Metoda Gaussian është një formulë universale. Metoda Gaussian (eliminimi sekuencial i të panjohurave)

Dy sisteme ekuacionet lineare quhen ekuivalente nëse bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të tyre përputhet.

Shndërrimet elementare të një sistemi ekuacionesh janë:

1. Fshirja e ekuacioneve të parëndësishme nga sistemi, d.m.th. ato për të cilat të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero;
2. Shumëzimi i çdo ekuacioni me një numër të ndryshëm nga zero;
3. Shtimi i çdo ekuacioni të i-të çdo ekuacioni të j-të të shumëzuar me ndonjë numër.

Një ndryshore x i quhet e lirë nëse kjo ndryshore nuk lejohet, por i gjithë sistemi i ekuacioneve lejohet.

Teorema. Transformimet elementare transformojnë një sistem ekuacionesh në një ekuivalent.

Kuptimi i metodës Gaussian është të transformojë sistemin origjinal të ekuacioneve dhe të marrë një sistem ekuivalent të zgjidhur ose ekuivalent jokonsistent.

Pra, metoda Gaussian përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1. Le të shohim ekuacionin e parë. Le të zgjedhim koeficientin e parë jozero dhe të ndajmë të gjithë ekuacionin me të. Ne marrim një ekuacion në të cilin një variabël x i futet me një koeficient 1;
2. Le ta zbresim këtë ekuacion nga të gjithë të tjerët, duke e shumëzuar me numra të tillë që koeficientët e ndryshores x i në ekuacionet e mbetura të zeroohen. Ne marrim një sistem të zgjidhur në lidhje me ndryshoren x i dhe ekuivalent me atë origjinal;
3. Nëse lindin ekuacione të parëndësishme (rrallë, por ndodh; për shembull, 0 = 0), ne i kalojmë ato jashtë sistemit. Si rezultat, ka një ekuacion më pak;
4. Ne përsërisim hapat e mëparshëm jo më shumë se n herë, ku n është numri i ekuacioneve në sistem. Çdo herë që zgjedhim një variabël të ri për "përpunim". Nëse lindin ekuacione jokonsistente (për shembull, 0 = 8), sistemi është i paqëndrueshëm.

Si rezultat, pas disa hapash do të marrim ose një sistem të zgjidhur (ndoshta me variabla të lira) ose një sistem jokonsistent. Sistemet e lejuara ndahen në dy raste:

1. Numri i variablave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Kjo do të thotë se sistemi është i përcaktuar;
2. Numri i variablave më shumë numër ekuacionet. Ne mbledhim të gjitha variablat e lirë në të djathtë - marrim formula për variablat e lejuara. Këto formula janë shkruar në përgjigje.

Kjo eshte e gjitha! Sistemi i ekuacioneve lineare i zgjidhur! Ky është një algoritëm mjaft i thjeshtë, dhe për ta zotëruar atë nuk duhet të kontaktoni një mësues më të lartë të matematikës. Le të shohim një shembull:

Detyrë. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përshkrimi i hapave:

1. Zbrisni ekuacionin e parë nga i dyti dhe i treti - marrim variablin e lejuar x 1;
2. Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me (−1), dhe ekuacionin e tretë e ndajmë me (−3) - marrim dy ekuacione në të cilat ndryshorja x 2 hyn me koeficient 1;
3. Ekuacionin e dytë i shtojmë të parit dhe i zbresim të tretit. Marrim variablin e lejuar x 2 ;
4. Së fundi, ne zbresim ekuacionin e tretë nga i pari - marrim variablin e lejuar x 3;
5. Ne kemi marrë një sistem të miratuar, shkruani përgjigjen.

Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi të njëkohshëm ekuacionesh lineare është një sistem i ri, ekuivalent me atë origjinal, në të cilin të gjitha variablat e lejuara shprehen në terma të lirë.

Kur mund të nevojitet një zgjidhje e përgjithshme? Nëse duhet të bëni më pak hapa se k (k është sa ekuacione ka). Megjithatë, arsyet pse procesi përfundon në një hap l< k , может быть две:

1. Pas hapit të 1-të, kemi marrë një sistem që nuk përmban një ekuacion me numrin (l + 1). Në fakt, kjo është mirë, sepse... sistemi i autorizuar është marrë ende - edhe disa hapa më herët.
2. Pas hapit të 1-të, kemi marrë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët e variablave janë të barabartë me zero, dhe koeficienti i lirë është i ndryshëm nga zero. Ky është një ekuacion kontradiktor dhe, për rrjedhojë, sistemi është i paqëndrueshëm.

Është e rëndësishme të kuptohet se shfaqja e një ekuacioni jokonsistent duke përdorur metodën Gaussian është një bazë e mjaftueshme për mospërputhje. Në të njëjtën kohë, vërejmë se si rezultat i hapit të 1-të, nuk mund të mbeten ekuacione të parëndësishme - të gjitha ato kalohen menjëherë në proces.

Përshkrimi i hapave:

1. Zbrisni ekuacionin e parë, shumëzuar me 4, nga i dyti. Dhe gjithashtu shtojmë ekuacionin e parë në të tretën - marrim variablin e lejuar x 1;
2. Zbrisni ekuacionin e tretë, të shumëzuar me 2, nga i dyti - marrim ekuacionin kontradiktor 0 = -5.

Pra, sistemi është jokonsistent sepse është zbuluar një ekuacion jokonsistent.

Detyrë. Eksploroni pajtueshmërinë dhe gjeni një zgjidhje të përgjithshme për sistemin:

Përshkrimi i hapave:

1. Ne zbresim ekuacionin e parë nga i dyti (pasi shumëzojmë me dy) dhe i treti - marrim ndryshoren e lejuar x 1;
2. Zbrisni ekuacionin e dytë nga i treti. Meqenëse të gjithë koeficientët në këto ekuacione janë të njëjtë, ekuacioni i tretë do të bëhet i parëndësishëm. Në të njëjtën kohë, shumëzojeni ekuacionin e dytë me (−1);
3. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë - marrim variablin e lejuar x 2. I gjithë sistemi i ekuacioneve tani është gjithashtu i zgjidhur;
4. Meqenëse variablat x 3 dhe x 4 janë të lira, i zhvendosim djathtas për të shprehur variablat e lejuara. Kjo është përgjigja.

Pra, sistemi është konsistent dhe i papërcaktuar, pasi ekzistojnë dy ndryshore të lejuara (x 1 dhe x 2) dhe dy të lira (x 3 dhe x 4).

Metoda Gaussian është e lehtë! Pse? Matematikani i famshëm gjerman Johann Carl Friedrich Gauss, gjatë jetës së tij, mori njohjen si matematikani më i madh i të gjitha kohërave, një gjeni, madje edhe pseudonimi "Mbreti i Matematikës". Dhe gjithçka gjeniale, siç e dini, është e thjeshtë! Meqë ra fjala, jo vetëm pinjollët marrin para, por edhe gjenitë - portreti i Gauss ishte në kartëmonedhën 10 marka gjermane (para futjes së euros), dhe Gauss ende u buzëqesh në mënyrë misterioze gjermanëve nga pullat e zakonshme postare.

Metoda e Gausit është e thjeshtë në atë që NJOHURITË E NXËNËSIT TË KLASËS SË PESTË MJAFTIN për ta zotëruar atë. Duhet të dini si të shtoni dhe shumëzoni! Nuk është rastësi që mësuesit shpesh e konsiderojnë metodën e përjashtimit sekuencial të të panjohurave në lëndët me zgjedhje të matematikës shkollore. Është një paradoks, por studentët e shohin metodën Gaussian më të vështirë. Asgjë për t'u habitur - gjithçka ka të bëjë me teknikën, dhe unë do të përpiqem ta bëj formë e aksesueshme flasim për algoritmin e metodës.

Së pari, le të sistemojmë pak njohuri rreth sistemeve të ekuacioneve lineare. Një sistem ekuacionesh lineare mund të:

1) Keni një zgjidhje unike.
2) Ka pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).

Metoda e Gausit është mjeti më i fuqishëm dhe universal për gjetjen e një zgjidhjeje ndonjë sistemet e ekuacioneve lineare. Siç kujtojmë, Rregulla e Cramer-it dhe metoda e matricës janë të papërshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent. Dhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave Gjithsesi do të na çojë te përgjigjja! Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë përsëri metodën Gauss për rastin Nr. 1 (zgjidhja e vetme për sistemin), artikulli i kushtohet situatave të pikave Nr. 2-3. Vërej se vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet.

Le të kthehemi në sistemi më i thjeshtë nga klasa Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare?
dhe zgjidhni atë duke përdorur metodën Gaussian.

Hapi i parë është të shkruani matrica e zgjeruar e sistemit:
. Unë mendoj se të gjithë mund të shohin se me çfarë parimi shkruhen koeficientët. Linja vertikale brenda matricës nuk ka ndonjë kuptim matematikor - është thjesht një hapje për lehtësinë e dizajnimit.

Referenca :Unë ju rekomandoj të mbani mend kushtet algjebër lineare. Matrica e Sistemitështë një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët për të panjohurat, në këtë shembull matrica e sistemit: . Matrica e Zgjeruar e Sistemit– kjo është e njëjta matricë e sistemit plus një kolonë me terma të lirë, në këtë rast: . Për shkurtësi, çdo matricë mund të quhet thjesht matricë.

Pasi të jetë shkruar matrica e zgjeruar e sistemit, është e nevojshme të kryhen disa veprime me të, të cilat quhen gjithashtu transformimet elementare .

Ekzistojnë transformimet e mëposhtme elementare:

1) Vargjet matricat Mund rirregulloj në disa vende. Për shembull, në matricën në shqyrtim, mund të riorganizoni pa dhimbje rreshtat e parë dhe të dytë:

2) Nëse matrica ka (ose është shfaqur) proporcionale (si rast i veçantë– identike) vija, pastaj vijon fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica përveç njërit. Konsideroni, për shembull, matricën . Në këtë matricë, tre rreshtat e fundit janë proporcionalë, kështu që mjafton të lihet vetëm një prej tyre: .

3) Nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij. Nuk do të vizatoj, sigurisht, vija zero është vija në të cilën të gjitha zero.

4) Rreshti i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër jo zero. Konsideroni, për shembull, matricën . Këtu këshillohet të ndani rreshtin e parë me -3 dhe të shumëzoni rreshtin e dytë me 2: . Ky veprim është shumë i dobishëm sepse thjeshton transformimet e mëtejshme të matricës.

5) Ky transformim shkakton më së shumti vështirësi, por në fakt nuk ka as asgjë të komplikuar. Në një rresht të një matrice mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero. Konsideroni matricën tonë të shembull praktik: . Së pari unë do të përshkruaj transformimin në detaje të mëdha. Shumëzojeni rreshtin e parë me –2: , Dhe në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –2: . Tani rreshti i parë mund të ndahet "prapa" me –2: . Siç mund ta shihni, linja që ADD LI – nuk ka ndryshuar. Gjithmonë ndryshon rreshti QË ËSHTË SHTUAR UT.

Në praktikë, natyrisht, ata nuk e shkruajnë atë në mënyrë kaq të detajuar, por e shkruajnë shkurtimisht:

Edhe një herë: në rreshtin e dytë shtoi rreshtin e parë shumëzuar me –2. Një rresht zakonisht shumëzohet me gojë ose në një draft, me procesin e llogaritjes mendore që shkon diçka si kjo:

"Unë rishkruaj matricën dhe rishkruaj rreshtin e parë: »

“Kollona e parë. Në fund më duhet të marr zero. Prandaj, unë e shumëzoj atë në krye me –2: , dhe i shtoj të parën rreshtit të dytë: 2 + (–2) = 0. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Tani kolona e dytë. Në krye, unë shumëzoj -1 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: 1 + 2 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Dhe kolona e tretë. Në krye shumëzoj -5 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: –7 + 10 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

Ju lutemi kuptoni me kujdes këtë shembull dhe kuptoni algoritmin e llogaritjes sekuenciale, nëse e kuptoni këtë, atëherë metoda Gaussian është praktikisht në xhepin tuaj. Por, sigurisht, ne do të punojmë ende për këtë transformim.

Shndërrimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve

! KUJDES: konsiderohen manipulime nuk mund të përdoret, nëse ju ofrohet një detyrë ku matricat jepen "vetë". Për shembull, me "klasike" veprimet me matrica Në asnjë rrethanë nuk duhet të riorganizoni asgjë brenda matricave!

Le të kthehemi në sistemin tonë. Praktikisht bëhet copë-copë.

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta zvogëlojmë atë në pamje me shkallë:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Dhe përsëri: pse e shumëzojmë rreshtin e parë me –2? Për të marrë zero në fund, që do të thotë të heqësh qafe një ndryshore në rreshtin e dytë.

(2) Ndani rreshtin e dytë me 3.

Qëllimi i transformimeve elementare – zvogëlojeni matricën në formë hap pas hapi: . Në hartimin e detyrës, ata thjesht shënojnë "shkallët" me një laps të thjeshtë, dhe gjithashtu rrethojnë numrat që ndodhen në "hapat". Vetë termi "pamje e shkallëzuar" nuk është plotësisht teorik në literaturën shkencore dhe arsimore; pamje trapezoidale ose pamje trekëndore.

Si rezultat i transformimeve elementare, kemi marrë ekuivalente sistemi origjinal i ekuacioneve:

Tani sistemi duhet të "zgjidhet" në drejtim të kundërt - nga poshtë lart, quhet ky proces inversi i metodës Gaussian.

Në ekuacionin e poshtëm tashmë kemi një rezultat të gatshëm: .

Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të sistemit dhe ta zëvendësojmë atë tashmë vlera e njohur"Y":

Le të shqyrtojmë situatën më të zakonshme, kur metoda Gaussian kërkon zgjidhjen e një sistemi prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura.

Shembulli 1

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Tani do të nxjerr menjëherë rezultatin në të cilin do të arrijmë gjatë zgjidhjes:

Dhe e përsëris, qëllimi ynë është ta sjellim matricën në një formë hap pas hapi duke përdorur transformime elementare. Ku të fillojë?

Së pari, shikoni numrin lart majtas:

Duhet të jetë pothuajse gjithmonë këtu njësi. Në përgjithësi, –1 (dhe nganjëherë numra të tjerë) do të bëjnë, por disi ka ndodhur tradicionalisht që një të tillë zakonisht vendoset atje. Si të organizoni një njësi? Ne shikojmë kolonën e parë - kemi një njësi të përfunduar! Transformimi i parë: ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë:

Tani rreshti i parë do të mbetet i pandryshuar deri në fund të zgjidhjes. Tani mirë.

Njësia në të majtë këndi i sipërm organizuar. Tani ju duhet të merrni zero në këto vende:

Ne marrim zero duke përdorur një transformim "të vështirë". Së pari merremi me rreshtin e dytë (2, –1, 3, 13). Çfarë duhet bërë për të marrë zero në pozicionin e parë? Duhet të në rreshtin e dytë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –2. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –2: (–2, –4, 2, –18). Dhe ne vazhdimisht kryejmë (përsëri mendërisht ose në një draft) shtesë, në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë, tashmë të shumëzuar me –2:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e dytë:

Ne trajtojmë rreshtin e tretë në të njëjtën mënyrë (3, 2, -5, -1). Për të marrë një zero në pozicionin e parë, ju duhet në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –3: (–3, –6, 3, –27). DHE në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –3:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e tretë:

Në praktikë, këto veprime zakonisht kryhen me gojë dhe shkruhen në një hap:

Nuk ka nevojë të numëroni gjithçka menjëherë dhe në të njëjtën kohë. Rendi i llogaritjeve dhe "hyrja" e rezultateve konsistente dhe zakonisht është kështu: së pari rishkruajmë rreshtin e parë dhe fryjmë veten pak nga pak - në mënyrë të vazhdueshme dhe ME KUJDES:


Dhe unë kam diskutuar tashmë procesin mendor të vetë llogaritjeve më lart.

Në këtë shembull, kjo është e lehtë për t'u bërë, ne e ndajmë rreshtin e dytë me –5 (pasi të gjithë numrat janë të pjesëtueshëm me 5 pa mbetje). Në të njëjtën kohë, ne e ndajmë rreshtin e tretë me –2, sepse sa më i vogël të jetë numri, aq zgjidhje më e thjeshtë:

Në fazën përfundimtare të transformimeve elementare, duhet të merrni një zero tjetër këtu:

Për këtë në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e dytë të shumëzuar me –2:


Mundohuni ta kuptoni vetë këtë veprim - shumëzoni mendërisht rreshtin e dytë me –2 dhe kryeni mbledhjen.

Veprimi i fundit i kryer është modeli i flokëve të rezultatit, ndajeni vijën e tretë me 3.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent ekuacionesh lineare:

I ftohtë.

Tani e kundërta e metodës Gaussian hyn në lojë. Ekuacionet "zgjidhen" nga poshtë lart.

Në ekuacionin e tretë tashmë kemi një rezultat të gatshëm:

Le të shohim barazimin e dytë: . Kuptimi i "zet" tashmë dihet, kështu:

Dhe së fundi, ekuacioni i parë: . "Igrek" dhe "zet" janë të njohura, është vetëm një çështje e gjërave të vogla:

Përgjigju:

Siç është vërejtur tashmë disa herë, për çdo sistem ekuacionesh është e mundur dhe e nevojshme të kontrollohet zgjidhja e gjetur, për fat të mirë, kjo është e lehtë dhe e shpejtë.

Shembulli 2

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, një mostër e modelit përfundimtar dhe një përgjigje në fund të mësimit.

Duhet të theksohet se juaj progresin e vendimit mund të mos përkojë me procesin tim të vendimit, dhe kjo është një veçori e metodës së Gausit. Por përgjigjet duhet të jenë të njëjta!

Shembulli 3

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Unë bëra këtë:
(1) Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një lëvizje shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

(2) Rreshtit të dytë i shtohet rreshti i parë i shumëzuar me 5. Rreshti i tretë i shumëzuar me 3.

(3) Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

(4) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 2.

(5) Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë e keqe që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse marrim diçka si , më poshtë dhe, në përputhje me rrethanat, , pastaj me një pjesë të madhe probabiliteti, mund të argumentohet se është bërë një gabim gjatë transformimeve elementare.

Ne ngarkojmë të kundërtën, në hartimin e shembujve ata shpesh nuk e rishkruajnë vetë sistemin, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Goditja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Po, këtu është një dhuratë:

Përgjigju: .

Shembulli 4

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, është disi më i ndërlikuar. Është në rregull nëse dikush ngatërrohet. Zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës në fund të mësimit. Zgjidhja juaj mund të jetë e ndryshme nga zgjidhja ime.

Në pjesën e fundit do të shikojmë disa veçori të algoritmit Gaussian.
Karakteristika e parë është se ndonjëherë disa variabla mungojnë në ekuacionet e sistemit, për shembull:

Si të shkruani saktë matricën e zgjeruar të sistemit? Unë kam folur tashmë për këtë pikë në klasë. Rregulli i Kramerit. Metoda e matricës. Në matricën e zgjeruar të sistemit, ne vendosim zero në vend të variablave që mungojnë:

Nga rruga, ky është një shembull mjaft i lehtë, pasi kolona e parë tashmë ka një zero, dhe ka më pak transformime elementare për të kryer.

Karakteristika e dytë është kjo. Në të gjithë shembujt e shqyrtuar, ne vendosëm ose –1 ose +1 në "hapat". A mund të ketë numra të tjerë atje? Në disa raste munden. Konsideroni sistemin: .

Këtu në "hapin" e sipërm të majtë kemi një dy. Por vërejmë faktin se të gjithë numrat në kolonën e parë janë të pjesëtueshëm me 2 pa mbetje - dhe tjetri është dy dhe gjashtë. Dhe të dy lart majtas do të na përshtaten! Në hapin e parë, duhet të kryeni transformimet e mëposhtme: shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –1 në rreshtin e dytë; në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Në këtë mënyrë do të marrim zerat e kërkuara në kolonën e parë.

Ose diçka si kjo shembull i kushtëzuar: . Këtu na përshtaten edhe tre në "hapin" e dytë, pasi 12 (vendi ku duhet të marrim zero) ndahet me 3 pa mbetje. Është e nevojshme të kryhet transformimi i mëposhtëm: shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, shumëzuar me -4, si rezultat i së cilës do të merret zeroja që na nevojitet.

Metoda e Gausit është universale, por ka një veçori. Mësoni me besim të zgjidhni sisteme duke përdorur metoda të tjera (metoda e Cramer, metoda e matricës) mundeni fjalë për fjalë herën e parë - ekziston një algoritëm shumë i rreptë. Por, në mënyrë që të ndiheni të sigurt në metodën Gaussian, duhet të arrini mirë në të dhe të zgjidhni të paktën 5-10 sisteme. Prandaj, në fillim mund të ketë konfuzion dhe gabime në llogaritjet, dhe nuk ka asgjë të pazakontë ose tragjike për këtë.

Moti me shi vjeshte jashtë dritares.... Prandaj, për të gjithë ata që duan më shumë shembull kompleks për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 5

Zgjidh një sistem prej katër ekuacionesh lineare me katër të panjohura duke përdorur metodën e Gausit.

Një detyrë e tillë nuk është aq e rrallë në praktikë. Unë mendoj se edhe një çajnik që e ka studiuar plotësisht këtë faqe do të kuptojë algoritmin për zgjidhjen e një sistemi të tillë në mënyrë intuitive. Në thelb, gjithçka është e njëjtë - ka vetëm më shumë veprime.

Në mësim diskutohen rastet kur sistemi nuk ka zgjidhje (jokonsistente) ose ka pafundësisht shumë zgjidhje Sisteme dhe sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përgjithshme. Aty mund të rregulloni algoritmin e konsideruar të metodës Gaussian.

Ju uroj suksese!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhje : Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi.


Transformimet elementare të kryera:
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –1. Kujdes! Këtu mund të tundoheni të zbrisni të parën nga rreshti i tretë, unë rekomandoj shumë të mos e zbritni atë - rreziku i gabimit rritet shumë. Thjesht paloseni!
(2) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Linjat e dyta dhe të treta janë ndërruar. shënim, se në “hapa” nuk mjaftohemi vetëm me një, por edhe me –1, që është edhe më i përshtatshëm.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 5.
(4) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Rreshti i tretë u nda me 14.

E anasjellta:

Përgjigju: .

Shembulli 4: Zgjidhje : Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Konvertimet e kryera:
(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i dytë. Kështu, njësia e dëshiruar organizohet në "hapin" e sipërm majtas.
(2) Rreshti i parë i shumëzuar me 7 iu shtua rreshtit të dytë.

Me "hapin" e dytë gjithçka përkeqësohet , "kandidatët" për të janë numrat 17 dhe 23, dhe na duhet ose një ose –1. Transformimet (3) dhe (4) do të synojnë marrjen e njësisë së dëshiruar

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.
(4) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –3.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 4. Rreshti i dytë iu shtua rreshtit të katërt, shumëzuar me –1.
(4) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua. Rreshti i katërt u nda me 3 dhe u vendos në vend të rreshtit të tretë.
(5) Rreshtit të katërt iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –5.

E anasjellta:

Një nga mënyrat më të thjeshta për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare është një teknikë e bazuar në llogaritjen e përcaktuesve ( Rregulli i Kramerit). Avantazhi i tij është se ju lejon të regjistroni menjëherë zgjidhjen, është veçanërisht i përshtatshëm në rastet kur koeficientët e sistemit nuk janë numra, por disa parametra. Disavantazhi i tij është rëndimi i llogaritjeve në rast numer i madh ekuacionet për më tepër, rregulli i Cramer-it nuk zbatohet drejtpërdrejt për sistemet në të cilat numri i ekuacioneve nuk përputhet me numrin e të panjohurave. Në raste të tilla, zakonisht përdoret Metoda Gaussian.

Quhen sisteme ekuacionesh lineare që kanë të njëjtin grup zgjidhjesh ekuivalente. Natyrisht, shumë zgjidhje sistemi linear nuk ndryshon nëse ndonjë ekuacion ndërrohet, ose nëse një nga ekuacionet shumëzohet me ndonjë numër jozero, ose nëse një ekuacion i shtohet një tjetri.

Metoda e Gausit (Metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave) është se me ndihmën e transformimeve elementare sistemi reduktohet në një sistem ekuivalent të tipit hap. Së pari, duke përdorur ekuacionin e parë, ne eliminojmë x 1 nga të gjitha ekuacionet pasuese të sistemit. Pastaj, duke përdorur ekuacionin e 2-të, eliminojmë x 2 nga e 3-ta dhe të gjitha ekuacionet pasuese. Ky proces, i quajtur Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian, vazhdon derisa të mbetet vetëm një e panjohur në anën e majtë të ekuacionit të fundit x n. Pas kësaj është bërë e kundërta e metodës Gaussian– duke zgjidhur ekuacionin e fundit, gjejmë x n; pas kësaj, duke përdorur këtë vlerë, llogarisim nga ekuacioni i parafundit x n-1, etj. E gjejmë të fundit x 1 nga ekuacioni i parë.

Është i përshtatshëm për të kryer transformime Gaussian duke kryer transformime jo me vetë ekuacionet, por me matricat e koeficientëve të tyre. Konsideroni matricën:

thirrur zgjeruar matricës së sistemit, sepse, përveç matricës kryesore të sistemit, ai përfshin një kolonë me terma të lirë. Metoda Gaussian bazohet në reduktimin e matricës kryesore të sistemit në një formë trekëndore (ose formë trapezoidale në rastin e sistemeve jo katrore) duke përdorur transformimet elementare të rreshtave (!) të matricës së zgjeruar të sistemit.

Shembulli 5.1. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur rreshtin e parë, pas kësaj do të rivendosim elementët e mbetur:

marrim zero në rreshtat 2, 3 dhe 4 të kolonës së parë:

Tani na duhen të gjithë elementët në kolonën e dytë poshtë rreshtit të dytë të jenë të barabartë me zero. Për ta bërë këtë, mund të shumëzoni rreshtin e dytë me –4/7 dhe ta shtoni atë në rreshtin e 3-të. Sidoqoftë, për të mos u marrë me thyesa, le të krijojmë një njësi në rreshtin e dytë të kolonës së dytë dhe vetëm

Tani, për të marrë një matricë trekëndore, duhet të rivendosni elementin e rreshtit të katërt të kolonës së tretë për ta bërë këtë, mund ta shumëzoni rreshtin e tretë me 8/54 dhe ta shtoni atë në të katërtin. Sidoqoftë, për të mos u marrë me fraksione, ne do të ndërrojmë rreshtat e 3-të dhe të 4-të dhe kolonat e 3-të dhe 4-të dhe vetëm pas kësaj do të rivendosim elementin e specifikuar. Vini re se gjatë riorganizimit të kolonave, variablat përkatëse ndryshojnë vendet dhe kjo duhet mbajtur mend; transformime të tjera elementare me kolona (mbledhja dhe shumëzimi me një numër) nuk mund të kryhen!

Matrica e fundit e thjeshtuar korrespondon me një sistem ekuacionesh ekuivalent me atë origjinal:

Nga këtu, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, gjejmë nga ekuacioni i katërt x 3 = –1; nga e treta x 4 = –2, nga e dyta x 2 = 2 dhe nga ekuacioni i parë x 1 = 1.V forma matrice përgjigja shkruhet në formular

Shqyrtuam rastin kur sistemi është i përcaktuar, d.m.th. kur ka vetëm një zgjidhje. Le të shohim se çfarë ndodh nëse sistemi është i paqëndrueshëm ose i pasigurt.

Shembulli 5.2. Eksploroni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit

Ne shkruajmë një sistem të thjeshtuar ekuacionesh:

Këtu, në ekuacionin e fundit rezulton se 0=4, d.m.th. kontradiktë. Për rrjedhojë, sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th. ajo të papajtueshme. à

Shembulli 5.3. Eksploroni dhe zgjidhni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Si rezultat i transformimeve, rreshti i fundit përmban vetëm zero. Kjo do të thotë se numri i ekuacioneve është zvogëluar me një:

Kështu, pas thjeshtimeve, kanë mbetur dy ekuacione, dhe katër të panjohura, d.m.th. dy “shtesë” të panjohura. Le të jenë "të tepërta", ose, siç thonë ata, variabla të lirë, do x 3 dhe x 4 . Pastaj

Duke besuar x 3 = 2a Dhe x 4 = b, marrim x 2 = 1–a Dhe x 1 = 2b–a; ose në formë matrice

Një zgjidhje e shkruar në këtë mënyrë quhet të përgjithshme, sepse, duke dhënë parametra a Dhe b kuptime të ndryshme, gjithçka mund të përshkruhet zgjidhjet e mundshme sistemeve. a

Sot do të kuptojmë metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve lineare ekuacionet algjebrike. Ju mund të lexoni se cilat janë këto sisteme në artikullin e mëparshëm kushtuar zgjidhjes së të njëjtave SLAE duke përdorur metodën Cramer. Metoda Gauss nuk kërkon ndonjë njohuri specifike, ju duhet vetëm vëmendje dhe qëndrueshmëri. Pavarësisht se nga pikëpamja matematikore, trajnimi shkollor është i mjaftueshëm për ta zbatuar atë, nxënësit shpesh e kanë të vështirë ta zotërojnë këtë metodë. Në këtë artikull ne do të përpiqemi t'i reduktojmë ato në asgjë!

Metoda e Gausit

M Metoda Gaussian- shumica metodë universale Zgjidhjet SLAE (me përjashtim të sistemeve shumë të mëdha). Ndryshe nga sa u diskutua më parë, ai është i përshtatshëm jo vetëm për sistemet që kanë një zgjidhje të vetme, por edhe për sistemet që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Këtu ka tre opsione të mundshme.

1. Sistemi ka një zgjidhje unike (përcaktori i matricës kryesore të sistemit nuk është i barabartë me zero);
2. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh;
3. Nuk ka zgjidhje, sistemi është i papajtueshëm.

Pra, ne kemi një sistem (le të ketë një zgjidhje) dhe do ta zgjidhim duke përdorur metodën Gaussian. Si punon?

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza - përpara dhe anasjelltas.

Goditja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian

Së pari, le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit. Për ta bërë këtë, shtoni një kolonë anëtarësh të lirë në matricën kryesore.

I gjithë thelbi i metodës së Gausit është të sjellë, nëpërmjet transformimeve elementare, këtë matricë në një pamje të shkallëzuar (ose siç thonë edhe trekëndore). Në këtë formë, duhet të ketë vetëm zero nën (ose sipër) diagonales kryesore të matricës.

Çfarë mund të bëni:

1. Ju mund të riorganizoni rreshtat e matricës;
2. Nëse ka rreshta të barabartë (ose proporcional) në një matricë, ju mund t'i hiqni të gjitha, përveç njërit prej tyre;
3. Ju mund të shumëzoni ose ndani një varg me çdo numër (përveç zeros);
4. Rreshtat null hiqen;
5. Ju mund të bashkëngjitni një varg të shumëzuar me një numër të ndryshëm nga zero në një varg.

Metoda e kundërt Gaussian

Pasi ta transformojmë sistemin në këtë mënyrë, një i panjohur Xn bëhet e njohur, dhe ju mund t'i gjeni të gjitha të panjohurat e mbetura në rend të kundërt, duke zëvendësuar x-të tashmë të njohura në ekuacionet e sistemit, deri në të parën.

Kur interneti është gjithmonë pranë, ju mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian online. Thjesht duhet të futni koeficientët në kalkulatorin online. Por duhet ta pranoni, është shumë më e këndshme të kuptosh se shembulli nuk u zgjidh nga një program kompjuterik, por nga truri yt.

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e Gausit

Dhe tani - një shembull në mënyrë që gjithçka të bëhet e qartë dhe e kuptueshme. Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare dhe ju duhet ta zgjidhni atë duke përdorur metodën e Gausit:

Së pari shkruajmë matricën e zgjeruar:

Tani le të bëjmë transformimet. Kujtojmë se duhet të arrijmë një pamje trekëndore të matricës. Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (3). Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë dhe merrni:

Pastaj shumëzojeni rreshtin e tretë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (6). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

Voila - sistemi është sjellë në formën e duhur. Mbetet për të gjetur të panjohurat:

Sistemi në këtë shembull ka një zgjidhje unike. Ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve me një numër të pafund zgjidhjesh në një artikull të veçantë. Ndoshta në fillim nuk do të dini se ku të filloni transformimin e matricës, por pas praktikës së duhur do ta kuptoni dhe do të thyeni SLAE duke përdorur metodën Gaussian si arra. Dhe nëse papritmas hasni në një SLAE që rezulton të jetë një arrë shumë e fortë për t'u goditur, kontaktoni autorët tanë! mundeni duke lënë një kërkesë në Zyrën e Korrespondencës. Së bashku do të zgjidhim çdo problem!

Metoda Gaussian, e quajtur edhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave, është si më poshtë. Duke përdorur transformimet elementare, një sistem ekuacionesh lineare është sjellë në një formë të tillë që matrica e tij e koeficientëve rezulton të jetë trapezoidale (e njëjtë si trekëndore ose me shkallë) ose afër trapezoidale (goditje e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian, në vijim - thjesht goditje e drejtë). Një shembull i një sistemi të tillë dhe zgjidhja e tij është në figurën e mësipërme.

Në një sistem të tillë, ekuacioni i fundit përmban vetëm një ndryshore dhe vlera e saj mund të gjendet pa mëdyshje. Vlera e kësaj ndryshore më pas zëvendësohet në ekuacionin e mëparshëm ( e kundërta e metodës Gaussian , pastaj vetëm anasjelltas), nga e cila gjendet ndryshorja e mëparshme, e kështu me radhë.

Në një sistem trapezoid (trekëndor), siç e shohim, ekuacioni i tretë nuk përmban më ndryshore y Dhe x, dhe ekuacioni i dytë është ndryshorja x .

Pasi matrica e sistemit të ketë marrë një formë trapezoidale, nuk është më e vështirë të kuptohet çështja e përputhshmërisë së sistemit, të përcaktohet numri i zgjidhjeve dhe të gjenden vetë zgjidhjet.

Përparësitë e metodës:

1. kur zgjidhen sisteme ekuacionesh lineare me më shumë se tre ekuacione dhe të panjohura, metoda e Gausit nuk është aq e rëndë sa metoda Cramer, pasi zgjidhja me metodën e Gausit kërkon më pak llogaritje;
2. metoda e Gausit mund të zgjidhë sisteme të papërcaktuara të ekuacioneve lineare, domethënë, duke pasur një zgjidhje të përgjithshme (dhe ne do t'i analizojmë ato në këtë mësim), dhe duke përdorur metodën Cramer, mund të themi vetëm se sistemi është i papërcaktuar;
3. ju mund të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare në të cilat numri i të panjohurave nuk është i barabartë me numrin e ekuacioneve (ne gjithashtu do t'i analizojmë ato në këtë mësim);
4. Metoda bazohet në metodat elementare (shkollore) - metoda e zëvendësimit të të panjohurave dhe metoda e shtimit të ekuacioneve, të cilat i prekëm në artikullin përkatës.

Në mënyrë që të gjithë të kuptojnë thjeshtësinë me të cilën zgjidhen sistemet trapezoidale (trekëndore, hapa) të ekuacioneve lineare, ne paraqesim një zgjidhje për një sistem të tillë duke përdorur lëvizje të kundërt. Një zgjidhje e shpejtë për këtë sistem u tregua në foto në fillim të mësimit.

Shembulli 1. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur të anasjelltë:

Zgjidhje. Në këtë sistem trapezoidal ndryshorja z gjendet në mënyrë unike nga ekuacioni i tretë. Ne e zëvendësojmë vlerën e tij në ekuacionin e dytë dhe marrim vlerën e ndryshores y:

Tani ne i dimë vlerat e dy variablave - z Dhe y. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin e parë dhe marrim vlerën e ndryshores x:

Nga hapat e mëparshëm ne shkruajmë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve:

Për të marrë një sistem të tillë trapezoidal të ekuacioneve lineare, të cilin e zgjidhëm shumë thjesht, është e nevojshme të përdoret një goditje përpara e lidhur me transformimet elementare të sistemit të ekuacioneve lineare. Gjithashtu nuk është shumë e vështirë.

Shndërrimet elementare të një sistemi ekuacionesh lineare

Duke përsëritur metodën shkollore të mbledhjes algjebrike të ekuacioneve të një sistemi, zbuluam se njërit prej ekuacioneve të sistemit mund t'i shtojmë një ekuacion tjetër të sistemit dhe secili prej ekuacioneve mund të shumëzohet me disa numra. Si rezultat, ne marrim një sistem ekuacionesh lineare ekuivalente me këtë. Në të, një ekuacion përmbante tashmë vetëm një ndryshore, duke zëvendësuar vlerën e së cilës me ekuacione të tjera, arrijmë në një zgjidhje. Një shtesë e tillë është një nga llojet e transformimit elementar të sistemit. Kur përdorim metodën Gaussian, mund të përdorim disa lloje transformimesh.

Animacioni i mësipërm tregon se si sistemi i ekuacioneve gradualisht kthehet në një trapezoid. Kjo është, ajo që patë në animacionin e parë dhe e binde veten se është e lehtë të gjesh vlerat e të gjitha të panjohurave prej saj. Si të kryhet një transformim i tillë dhe, natyrisht, shembujt do të diskutohen më tej.

Kur zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare me çdo numër ekuacionesh dhe të panjohurash në sistemin e ekuacioneve dhe në matricën e zgjeruar të sistemit Mund:

1. riorganizoni linjat (kjo u përmend në fillim të këtij artikulli);
2. nëse transformimet e tjera rezultojnë në rreshta të barabartë ose proporcional, ato mund të fshihen, përveç njërit;
3. hiqni rreshtat "zero" ku të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero;
4. shumëzoni ose pjesëtoni çdo varg me një numër të caktuar;
5. çdo rreshti shtoni një rresht tjetër, shumëzuar me një numër të caktuar.

Si rezultat i transformimeve, marrim një sistem ekuacionesh lineare të barazvlefshëm me këtë.

Algoritmi dhe shembuj të zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare me një matricë katrore të sistemit duke përdorur metodën e Gausit

Le të shqyrtojmë fillimisht zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare në të cilat numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Matrica e një sistemi të tillë është katror, ​​domethënë, numri i rreshtave në të është i barabartë me numrin e kolonave.

Shembulli 2. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metoda shkollore, ne shumëzuam një nga ekuacionet term për term me një numër të caktuar, në mënyrë që koeficientët e ndryshores së parë në të dy ekuacionet të ishin numra të kundërt. Kur shtohen ekuacione, kjo variabël eliminohet. Metoda e Gausit funksionon në mënyrë të ngjashme.

Për të thjeshtuar pamjen Zgjidhjet le të krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit:

Në këtë matricë, koeficientët e të panjohurave janë të vendosur në të majtë para vijës vertikale, dhe termat e lirë janë të vendosur në të djathtë pas vijës vertikale.

Për lehtësinë e pjesëtimit të koeficientëve për variablat (për të marrë pjesëtimin me njësi) Le të shkëmbejmë rreshtin e parë dhe të dytë të matricës së sistemit. Ne marrim një sistem të barabartë me këtë, pasi në një sistem ekuacionesh lineare ekuacionet mund të ndërrohen:

Duke përdorur ekuacionin e ri të parë eliminoni variablin x nga ekuacionet e dyta dhe të gjitha ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, në rreshtin e dytë të matricës shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me (në rastin tonë me ), në rreshtin e tretë - rreshtin e parë të shumëzuar me (në rastin tonë me ).

Kjo është e mundur sepse

Nëse do të kishte më shumë se tre ekuacione në sistemin tonë, atëherë do të duhej të shtonim në të gjitha ekuacionet pasuese rreshtin e parë, të shumëzuar me raportin e koeficientëve përkatës, të marrë me shenjën minus.

Si rezultat, marrim një matricë ekuivalente me këtë sistem të një sistemi të ri ekuacionesh, në të cilin të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta nuk përmbajnë një ndryshore x :

Për të thjeshtuar rreshtin e dytë të sistemit që rezulton, shumëzojeni atë me dhe përsëri merrni matricën e një sistemi ekuacionesh ekuivalente me këtë sistem:

Tani, duke mbajtur të pandryshuar ekuacionin e parë të sistemit që rezulton, duke përdorur ekuacionin e dytë eliminojmë variablin y nga të gjitha ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, në rreshtin e tretë të matricës së sistemit shtojmë rreshtin e dytë, të shumëzuar me (në rastin tonë me ).

Nëse do të kishte më shumë se tre ekuacione në sistemin tonë, atëherë do të duhej të shtonim një rresht të dytë në të gjitha ekuacionet pasuese, shumëzuar me raportin e koeficientëve përkatës të marrë me një shenjë minus.

Si rezultat, ne marrim përsëri matricën e një sistemi ekuivalent me këtë sistem ekuacionesh lineare:

Ne kemi marrë një sistem ekuivalent trapezoidal të ekuacioneve lineare:

Nëse numri i ekuacioneve dhe variablave është më i madh se në shembullin tonë, atëherë procesi i eliminimit sekuencial të variablave vazhdon derisa matrica e sistemit të bëhet trapezoidale, si në shembullin tonë demo.

Zgjidhjen do ta gjejmë "nga fundi" - lëvizjen e kundërt. Për këtë nga ekuacioni i fundit që përcaktojmë z:
.
Duke zëvendësuar këtë vlerë në ekuacionin e mëparshëm, ne do të gjejmë y:

Nga ekuacioni i parë ne do të gjejmë x:

Përgjigje: zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh është .

: në këtë rast do të jepet e njëjta përgjigje nëse sistemi ka një zgjidhje unike. Nëse sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, atëherë kjo do të jetë përgjigja, dhe kjo është tema e pjesës së pestë të këtij mësimi.

Zgjidheni vetë një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian dhe më pas shikoni zgjidhjen

Këtu kemi përsëri një shembull të një sistemi të qëndrueshëm dhe të caktuar ekuacionesh lineare, në të cilin numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave. Dallimi nga shembulli ynë demonstrues nga algoritmi është se tashmë ekzistojnë katër ekuacione dhe katër të panjohura.

Shembulli 4. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit:

Tani ju duhet të përdorni ekuacionin e dytë për të eliminuar variablin nga ekuacionet pasuese. Le të kryejmë punë përgatitore. Për ta bërë më të përshtatshëm me raportin e koeficientëve, duhet të merrni një në kolonën e dytë të rreshtit të dytë. Për ta bërë këtë, zbritni të tretën nga rreshti i dytë dhe shumëzoni rreshtin e dytë që rezulton me -1.

Le të bëjmë tani eliminimin aktual të ndryshores nga ekuacioni i tretë dhe i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e dytë, shumëzuar me , në rreshtin e tretë dhe të dytën, shumëzuar me , në rreshtin e katërt.

Tani, duke përdorur ekuacionin e tretë, ne eliminojmë variablin nga ekuacioni i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e tretë në rreshtin e katërt, shumëzuar me . Ne marrim një matricë trapezoidale të zgjeruar.

Ne morëm një sistem ekuacionesh me të cilin sistemi i dhënë është ekuivalent:

Rrjedhimisht, sistemet që rezultojnë dhe ato të dhëna janë të pajtueshme dhe të përcaktuara. Zgjidhjen përfundimtare e gjejmë “nga fundi”. Nga ekuacioni i katërt mund të shprehim drejtpërdrejt vlerën e ndryshores “x-four”:

Ne e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacionin e tretë të sistemit dhe marrim

,

,

Së fundi, zëvendësimi i vlerës

Ekuacioni i parë jep

,

ku gjejmë "x së pari":

Përgjigje: ky sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike .

Ju gjithashtu mund të kontrolloni zgjidhjen e sistemit në një kalkulator duke përdorur metodën e Cramer: në këtë rast, e njëjta përgjigje do të jepet nëse sistemi ka një zgjidhje unike.

Zgjidhja e problemeve të aplikuara duke përdorur metodën e Gausit duke përdorur shembullin e një problemi në lidhjet

Sistemet e ekuacioneve lineare përdoren për të modeluar objekte reale në botën fizike. Le të zgjidhim një nga këto probleme - lidhjet. Probleme të ngjashme janë problemet për përzierjet, koston ose pjesën e mallrave individuale në një grup mallrash, dhe të ngjashme.

Shembulli 5. Tre copa aliazh kanë një masë totale prej 150 kg. Lidhja e parë përmban 60% bakër, e dyta - 30%, e treta - 10%. Për më tepër, në lidhjen e dytë dhe të tretë të marra së bashku ka 28,4 kg më pak bakër se në lidhjen e parë, dhe në lidhjen e tretë ka 6,2 kg më pak bakër se në të dytën. Gjeni masën e secilës pjesë të aliazhit.

Zgjidhje. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh lineare:

Ne shumëzojmë ekuacionet e dyta dhe të treta me 10, marrim një sistem ekuivalent të ekuacioneve lineare:

Ne krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit:

Kujdes, drejt përpara. Duke shtuar (në rastin tonë, duke zbritur) një rresht të shumëzuar me një numër (ne e zbatojmë atë dy herë), transformimet e mëposhtme ndodhin me matricën e zgjeruar të sistemit:

Lëvizja e drejtpërdrejtë ka përfunduar. Ne morëm një matricë trapezoidale të zgjeruar.

Ne aplikojmë lëvizjen e kundërt. Zgjidhjen e gjejmë nga fundi. Ne e shohim atë.

Nga ekuacioni i dytë gjejmë

Nga ekuacioni i tretë -

Ju gjithashtu mund të kontrolloni zgjidhjen e sistemit në një kalkulator duke përdorur metodën e Cramer: në këtë rast, e njëjta përgjigje do të jepet nëse sistemi ka një zgjidhje unike.

Thjeshtësia e metodës së Gausit dëshmohet nga fakti se matematikanit gjerman Carl Friedrich Gauss iu deshën vetëm 15 minuta për ta shpikur atë. Përveç metodës së quajtur pas tij, thënia "Ne nuk duhet të ngatërrojmë atë që na duket e pabesueshme dhe e panatyrshme me absolutisht të pamundurën" është e njohur nga veprat e Gauss - një lloj udhëzimi i shkurtër për të bërë zbulime.

Në shumë probleme të aplikuara mund të mos ketë një kufizim të tretë, domethënë një ekuacion të tretë, atëherë duhet të zgjidhni një sistem prej dy ekuacionesh me tre të panjohura duke përdorur metodën Gaussian, ose, anasjelltas, ka më pak të panjohura se ekuacionet. Tani do të fillojmë të zgjidhim sisteme të tilla ekuacionesh.

Duke përdorur metodën Gaussian, ju mund të përcaktoni nëse ndonjë sistem është i pajtueshëm ose i papajtueshëm n ekuacionet lineare me n variablat.

Metoda e Gausit dhe sistemet e ekuacioneve lineare me një numër të pafund zgjidhjesh

Shembulli tjetër është një sistem konsistent, por i papërcaktuar ekuacionesh lineare, domethënë që ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Pas kryerjes së transformimeve në matricën e zgjeruar të sistemit (rirregullimi i rreshtave, shumëzimi dhe pjesëtimi i rreshtave me një numër të caktuar, shtimi i një tjetri në një rresht), mund të shfaqen rreshtat e formës.

Nëse në të gjitha ekuacionet që kanë formën

Termat e lirë janë të barabartë me zero, kjo do të thotë se sistemi është i pacaktuar, domethënë ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe ekuacionet e këtij lloji janë "të tepërta" dhe ne i përjashtojmë ato nga sistemi.

Shembulli 6.

Zgjidhje. Le të krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit. Më pas, duke përdorur ekuacionin e parë, eliminojmë variablin nga ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, shtoni në rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt të parën, shumëzuar me:

Tani le të shtojmë rreshtin e dytë në të tretën dhe të katërtin.

Si rezultat, arrijmë në sistem

Dy ekuacionet e fundit u kthyen në ekuacione të formës. Këto ekuacione janë të kënaqura për çdo vlerë të të panjohurave dhe mund të hidhen poshtë.

Për të përmbushur ekuacionin e dytë, ne mund të zgjedhim vlera arbitrare për dhe, atëherë vlera për do të përcaktohet në mënyrë unike: . Nga ekuacioni i parë, vlera për gjendet gjithashtu në mënyrë unike: .

Si sistemet e dhëna ashtu edhe ato të fundit janë konsistente, por të pasigurta dhe formulat

për arbitrare dhe na jep të gjitha zgjidhjet e një sistemi të caktuar.

Metoda e Gausit dhe sistemet e ekuacioneve lineare pa zgjidhje

Shembulli tjetër është një sistem jokonsistent ekuacionesh lineare, domethënë ai që nuk ka zgjidhje. Përgjigja për probleme të tilla është formuluar në këtë mënyrë: sistemi nuk ka zgjidhje.

Siç u përmend tashmë në lidhje me shembullin e parë, pas kryerjes së transformimeve, rreshtat e formës mund të shfaqen në matricën e zgjeruar të sistemit

që korrespondon me një ekuacion të formës

Nëse midis tyre ka të paktën një ekuacion me një term të lirë jozero (d.m.th.), atëherë ky sistem ekuacionesh është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje dhe zgjidhja e tij është e plotë.

Shembulli 7. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit:

Zgjidhje. Ne përpilojmë një matricë të zgjeruar të sistemit. Duke përdorur ekuacionin e parë, ne përjashtojmë variablin nga ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e dytë, rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e tretë dhe rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e katërt.

Tani ju duhet të përdorni ekuacionin e dytë për të eliminuar variablin nga ekuacionet pasuese. Për të marrë raportet e numrave të plotë të koeficientëve, ne ndërrojmë rreshtin e dytë dhe të tretë të matricës së zgjeruar të sistemit.

Për të përjashtuar ekuacionin e tretë dhe të katërt, shtoni të dytin shumëzuar me , në rreshtin e tretë dhe të dytin shumëzuar me , në rreshtin e katërt.

Tani, duke përdorur ekuacionin e tretë, eliminojmë variablin nga ekuacioni i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e tretë në rreshtin e katërt, shumëzuar me .

Prandaj, sistemi i dhënë është i barabartë me sa vijon:

Sistemi që rezulton është i paqëndrueshëm, pasi ekuacioni i tij i fundit nuk mund të plotësohet me asnjë vlerë të të panjohurës. Prandaj, ky sistem nuk ka zgjidhje.