Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve" Tashmë jemi njohur me ekuacionet lineare dhe po kalojmë në njohjen ekuacionet kuadratike.

Së pari do të shikojmë se çfarë është një ekuacion kuadratik dhe si shkruhet ai pamje e përgjithshme, dhe jepni përkufizime përkatëse. Pas kësaj, ne do të përdorim shembuj për të shqyrtuar në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Më pas, do të kalojmë në zgjidhjen e ekuacioneve të plota, do të marrim formulën rrënjësore, do të njihemi me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik dhe do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre

Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të filloni një bisedë për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore ekuacionet kuadratike: ekuacione të reduktuara dhe të pareduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.

Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike

Përkufizimi.

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës a x 2 +b x+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jo zero.

Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo për faktin se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.

Përkufizimi i deklaruar na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi.

Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti i x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti i x, dhe c është termi i lirë .

Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x −3=0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është i barabartë me −2 dhe termi i lirë është i barabartë me −3. Vini re se kur koeficientët b dhe/ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, atëherë formë e shkurtër duke shkruar një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x−3=0, dhe jo 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë me 1 ose −1, ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 −y+3=0 koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti i y është i barabartë me −1.

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në varësi të vlerës së koeficientit prijës, dallohen ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Përndryshe ekuacioni kuadratik është i paprekur.

Sipas këtë përkufizim, ekuacionet kuadratike x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etj. – dhënë, në secilën prej tyre koeficienti i parë është i barabartë me një. A 5 x 2 −x−1=0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.

Nga çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar, duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.

Le të shohim një shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembull.

Nga ekuacioni 3 x 2 +12 x−7=0, kalohet në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.

Zgjidhje.

Thjesht duhet të ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 3, ai është jo zero, kështu që ne mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, që është e njëjtë, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dhe pastaj (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, nga ku . Kështu kemi marrë ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Përgjigje:

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a≠0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë kuadratik, pasi kur a = 0 bëhet në të vërtetë një ekuacion linear i formës b x + c = 0.

Për sa u përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë të barabartë me zero, si individualisht ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.

Përkufizimi.

Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 +b x+c=0 jo të plota, nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.

Nga ana e saj

Përkufizimi.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë të ndryshëm nga zero.

Emra të tillë nuk u dhanë rastësisht. Kjo do të bëhet e qartë nga diskutimet në vijim.

Nëse koeficienti b është zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a·x 2 +0·x+c=0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a·x 2 +c=0. Nëse c=0, pra ekuacioni kuadratik ka formën a·x 2 +b·x+0=0, atëherë ai mund të rishkruhet si a·x 2 +b·x=0. Dhe me b=0 dhe c=0 marrim ekuacionin kuadratik a·x 2 =0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.

Pra, ekuacionet x 2 +x+1=0 dhe −2 x 2 −5 x+0.2=0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:

• a·x 2 =0, me të korrespondojnë koeficientët b=0 dhe c=0;
• a x 2 +c=0 kur b=0 ;
• dhe a·x 2 +b·x=0 kur c=0.

Le të shqyrtojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.

a x 2 =0

Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, pra me ekuacione të formës a x 2 =0. Ekuacioni a·x 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me faktin se për çdo numër jo zero p vlen inekuacioni p 2 >0, që do të thotë se për p≠0 barazia p 2 =0 nuk arrihet kurrë.

Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a·x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.

Si shembull, japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 x 2 =0. Është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, rrënja e vetme e tij është x=0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme zero.

Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0, pra ekuacione të formës a x 2 +c=0. Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit kuadratik jo të plotë a x 2 +c=0:

• lëviz nga në anën e djathtë, i cili jep ekuacionin a x 2 =−c,
• dhe ndajmë të dyja anët me a, marrim .

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a=1 dhe c=2, atëherë ) ose pozitive (për shembull, nëse a=−2 dhe c=6, atëherë ), nuk është e barabartë me zero, pasi sipas kushtit c≠0. Le t'i shohim rastet veç e veç.

Nëse , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur , atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.

Nëse , atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse kujtojmë rreth , atëherë rrënja e ekuacionit bëhet menjëherë e dukshme është numri, pasi . Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë, . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me kontradiktë. Le ta bejme.

Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo shpallur si x 1 dhe −x 1 . Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2, të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x, e kthen ekuacionin në një barazi numerike të saktë. Për x 1 dhe −x 1 kemi , dhe për x 2 kemi . Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të barazive të sakta numerike, kështu që zbritja e pjesëve përkatëse të barazive jep x 1 2 −x 2 2 =0. Vetitë e veprimeve me numra na lejojnë të rishkruajmë barazinë që rezulton si (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Prandaj, nga barazia që rezulton rrjedh se x 1 −x 2 =0 dhe/ose x 1 +x 2 =0, që është e njëjtë, x 2 =x 1 dhe/ose x 2 =−x 1. Pra, arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe .

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 +c=0 është ekuivalent me ekuacionin që

• nuk ka rrënjë nëse,
• ka dy rrënjë dhe , nëse .

Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a·x 2 +c=0.

Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 +7=0. Pas zhvendosjes së termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 x 2 =−7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në . Meqenëse ana e djathtë ka një numër negativ, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 x 2 +7 = 0 nuk ka rrënjë.

Le të zgjidhim një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 +9=0. E zhvendosim nëntën në anën e djathtë: −x 2 =−9. Tani i ndajmë të dyja anët me −1, marrim x 2 =9. Në anën e djathtë ka një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose . Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 +9=0 ka dy rrënjë x=3 ose x=−3.

a x 2 +b x=0

Mbetet për të gjetur zgjidhjen lloji i fundit ekuacionet kuadratike jo të plota për c=0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit. Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton të nxjerrim faktorin e përbashkët x nga kllapat. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës x·(a·x+b)=0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh x=0 dhe a·x+b=0, ky i fundit është linear dhe ka një rrënjë x=−b/a.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a·x 2 +b·x=0 ka dy rrënjë x=0 dhe x=−b/a.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen për një shembull specifik.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Duke marrë x nga kllapat jepet ekuacioni . Është ekuivalente me dy ekuacione x=0 dhe . Zgjidhja e asaj që kemi marrë ekuacioni linear: , dhe kryerja e ndarjes numër i përzier në thyesë e zakonshme, ne gjejme . Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x=0 dhe .

Pas fitimit të praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:

Përgjigje:

x=0, .

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore. Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik: , Ku D=b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues i një ekuacioni kuadratik. Hyrja në thelb do të thotë se.

Është e dobishme të dihet se si është nxjerrë formula e rrënjës dhe si përdoret për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë këtë.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:

• Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jo zero a, duke rezultuar në ekuacionin kuadratik të mëposhtëm.
• Tani zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë të saj: . Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
• Në këtë fazë, është e mundur që dy termat e fundit të transferohen në anën e djathtë me shenjën e kundërt, kemi .
• Dhe le të transformojmë edhe shprehjen në anën e djathtë: .

Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a·x 2 +b·x+c=0.

Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm, kur kemi ekzaminuar. Kjo ju lejon të bëni përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:

• nëse , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje reale;
• nëse , atëherë ekuacioni ka formën , pra, , nga e cila është e dukshme rrënja e vetme e tij;
• nëse , atëherë ose , e cila është e njëjtë me ose , domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.

Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacionit kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehjeje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4·a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë nga shenja e shprehjes b 2 −4·a·c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminues i një ekuacioni kuadratik dhe të përcaktuara me shkronjë D. Nga këtu thelbi i diskriminuesit është i qartë - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni dhe ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: . Dhe ne nxjerrim përfundime:

• nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nëse D=0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
• së fundi, nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi t'i zgjerojmë dhe t'i çojmë thyesat në një emërues të përbashkët fitojmë.

Pra, kemi nxjerrë formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, ato duken si , ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D=b 2 −4·a·c.

Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund të llogaritni të dy rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Kur diskriminuesi është i barabartë me zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë të rrënjës, që korrespondon me një zgjidhje unike të ekuacionit kuadratik. Dhe me një diskriminues negativ, kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, i cili na nxjerr jashtë fushëveprimit dhe kurrikula shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Megjithatë, në një kurs shkollor algjebër është zakonisht po flasim për jo për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 +b x+c=0, ju duhet:

• duke përdorur formulën diskriminuese D=b 2 −4·a·c, njehsoni vlerën e saj;
• konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• njehsoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.

Këtu thjesht vërejmë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, mund të përdorni edhe formulën ajo do të japë të njëjtën vlerë si .

Mund të kaloni në shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me një diskriminues pozitiv, negativ dhe zero. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 +2·x−6=0.

Zgjidhje.

Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, b=2 dhe c=−6. Sipas algoritmit, së pari duhet të llogarisni diskriminuesin për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Meqenëse 28>0, domethënë, diskriminuesi është më i madh se zero, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjësore, marrim , këtu mund të thjeshtoni shprehjet që rezultojnë duke bërë duke lëvizur shumëzuesin përtej shenjës së rrënjës e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:

Përgjigje:

Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Zgjidhje.

Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si , domethënë,

Përgjigje:

x=3.5.

Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një diskriminues negativ.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin 5·y 2 +6·y+2=0.

Zgjidhje.

Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a=5, b=6 dhe c=2. Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.

Nëse keni nevojë të specifikoni rrënjë komplekse, atëherë përdorni formula e njohur rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe kryejnë veprimet me numra kompleks:

Përgjigje:

nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë: .

Le të vërejmë edhe një herë se nëse diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D=b 2 −4·a·c ju lejon të merrni një formulë të një forme më kompakte, duke ju lejuar të zgjidhni ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x (ose thjesht me një koeficienti që ka formën 2·n, për shembull, ose 14· ln5=2·7·ln5 ). Le ta nxjerrim jashtë.

Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 +2 n x+c=0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, ne llogarisim diskriminuesin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

Le të shënojmë shprehjen n 2 −a c si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën , ku D 1 =n 2 −a·c.

Është e lehtë të shihet se D=4·D 1, ose D 1 =D/4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Pra, për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë 2·n, ju duhet

• Njehsoni D 1 =n 2 −a·c ;
• Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nëse D 1 =0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën;
• Nëse D 1 >0, atëherë gjeni dy rrënjë reale duke përdorur formulën.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e shembullit duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Zgjidhje.

Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2·(−3) . Kjo do të thotë, ju mund të rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, këtu a=5, n=−3 dhe c=−32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën e duhur të rrënjës:

Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast do të duhej të kryhej më shumë punë llogaritëse.

Përgjigje:

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë, përpara se të filloni të llogaritni rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu se në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 sesa 1100 x 2 −400 x−600=0.

Në mënyrë tipike, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët me një numër të caktuar. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm ishte e mundur të thjeshtohej ekuacioni 1100 x 2 −400 x −600=0 duke i ndarë të dyja anët me 100.

Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë . Në këtë rast, të dy anët e ekuacionit zakonisht ndahen me vlerat absolute të koeficientëve të tij. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x+8=0.

Dhe shumëzimi i të dy anëve të një ekuacioni kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM(6, 3, 1)=6, atëherë ai do të marrë formën më të thjeshtë x 2 +4·x−18=0.

Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin më të lartë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose pjesëtimin) e të dy anëve me -1. Për shembull, zakonisht lëvizim nga ekuacioni kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 në zgjidhjen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme nga teorema e Vietës janë të formës dhe . Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, duke parë formën e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, mund të themi menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me 7/3, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me 22. /3.

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij: .

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

NË shoqëri moderne aftësia për të kryer veprime me ekuacione që përmbajnë një variabël në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në zhvillimet shkencore dhe teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në projektimin e anijeve detare dhe lumore, avionëve dhe raketave. Duke përdorur llogaritjet e tilla, trajektoret e lëvizjes më të madhe trupa të ndryshëm, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse flasim në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e treguara, pavarësisht se si duken, gjithmonë mund të sillen në formën kur ana e majte shprehja përbëhet nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Duke zëvendësuar vlerat e nevojshme, duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohurat e mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në më shumë raste të vështira. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ky trinom kuadratik është i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrenja katrore

Një rast tjetër i një ekuacioni jo të plotë të rendit të dytë është një shprehje e paraqitur në gjuhën e shkronjave në një mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj rrënja katrore merret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë është negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës në ato kohë të largëta ishte përcaktuar kryesisht nga nevoja për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në probleme të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e truallit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Megjithëse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Së pari, le të bëjmë transformimet e nevojshme, pastaj pamjen e kësaj shprehjeje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë një shprehje në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c=-612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu llogaritjet e nevojshme prodhohen sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por edhe përcakton sasinë opsionet e mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë të barazisë, të bëjmë një transformim, domethënë, do të marrim llojin e ekuacionit që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë atë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën përkatëse të zakonshme dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është e përshtatshme të zgjidhen ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas asaj që jetoi në shekullin e 16-të në Francë dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe prodhimi i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisave

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse 0 merr vlera negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse merrni një imazh vizual funksion kuadratik Nuk është e lehtë, ju mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtëve u duheshin llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët e Mesopotamisë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata gjithashtu nuk ishin të njohur me hollësitë e tjera që i njeh çdo nxënës i shkollës moderne.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet i plotë anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Dhe nëse b= 0, çfarë marrim? Ne kemi X do të humbasë në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dhe kështu me radhë. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë është e nevojshme ekuacioni i dhënë të çojë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, beje ate!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të dalë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e keni njohur?) Po! Kjo ekuacionet kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. a, b dhe c.

E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; A c? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo eshte e gjitha. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me, A b !

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë formulë. Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Kjo eshte...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1- çfarë është më e vogël dhe x 2- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, kur thjesht zgjidhen ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk është vërtet i nevojshëm. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit jo mjaftueshem. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit qe kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. Ju e kuptoni se fjala kyçe këtu është me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, ​​pastaj pa katror, ​​pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionon, do të thotë se ata tashmë kanë dështuar diku. Kërkoni për gabimin.

Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë b Me e kundërt i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me një emërues të përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacionet? Transformimet e identitetit". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Beje!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas, Seksioni 555 do t'ju ndihmojë të gjithë këta shembuj. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flasim edhe për përdorimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0.
Le të zbatojmë për trinomin kuadratik ax 2 + bx + c të njëjtat shndërrime që kemi kryer në § 13 kur vërtetuam teoremën se grafiku i funksionit y = ax 2 + bx + c është një parabolë.
Ne kemi

Zakonisht shprehja b 2 - 4ac shënohet me shkronjën D dhe quhet diskriminues i ekuacionit kuadratik ax 2 + bx + c = 0 (ose diskriminues i sëpatës së trinomit kuadratik + bx + c).

Kështu

Kjo do të thotë se ekuacioni kuadratik ax 2 + ato + c = O mund të rishkruhet në formën

Çdo ekuacion kuadratik mund të shndërrohet në formën (1), e cila është e përshtatshme, siç do ta shohim tani, për të përcaktuar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik dhe për të gjetur këto rrënjë.

Dëshmi. Nëse D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Që nga D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dëshmi. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni (1) merr formën

është rrënja e vetme e ekuacionit.

Shënim 1. A ju kujtohet se x = - është abshisa e kulmit të parabolës, e cila shërben si grafiku i funksionit y = ax 2 + ato + c? Pse kete
vlera doli të jetë rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik sëpatë 2 + ato + c - 0? "Arkivoli" hapet thjesht: nëse D është 0, atëherë, siç kemi vendosur më parë,

Grafiku i të njëjtit funksion është një parabolë me një kulm në një pikë (shih, për shembull, Fig. 98). Kjo do të thotë se abshisa e kulmit të parabolës dhe rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik për D = 0 janë të njëjtin numër.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Meqenëse D = 0, atëherë nga teorema 2 ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet nga formula

Përgjigje: 2.5.

Shënim 2. Vini re se 4x 2 - 20x +25 është një katror i përsosur: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Nëse do ta kishim vënë re këtë menjëherë, do ta kishim zgjidhur ekuacionin si ky: (2x - 5) 2 = 0, që do të thotë 2x - 5 = 0, nga i cili marrim x = 2.5. Në përgjithësi, nëse D = 0, atëherë

sëpatë 2 + bx + c = - e vumë re këtë më herët në vërejtjen 1.
Nëse D > 0, atëherë ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ka dy rrënjë, të cilat gjenden me formulat

Dëshmi. Le të rishkruajmë ekuacionin kuadratik ax 2 + b x + c = 0 në formën (1)

Le të vendosim
Sipas kushtit, D > 0, që do të thotë se ana e djathtë e ekuacionit është një numër pozitiv. Pastaj nga ekuacioni (2) marrim atë

Pra, ekuacioni i dhënë kuadratik ka dy rrënjë:

Shënim 3. Në matematikë, rrallë ndodh që termi i futur të mos ketë, në mënyrë figurative, sfond të përditshëm. Le të marrim diçka të re
koncept - diskriminues. Mos harroni fjalën "diskriminim". Çfarë do të thotë? Do të thotë poshtërimi i disave dhe lartësimi i të tjerëve, d.m.th. qëndrim të ndryshëm
ndaj njerëzve të ndryshëm. Të dyja fjalët (diskriminues dhe diskriminues) vijnë nga latinishtja discriminans - "diskriminues". Diskriminuesi dallon ekuacionet kuadratike sipas numrit të rrënjëve.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Meqenëse D > 0, atëherë nga teorema 3 ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këto rrënjë gjenden sipas formulave (3)

Në fakt, ne kemi zhvilluar rregullin e mëposhtëm:

Rregulla për zgjidhjen e ekuacionit
sëpatë 2 + bx + c = 0

Ky rregull është universal dhe zbatohet për ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota. Megjithatë, ekuacionet kuadratike jo të plota zakonisht nuk zgjidhen duke përdorur këtë rregull, është më e përshtatshme për t'i zgjidhur ato siç bëmë në paragrafin e mëparshëm.

Shembulli 4. Zgjidh ekuacionet:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Zgjidhje a) Këtu a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Meqenëse D > 0, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Ne i gjejmë këto rrënjë duke përdorur formulat (3)

B) Siç tregon përvoja, është më e përshtatshme të trajtohen ekuacionet kuadratike në të cilat koeficienti kryesor është pozitiv. Prandaj, së pari i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me -1, marrim

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Këtu a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Meqenëse D = 0, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet me formulën x = -. Do të thotë,

Ky ekuacion mund të zgjidhej ndryshe: pasi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, atëherë marrim ekuacionin (Зх - I) 2 = 0, nga ku gjejmë Зх - 1 = 0, d.m.th. x = .

c) Këtu a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Meqenëse D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikanët janë njerëz praktik, ekonomikë. Pse, thonë ata, e përdorin këtë? rregull i gjatë duke zgjidhur një ekuacion kuadratik, është më mirë të shkruani menjëherë formulën e përgjithshme:

Nëse rezulton se diskriminuesi D = b 2 - 4ac është një numër negativ, atëherë formula e shkruar nuk ka kuptim (ka një numër negativ nën shenjën e rrënjës katrore), që do të thotë se nuk ka rrënjë. Nëse rezulton se diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë marrim

Kjo është, një rrënjë (ata gjithashtu thonë se ekuacioni kuadratik në këtë rast ka dy rrënjë identike:

Së fundi, nëse rezulton se b 2 - 4ac > 0, atëherë marrim dy rrënjë x 1 dhe x 2, të cilat llogariten duke përdorur të njëjtat formula (3) siç tregohet më sipër.

Vetë numri në këtë rast është pozitiv (si çdo rrënjë katrore e një numri pozitiv), dhe shenja e dyfishtë përpara tij do të thotë që në një rast (kur gjendet x 1) ky numër pozitiv i shtohet numrit - b, dhe në një rast tjetër (kur gjendet x 2) ky është një numër pozitiv
lexo nga numri - b.

Ju keni lirinë e zgjedhjes. Dëshironi të zgjidhni ekuacionin kuadratik në detaje duke përdorur rregullin e formuluar më sipër; Nëse dëshironi, shkruani menjëherë formulën (4) dhe përdorni atë për të nxjerrë përfundimet e nevojshme.

Shembulli 5. Zgjidh ekuacionet:

Zgjidhja, a) Sigurisht, ju mund të përdorni formulat (4) ose (3), duke marrë parasysh se në këtë rast Por pse t'i bëjmë gjërat me thyesa kur është më e lehtë dhe, më e rëndësishmja, më e këndshme të trajtosh numrat e plotë? Le të heqim qafe emëruesit. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni të dy anët e ekuacionit me 12, domethënë me emëruesin më të ulët të përbashkët të fraksioneve që shërbejnë si koeficientë të ekuacionit. marrim

prej nga 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Tani le të përdorim formulën (4)

B) Kemi përsëri një ekuacion me koeficientë thyesorë: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me 100, atëherë marrim një ekuacion me koeficientë të plotë:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Më pas, ne përdorim formulën (4):

Një llogaritje e thjeshtë tregon se diskriminuesi (shprehja radikale) është një numër negativ. Kjo do të thotë se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Shembulli 6. Zgjidhe ekuacionin
Zgjidhje. Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, preferohet të veprohet sipas rregullit sesa sipas formulës së shkurtuar (4).

Kemi a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Meqenëse D > 0, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë, të cilat do t'i kërkojmë duke përdorur formulat (3)

Shembulli 7. Zgjidhe ekuacionin
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Zgjidhje. Ky ekuacion kuadratik ndryshon nga të gjitha ekuacionet kuadratike të shqyrtuara deri më tani në atë që koeficientët nuk janë numra specifikë, por shprehje shkronjash. Ekuacione të tilla quhen ekuacione me koeficientë shkronjash ose ekuacione me parametra. Në këtë rast, parametri (shkronja) p përfshihet në koeficientin e dytë dhe termin e lirë të ekuacionit.
Le të gjejmë diskriminuesin:

Shembulli 8. Zgjidheni ekuacionin px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Zgjidhje. Ky është gjithashtu një ekuacion me parametrin p, por, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, ai nuk mund të zgjidhet menjëherë duke përdorur formulat (4) ose (3). Fakti është se formulat e treguara janë të zbatueshme për ekuacionet kuadratike, por ne ende nuk mund ta themi këtë për një ekuacion të caktuar. Në të vërtetë, çka nëse p = 0? Pastaj
ekuacioni do të marrë formën 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, d.m.th. x - 1 = 0, nga e cila marrim x = 1. Tani, nëse e dini me siguri se , atëherë mund të aplikoni formulat për rrënjët e kuadratit ekuacioni:

Ekuacioni kuadratik - i lehtë për t'u zgjidhur! *Këtej e tutje referuar si “KU”. Miq, duket se nuk mund të ketë asgjë më të thjeshtë në matematikë sesa zgjidhja e një ekuacioni të tillë. Por diçka më tha se shumë njerëz kanë probleme me të. Vendosa të shikoj sa përshtypje sipas kërkesës jep Yandex në muaj. Ja çfarë ndodhi, shikoni:

Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se rreth 70,000 njerëz në muaj janë në kërkim ky informacion, çfarë lidhje ka kjo verë dhe çfarë do të ndodhë mes tyre Viti shkollor— do të ketë dy herë më shumë kërkesa. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ata djem dhe vajza që kanë mbaruar shkollën shumë kohë më parë dhe po përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit, po kërkojnë këtë informacion, dhe nxënësit e shkollës gjithashtu përpiqen të freskojnë kujtesën e tyre.

Përkundër faktit se ka shumë faqe që ju tregojnë se si ta zgjidhni këtë ekuacion, vendosa gjithashtu të kontribuoj dhe të publikoj materialin. Së pari, unë do të doja që vizitorët të vijnë në faqen time bazuar në këtë kërkesë; së dyti, në artikuj të tjerë, kur të vijë tema e "KU", do të jap një lidhje me këtë artikull; së treti, unë do t'ju tregoj pak më shumë për zgjidhjen e tij sesa thuhet zakonisht në faqet e tjera. Le të fillojmë! Përmbajtja e artikullit:

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

ku koeficientët a,bdhe c janë numra arbitrar, me a≠0.

Në kursin e shkollës jepet materiali formën e mëposhtme- ekuacionet ndahen në tri klasa:

1. Kanë dy rrënjë.

2. *Kanë vetëm një rrënjë.

3. Nuk kanë rrënjë. Vlen veçanërisht të theksohet këtu se ato nuk kanë rrënjë të vërteta

Si llogariten rrënjët? Vetëm!

Ne llogarisim diskriminuesin. Nën këtë fjalë "të tmerrshme" qëndron një formulë shumë e thjeshtë:

Formulat e rrënjës janë si më poshtë:

*Këto formula duhet t'i dini përmendësh.

Ju menjëherë mund të shkruani dhe zgjidhni:

Shembull:

1. Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

2. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

3. Nëse D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Le të shohim ekuacionin:

Nga me këtë rast, kur diskriminuesi është i barabartë me zero, kursi i shkollës thotë se rezultati është një rrënjë, këtu është e barabartë me nëntë. Gjithçka është e saktë, ashtu është, por...

Kjo ide është disi e pasaktë. Në fakt, ka dy rrënjë. Po, po, mos u habitni, ju merrni dy rrënjë të barabarta, dhe për të qenë matematikisht i saktë, atëherë përgjigja duhet të shkruajë dy rrënjë:

x 1 = 3 x 2 = 3

Por kjo është kështu - një digresion i vogël. Në shkollë mund ta shkruani dhe të thoni se ka një rrënjë.

Tani shembulli tjetër:

Siç e dimë, rrënja e një numri negativ nuk mund të merret, kështu që nuk ka zgjidhje në këtë rast.

Ky është i gjithë procesi i vendimit.

Funksioni kuadratik.

Kjo tregon se si duket zgjidhja gjeometrikisht. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për t'u kuptuar (në të ardhmen, në një nga artikujt do të analizojmë në detaje zgjidhjen e pabarazisë kuadratike).

Ky është një funksion i formës:

ku x dhe y janë ndryshore

a, b, c – numrat e dhënë, me a ≠ 0

Grafiku është një parabolë:

Domethënë, rezulton se duke zgjidhur një ekuacion kuadratik me “y” të barabartë me zero, gjejmë pikat e prerjes së parabolës me boshtin x. Mund të ketë dy nga këto pika (diskriminuesi është pozitiv), një (diskriminuesi është zero) dhe asnjë (diskriminuesi është negativ). Detaje rreth funksionit kuadratik Ju mund të shikoni artikull nga Inna Feldman.

Le të shohim shembuj:

Shembulli 1: Zgjidh 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Përgjigje: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ishte e mundur që menjëherë të ndahej anët e majta dhe të djathta të ekuacionit me 2, domethënë ta thjeshtonin atë. Llogaritjet do të jenë më të lehta.

Shembulli 2: Vendosni x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ne zbuluam se x 1 = 11 dhe x 2 = 11

Lejohet të shkruhet x = 11 në përgjigje.

Përgjigje: x = 11

Shembulli 3: Vendosni x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminuesi është negativ, nuk ka zgjidhje në numra realë.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje

Diskriminuesi është negativ. Ka zgjidhje!

Këtu do të flasim për zgjidhjen e ekuacionit në rastin kur fitohet një diskriminues negativ. A dini ndonjë gjë për numrat kompleks? Nuk do të hyj në detaje këtu se pse dhe ku u ngritën dhe cili është roli dhe nevoja e tyre specifike në matematikë, kjo është një temë për një artikull të madh të veçantë.

Koncepti i një numri kompleks.

Pak teori.

Një numër kompleks z është një numër i formës

z = a + bi

ku a dhe b janë numra realë, i është e ashtuquajtura njësi imagjinare.

a+bi - ky është një numër i vetëm, jo ​​një shtesë.

Njësia imagjinare është e barabartë me rrënjën e minus një:

Tani merrni parasysh ekuacionin:

Marrim dy rrënjë të konjuguara.

Ekuacioni kuadratik jo i plotë.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta, kjo është kur koeficienti "b" ose "c" është i barabartë me zero (ose të dy janë të barabartë me zero). Ato mund të zgjidhen lehtësisht pa ndonjë çështje diskriminuese.

Rasti 1. Koeficienti b = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë:

Shembull:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Rasti 2. Koeficienti c = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë dhe faktorizojmë:

*Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Shembull:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ose x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Rasti 3. Koeficientët b = 0 dhe c = 0.

Këtu është e qartë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë gjithmonë x = 0.

Vetitë e dobishme dhe modelet e koeficientëve.

Ka veti që ju lejojnë të zgjidhni ekuacione me koeficientë të mëdhenj.

Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a + b+ c = 0, Se

- nëse për koeficientët e ekuacionit Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a+ s =b, Se

Këto veti ndihmojnë në zgjidhjen e një lloji të caktuar ekuacioni.

Shembulli 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Shuma e gjasave është 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, që do të thotë

Shembulli 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Barazia qëndron a+ s =b, Do të thotë

Rregullsitë e koeficientëve.

1. Nëse në ekuacionin ax 2 + bx + c = 0 koeficienti "b" është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht. e barabartë me koeficientin"a", atëherë rrënjët e saj janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx + c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti “c” numerikisht është i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nëse në barazimin. ax 2 + bx – c = 0 koeficienti “b” është e barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti “c” është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx – c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti c është numerikisht i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema e Vietës.

Teorema e Vieta-s ka marrë emrin e matematikanit të famshëm francez Francois Vieta. Duke përdorur teoremën e Vietës, ne mund të shprehim shumën dhe produktin e rrënjëve të një KU arbitrare në termat e koeficientëve të saj.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Në total, numri 14 jep vetëm 5 dhe 9. Këto janë rrënjë. Me një aftësi të caktuar, duke përdorur teoremën e paraqitur, mund të zgjidhni menjëherë shumë ekuacione kuadratike gojarisht.

Teorema e Vieta-s, përveç kësaj. Është i përshtatshëm në atë që pas zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik në mënyrën e zakonshme (përmes një diskriminuesi), rrënjët që rezultojnë mund të kontrollohen. Unë rekomandoj ta bëni këtë gjithmonë.

MËNYRA E TRANSPORTIT

Me këtë metodë, koeficienti "a" shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet Metoda e "transferimit". Kjo metodë përdoret kur rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nëse A± b+c≠ 0, atëherë përdoret teknika e transferimit, për shembull:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Duke përdorur teoremën e Vieta-s në ekuacionin (2), është e lehtë të përcaktohet se x 1 = 10 x 2 = 1

Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të ndahen me 2 (pasi të dyja "u hodhën" nga x 2), marrim

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Cili është arsyetimi? Shikoni çfarë po ndodh.

Diskriminuesit e ekuacioneve (1) dhe (2) janë të barabartë:

Nëse shikoni rrënjët e ekuacioneve, merrni vetëm emërues të ndryshëm, dhe rezultati varet pikërisht nga koeficienti x 2:

E dyta (e modifikuar) ka rrënjë që janë 2 herë më të mëdha.

Prandaj, rezultatin e ndajmë me 2.

*Nëse rrotullojmë tre, rezultatin do ta ndajmë me 3, etj.

Përgjigje: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Do t'ju tregoj shkurtimisht për rëndësinë e tij - DUHET TË JENI TË GJITHË TË VENDOSNI shpejt dhe pa u menduar, duhet të dini përmendësh formulat e rrënjëve dhe diskriminuesve. Shumë probleme të përfshira në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit zbresin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik (përfshirë edhe ato gjeometrike).

Diçka që vlen të përmendet!

1. Forma e shkrimit të një ekuacioni mund të jetë “i nënkuptuar”. Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ose 15x+42+9x 2 - 45x=0 ose 15 -5x+10x 2 = 0.

Ju duhet ta sillni atë në një formë standarde (në mënyrë që të mos ngatërroheni gjatë zgjidhjes).

2. Mos harroni se x është një sasi e panjohur dhe mund të shënohet me ndonjë shkronjë tjetër - t, q, p, h dhe të tjera.