Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť priamo úmerný vzťah, je použiť príklad stroja, ktorý vyrába diely konštantnou rýchlosťou. Ak za dve hodiny vyrobí 25 dielov, tak za 4 hodiny vyrobí dvakrát toľko dielov – 50. Koľkokrát dlhší čas bude pracovať, toľkokrát viac detailov vyprodukuje.

Matematicky to vyzerá takto:

4: 2 = 50: 25 alebo takto: 2:4 = 25:50

Priamo úmerné veličiny sú tu prevádzková doba stroja a počet vyrobených dielov.

Hovorí sa: Počet dielov je priamo úmerný dobe prevádzky stroja.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sú pomery zodpovedajúcich veličín rovnaké. (V našom príklade ide o pomer času 1 k času 2 = pomer počtu častí v čase 1 do počet častí v čase 2)

Inverzná úmernosť

Nepriamo úmerný vzťah sa často vyskytuje pri problémoch s rýchlosťou. Rýchlosť a čas sú nepriamo úmerné. V skutočnosti, čím rýchlejšie sa objekt pohybuje, tým menej času zaberie cesta.

Napríklad:

Ak sú množstvá nepriamo úmerné, potom sa pomer hodnôt jednej veličiny (v našom príklade rýchlosť) rovná inverznému pomeru druhej veličiny (v našom príklade čas). (V našom príklade sa pomer prvej rýchlosti k druhej rýchlosti rovná pomeru druhej rýchlosti k prvej rýchlosti.

Príklady úloh

Úloha 1:

Riešenie:

Napíšeme stručnú podmienku problému:

Úloha 2:

Riešenie:

Stručný záznam:

Ak sa vám neotvárajú hry alebo simulátory, čítajte.

2. proporcionálny systém.

Zjavná nespravodlivosť voči politickým stranám zúčastňujúcim sa na voľbách, ktorú väčšinový systém často nesie, dala vzniknúť systému pomerného zastúpenia strán a hnutí, skrátene pomerného systému. Jeho hlavnou myšlienkou je, že každá strana by mala dostať počet kresiel v parlamente alebo inom zastupiteľskom orgáne úmerný počtu hlasov odovzdaných jej kandidátom vo voľbách.

Systémy PR sú najrozšírenejšie v Latinskej Amerike a východnej Európe a tiež tvoria jednu tretinu volebných systémov v Afrike.

Vo väčšine pomerných systémov je vlastné hlasovanie podľa straníckych zoznamov, ktoré predpokladá, že každá strana bude pripravená navrhnúť voličom na zváženie zoznam kandidátov. Voliči volia strany a tie dostanú svoj podiel kresiel v parlamente v pomere k počtu získaných hlasov.

Tento systém má svoje Výhody:

1. Nevedie k anomálnym výsledkom typickým pre väčšinový systém a poskytuje reprezentatívnejšiu legislatívu.

2. Poskytuje spravodlivú rovnováhu získaných hlasov a kresiel v parlamente, a preto umožňuje vyhnúť sa destabilizujúcim a „nespravodlivým“ výsledkom.

4. Umožňuje malým stranám získať zastúpenie v parlamente. Každá politická strana, dokonca aj s niekoľkými percentami ľudového hlasovania, môže byť zastúpená v parlamente, pokiaľ, samozrejme, nie je bariéra vstupu príliš vysoká alebo veľkosť volebného obvodu nie je príliš malá.

5. Nabáda strany, aby do svojich zoznamov zaradili kandidátov, ktorí zastupujú rôzne sociálne vrstvy.

6. Dáva viac šancí na zvolenie predstaviteľom kultúrnych a iných menšín.

7. Dajte ženám viac šancí byť zvolené do parlamentu.

8. Systém brzdí regionálnu sekciu. Pretože pri pomernom zastúpení získavajú malé strany malý počet mandátov, prakticky sa tým eliminuje situácia, keď jedna strana dostane všetky mandáty z jednej provincie alebo okresu.

9. Poskytuje viditeľnejšie rozdelenie moci medzi strany a záujmové skupiny. Vo väčšine nových demokracií nie je možné vyhnúť sa potrebe rozdeliť si moc medzi väčšinu ľudí, ktorých zástupcovia majú politickú moc, a malý počet tých, ktorí majú ekonomickú moc.

PR systémy kritizovaný z dvoch hlavných dôvodov:

po prvé pre ich tendenciu vytvárať koaličné vlády so všetkými ich nedostatkami;

po druhé, pre neschopnosť niektorých z týchto systémov zabezpečiť silné geografické prepojenie medzi poslancom a jeho voličmi. Najbežnejšie argumenty proti systémom pomerného zastúpenia sú:

1. Zostavenie koaličnej vlády vedie k legislatívnemu „stuporu“ a ďalšej neschopnosti vykonávať konzistentnú politiku v najdôležitejších otázkach.

2. Destabilizujúca fragmentácia. Polarizovaný pluralizmus môže dať malým stranám príležitosť predbehnúť tie veľké a rokovať s nimi o koalíciách. V tomto aspekte sa ako nevýhoda uvádza široké zastúpenie.

3. Základ pre činnosť extrémistických strán.

4. Vytvorenie vládnej koalície, v ktorej nie je dostatočné pochopenie potrebného politického smerovania a ktorá nemá podporu obyvateľstva.

5. Nemožnosť odstránenia strany od moci.

6. Oslabenie komunikácie medzi voličmi a poslancami.

7. Dáva príliš veľkú moc do rúk straníckeho stredu a najvyššieho vedenia strany. Miesto kandidáta na straníckej listine, a teda aj pravdepodobnosť, s akou sa dostane do parlamentu, závisí od priazne straníckych šéfov a vzťahy s voličmi ustupujú do úzadia.

8. Systém je málo známy väčšine krajín, ktoré majú históriu anglického alebo francúzskeho koloniálneho dobývania.

Kapitola 3 VZŤAHY A PROPORCIE

Proporcie môžu byť použité na riešenie problémov.

Viete napríklad, že hodnota tovaru závisí od jeho množstva: čím viac sa tovar nakúpi, tým väčšia bude jeho hodnota. Takéto množstvá sa nazývajú priamo úmerné.

Pamätajte!

O dvoch množstvách sa hovorí, že sú priamo úmerné, ak keď sa jedna veličina niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá sa zvýši (zníži) o rovnaký počet krát.

Úloha 1. Za 2 kg sladkostí zaplatili 72 UAH. Koľko bude stáť 4,5 kg týchto sladkostí?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom je pomer tvorený pomerom zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

V praxi okrem priamej úmernej závislosti veličín existuje aj nepriamo úmerná závislosť. Napríklad cestou do školy, keď sa kráti čas, zvýšite rýchlosť pohybu, aby ste nemeškali na vyučovanie. Preto rýchlosť vášho pohybu závisí od hodiny pohybu: čím kratší je čas pohybu, tým väčšia bude vaša rýchlosť. Takéto množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné.

Pamätajte!

Dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď sa jedna veličina niekoľkokrát zväčší (zníži), druhá veličina sa rovnaký počet krát zníži (zväčší).

Úloha 2. Auto, pohybujúce sa rýchlosťou 90 km/h, prešlo vzdialenosť z Čerkasy do Kyjeva za 2 h 3 akou rýchlosťou sa pohyboval v opačnom smere, ak vzdialenosť z Kyjeva do Čerkasy prekonal za 2,5 h?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom je pomer tvorený vzájomnými inverznými pomermi zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

Sú dve veličiny vždy priamo úmerné alebo nepriamo úmerné? Poďme diskutovať. Napríklad počas choroby môže teplota dieťaťa stúpať a klesať niekoľko dní. A tu neexistuje žiadna závislosť, čo znamená, že nemôže existovať žiadna proporcionalita. Ale rast dieťaťa sa s pribúdajúcim vekom neustále zvyšuje. V dôsledku toho existuje vzťah medzi veličinami, čo znamená, že existuje dôvod analyzovať pomery k týmto veličinám. Je zrejmé, že tu neexistuje žiadna proporcionálna závislosť, preto nie je potrebné presne zisťovať, ako sú tieto proporcionálne hodnoty priamo alebo naopak. Ak sú dve veličiny úmerné, potom sú možné len dve možnosti, ktoré sa navzájom vylučujú – buď priama úmernosť alebo nepriama úmernosť.

Zistiť viac

Meno talianskeho matematického mnícha je nepriamo spojené s históriou zlatého rezu. Leonardo z Pisy (1180 – 1240 str.), známejšie ako Fibonacci (syn Bonacciho).

Veľa cestoval po východe, predstavil Európe indické (arabské) číslice. V roku 1202 vyšla jeho matematická práca „The Book of the Abacus“ (počítacie dosky), v ktorej boli zhromaždené všetky v tom čase známe problémy. Jedna z úloh znela: „Koľko párov králikov sa narodí z jedného páru za jeden rok?“. Argumentujúc na túto tému, Fibonacci vytvoril nasledujúcu sériu čísel:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Teraz je táto postupnosť čísel známa ako Fibonacciho séria. Zvláštnosťou tejto postupnosti čísel je, že každý z jej členov, počnúc tretím, sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

podobne a pomer susedných čísel radu sa blíži pomeru zlatého rezu. Napríklad:

21:34 = 0,617, a34:55 = 0,618.

PAMATUJTE SI HLAVNÉ VECI

1. Aké veličiny sa nazývajú priamoúmerné? Uveďte príklady.

2. Ako riešite problémy priamej úmernosti?

3. Aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné? Uveďte príklady.

4. Riešim problémy s nepriamou proporcionalitou?

5. Sú dve veličiny vždy úmerné?

589". Dve hodnoty sú priamo úmerné. Ako sa zmení jedna hodnota, ak sa druhá: a) zvýši 5-krát; b) zníži 2-krát?

Vysvetlite odpoveď.

590". Podľa stavu problému urobili skrátený záznam:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Sú tieto množstvá priamo úmerné?

591". Dve hodnoty sú nepriamo úmerné, Ako sa zmení jedna hodnota, ak druhá:

a) zvýši sa 4-krát; b) znížiť 6-krát?

Vysvetlite odpoveď.

592". Podľa stavu problému urobili skrátený záznam:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Sú tieto množstvá nepriamo úmerné?

593 °C. Určite, či je táto závislosť veličín priamo úmerná:

1) náklady na tovar zakúpený za jednu cenu a množstvo tovaru;

2) hmotnosť škatule so sladkosťami a počet rovnakých sladkostí v škatuli;

3) dráhu, ktorú vozidlo prešlo konštantnou rýchlosťou, a čas pohybu;

4) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

5) hmotnosť a výška osoby;

b) hmotnosť bobúľ a hmotnosť cukru na výrobu džemu;

7) obvod obdĺžnika a dĺžka jednej z jeho strán;

8) dĺžka strany štvorca a jeho obvod.

594 °C. Zo skráteného zápisu úlohy nájdite x, ak sú veličiny priamo úmerné.

1) 3 kg sladkostí -36 UAH, 2) 15 častí - 3 hodiny,

6 kg sladkostí x; x -2 hodiny.

595 °C. Koľko stojí 10 kg sladkostí, ak sa za 4 kg takýchto sladkostí zaplatí 128 UAH?

596 °C. Za 3 kg jabĺk zaplatili 24 UAH. Koľko stojí 7 kg týchto jabĺk?

597 °C. Loď prešla 80 km za 4 hodiny. Ako ďaleko prejde loď za 2 hodiny rovnakou rýchlosťou?

598 °C. Turista prešiel 20 km za 5 hodín. Koľko hodín trvá turistovi prejsť vzdialenosť 28 km pri rovnakej rýchlosti?

599 °C. Pri pečení chleba z 1 kg ražnej múky sa získa 1,4 kg chleba. Koľko múky je potrebné na získanie 42 centov chleba?

600°. Z 3 kg surových kávových zŕn sa získa 2,5 kg pražených zŕn. Koľko kilogramov surových kávových zŕn treba odobrať, aby ste získali 10 kg upraženej?

601°. Auto prešlo vzdialenosť 210 km za 3 hodiny. Aká vzdialenosť je pre auto ľahšia za 2 hodiny pri pohybe rovnakou rýchlosťou?

602°. Gibon opica bez chvosta, ktorá skáče zo stromu na strom, prekoná vzdialenosť 32 km za 2 hodiny. Ako ďaleko prejde gibon za 3 hodiny?

603°. Určite, či je táto závislosť veličín nepriamo úmerná:

1) cena tovaru a kúpna cena;

2) hmotnosť škatule so sladkosťami a jej hodnota;

3) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

4) rýchlosť auta a dráhu, ktorú prešlo konštantnou rýchlosťou;

5) množstvo vykonanej práce a čas jej vykonania;

6) produktivita práce a čas na jej vykonanie určitého množstva práce;

7) počet áut a náklad, ktorý prepravia za určitý čas;

8) dĺžka strany štvorca a jeho plocha.

604°. Pomocou skráteného zápisu úlohy nájdite x, ak sú veličiny nepriamo úmerné.

1) 3 h – 80 km/h, 2) 5 – 8 pracovných dní,

4 h - x; x -10 dní.

605°. 3 stolári zrealizovali zákazku na výrobu nábytku za 12 dní. Za koľko dní bude 6 stolárov trvať na dokončení zákazky, ak je ich produktivita práce rovnaká?

606°, Za koľko dní dokončí úlohu 6 pracovníkov, ak 2 pracovníci dokážu túto úlohu splniť za 9 dní?

607 °C. Klokan červený sa pohyboval 3 hodiny rýchlosťou 55 km/h. Aká by mala byť rýchlosť kengury, aby túto vzdialenosť prekonala za 2,5 hodiny?

608°. Aká by mala byť rýchlosť vlaku podľa nového grafikonu, aby vzdialenosť medzi dvoma stanicami prekonal za 4 hodiny, ak by ju podľa starého grafikonu pri rýchlosti 100 km/h prekonal za 5 hodín ?

609. Za 4 kg koláčikov zaplatili 56 UAH. Koľko budú 3 kg sladkostí stáť o 2 UAH viac ako cena sušienok?

610. 5 kg jabĺk stojí 40 UAH. Nájdite cenu 2 kg hrušiek, ktorých cena je o 4 UAH vyššia ako cena jabĺk.

611. Kyvadlo nástenných hodín vykoná 730 výkyvov za 15 minút. Koľko kmitov urobí za 1 hodinu? Ako dlho trvá, kým kyvadlo urobí 2190 kmitov?

612. Natália zaplatila 60 UAH za 24 notebookov. Koľko stojí 20 týchto notebookov? Koľko z týchto notebookov sa dá kúpiť za 45 UAH?

613. V plechovke je 12 litrov mlieka. Rovnomerne sa nalialo do 6 plechoviek. Koľko litrov mlieka je v každej nádobe? Koľko trojlitrových nádob sa dá naplniť mliekom z tejto plechovky?

614. Vodovodným kohútikom pretečie za minútu 6 litrov vody. Koľko vody vytečie z kohútika za pol hodinu? Ako dlho bude trvať, kým kohútikom pretečie 27 litrov vody?

615. Vzdialenosť medzi stanicami je 360 ​​km. Ako dlho bude vlaku trvať, kým prejde 90 km za hodinu? Aká musí byť rýchlosť vlaku, aby prekonal túto vzdialenosť za 4 hodiny a 30 minút?

616. Vzdialenosť medzi obcami je 18 km. O čo ľahšiu vzdialenosť má cyklista, ktorého rýchlosť je 12 km/h? Akou rýchlosťou sa musí chodec pohybovať, aby prekonal túto vzdialenosť za 6 hodín?

617. Dva traktory orali pole za 6 dní. Koľko dní budú trvať 4 traktory na vykopanie tohto poľa, ak budú pracovať s rovnakou produktivitou práce? Koľko traktorov je potrebných na oranie tohto poľa za 2 dni?

618. Osem kamiónov dokáže prepraviť náklad za 3 dni. Za koľko dní stihne prepraviť tovar 6 takýchto kamiónov? Koľko kamiónov bude potrebných na prepravu tohto nákladu za 2 dni?

619. Vytvorte a vyriešte úlohu pre:

1) priama úmernosť, na riešenie ktorej musíte urobiť pomer

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej musíte vytvoriť pomer x: 4 \u003d 120: 160.

620. Vymyslite a vyriešte úlohu pre: 1) priamu úmernosť, na riešenie ktorej je potrebné urobiť pomer

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej je potrebné vytvoriť pomer 3: x \u003d 90: 60.

621*. Tarasik sa zo železničnej stanice dostane do dediny za 20 minút. Ako dlho mu bude trvať cesta na bicykli zo stanice do obce, ak rýchlosť jeho pohybu na bicykli je 2-krát väčšia ako rýchlosť pohybu pešo?

622*. Majster, ktorý pracuje samostatne, dokončí prácu za 3 dni a spolu so študentom - za 2 dni. Za koľko dní môže študent túto prácu dokončiť sám?

623*. Dima zabehne 4 kolá na bežiacom páse za rovnaký čas ako Katya zabehne 3 kolá. Káťa zabehla 12 kôl. Koľko kôl odbehol Dima počas tejto doby?

624*. Voda sa dá z bazéna odčerpať za 1 hodinu a 15 minút. Ako dlho po začatí prác bude v bazéne 0,2 z množstva vody, ktoré bolo pôvodne?

APLIKOVAŤ V PRAXI

625. Na tlač knihy sa malo umiestniť 28 riadkov na každú stranu, 40 písmen v každom riadku. Ukázalo sa však, že je účelnejšie umiestniť na každú stranu 35 riadkov. Koľko písmen sa v tomto prípade umiestni do každého riadku písmen počas tlače tejto knihy, ak sa počet písmen na stranu nezmení?

626. Na prípravu 12 koláčov treba vziať bielkovinu z jedného vajca a 3 polievkové lyžice cukru. Koľko z týchto produktov treba vziať na prípravu 24 takýchto hromádok? Koľko koláčov dostanete, ak máte 3 vajcia?

OPAKOVACIE ÚLOHY

627. Aké číslo treba zadať do poslednej bunky reťazca?

628. Vyriešte rovnicu:

Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak pri viacnásobnom zvýšení jedného z nich sa o rovnakú sumu zvýši aj druhý. Preto, keď sa jeden z nich niekoľkokrát zníži, druhý sa zníži o rovnakú hodnotu.

Vzťah medzi takýmito veličinami je priamo úmerný vzťah. Príklady priamej úmernosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné;

3) náklady na tovar zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.

Ak chcete rozlíšiť priamu úmernosť od inverznej, môžete použiť príslovie: "Čím ďalej do lesa, tým viac dreva."

Úlohy pre priamo úmerné veličiny je vhodné riešiť pomocou proporcií.

1) Na výrobu 10 dielov je potrebných 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa spotrebuje na výrobu 12 takýchto dielov?

(Hádame sa takto:

1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím viac častí, tým viac kovu je potrebné na ich výrobu. Ide teda o priamo úmerný vzťah.

Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Vytvoríme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):

12:10=x:3,5

Aby sme našli , musíme rozdeliť súčin extrémnych výrazov známym stredným výrazom:

To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky sa zaplatilo 1680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?

(1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím menej látky kúpite, tým menej za ňu zaplatíte. Ide teda o priamo úmerný vzťah.

3. Preto druhá šípka smeruje rovnakým smerom ako prvá).

Nech stojí x rubľov 12 metrov látky. Tvoríme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15:12=1680:x

Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, vydelíme súčin stredných členov známym extrémnym členom podielu:

Takže 12 metrov stojí 1344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.