonjësve. Për shembull, ju duhet të llogaritni pagën mesatare të punëtorëve në një kompani të vogël që punëson 8 persona:

Gjatë llogaritjes së vlerave mesatare, vlerat individuale të karakteristikës që mesatarizohet mund të përsëriten, kështu që vlera mesatare llogaritet duke përdorur të dhëna të grupuara. Në këtë rast ne po flasim për rreth përdorimit mesatare aritmetike e ponderuar, e cila ka formën

(5.3)

Pra, duhet të llogarisim çmimin mesatar të aksioneve të një shoqërie aksionare në tregtimin e bursës. Dihet se transaksionet janë kryer brenda 5 ditëve (5 transaksione), numri i aksioneve të shitura me normën e shitjes është shpërndarë si më poshtë:

1 - 800 ak. - 1010 fshij.

2 - 650 ak. - 990 fshij.

3 - 700 ak. - 1015 fshij.

4 - 550 ak. - 900 rubla.

5 - 850 ak. - 1150 fshij.

Raporti fillestar për përcaktimin e çmimit mesatar të aksioneve është raporti i shumës totale të transaksioneve (TVA) me numrin e aksioneve të shitura (AKP):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

AKP = 800+650+700+550+850=3550.

Në këtë rast, çmimi mesatar i aksioneve ishte i barabartë me

Është e nevojshme të njihen vetitë e mesatares aritmetike, e cila është shumë e rëndësishme si për përdorimin e saj, ashtu edhe për llogaritjen e saj. Mund të identifikohen tre veti kryesore që janë më të përcaktuara aplikim të gjerë mesatarja aritmetike në llogaritjet statistikore dhe ekonomike.

Prona një (zero): shuma e devijimeve pozitive të vlerave individuale të një karakteristike nga vlera mesatare e saj është e barabartë me shumën e devijimeve negative. Kjo është një veti shumë e rëndësishme, pasi tregon se çdo devijim (si + dhe -) i shkaktuar nga arsye të rastësishme do të anulohet reciprokisht.

Dëshmi:

Prona dy (minimale): shuma e devijimeve në katror të vlerave individuale të një karakteristike nga mesatarja aritmetike është më e vogël se nga çdo numër tjetër (a), d.m.th. ka një numër minimal.

Dëshmi.

Le të përpilojmë shumën e devijimeve në katror nga ndryshorja a:

(5.4)

Për të gjetur ekstremin e këtij funksioni, është e nevojshme të barazojmë derivatin e tij në lidhje me a në zero:

Nga këtu marrim:

(5.5)

Rrjedhimisht, ekstremi i shumës së devijimeve në katror arrihet në . Ky ekstrem është një minimum, pasi një funksion nuk mund të ketë një maksimum.

Prona tre: mesatarja aritmetike e një vlere konstante është e barabartë me këtë konstante: për a = konst.

Përveç këtyre të treve vetitë më të rëndësishme mesatare aritmetike ka të ashtuquajturat vetitë e projektimit, të cilat gradualisht po humbasin rëndësinë e tyre për shkak të përdorimit të teknologjisë elektronike kompjuterike:

• nëse vlera individuale e atributit të secilës njësi shumëzohet ose pjesëtohet me një numër konstant, atëherë mesatarja aritmetike do të rritet ose ulet me të njëjtën shumë;
• mesatarja aritmetike nuk do të ndryshojë nëse pesha (frekuenca) e secilës vlerë të atributit ndahet me një numër konstant;
• nëse vlerat individuale të atributit të secilës njësi zvogëlohen ose rriten me të njëjtën sasi, atëherë mesatarja aritmetike do të ulet ose rritet me të njëjtën sasi.

Mesatarja harmonike. Kjo mesatare quhet mesatare aritmetike e anasjelltë sepse kjo vlerë përdoret kur k = -1.

Mesatarja e thjeshtë harmonike përdoret kur peshat e vlerave të atributeve janë të njëjta. Formula e saj mund të nxirret nga formula bazë duke zëvendësuar k = -1:

Për shembull, duhet të llogarisim shpejtësinë mesatare të dy makinave që përshkuan të njëjtën rrugë, por me shpejtësi të ndryshme: e para me një shpejtësi prej 100 km/h, e dyta me 90 km/h. Duke përdorur metodën mesatare harmonike, ne llogarisim shpejtësinë mesatare:

Në praktikën statistikore përdoret më shpesh ai i peshuar harmonik, formula e së cilës ka formën

Kjo formulë përdoret në rastet kur peshat (ose vëllimet e dukurive) për çdo atribut nuk janë të barabarta. Në marrëdhënien fillestare për llogaritjen e mesatares, numëruesi është i njohur, por emëruesi është i panjohur.

Për shembull, gjatë llogaritjes së çmimit mesatar, duhet të përdorim raportin e shumës së shitjeve me numrin e njësive të shitura. Ne nuk e dimë numrin e njësive të shitura (po flasim për produkte të ndryshme), por dimë sasitë e shitjeve të këtyre produkteve të ndryshme. Le të themi se duhet të dimë çmimi mesatar mallrat e shitura:

marrim

Mesatarja gjeometrike. Më shpesh, mesatarja gjeometrike gjen aplikimin e saj në përcaktimin e normave mesatare të rritjes (koeficientët mesatarë të rritjes), kur vlerat individuale të një karakteristike paraqiten në formën e vlerave relative. Përdoret gjithashtu nëse është e nevojshme të gjendet mesatarja midis vlerave minimale dhe maksimale të një karakteristike (për shembull, midis 100 dhe 1000000). Ekzistojnë formula për mesataren gjeometrike të thjeshtë dhe të ponderuar.

Për një mesatare të thjeshtë gjeometrike

Për mesataren gjeometrike të ponderuar

Vlera mesatare katrore e rrënjës. Fusha kryesore e aplikimit të tij është matja e ndryshimit të një karakteristike në agregat (llogaritja e mesatares devijimi katror).

Formula e thjeshtë mesatare katrore

Formula katrore mesatare e ponderuar

(5.11)

Si rezultat, mund të themi se nga zgjedhja e duhur Lloji i vlerës mesatare në çdo rast specifik varet nga zgjidhja e suksesshme e problemeve të kërkimit statistikor. Zgjedhja e mesatares përfshin sekuencën e mëposhtme:

a) vendosjen e një treguesi të përgjithshëm të popullsisë;

b) përcaktimi i një lidhjeje matematikore të sasive për një tregues të përgjithshëm të caktuar;

c) zëvendësimin e vlerave individuale me vlera mesatare;

d) llogaritja e mesatares duke përdorur ekuacionin e duhur.

Mesataret dhe variacionet

vlera mesatare- ky është një tregues i përgjithshëm që karakterizon një popullsi homogjene cilësore sipas një karakteristike të caktuar sasiore. Për shembull, Mosha mesatare personat e dënuar për vjedhje.

Në statistikat gjyqësore, vlerat mesatare përdoren për të karakterizuar:

Koha mesatare për shqyrtimin e rasteve të kësaj kategorie;

Madhësia mesatare e kërkesës;

Numri mesatar i të pandehurve për rast;

Dëmi mesatar;

Ngarkesa mesatare e gjyqtarëve, etj.

Mesatarja është gjithmonë një vlerë e emërtuar dhe ka të njëjtin dimension me karakteristikat e një njësie individuale të popullsisë. Çdo vlerë mesatare karakterizon popullsinë që studiohet sipas një karakteristike të ndryshme, prandaj, pas çdo vlere mesatare qëndron një sërë shpërndarjesh të njësive të kësaj popullate sipas karakteristikës që studiohet. Zgjedhja e llojit të mesatares përcaktohet nga përmbajtja e treguesit dhe të dhënat fillestare për llogaritjen e vlerës mesatare.

Të gjitha llojet e mesatareve të përdorura në kërkimin statistikor ndahen në dy kategori:

1) mesataret e fuqisë;

2) mesataret strukturore.

Kategoria e parë e mesatareve përfshin: mesatare aritmetike, mesatare harmonike, mesatare gjeometrike Dhe rrënja mesatare katrore . Kategoria e dytë është modës Dhe mesatare. Për më tepër, secili nga llojet e listuara të mesatareve të fuqisë mund të ketë dy forma: thjeshtë Dhe të peshuara . Forma e thjeshtë e mesatares përdoret për të marrë vlerën mesatare të karakteristikës që studiohet kur llogaritja kryhet në të dhëna statistikore të pagrupuara, ose kur çdo opsion në total ndodh vetëm një herë. Mesataret e ponderuara janë vlera që marrin parasysh se variantet e vlerave të atributeve mund të kenë numra të ndryshëm, dhe për këtë arsye çdo variant duhet të shumëzohet me frekuencën përkatëse. Me fjalë të tjera, çdo opsion "peshohet" nga frekuenca e tij. Frekuenca quhet pesha statistikore.

Mesatarja e thjeshtë aritmetike- lloji më i zakonshëm i mesatares. Është e barabartë me shumën e vlerave individuale të karakteristikës pjesëtuar me numri total këto vlera:

,

Ku x 1, x 2, …, x N janë vlerat individuale të karakteristikës së ndryshme (variantet), dhe N është numri i njësive në popullatë.

Mesatarja aritmetike e ponderuar përdoret në rastet kur të dhënat paraqiten në formën e serive ose grupimeve të shpërndarjes. Ai llogaritet si shuma e produkteve të opsioneve dhe frekuencave të tyre përkatëse, pjesëtuar me shumën e frekuencave të të gjitha opsioneve:

Ku x i- kuptimi i-Variantet e karakteristikës; f i– frekuenca i- opsionet.

Kështu, çdo vlerë variante peshohet me frekuencën e saj, prandaj frekuencat quhen ndonjëherë pesha statistikore.

Koment. Kur bëhet fjalë për mesataren vlera aritmetike pa specifikuar llojin e tij, mesatarja aritmetike është e thjeshtë.

Tabela 12.

Zgjidhje. Për të llogaritur, ne përdorim formulën mesatare aritmetike të ponderuar:

Kështu, mesatarisht janë dy të pandehur për çështje penale.

Nëse llogaritja e vlerës mesatare kryhet duke përdorur të dhëna të grupuara në formën e serive të shpërndarjes së intervalit, atëherë së pari duhet të përcaktoni vlerat e mesme të secilit interval x"i, dhe më pas të llogaritni vlerën mesatare duke përdorur mesataren e ponderuar aritmetike. formula, në të cilën x"i zëvendësohet në vend të xi.

Shembull. Të dhënat për moshën e kriminelëve të dënuar për vjedhje janë paraqitur në tabelë:

Tabela 13.

Përcaktoni moshën mesatare të kriminelëve të dënuar për vjedhje.

Zgjidhje. Për të përcaktuar moshën mesatare të kriminelëve bazuar në një seri variacionesh intervali, është e nevojshme që fillimisht të gjenden vlerat e mesme të intervaleve. Meqenëse na jepet një seri intervali me hapni së pari dhe intervalet e fundit, atëherë vlerat e këtyre intervaleve merren të barabarta me vlerat e intervaleve të mbyllura ngjitur. Në rastin tonë, vlerat e intervalit të parë dhe të fundit janë të barabarta me 10.

Tani gjejmë moshën mesatare të kriminelëve duke përdorur formulën mesatare aritmetike të ponderuar:

Kështu, mosha mesatare e kriminelëve të dënuar për vjedhje është afërsisht 27 vjeç.

Do të thotë harmonike e thjeshtë përfaqëson reciprocitetin e mesatares aritmetike të vlerave të anasjellta të karakteristikës:

ku 1/ x i janë vlerat e kundërta të opsioneve, dhe N është numri i njësive në popullatë.

Shembull. Për përcaktimin e ngarkesës mesatare vjetore të gjyqtarëve të një gjykate të rrethit gjatë shqyrtimit të çështjeve penale, u krye një studim i ngarkesës së 5 gjyqtarëve të kësaj gjykate. Koha mesatare e shpenzuar në një çështje penale për secilin nga gjyqtarët e anketuar doli të jetë e barabartë (në ditë): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Gjeni kostot mesatare për një çështjen penale dhe ngarkesën mesatare vjetore të gjyqtarëve të një gjykate të caktuar rrethi kur shqyrtohen çështjet penale.

Zgjidhje. Për të përcaktuar kohën mesatare të shpenzuar në një çështje penale, ne përdorim formulën mesatare harmonike:

Për të thjeshtuar llogaritjet, në shembull marrim numrin e ditëve në vit në 365, duke përfshirë fundjavat (kjo nuk ndikon në metodologjinë e llogaritjes, dhe kur llogaritet një tregues i ngjashëm në praktikë, është e nevojshme të zëvendësohet numri i punës ditë në një vit të caktuar në vend të 365 ditëve). Atëherë ngarkesa mesatare vjetore për gjyqtarët e një gjykate të caktuar rrethi gjatë shqyrtimit të çështjeve penale do të jetë: 365 (ditë) : 5,56 ≈ 65,6 (çështje).

Nëse do të përdornim formulën e thjeshtë mesatare aritmetike për të përcaktuar kohën mesatare të shpenzuar në një çështje penale, do të merrnim:

365 (ditë): 5,64 ≈ 64,7 (raste), d.m.th. ngarkesa mesatare e gjyqtarëve doli të ishte më e vogël.

Le të kontrollojmë vlefshmërinë e kësaj qasjeje. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim të dhëna për kohën e kaluar për një çështje penale për çdo gjyqtar dhe do të llogarisim numrin e çështjeve penale të shqyrtuara nga secili prej tyre në vit.

Ne marrim në përputhje me rrethanat:

365 (ditë): 6 ≈ 61 (raste), 365 (ditë): 5.6 ≈ 65.2 (raste), 365 (ditë): 6.3 ≈ 58 (raste),

365 (ditë) : 4,9 ≈ 74,5 (raste), 365 (ditë) : 5,4 ≈ 68 (raste).

Tani le të llogarisim ngarkesën mesatare vjetore për gjyqtarët e një gjykate të caktuar rrethi kur shqyrtojmë çështjet penale:

Ato. ngarkesa mesatare vjetore është e njëjtë me atë kur përdoret mesatarja harmonike.

Pra, përdorimi i mesatares aritmetike në këtë rast është i paligjshëm.

Në rastet kur variantet e një karakteristike dhe vlerat e tyre vëllimore (produkti i varianteve dhe frekuencave) janë të njohura, por vetë frekuencat janë të panjohura, përdoret formula mesatare harmonike e ponderuar:

,

Ku x i janë vlerat e opsioneve të atributeve, dhe w i janë vlerat vëllimore të opsioneve ( w i = x i f i).

Shembull. Të dhënat për çmimin e një njësie të të njëjtit lloj produkti të prodhuar nga institucione të ndryshme të sistemit penal dhe për vëllimin e shitjeve të tij jepen në tabelën 14.

Tabela 14

Gjeni çmimin mesatar të shitjes së produktit.

Zgjidhje. Gjatë llogaritjes së çmimit mesatar, duhet të përdorim raportin e shumës së shitjeve me numrin e njësive të shitura. Ne nuk e dimë numrin e njësive të shitura, por dimë sasinë e shitjeve të mallrave. Prandaj, për të gjetur çmimin mesatar të mallrave të shitura, do të përdorim formulën mesatare harmonike të ponderuar. marrim

Nëse përdorni formulën mesatare aritmetike këtu, mund të merrni një çmim mesatar që do të jetë joreal:

Mesatarja gjeometrike llogaritet duke nxjerrë rrënjën e shkallës N nga produkti i të gjitha vlerave të varianteve të atributeve:

Ku x 1, x 2, …, x N- vlerat individuale të karakteristikës së ndryshme (variantet) dhe

N– numri i njësive në popullatë.

Ky lloj i mesatares përdoret për të llogaritur normat mesatare të rritjes së serive kohore.

Sheshi mesatar përdoret për të llogaritur devijimin standard, i cili është një tregues i variacionit dhe do të diskutohet më poshtë.

Për të përcaktuar strukturën e popullsisë, përdoren tregues të veçantë mesatarë, të cilët përfshijnë mesatare Dhe modës , ose të ashtuquajturat mesataret strukturore. Nëse mesatarja aritmetike llogaritet në bazë të përdorimit të të gjitha varianteve të vlerave të atributeve, atëherë mesatarja dhe mënyra karakterizojnë vlerën e variantit që zë një pozicion të caktuar mesatar në serinë e renditur (të renditur). Njësitë e një popullate statistikore mund të renditen në rend rritës ose zbritës të varianteve të karakteristikës që studiohet.

mesatare (unë)– kjo është vlera që korrespondon me opsionin e vendosur në mes të serisë së renditur. Kështu, mesatarja është ai version i serisë së renditur, në të dyja anët e së cilës në këtë seri duhet të ketë një numër të barabartë njësish popullsie.

Për të gjetur mesataren, së pari duhet të përcaktoni numrin e tij serial në serinë e renditur duke përdorur formulën:

ku N është vëllimi i serisë (numri i njësive në popullatë).

Nëse seria përbëhet nga një numër tek termash, atëherë mediana është e barabartë me opsionin me numër N Me. Nëse seria përbëhet nga një numër çift termash, atëherë mediana përcaktohet si mesatarja aritmetike e dy opsioneve ngjitur të vendosura në mes.

Shembull. Jepet një seri e renditur 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Vëllimi i serisë është N = 9, që do të thotë N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Prandaj, unë = 6, d.m.th. opsioni i pestë. Nëse rreshtit i jepet 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, d.m.th. seri me numër çift termash (N = 8), pastaj N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Kjo do të thotë se mediana është e barabartë me gjysmën e shumës së opsionit të katërt dhe të pestë, d.m.th. Unë = (9 + 11) / 2 = 10.

Në një seri variacionesh diskrete, mediana përcaktohet nga frekuencat e grumbulluara. Frekuencat e opsionit, duke filluar nga e para, përmblidhen derisa të tejkalohet numri mesatar. Vlera e opsioneve të fundit të përmbledhura do të jetë mesatarja.

Shembull. Gjeni numrin mesatar të të akuzuarve për çështje penale duke përdorur të dhënat në Tabelën 12.

Zgjidhje. Në këtë rast, vëllimi i serisë së variacionit është N = 154, prandaj, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. Pasi të kemi përmbledhur frekuencat e opsioneve të parë dhe të dytë, marrim: 75 + 43 = 118, d.m.th. ne kemi tejkaluar numrin mesatar. Pra unë = 2.

Në një seri variacionesh intervali, shpërndarja së pari tregon intervalin në të cilin do të vendoset mediana. Ai quhet mesatare . Ky është intervali i parë, frekuenca e akumuluar e të cilit tejkalon gjysmën e vëllimit të serisë së variacionit të intervalit. Pastaj vlera numerike e mesatares përcaktohet nga formula:

Ku x Unë– kufiri i poshtëm i intervalit mesatar; i – vlera e intervalit mesatar; S Me-1– frekuenca e akumuluar e intervalit që i paraprin mesatares; f Mua– frekuenca e intervalit mesatar.

Shembull. Gjeni moshën mesatare të shkelësve të dënuar për vjedhje bazuar në statistikat e paraqitura në Tabelën 13.

Zgjidhje. Të dhënat statistikore paraqiten nga një seri e variacionit të intervalit, që do të thotë se ne fillimisht përcaktojmë intervalin mesatar. Vëllimi i popullsisë është N = 162, prandaj, intervali mesatar është intervali 18-28, sepse ky është intervali i parë, frekuenca e akumuluar e të cilit (15 + 90 = 105) tejkalon gjysmën e vëllimit (162: 2 = 81) të serisë së variacionit të intervalit. Tani përcaktojmë vlerën numerike të mesatares duke përdorur formulën e mësipërme:

Kështu, gjysma e të dënuarve për vjedhje janë nën 25 vjeç.

Moda (Moda) Ata e quajnë vlerën e një karakteristike që më së shpeshti gjendet në njësi të popullsisë. Moda përdoret për të identifikuar vlerën e një karakteristike që është më e përhapur. Për një seri diskrete, modaliteti do të jetë opsioni me frekuencën më të lartë. Për shembull, për seritë diskrete të paraqitura në Tabelën 3 Mo= 1, pasi kjo vlerë korrespondon me frekuencën më të lartë - 75. Për të përcaktuar mënyrën e serisë së intervalit, së pari përcaktoni modale intervali (intervali që ka frekuencën më të lartë). Më pas, brenda këtij intervali, gjendet vlera e veçorisë, e cila mund të jetë një modalitet.

Vlera e saj gjendet duke përdorur formulën:

Ku x Mo– kufiri i poshtëm i intervalit modal; i – vlera e intervalit modal; f Mo– frekuenca e intervalit modal; f Mo-1– frekuenca e intervalit që i paraprin atij modal; f Mo+1– frekuenca e intervalit pas atij modal.

Shembull. Gjeni moshën e kriminelëve të dënuar për vjedhje, të dhënat për të cilat janë paraqitur në tabelën 13.

Zgjidhje. Frekuenca më e lartë korrespondon me intervalin 18-28, prandaj, modaliteti duhet të jetë në këtë interval. Vlera e saj përcaktohet nga formula e mësipërme:

Kështu, numri më i madh i kriminelëve të dënuar për vjedhje janë 24 vjeç.

Vlera mesatare jep një karakteristikë të përgjithshme të tërësisë së fenomenit që studiohet. Megjithatë, dy popullata që kanë të njëjtat vlera mesatare mund të ndryshojnë ndjeshëm nga njëra-tjetra në shkallën e luhatjes (ndryshimit) në vlerën e karakteristikës që studiohet. Për shembull, në një gjykatë ata caktuan datat në vijim burgim: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vjet, dhe në një tjetër - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 vjet. Në të dyja rastet, mesatarja aritmetike është 6.7 vjet. Megjithatë, këto popullata ndryshojnë ndjeshëm nga njëra-tjetra në përhapjen e vlerave individuale të afatit të caktuar të burgimit në raport me vlerën mesatare.

Dhe për gjykatën e parë, ku kjo përhapje është mjaft e madhe, afati mesatar i burgimit nuk pasqyron të gjithë popullsinë. Kështu, nëse vlerat individuale të një karakteristike ndryshojnë pak nga njëra-tjetra, atëherë mesatarja aritmetike do të jetë një karakteristikë mjaft treguese e vetive të një popullate të caktuar. Përndryshe, mesatarja aritmetike do të jetë një karakteristikë jo e besueshme e kësaj popullate dhe përdorimi i saj në praktikë do të jetë joefektiv. Prandaj, është e nevojshme të merret parasysh ndryshimi në vlerat e karakteristikës që studiohet.

Variacion- këto janë ndryshime në vlerat e çdo karakteristike midis njësive të ndryshme të një popullsie të caktuar në të njëjtën periudhë ose pikë në kohë. Termi "variacion" është me origjinë latine - variatio, që do të thotë ndryshim, ndryshim, luhatje. Ajo lind si rezultat i faktit se vlerat individuale të një karakteristike formohen nën ndikimin e kombinuar të faktorëve (kushteve) të ndryshme, të cilat kombinohen ndryshe në secilin rast individual. Për të matur ndryshimin e një karakteristike, përdoren tregues të ndryshëm absolutë dhe relativë.

Treguesit kryesorë të variacionit përfshijnë si më poshtë:

1) fushëveprimi i variacionit;

2) devijimi mesatar linear;

3) dispersion;

4) devijimi standard;

5) koeficienti i variacionit.

Le të shohim shkurtimisht secilën prej tyre.

Gama e variacionit R është treguesi absolut më i arritshëm për sa i përket lehtësisë së llogaritjes, i cili përcaktohet si ndryshimi midis vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një karakteristike për njësitë e një popullsie të caktuar:

Gama e variacionit (gama e luhatjeve) është një tregues i rëndësishëm i ndryshueshmërisë së një tipari, por bën të mundur që të shihen vetëm devijime ekstreme, gjë që kufizon shtrirjen e zbatimit të saj. Për të karakterizuar më saktë ndryshimin e një tipari bazuar në ndryshueshmërinë e tij, përdoren tregues të tjerë.

Devijimi mesatar linear përfaqëson mesataren aritmetike të vlerave absolute të devijimeve të vlerave individuale të një karakteristike nga mesatarja dhe përcaktohet nga formula:

1) Për të dhëna të pagrupuara

2) Për seri variacionesh

Megjithatë, matja më e përdorur e variacionit është dispersion . Karakterizon masën e shpërndarjes së vlerave të karakteristikës që studiohet në lidhje me vlerën mesatare të saj. Dispersioni përkufizohet si mesatarja e devijimeve në katror.

Variancë e thjeshtë për të dhëna të pagrupuara:

.

Varianca e ponderuar për serinë e variacioneve:

Koment. Në praktikë, është më mirë të përdoren formulat e mëposhtme për të llogaritur variancën:

Për variancë të thjeshtë

.

Për variancën e ponderuar

Devijimi standardështë rrënja katrore e variancës:

Devijimi standard është një masë e besueshmërisë së mesatares. Sa më i vogël të jetë devijimi standard, aq më homogjen është popullata dhe aq më mirë mesatarja aritmetike pasqyron të gjithë popullsinë.

Masat e shpërndarjes të diskutuara më sipër (gama e variacionit, dispersioni, devijimi standard) janë tregues absolut, sipas të cilëve nuk është gjithmonë e mundur të gjykohet shkalla e ndryshueshmërisë së një karakteristike. Në disa probleme është e nevojshme të përdoren indekset e shpërndarjes relative, një prej të cilëve është koeficienti i variacionit.

Koeficienti i variacionit- raporti i devijimit standard me mesataren aritmetike, i shprehur në përqindje:

Koeficienti i variacionit përdoret jo vetëm për një vlerësim krahasues të variacionit të karakteristikave të ndryshme ose të së njëjtës karakteristikë në popullata të ndryshme, por edhe për të karakterizuar homogjenitetin e popullsisë. Një popullatë statistikore konsiderohet sasiorisht homogjene nëse koeficienti i variacionit nuk kalon 33% (për shpërndarjet afër shpërndarjes normale).

Shembull. Për kushtet e dënimit me burgim të 50 të dënuarve të dorëzuar në vuajtje të dënimit të vendosur nga gjykata në një institucion korrektues të sistemit penal disponohen këto të dhëna: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2. , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Ndërtoni një sërë shpërndarjesh sipas kushteve të burgimit.

2. Gjeni mesataren, variancën dhe devijimin standard.

3. Njehsoni koeficientin e variacionit dhe nxirrni një përfundim për homogjenitetin ose heterogjenitetin e popullsisë që studiohet.

Zgjidhje. Për të ndërtuar një seri diskrete të shpërndarjes, është e nevojshme të përcaktohen opsionet dhe frekuencat. Opsioni në këtë problem është afati i burgimit, dhe shpeshtësia është numri i opsioneve individuale. Pasi kemi llogaritur frekuencat, marrim seritë e mëposhtme diskrete të shpërndarjes:

Le të gjejmë mesataren dhe variancën. Meqenëse të dhënat statistikore përfaqësohen nga një seri variacionesh diskrete, ne do të përdorim formulat për mesataren aritmetike të ponderuar dhe dispersionin për t'i llogaritur ato. Ne marrim:

= = 4,1;

= 5,21.

Tani ne llogarisim devijimin standard:

Gjetja e koeficientit të variacionit:

Për rrjedhojë, popullsia statistikore është heterogjene në aspektin sasior.

Mesatarja e thjeshtë aritmetike

Vlerat mesatare

Vlerat mesatare përdoren gjerësisht në statistika.

vlera mesatare- ky është një tregues i përgjithshëm në të cilin shprehen veprimet kushtet e përgjithshme, modelet e zhvillimit të fenomenit që studiohet.

Mesatarja statistikore llogaritet në bazë të të dhënave masive nga vëzhgimi i organizuar siç duhet statistikisht (i vazhdueshëm dhe selektiv). Megjithatë, mesatarja statistikore do të jetë objektive dhe tipike nëse llogaritet nga të dhënat masive për një popullsi homogjene cilësore (dukuri masive). Për shembull, nëse llogaritni pagën mesatare në shoqëritë aksionare dhe në ndërmarrjet shtetërore, dhe rezultati shtrihet në të gjithë popullsinë, atëherë mesatarja është fiktive, pasi është llogaritur në bazë të një popullsie heterogjene, dhe një mesatare e tillë humbet çdo kuptim.

Me ndihmën e mesatares, zbuten ndryshimet në vlerën e një karakteristike që lindin për një arsye ose një tjetër në njësitë individuale të vëzhgimit.

Për shembull, prodhimi mesatar i një shitësi individual varet nga shumë arsye: kualifikimet, kohëzgjatja e shërbimit, mosha, forma e shërbimit, shëndeti, etj. Prodhimi mesatar reflekton karakteristikat e përgjithshme i gjithë kompleti.

Vlera mesatare matet në të njëjtat njësi si vetë atributi.

Çdo vlerë mesatare karakterizon popullsinë në studim sipas ndonjë karakteristike. Për të marrë një pamje të plotë dhe gjithëpërfshirëse të popullsisë në studim, bazuar në një sërë karakteristikash thelbësore, është e nevojshme të kemi një sistem vlerash mesatare që mund të përshkruajnë fenomenin nga këndvështrime të ndryshme.

ekzistojnë lloje te ndryshme e mesme:

mesatare aritmetike;

mesatare harmonike;

mesatare gjeometrike;

katrori mesatar;

kub mesatar.

Mesataret e të gjitha llojeve të mësipërme, nga ana tjetër, ndahen në të thjeshta (të papeshuara) dhe të ponderuara.

Le të shohim llojet e mesatareve që përdoren në statistika.

Mesatarja e thjeshtë aritmetike (e papeshuar) është e barabartë me shumën e vlerave individuale të atributit të ndarë me numrin e këtyre vlerave.

Vlerat individuale të një karakteristike quhen variante dhe shënohen me x i (
); numri i njësive të popullsisë shënohet me n, vlera mesatare e karakteristikës shënohet me . Prandaj, mesatarja e thjeshtë aritmetike është e barabartë me:

ose

Shembulli 1. Tabela 1

Të dhëna për prodhimin e punonjësve të produktit A për ndërrim

Në këtë shembull, atributi i ndryshueshëm është prodhimi i produkteve për ndërrim.

Vlerat numerike të atributit (16, 17, etj.) quhen opsione. Le të përcaktojmë prodhimin mesatar të punëtorëve të këtij grupi:

PC.

Mesatarja e thjeshtë aritmetike përdoret në rastet kur ka vlera të veçanta të një karakteristike, d.m.th. të dhënat nuk janë të grupuara. Nëse të dhënat paraqiten në formën e serive ose grupimeve të shpërndarjes, atëherë mesatarja llogaritet ndryshe.

Mesatarja aritmetike e ponderuar

Mesatarja e ponderuar aritmetike është e barabartë me shumën e produkteve të secilës vlerë individuale të atributit (variantit) me frekuencën përkatëse, pjesëtuar me shumën e të gjitha frekuencave.

Numri i vlerave identike të një karakteristike në rreshtat e shpërndarjes quhet frekuencë ose peshë dhe shënohet me f i.

Në përputhje me këtë, mesatarja aritmetike e ponderuar duket kështu:

ose

Nga formula është e qartë se mesatarja varet jo vetëm nga vlerat e atributit, por edhe nga frekuencat e tyre, d.m.th. mbi përbërjen e agregatit, mbi strukturën e tij.

Shembulli 2. tabela 2

Të dhënat e pagave të punëtorëve

Sipas të dhënave të serisë diskrete të shpërndarjes, është e qartë se të njëjtat vlera karakteristike (variante) përsëriten disa herë. Kështu, opsioni x 1 ndodh gjithsej 2 herë, dhe opsioni x 2 - 6 herë, etj.

Le të llogarisim pagën mesatare të një punonjësi:

Fondi i pagave për çdo grup punëtorësh është i barabartë me produktin e opsioneve dhe frekuencës (
), dhe shuma e këtyre produkteve jep fondin total të pagave të të gjithë punëtorëve (
).

Nëse llogaritja është kryer duke përdorur formulën mesatare aritmetike të thjeshtë, fitimet mesatare do të ishte e barabartë me 3000 rubla. (). Duke krahasuar rezultatin e marrë me të dhënat fillestare, është e qartë se paga mesatare duhet të jetë dukshëm më e lartë (më shumë se gjysma e punëtorëve marrin paga mbi 3000 rubla). Prandaj, llogaritja duke përdorur një mesatare të thjeshtë aritmetike në raste të tilla do të jetë e gabuar.

Si rezultat i përpunimit, materiali statistikor mund të paraqitet jo vetëm në formë seri diskrete shpërndarja, por edhe në formën e serive të variacionit të intervalit me intervale të mbyllura ose të hapura.

Le të shqyrtojmë llogaritjen e mesatares aritmetike për seri të tilla.

Mesatarja është:

Vlera mesatare

Vlera mesatare - karakteristikë numerike grupe numrash ose funksionesh; - një numër i caktuar ndërmjet vlerave më të vogla dhe më të mëdha të tyre.

1 Informacion bazë 2 Hierarkia e mesatareve në matematikë 3 Në teorinë dhe statistikat e probabilitetit 4 Shih gjithashtu 5 Shënime

Informata themelore

Pika fillestare për zhvillimin e teorisë së mesatareve ishte studimi i përmasave nga shkolla e Pitagorës. Në të njëjtën kohë, nuk u bë asnjë dallim i rreptë midis koncepteve të madhësisë mesatare dhe proporcionit. Një shtysë e rëndësishme për zhvillimin e teorisë së përmasave nga pikëpamja aritmetike i dhanë matematikanët grekë - Nicomachus of Geras (fundi i 1 - fillimi i shekullit të 2 pas Krishtit) dhe Pappus i Aleksandrisë (shek. III pas Krishtit). Faza e parë në zhvillimin e konceptit të mesatares është faza kur mesatarja filloi të konsiderohet anëtari qendror i një proporcioni të vazhdueshëm. Por koncepti i mesatares si vlera qendrore e një progresioni nuk bën të mundur nxjerrjen e konceptit të mesatares në lidhje me një sekuencë prej n termash, pavarësisht nga radha në të cilën ato ndjekin njëri-tjetrin. Për këtë qëllim është e nevojshme t'i drejtohemi një përgjithësimi formal të mesatareve. Faza tjetër është kalimi nga proporcione të vazhdueshme në progresione - aritmetike, gjeometrike dhe harmonike.

Në historinë e statistikave, për herë të parë, përdorimi i gjerë i mesatareve lidhet me emrin e shkencëtarit anglez W. Petty. W. Petty ishte një nga të parët që u përpoq t'i jepte vlerës mesatare një kuptim statistikor, duke e lidhur atë me kategoritë ekonomike. Por Petty nuk e përshkroi konceptin e madhësisë mesatare ose nuk e izoloi atë. A. Quetelet konsiderohet të jetë themeluesi i teorisë së mesatareve. Ai ishte një nga të parët që zhvilloi vazhdimisht teorinë e mesatareve, duke u përpjekur të siguronte një bazë matematikore për të. A. Quetelet dalloi dy lloje mesataresh - mesataret aktuale dhe mesataret aritmetike. Në fakt, mesatarja përfaqëson një gjë, një numër, që ekziston në të vërtetë. Në fakt, mesataret ose mesataret statistikore duhet të rrjedhin nga fenomene të së njëjtës cilësi, identike në kuptimin e tyre të brendshëm. Mesatarja aritmetike janë numra që japin idenë më të afërt të mundshme për shumë numra, të ndryshëm, megjithëse homogjenë.

Çdo lloj mesatarja mund të shfaqet ose në formën e një mesatareje të thjeshtë ose në formën e një mesatareje të ponderuar. Zgjedhja e saktë e formës së mesme rrjedh nga natyra materiale e objektit të studimit. Formulat e thjeshta mesatare përdoren nëse nuk përsëriten vlerat individuale të karakteristikës që mesatarizohet. Kur në kërkimin praktik vlerat individuale të karakteristikës që studiohet ndodhin disa herë në njësitë e popullsisë në studim, atëherë frekuenca e përsëritjeve të vlerave individuale të karakteristikës është e pranishme në formulat e llogaritjes së mesatareve të fuqisë. Në këtë rast, ato quhen formula mesatare të ponderuara.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Karakteristikat e njësive të agregateve statistikore janë të ndryshme në kuptimin e tyre, për shembull, pagat e punëtorëve në të njëjtin profesion të një ndërmarrje nuk janë të njëjta për të njëjtën periudhë kohore, çmimet e tregut për të njëjtat produkte, rendimentet e të korrave në rrethin. ferma etj. Prandaj, për të përcaktuar vlerën e një karakteristike që është karakteristike për të gjithë popullsinë e njësive që studiohen, llogariten vlerat mesatare.
vlera mesatare – kjo është një karakteristikë përgjithësuese e një grupi vlerash individuale të disa karakteristikave sasiore.

Popullsia e studiuar në bazë sasiore përbëhet nga vlera individuale; ato ndikohen si nga shkaqe të përgjithshme ashtu edhe kushtet individuale. Në vlerën mesatare, devijimet karakteristike të vlerave individuale anulohen. Mesatarja, duke qenë funksion i një grupi vlerash individuale, përfaqëson të gjithë agregatin me një vlerë dhe pasqyron atë që është e përbashkët për të gjitha njësitë e tij.

Mesatarja e llogaritur për popullatat që përbëhen nga njësi cilësore homogjene quhet mesatare tipike. Për shembull, ju mund të llogarisni pagën mesatare mujore të një punonjësi të një të caktuar grup profesional(minator, doktor bibliotekar). Natyrisht, nivelet e pagave mujore të minatorëve, për shkak të dallimeve në kualifikimet e tyre, kohëzgjatjen e shërbimit, kohës së punuar në muaj dhe shumë faktorë të tjerë, ndryshojnë nga njëri-tjetri dhe nga niveli i pagës mesatare. Sidoqoftë, niveli mesatar pasqyron faktorët kryesorë që ndikojnë në nivelin e pagave, dhe ndryshimet që lindin për shkak të karakteristikave individuale të punonjësit anulohen. Paga mesatare pasqyron nivelin tipik të shpërblimit për një lloj të caktuar punëtori. Marrja e një mesatareje tipike duhet të paraprihet nga një analizë se sa cilësisht homogjene është popullata e dhënë. Nëse tërësia përbëhet nga pjesë të veçanta, duhet të ndahet në grupe tipike (temperatura mesatare në spital).

Quhen vlerat mesatare të përdorura si karakteristika për popullatat heterogjene mesataret e sistemit. Për shembull, produkti i brendshëm bruto mesatar (PBB) për frymë, konsumi mesatar grupe të ndryshme mallra për person dhe vlera të tjera të ngjashme, që përfaqësojnë karakteristikat e përgjithshme të shtetit si sistem i unifikuar ekonomik.

Mesatarja duhet të llogaritet për popullatat që përbëhen nga mjaftueshëm numer i madh njësi. Pajtueshmëria me këtë kusht është e nevojshme që ligji i numrave të mëdhenj të hyjë në fuqi, si rezultat i të cilit devijimet e rastësishme të vlerave individuale nga tendenca e përgjithshme anulohen reciprokisht.

Llojet e mesatareve dhe metodat e llogaritjes së tyre

Zgjedhja e llojit të mesatares përcaktohet nga përmbajtja ekonomike e një treguesi të caktuar dhe të dhënave burimore. Megjithatë, çdo vlerë mesatare duhet të llogaritet në mënyrë që kur ajo zëvendëson çdo variant të karakteristikës mesatare, ajo përfundimtare, përgjithësuese ose, siç quhet zakonisht, të mos ndryshojë. tregues përcaktues, i cili shoqërohet me treguesin mesatar. Për shembull, kur zëvendësohen shpejtësitë aktuale në seksione individuale të rrugës, ato Shpejtësia mesatare distanca totale e përshkuar nuk duhet të ndryshojë automjeti në të njëjtën kohë; kur zëvendësoni pagat aktuale të punonjësve individualë të një ndërmarrje të mesme pagat Fondi i pagave nuk duhet të ndryshojë. Rrjedhimisht, në çdo rast specifik, në varësi të natyrës së të dhënave të disponueshme, ekziston vetëm një vlerë mesatare e vërtetë e treguesit që është adekuate me vetitë dhe thelbin e fenomenit socio-ekonomik që studiohet.
Më të përdorurat janë mesatarja aritmetike, mesatarja harmonike, mesatarja gjeometrike, mesatarja kuadratike dhe mesatarja kubike.
Mesataret e listuara i përkasin klasës qetësues mesataret dhe kombinohen me formulën e përgjithshme:
,
ku është vlera mesatare e karakteristikës që studiohet;
m – indeksi i shkallës mesatare;
– vlera aktuale (varianti) i karakteristikës që mesatarizohet;
n – numri i veçorive.
Në varësi të vlerës së eksponentit m, dallohen llojet e mëposhtme të mesatareve të fuqisë:
kur m = -1 – mesatare harmonike;
në m = 0 – mesatarja gjeometrike;
për m = 1 – mesatarja aritmetike;
për m = 2 – rrënja mesatare katrore;
në m = 3 - kub mesatar.
Kur përdorni të njëjtat të dhëna fillestare, sa më i madh të jetë eksponenti m në formulën e mësipërme më shumë vlerë madhësia mesatare:
.
Kjo veti e mesatares së fuqisë që rritet me rritjen e eksponentit të funksionit përcaktues quhet rregulli i shumicës së mesatareve.
Secila prej mesatareve të shënuara mund të marrë dy forma: thjeshtë Dhe të peshuara.
Formë e thjeshtë mesatare përdoret kur mesatarja llogaritet nga të dhënat primare (të pagrupuara). Forma e peshuar– gjatë llogaritjes së mesatares në bazë të të dhënave dytësore (të grupuara).

Mesatarja aritmetike

Mesatarja aritmetike përdoret kur vëllimi i popullatës është shuma e të gjitha vlerave individuale të një karakteristike të ndryshme. Duhet të theksohet se nëse lloji i mesatares nuk specifikohet, supozohet mesatarja aritmetike. Formula e saj logjike duket si kjo:

Mesatarja e thjeshtë aritmetike llogaritur bazuar në të dhëna të pagrupuara sipas formulës:
ose ,
ku janë vlerat individuale të karakteristikës;
j është numri serial i njësisë së vëzhgimit, i cili karakterizohet nga vlera ;
N – numri i njësive të vëzhgimit (vëllimi i popullsisë).
Shembull. Leksioni “Përmbledhje dhe grupim i të dhënave statistikore” shqyrtoi rezultatet e vëzhgimit të përvojës së punës së një ekipi prej 10 personash. Le të llogarisim përvojën mesatare të punës së punëtorëve të ekipit. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Duke përdorur formulën e thjeshtë mesatare aritmetike, ne gjithashtu mund të llogarisim mesataret në seritë kronologjike, nëse intervalet kohore për të cilat janë paraqitur vlerat karakteristike janë të barabarta.
Shembull. Vëllimi i produkteve të shitura për tremujorin e parë arriti në 47 den. njësi, për të dytën 54, për të tretën 65 dhe për të katërtin 58 den. njësi Qarkullimi mesatar tremujor është (47+54+65+58)/4 = 56 den. njësi
Nëse treguesit momentalë jepen në një seri kronologjike, atëherë kur llogaritet mesatarja ato zëvendësohen me gjysmën e shumave të vlerave në fillim dhe në fund të periudhës.
Nëse ka më shumë se dy momente dhe intervalet ndërmjet tyre janë të barabarta, atëherë mesatarja llogaritet duke përdorur formulën për mesataren kronologjike

,
ku n është numri i pikave kohore
Në rastin kur të dhënat grupohen sipas vlerave karakteristike (d.m.th., është ndërtuar një seri diskrete e shpërndarjes variacionale) me mesatare aritmetike e ponderuar llogaritur duke përdorur ose frekuenca ose frekuenca të vëzhgimeve të vlerave specifike të karakteristikës, numri i të cilave (k) është dukshëm më i vogël se numri i vëzhgimeve (N).
,
,
ku k është numri i grupeve të serisë së variacioneve,
i – numri i grupit të serisë së variacioneve.
Meqenëse, a, marrim formulat e përdorura për llogaritjet praktike:
Dhe
Shembull. Le të llogarisim kohëzgjatjen mesatare të shërbimit të ekipeve të punës në një rresht të grupuar.
a) duke përdorur frekuencat:

b) duke përdorur frekuencat:

Në rastin kur të dhënat grupohen sipas intervaleve , d.m.th. janë paraqitur në formën e serive të shpërndarjes së intervalit gjatë llogaritjes së mesatares aritmetike, mesi i intervalit merret si vlerë e atributit, bazuar në supozimin e një shpërndarjeje uniforme të njësive të popullsisë në një interval të caktuar. Llogaritja kryhet duke përdorur formulat:
Dhe
ku është mesi i intervalit:
ku dhe janë kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të intervaleve (me kusht që kufiri i sipërm i një intervali të caktuar të përputhet me kufirin e poshtëm të intervalit të ardhshëm).

Shembull. Le të llogarisim mesataren aritmetike të serisë së variacionit të intervalit të ndërtuar bazuar në rezultatet e një studimi të pagave vjetore të 30 punëtorëve (shih leksionin “Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave statistikore”).
Tabela 1 – Shpërndarja e serive të variacionit të intervalit.

Intervale, UAH	Frekuenca, njerëzit	Frekuenca,	Mesi i intervalit
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH ose UAH
Mjetet aritmetike të llogaritura në bazë të të dhënave burimore dhe serive të variacionit të intervalit mund të mos përkojnë për shkak të shpërndarjes së pabarabartë të vlerave të atributeve brenda intervaleve. Në këtë rast, për një llogaritje më të saktë të mesatares aritmetike të ponderuar, duhet të përdoren jo meset e intervaleve, por mesataret e thjeshta aritmetike të llogaritura për secilin grup ( mesataret e grupit). Mesatarja e llogaritur nga mesataret e grupit duke përdorur një formulë llogaritjeje të ponderuar quhet mesatare e përgjithshme.
Mesatarja aritmetike ka një sërë veçorish.
1. Shuma e devijimeve nga opsioni mesatar është zero:
.
2. Nëse të gjitha vlerat e opsionit rriten ose ulen me shumën A, atëherë vlera mesatare rritet ose zvogëlohet me të njëjtën sasi A:

3. Nëse çdo opsion rritet ose zvogëlohet me B herë, atëherë edhe vlera mesatare do të rritet ose ulet me të njëjtin numër herë:
ose
4. Shuma e produkteve të opsionit sipas frekuencave është e barabartë me produktin e vlerës mesatare nga shuma e frekuencave:

5. Nëse të gjitha frekuencat pjesëtohen ose shumëzohen me ndonjë numër, atëherë mesatarja aritmetike nuk do të ndryshojë:

6) nëse në të gjitha intervalet frekuencat janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë mesatarja aritmetike e ponderuar është e barabartë me mesataren e thjeshtë aritmetike:
,
ku k është numri i grupeve të serisë së variacioneve.

Përdorimi i vetive të mesatares ju lejon të thjeshtoni llogaritjen e tij.
Le të supozojmë se të gjitha opsionet (x) fillimisht zvogëlohen me të njëjtin numër A, dhe më pas zvogëlohen me një faktor B. Thjeshtimi më i madh arrihet kur vlera e mesit të intervalit me frekuencën më të lartë zgjidhet si A, dhe vlera e intervalit (për seritë me intervale identike) zgjidhet si B. Sasia A quhet origjina, ndaj quhet kjo metodë e llogaritjes së mesatares mënyrë b referencë ohm nga zero e kushtëzuar ose mënyra e momenteve.
Pas një transformimi të tillë, marrim një seri të re shpërndarjeje variacionale, variantet e së cilës janë të barabarta me . Mesatarja e tyre aritmetike, e quajtur momenti i porosisë së parë, shprehet me formulën dhe, sipas vetive të dytë dhe të tretë, mesatarja aritmetike është e barabartë me mesataren e versionit origjinal, reduktuar fillimisht me A, dhe më pas me B herë, d.m.th.
Për marrjen mesatare reale(mesatarja e serisë origjinale) ju duhet të shumëzoni momentin e rendit të parë me B dhe të shtoni A:

Llogaritja e mesatares aritmetike duke përdorur metodën e momenteve është ilustruar nga të dhënat në tabelë. 2.
Tabela 2 – Shpërndarja e punëtorëve të dyqaneve të fabrikës sipas kohëzgjatjes së shërbimit

Kohëzgjatja e shërbimit të punonjësve, vite	Numri i punëtorëve	Mesi i intervalit
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Gjetja e momentit të rendit të parë . Pastaj, duke ditur se A = 17.5 dhe B = 5, ne llogarisim kohëzgjatjen mesatare të shërbimit të punëtorëve të punishtes:
vjet

Mesatarja harmonike
Siç u tregua më lart, mesatarja aritmetike përdoret për të llogaritur vlerën mesatare të një karakteristike në rastet kur variantet e saj x dhe frekuencat e tyre f janë të njohura.
Nëse informacioni statistikor nuk përmban frekuenca f për opsionet individuale x të popullatës, por paraqitet si produkt i tyre, zbatohet formula. mesatare harmonike e ponderuar. Për të llogaritur mesataren, le të shënojmë se ku . Duke i zëvendësuar këto shprehje në formulën për mesataren e ponderuar aritmetike, marrim formulën për mesataren e ponderuar harmonike:
,
ku është vëllimi (pesha) e vlerave të atributit të treguesit në intervalin me numër i (i=1,2, …, k).

Kështu, mesatarja harmonike përdoret në rastet kur nuk janë vetë opsionet që i nënshtrohen përmbledhjes, por reciprocat e tyre: .
Në rastet kur pesha e secilit opsion është e barabartë me një, d.m.th. vlerat individuale të karakteristikës së kundërt ndodhin një herë, zbatohen do të thotë harmonike e thjeshtë:
,
ku janë variante individuale të karakteristikës së kundërt, që ndodhin një herë;
N - opsioni i numrit.
Nëse ka mesatare harmonike për dy pjesë të një popullsie, atëherë mesatarja e përgjithshme për të gjithë popullsinë llogaritet duke përdorur formulën:

dhe quhet mesatarja harmonike e ponderuar e mjeteve të grupit.

Shembull. Gjatë tenderimit për këmbim Valutor Gjatë orës së parë të punës janë realizuar tre transaksione. Të dhënat mbi sasinë e shitjeve të hryvnia dhe kursin e këmbimit të hryvnia kundrejt dollarit amerikan janë dhënë në tabelë. 3 (kolona 2 dhe 3). Përcaktoni kursin mesatar të këmbimit të hryvnia kundrejt dollarit amerikan për orën e parë të tregtimit.
Tabela 3 – Të dhëna për ecurinë e tregtimit në valutë

Kursi mesatar i këmbimit të dollarit përcaktohet nga raporti i sasisë së hryvnia të shitur gjatë të gjitha transaksioneve me shumën e dollarëve të fituar si rezultat i të njëjtave transaksione. Shuma përfundimtare e shitjes së hryvnia është e njohur nga kolona 2 e tabelës, dhe numri i dollarëve të blerë në çdo transaksion përcaktohet duke pjesëtuar shumën e shitjes së hryvnia me kursin e tij të këmbimit (kolona 4). Një total prej 22 milionë dollarësh u blenë gjatë tre transaksioneve. Kjo do të thotë se kursi mesatar i këmbimit të hryvnia për një dollar ishte
.
Vlera që rezulton është reale, sepse zëvendësimi i tij me kursin aktual të këmbimit të hryvnia në transaksione nuk do të ndryshojë shumën përfundimtare të shitjeve të hryvnia, e cila shërben si tregues përcaktues: milion UAH
Nëse për llogaritjen është përdorur mesatarja aritmetike, d.m.th. hryvnia, pastaj me kursin e këmbimit për blerjen e 22 milionë dollarëve. do të ishte e nevojshme të shpenzohen 110.66 milionë UAH, gjë që nuk është e vërtetë.

Mesatarja gjeometrike
Mesatarja gjeometrike përdoret për të analizuar dinamikën e fenomeneve dhe lejon përcaktimin e koeficientit mesatar të rritjes. Gjatë llogaritjes së mesatares gjeometrike, vlerat individuale të një karakteristike janë tregues relativ të dinamikës, të ndërtuar në formën e vlerave të zinxhirit, si raport i secilit nivel me atë të mëparshëm.
Mesatarja e thjeshtë gjeometrike llogaritet duke përdorur formulën:
,
ku është shenja e produktit,
N – numri i vlerave mesatare.
Shembull. Numri i krimeve të regjistruara mbi 4 vjet është rritur me 1,57 herë, duke përfshirë për të parin – 1,08 herë, për të dytin – 1,1 herë, për të 3-tin – 1,18 dhe për të IV-in – 1,12 herë. Atëherë norma mesatare vjetore e rritjes së numrit të krimeve është: , d.m.th. numri i krimeve të regjistruara u rrit çdo vit mesatarisht me 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Për të llogaritur katrorin mesatar të ponderuar, ne përcaktojmë dhe futemi në tabelë dhe . Atëherë devijimi mesatar i gjatësisë së produkteve nga norma e dhënë është i barabartë me:

Mesatarja aritmetike do të ishte e papërshtatshme në këtë rast, sepse si rezultat do të merrnim devijim zero.
Përdorimi i katrorit mesatar do të diskutohet më tej për sa i përket variacionit.