Ako riešiť logaritmy s rôznymi základňami. Definícia logaritmu a jeho vlastnosti: teória a riešenie problémov

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Uvádzajú sa hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, expanzia v mocninnom rade a reprezentácia funkcie ln x pomocou komplexných čísel.

Definícia

prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná k exponentu, x \u003d e y , a čo je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z grafu exponentu zrkadlovým odrazom okolo priamky y = x .

Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty x. Monotónne rastie na svojej doméne definície.

Ako x → 0 limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno ( - ∞ ).

Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno ( + ∞ ). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek mocninná funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Doména definície, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

ln x hodnoty

log 1 = 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou vzorca na zmenu bázy:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota prirodzeného logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom .

Derivát ln x

Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulo x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Integrálne

Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
.
takže,

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Uvažujme funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Pre rozšírenie sa uskutoční:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážte, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobným riešením.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné rýchlo a jednoducho vykonať nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c , odkiaľ podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu teda podľa definície spočíva v nájdení takého čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhľadom na informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znamienkom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme si príklady.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5,3.

Riešenie.

Definícia logaritmu nám umožňuje hneď povedať, že log 2 2 −3 = −3 . V skutočnosti sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je uvedené ako mocnina základu logaritmu, potom musíte dôkladne zvážiť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Často je toto znázornenie celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu na mocninu 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). v dôsledku toho .

Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť , z čoho sme dospeli k záveru, že . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto:

odpoveď:

log 5 25=2 , a .

Keď je dostatočne veľké prirodzené číslo pod znamienkom logaritmu, nezaškodí ho rozložiť na prvočísla. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

Riešenie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1=log a a 0 =0 a log a a=log a a 1 =1 . To znamená, že keď číslo 1 alebo číslo a je pod znamienkom logaritmu, ktoré sa rovná základu logaritmu, potom sú v týchto prípadoch logaritmy 0 a 1.

Príklad.

Aké sú logaritmy a lg10?

Riešenie.

Od , vyplýva z definície logaritmu .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1 .

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p , čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Zvážte príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus .

Riešenie.

odpoveď:

.

Pri výpočte sa využívajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odstavcoch.

Hľadanie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme využitia vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre objasnenie si uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963 , potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6=log 2 (2 3)= log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie však musíte použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby ste vypočítali pôvodný logaritmus z hľadiska daných.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 k základu 60, ak je známe, že log 60 2=a a log 60 5=b .

Riešenie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27=3 3 a pôvodný logaritmus, vďaka vlastnosti logaritmu stupňa, možno prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako možno log 60 3 vyjadriť pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu vám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Touto cestou, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. v dôsledku toho log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b) = 3-6 a-3 b.

odpoveď:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne z pôvodného logaritmu podľa prechodového vzorca prechádzajú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú ich výpočet s určitým stupňom presnosti. V ďalšej časti si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky, ich použitie

Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky. Najbežnejšie používané sú základná 2 logaritmická tabuľka, prirodzená logaritmická tabuľka a desiatková logaritmická tabuľka. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov so základom desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desaťtisícinu nájsť hodnoty dekadických logaritmov čísel od 1,000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov rozoberieme na konkrétnom príklade - je to jasnejšie. Poďme nájsť lg1,256 .

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, čiže nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslo 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslo 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách tabuľky logaritmov na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu až po štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, a tiež prekročiť limity od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332 . Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332 10 2 . Potom by sa mantisa mala zaokrúhliť na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, pričom pôvodný dekadický logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Teraz použite vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky dekadických logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. Touto cestou, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Ťažiskom tohto článku je logaritmus. Tu uvedieme definíciu logaritmu, ukážeme akceptovaný zápis, uvedieme príklady logaritmov a porozprávame sa o prirodzených a desiatkových logaritmoch. Potom zvážte základnú logaritmickú identitu.

Navigácia na stránke.

Definícia logaritmu

Koncept logaritmu vzniká pri riešení problému v určitom zmysle inverznom, keď potrebujete nájsť exponent zo známej hodnoty stupňa a známeho základu.

Ale dosť preambuly, je čas odpovedať na otázku „čo je to logaritmus“? Uveďme vhodnú definíciu.

Definícia.

Logaritmus b na základ a, kde a>0 , a≠1 a b>0 je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.

V tejto fáze si všimneme, že hovorené slovo „logaritmus“ by malo okamžite vyvolať dve nasledujúce otázky: „aké číslo“ a „na akom základe“. Inými slovami, jednoducho neexistuje žiadny logaritmus, ale existuje iba logaritmus čísla v nejakom základe.

Hneď predstavíme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a sa zvyčajne označuje ako log a b . Logaritmus čísla b so základom e a logaritmus so základom 10 majú svoje vlastné špeciálne označenia lnb a lgb, to znamená, že nepíšu log e b, ale lnb a nie log 10b, ale lgb.

Teraz si môžete priniesť: .
A záznamy nedáva zmysel, pretože v prvom z nich je záporné číslo pod znamienkom logaritmu, v druhom - záporné číslo v základe a v treťom - záporné číslo pod znamienkom logaritmu a jednotka v základni.

Teraz si pohovorme o pravidlá čítania logaritmov. Záznam ab sa číta ako "logaritmus b na základ a". Napríklad log 2 3 je logaritmus troch k základu 2 a je to logaritmus dvoch celých čísel dvoch základných tretín druhej odmocniny z piatich. Logaritmus k základu e sa nazýva prirodzený logaritmus a zápis lnb sa číta ako "prirodzený logaritmus b". Napríklad ln7 je prirodzený logaritmus čísla sedem a budeme ho čítať ako prirodzený logaritmus čísla pí. Logaritmus na základ 10 má tiež špeciálny názov - desiatkový logaritmus a zápis lgb sa číta ako "desiatkový logaritmus b". Napríklad lg1 je desiatkový logaritmus jednej a lg2,75 je desiatkový logaritmus dvoch bodiek sedemdesiatpäť stotín.

Oplatí sa venovať osobitnú pozornosť podmienkam a>0, a≠1 a b>0, za ktorých je daná definícia logaritmu. Vysvetlíme, odkiaľ tieto obmedzenia pochádzajú. K tomu nám pomôže rovnosť tvaru s názvom , ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.

Začnime s a≠1 . Keďže jedna sa rovná jednej akejkoľvek mocnine, potom rovnosť môže platiť iba pre b=1, ale log 1 1 môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, akceptuje sa a≠1.

Doložme účelnosť podmienky a>0 . S a=0 by sme podľa definície logaritmu mali rovnosť , čo je možné len s b=0 . Ale potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Tejto nejednoznačnosti sa dá vyhnúť podmienkou a≠0 . A pre a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nakoniec podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0 , keďže , a hodnota stupňa s kladnou bázou a je vždy kladná.

Na záver tohto odseku hovoríme, že vyjadrená definícia logaritmu vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, keď je číslo pod znakom logaritmu určitým stupňom základne. Definícia logaritmu nám skutočne umožňuje tvrdiť, že ak b=a p , potom sa logaritmus čísla b k základu a rovná p . To znamená, že log rovnosti a a p = p je pravdivý. Napríklad vieme, že 2 3 = 8 , potom log 2 8 = 3 . Viac si o tom povieme v článku.

základné vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

rovnaké dôvody

log6 4 + log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaný logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.

3.

4. kde .

Príklad 2 Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Vzorce logaritmov. Logaritmy sú príklady riešení.

Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus čísla b so základom a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť takú mocninu x (), pri ktorej platí rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Vyššie uvedené vlastnosti je potrebné poznať, pretože na ich základe sa takmer všetky problémy a príklady riešia na základe logaritmov. Zostávajúce exotické vlastnosti možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorcov pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) sa stretávame pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dvojkový.
Logaritmus základnej desiatky sa zvyčajne nazýva logaritmus základnej desiatky a jednoducho sa označuje lg(x).

Zo záznamu je vidieť, že základy nie sú v zázname zapísané. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus základne dva je

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený závislosťou

Vyššie uvedený materiál je dostatočný na to, aby ste vyriešili širokú triedu problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Pre asimiláciu materiálu uvediem len niekoľko bežných príkladov zo školských osnov a univerzít.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.
Podľa rozdielovej vlastnosti logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. kde .

Zdanlivo zložitý výraz využívajúci sériu pravidiel je zjednodušený na formulár

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2 Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet používame vlastnosti 5 a 13 až do posledného termínu

Náhradník v zázname a smútiť

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberte logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet členov

Toto je len začiatok oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – nadobudnuté vedomosti budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti ...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.