בָּסִיס(מיוונית עתיקה βασις, בסיס) - קבוצה של וקטורים כאלה במרחב וקטורי שכל וקטור של מרחב זה יכול להיות מיוצג באופן ייחודי כשילוב ליניארי של וקטורים מקבוצה זו - וקטורי בסיס

בסיס במרחב R n הוא כל מערכת ממנה נ-וקטורים בלתי תלויים באופן ליניארי. כל וקטור מ-R n שאינו כלול בבסיס יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של וקטורי בסיס, כלומר. להרחיב על הבסיס.
לאפשר להיות בסיס של הרווח R n ו. אז יש מספרים λ 1 , λ 2 , …, λ n כך ש .
מקדמי ההתפשטות λ 1 , λ 2 , ..., λ n , נקראים הקואורדינטות של הווקטור בבסיס B. אם הבסיס ניתן, אז המקדמים של הווקטור נקבעים באופן ייחודי.

תגובה. בכל נ-מרחב וקטור ממדי, אתה יכול לבחור מספר אינסופי של בסיסים שונים. בבסיסים שונים, לאותו וקטור יש קואורדינטות שונות, אבל היחידות בבסיס שנבחר. דוגמא.הרחב את הווקטור במונחים של .
פִּתָרוֹן. . החלף את הקואורדינטות של כל הוקטורים ובצע עליהם פעולות:

משווים את הקואורדינטות, נקבל מערכת משוואות:

בואו נפתור את זה: .
לפיכך, אנו מקבלים את ההרחבה: .
בבסיס, לוקטור יש קואורדינטות .

סוף העבודה -

נושא זה שייך ל:

הרעיון של וקטור. פעולות ליניאריות על וקטורים

וקטור הוא קטע מכוון שיש לו אורך מסוים, כלומר קטע באורך מסוים שיש לו אחת מנקודות התוחמות שלו.

אם אתה צריך חומר נוסף בנושא זה, או שלא מצאת את מה שחיפשת, אנו ממליצים להשתמש בחיפוש במאגר העבודות שלנו:

מה נעשה עם החומר שהתקבל:

אם החומר הזה התברר כמועיל עבורך, תוכל לשמור אותו בדף שלך ברשתות החברתיות:

בחשבון הווקטור וביישומיו יש חשיבות רבה לבעיית הפירוק, המורכבת בייצוג וקטור נתון כסכום של מספר וקטורים, הנקראים רכיבים של וקטור נתון.

וֶקטוֹר. בעיה זו, שבמקרה הכללי יש לה מספר אינסופי של פתרונות, הופכת להיות מוגדרת למדי אם ניתנים כמה אלמנטים של הוקטורים המרכיבים.

2. דוגמאות לפירוק.

הבה נבחן מספר מקרים נפוצים מאוד של פירוק.

1. לפרק את הווקטור c הנתון לשני וקטורים מרכיבים שאחד מהם, למשל a, נתון בגודל ובכיוון.

הבעיה מצטמצמת לקביעת ההבדל בין שני וקטורים. ואכן, אם הוקטורים הם רכיבים של וקטור c, אז השוויון

מכאן נקבע וקטור הרכיב השני

2. לפרק את הווקטור c הנתון לשני רכיבים, שאחד מהם חייב להיות במישור נתון והשני צריך להיות על ישר נתון a.

כדי לקבוע את הווקטורים המרכיבים, נעביר את הווקטור c כך שתחילתו תחפוף לנקודת החיתוך של הישר הנתון עם המישור (נקודה O - ראה איור 18). צייר קו ישר מקצה הווקטור c (נקודה C) עד

חיתוך עם המישור (B היא נקודת החיתוך), ואז מנקודה C נשרטט קו ישר מקביל

הווקטורים ויחפשו, כלומר, באופן טבעי, הפירוק המצוין אפשרי אם הישר a והמישור אינם מקבילים.

3. ניתנים שלושה וקטורים קו-מפלאריים a, b ו-c, והווקטורים אינם קולינאריים. נדרש לפרק את הווקטור c לוקטורים

הבה נביא את כל שלושת הווקטורים הנתונים לנקודה אחת O. לאחר מכן, בשל הקומפלאריות שלהם, הם יהיו ממוקמים באותו מישור. על וקטור c נתון, כמו באלכסון, אנו בונים מקבילית שצלעותיה מקבילות לקווי הפעולה של הוקטורים (איור 19). בנייה זו תמיד אפשרית (אלא אם הוקטורים הם קולינאריים) וייחודית. מתוך איור. 19 מראה את זה

בסיס החללקוראים למערכת כזו של וקטורים שבה ניתן לייצג את כל שאר הוקטורים של המרחב כשילוב ליניארי של וקטורים הכלולים בבסיס.
בפועל, הכל די פשוט. הבסיס, ככלל, נבדק במישור או במרחב, ולשם כך אתה צריך למצוא את הקובע של מטריצה ​​מסדר שני, שלישי, המורכבת מהקואורדינטות של הוקטורים. כתוב בצורה סכמטית למטה תנאים שבהם הוקטורים מהווים בסיס

ל הרחב את הווקטור b במונחים של וקטורי בסיס
e,e...,e[n] יש צורך למצוא את המקדמים x, ..., x[n] שעבורם השילוב הליניארי של הוקטורים e,e...,e[n] שווה ל הווקטור ב:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ב.
לשם כך, יש להמיר את המשוואה הווקטורית למערכת של משוואות ליניאריות ולמצוא פתרונות. זה גם די קל ליישום.
המקדמים שנמצאו x, ..., x[n] נקראים קואורדינטות של הווקטור b בבסיסה,ה...,ה[n].
נעבור לצד המעשי של הנושא.

פירוק של וקטור בוקטורי בסיס

משימה 1. בדוק אם הווקטורים a1, a2 מהווים בסיס במישור

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
פתרון: חבר את הקובע מהקואורדינטות של הוקטורים וחשב אותו

הקובע אינו שווה לאפס, כתוצאה מכך וקטורים הם בלתי תלויים ליניארי, כלומר הם מהווים בסיס.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
פתרון: אנו מחשבים את הקובע המורכב מוקטורים

הקובע שווה ל-13 (לא שווה לאפס) - מכאן נובע שהווקטורים a1, a2 הם בסיס במישור.

---=================---

שקול דוגמאות טיפוסיות מתוכנית IAPM בדיסציפלינה "מתמטיקה גבוהה".

משימה 2. הראו שהווקטורים a1, a2, a3 מהווים בסיס למרחב וקטורי תלת מימדי, והרחבו את הווקטור b בבסיס זה (השתמשו בשיטת קריימר בעת פתרון מערכת משוואות אלגבריות לינאריות).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
פתרון: ראשית, שקול את מערכת הוקטורים a1, a2, a3 ובדוק את הקובע של המטריצה ​​A

בנוי על וקטורים שאינם אפס. המטריצה ​​מכילה אלמנט אפס אחד, ולכן כדאי יותר לחשב את הקובע כלוח זמנים לעמודה הראשונה או השורה השלישית.

כתוצאה מהחישובים מצאנו שהדטרמיננטה שונה מאפס, לפיכך וקטורים a1, a2, a3 הם בלתי תלויים ליניארית.
בהגדרה, וקטורים מהווים בסיס ב-R3. הבה נרשום את לוח הזמנים של הווקטור b במונחים של הבסיס

וקטורים שווים כאשר הקואורדינטות המתאימות שלהם שוות.
לכן, מהמשוואה הווקטורית נקבל מערכת של משוואות ליניאריות

לפתור SLAE השיטה של ​​קריימר. לשם כך, נכתוב את מערכת המשוואות בטופס

הקובע הראשי של ה-SLAE תמיד שווה לדטרמיננט המורכב מוקטורי בסיס

לכן, בפועל זה לא מחושב פעמיים. כדי למצוא דטרמיננטים עזר, שמנו עמודה של מונחים חופשיים במקום כל עמודה של הקובע הראשי. הקובעים מחושבים לפי כלל המשולשים



החלף את הקובעים שנמצאו בנוסחה של קריימר



אז, להתרחבות הווקטור b מבחינת הבסיס יש את הצורה b=-4a1+3a2-a3. הקואורדינטות של הווקטור b בבסיס a1, a2, a3 יהיו (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), ב (3; 5; 1).
פתרון: בודקים את הווקטורים לבסיס - מרכיבים את הקואורדינטנט של הווקטורים ומחשבים אותו

לכן הקובע אינו שווה לאפס וקטורים מהווים בסיס במרחב. נותר למצוא את לוח הזמנים של הווקטור b במונחים של הבסיס הנתון. לשם כך, נכתוב את המשוואה הווקטורית

ולהפוך למערכת של משוואות לינאריות

רשום את משוואת המטריצה

לאחר מכן, עבור נוסחאות Cramer, אנו מוצאים דטרמיננטים עזר



יישום הנוסחאות של קריימר



אז לוקטור b הנתון יש לוח זמנים דרך שני וקטורי בסיס b=-2a1+5a3, והקואורדינטות שלו בבסיס שוות ל-b(-2,0, 5).

תלות לינארית ואי תלות ליניארית של וקטורים.
בסיס של וקטורים. מערכת קואורדינטות אפינית

בקהל יש עגלה עם שוקולדים, והיום כל מבקר יקבל זוג מתוק - גיאומטריה אנליטית עם אלגברה לינארית. במאמר זה, שני קטעים של מתמטיקה עליונה ייגעו בבת אחת, ונראה כיצד הם מסתדרים בעטיפה אחת. קח הפסקה, תאכל טוויקס! ... לעזאזל, נו, שטויות מתווכחים. למרות שזה בסדר, אני לא אקלע, בסופו של דבר, צריכה להיות גישה חיובית ללימודים.

תלות לינארית של וקטורים, עצמאות ליניארית של וקטורים, בסיס וקטורולמונחים אחרים יש לא רק פרשנות גיאומטרית, אלא, מעל לכל, משמעות אלגברית. עצם המושג "וקטור" מנקודת מבט של אלגברה לינארית הוא לא תמיד הווקטור ה"רגיל" שאנו יכולים לתאר במישור או במרחב. אתה לא צריך לחפש הוכחה רחוק, נסה לצייר וקטור של מרחב חמישה ממדי . או וקטור מזג האוויר, שבדיוק הלכתי ל-Gismeteo עבור: - טמפרטורה ולחץ אטמוספרי, בהתאמה. הדוגמה, כמובן, שגויה מנקודת המבט של מאפייני המרחב הווקטורי, אך עם זאת, אף אחד לא אוסר על פורמליזציה של פרמטרים אלה כווקטור. נשימה של סתיו...

לא, אני לא הולך לשעמם אותך עם תיאוריה, מרחבי וקטור ליניאריים, המשימה היא לעשות מביןהגדרות ומשפטים. המונחים החדשים (תלות לינארית, עצמאות, שילוב ליניארי, בסיס וכו') חלים על כולם וקטורים מנקודת מבט אלגברית, אך דוגמאות יינתנו גיאומטריות. כך, הכל פשוט, נגיש וויזואלי. בנוסף לבעיות של גיאומטריה אנליטית, נשקול גם כמה משימות טיפוסיות אַלגֶבּרָה. כדי לשלוט בחומר, רצוי להכיר את השיעורים וקטורים עבור בובות ו איך מחשבים את הקובע?

תלות לינארית ואי תלות של וקטורים מישוריים.
בסיס מישור ומערכת קואורדינטות אפינית

שקול את המישור של שולחן המחשב שלך (רק שולחן, שולחן ליד המיטה, רצפה, תקרה, מה שתרצה). המשימה תהיה מורכבת מהפעולות הבאות:

1) בחר בסיס מטוס. באופן גס, למשטח השולחן יש אורך ורוחב, כך שברור אינטואיטיבית שנדרשים שני וקטורים לבניית הבסיס. וקטור אחד ברור שזה לא מספיק, שלושה וקטורים זה יותר מדי.

2) מבוסס על הבסיס הנבחר להגדיר מערכת קואורדינטות(רשת קואורדינטות) להקצאת קואורדינטות לכל הפריטים בטבלה.

אל תתפלאו, בהתחלה ההסברים יהיו על האצבעות. יתר על כן, על שלך. נא למקם אצבע מורה של יד שמאלעל קצה השולחן כך שהוא מביט בצג. זה יהיה וקטור. עכשיו מקום אצבע קטנה של יד ימיןעל קצה השולחן באותו אופן - כך שהוא מכוון למסך הצג. זה יהיה וקטור. חייך, אתה נראה נהדר! מה ניתן לומר על וקטורים? וקטורי נתונים קולינארי, אשר אומר באופן ליניאריבאים לידי ביטוי זה דרך זה:
, ובכן, או להיפך: , היכן הוא מספר שאינו אפס.

תוכל לראות תמונה של פעולה זו בשיעור. וקטורים עבור בובות , שם הסברתי את הכלל להכפלת וקטור במספר.

האם האצבעות שלך יקבעו את הבסיס במישור שולחן המחשב? ברור שלא. וקטורים קולינאריים נעים קדימה ואחורה פנימה לבדכיוון, בעוד למישור יש אורך ורוחב.

וקטורים כאלה נקראים תלוי ליניארי.

התייחסות: המילים "לינארית", "לינארית" מציינות את העובדה שאין ריבועים, קוביות, חזקות אחרות, לוגריתמים, סינוסים וכו' במשוואות מתמטיות, בביטויים. יש רק ביטויים ותלות ליניאריים (דרגה 1).

שני וקטורים מישוריים תלוי ליניארי אז ורק אזכאשר הם קולינאריים.

הצלבו את האצבעות על השולחן כך שתהיה זווית כלשהי ביניהן מלבד 0 או 180 מעלות. שני וקטורים מישורייםבאופן ליניארי לֹאתלויים אם ורק אם הם אינם קולינאריים. אז, הבסיס מתקבל. אין צורך להתבייש שהבסיס התברר כ"אלכסוני" עם וקטורים לא מאונכים באורכים שונים. בקרוב מאוד נראה שלא רק זווית של 90 מעלות מתאימה לבנייתו, ולא רק וקטורים של יחידות באורך שווה

כלוקטור מטוס הדרך היחידהמורחבת במונחים של:
, איפה - מספרים אמיתיים. קוראים למספרים קואורדינטות וקטוריותבבסיס זה.

הם גם אומרים את זה וֶקטוֹרמוצג בטופס צירוף ליניאריוקטורי בסיס. כלומר, הביטוי נקרא פירוק וקטורבָּסִיסאוֹ צירוף ליניאריוקטורי בסיס.

לדוגמה, אתה יכול לומר שווקטור מורחב בבסיס אורתונורמלי של המישור, או שאתה יכול לומר שהוא מיוצג כשילוב ליניארי של וקטורים.

בואו ננסח הגדרת הבסיסרִשְׁמִית: בסיס מטוסהוא זוג וקטורים בלתי תלויים ליניאריים (לא קולינאריים), , שבו כלוקטור המישור הוא שילוב ליניארי של וקטורי הבסיס.

הנקודה המהותית של ההגדרה היא העובדה שהווקטורים נלקחים בסדר מסוים. בסיסים אלו שני בסיסים שונים לחלוטין! כמו שאומרים, לא ניתן להזיז את הזרת של יד שמאל למקום של הזרת של יד ימין.

הבנו את הבסיס, אבל זה לא מספיק להגדיר את רשת הקואורדינטות ולהקצות קואורדינטות לכל פריט על שולחן המחשב שלך. למה לא מספיק? הוקטורים חופשיים ומשוטטים על פני כל המטוס. אז איך אתה מקצה קואורדינטות לנקודות השולחן המלוכלכות הקטנות האלה שנשארו מסוף שבוע פרוע? יש צורך בנקודת התחלה. ונקודת התייחסות כזו היא נקודה המוכרת לכולם – מקור הקואורדינטות. הבנת מערכת הקואורדינטות:

אני אתחיל עם מערכת ה"בית ספר". כבר בשיעור המבוא וקטורים עבור בובות הדגשתי כמה מההבדלים בין מערכת קואורדינטות מלבנית לבסיס אורתונורמלי. הנה התמונה הסטנדרטית:

כשמדברים על מערכת קואורדינטות מלבנית, אז לרוב הם מתכוונים למקור, לצירי קואורדינטות ולקנה מידה לאורך הצירים. נסו להקליד "מערכת קואורדינטות מלבנית" במנוע החיפוש, ותראו שמקורות רבים יספרו לכם על צירי הקואורדינטות המוכרים מכיתה ה'-ו' וכיצד לשרטט נקודות במישור.

מצד שני, מתקבל הרושם שניתן להגדיר היטב מערכת קואורדינטות מלבנית במונחים של בסיס אורתונורמלי. וזה כמעט כך. הניסוח הולך ככה:

מָקוֹר, ו אורתונורמליסט בסיס מערכת קואורדינטות קרטזית של המטוס . כלומר, מערכת קואורדינטות מלבנית בהחלטמוגדר על ידי נקודה אחת ושני וקטורים אורתוגונליים של יחידות. לכן, אתה רואה את הציור שנתתי לעיל - בבעיות גיאומטריות, גם וקטורים וגם צירי קואורדינטות מצוירים לעתים קרובות (אך רחוק מתמיד).

אני חושב שכולם מבינים את זה בעזרת נקודה (מקור) ובסיס אורתונורמלי כל נקודה במטוס וכל וקטור של המטוסניתן להקצות קואורדינטות. באופן פיגורטיבי, "כל דבר במטוס ניתן למספר".

האם וקטורי קואורדינטות חייבים להיות יחידה? לא, הם יכולים להיות בעלי אורך שרירותי שאינו אפס. שקול נקודה ושני וקטורים אורתוגונליים באורך שרירותי שאינו אפס:

בסיס כזה נקרא מְאוּנָך. המקור של קואורדינטות עם וקטורים מגדירים את רשת הקואורדינטות, ולכל נקודה במישור, לכל וקטור יש קואורדינטות משלו בבסיס הנתון. למשל, או. אי הנוחות הברורה היא כי וקטורי הקואורדינטות בכללייש אורכים שונים מלבד אחדות. אם האורכים שווים לאחד, אז מתקבל הבסיס האורתונורמלי הרגיל.

! הערה : בבסיס האורתוגונלי, כמו גם למטה בבסיסים האפינים של המישור והמרחב, נחשבות יחידות לאורך הצירים מותנה. לדוגמה, יחידה אחת לאורך האבשיסה מכילה 4 ס"מ, יחידה אחת לאורך הסמטה מכילה 2 ס"מ. מידע זה מספיק כדי להמיר קואורדינטות "לא סטנדרטיות" ל"סנטימטרים הרגילים שלנו" במידת הצורך.

והשאלה השנייה, שלמעשה כבר נענתה - האם הזווית בין וקטורי הבסיס שווה בהכרח ל-90 מעלות? לֹא! כפי שאומרת ההגדרה, וקטורי בסיס חייבים להיות רק לא קולינארי. בהתאם, הזווית יכולה להיות כל דבר מלבד 0 ו-180 מעלות.

נקודה במטוס נקראה מָקוֹר, ו לא קולינאריוקטורים, , סט מערכת קואורדינטות אפיניות של המישור :

לפעמים קוראים למערכת הקואורדינטות הזו אֲלַכסוֹנִימערכת. נקודות ווקטורים מוצגים כדוגמאות בשרטוט:

כפי שהבנתם, מערכת הקואורדינטות האפינית אפילו פחות נוחה, הנוסחאות לאורכי הווקטורים והקטעים שחשבנו עליהם בחלק השני של השיעור, לא עובדות בה. וקטורים עבור בובות , הרבה נוסחאות טעימות הקשורות מכפלה סקלרית של וקטורים . אבל הכללים להוספת וקטורים והכפלת וקטור במספר תקפים, נוסחאות חלוקת מקטעים בהקשר זה, כמו גם כמה סוגים אחרים של משימות שנבחן בקרוב.

והמסקנה היא שהמקרה הספציפי הנוח ביותר של מערכת קואורדינטות קשורות הוא המערכת המלבנית הקרטזית. לכן, היא, שלה, לרוב צריך להיראות. ... עם זאת, הכל בחיים האלה הוא יחסי - יש הרבה מצבים שבהם מתאים להיות אלכסוני (או אחר, למשל, קוֹטבִי) מערכת קואורדינטות. כן, ודמואידים מערכות כאלה עשויות לבוא לטעם =)

נעבור לחלק המעשי. כל הבעיות בשיעור זה תקפות הן עבור מערכת קואורדינטות מלבנית והן עבור המקרה האפיפי הכללי. אין כאן שום דבר מסובך, כל החומר זמין אפילו לתלמיד בית ספר.

כיצד לקבוע את הקולינאריות של וקטורים מישוריים?

דבר טיפוסי. על מנת לשני וקטורים מישוריים הם קולינאריים, יש צורך ומספיק שהקואורדינטות שלהם יהיו פרופורציונליות.בעיקרון, זהו חידוד קואורדינטה אחר קואורדינטה של ​​הקשר הברור .

דוגמה 1

א) בדוק אם הוקטורים הם קולינאריים .
ב) האם הוקטורים מהווים בסיס? ?

פִּתָרוֹן:
א) בררו אם קיימים לוקטורים מקדם מידתיות, כך שמתממשים שוויון:

אני בהחלט אספר לכם על הגרסה ה"מטופשת" של יישום הכלל הזה, שדי מתגלגל בפועל. הרעיון הוא לצייר מיד פרופורציה ולראות אם היא נכונה:

בואו נעשה פרופורציה מהיחסים של הקואורדינטות המתאימות של הוקטורים:

אנחנו מקצרים:
, לכן הקואורדינטות המתאימות הן פרופורציונליות, לכן,

ניתן ליצור את היחס ולהיפך, זוהי אפשרות שווה ערך:

לבדיקה עצמית, אפשר להשתמש בעובדה שוקטורים קולינאריים באים לידי ביטוי ליניארי זה דרך זה. במקרה הזה, יש שוויון . ניתן לבדוק בקלות את תקפותם באמצעות פעולות אלמנטריות עם וקטורים:

ב) שני וקטורים מישוריים מהווים בסיס אם הם אינם קולינאריים (בלתי תלויים ליניארית). אנו בוחנים וקטורים עבור קולינאריות . בואו ניצור מערכת:

מהמשוואה הראשונה נובע כי , מהמשוואה השנייה נובע כי , כלומר, המערכת לא עקבית (אין פתרונות). לפיכך, הקואורדינטות המתאימות של הוקטורים אינן פרופורציונליות.

סיכום: הוקטורים בלתי תלויים באופן ליניארי ומהווים בסיס.

גרסה פשוטה של ​​הפתרון נראית כך:

חבר את הפרופורציה מהקואורדינטות המתאימות של הוקטורים :
, מכאן שהווקטורים הללו הם בלתי תלויים ליניארי ומהווים בסיס.

בדרך כלל סוקרים אינם דוחים אפשרות זו, אך מתעוררת בעיה במקרים בהם חלק מהקואורדינטות שוות לאפס. ככה: . או ככה: . או ככה: . איך לעבוד על הפרופורציה כאן? (באמת, אי אפשר לחלק באפס). מסיבה זו קראתי לפתרון הפשוט "מטומטם".

תשובה:א) , ב) טופס.

דוגמה יצירתית קטנה לפתרון עצמאי:

דוגמה 2

באיזה ערך של וקטורי הפרמטר יהיה קולינארי?

בתמיסה לדוגמה, הפרמטר נמצא דרך הפרופורציה.

יש דרך אלגברית אלגנטית לבדוק וקטורים עבור קולינאריות. בואו נעשה שיטתיות של הידע שלנו ופשוט נוסיף אותו כנקודה החמישית:

עבור שני וקטורים מישוריים, ההצהרות הבאות שוות ערך:

2) וקטורים מהווים בסיס;
3) הוקטורים אינם קולינאריים;

+ 5) הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו, אינו אפס.

בהתאמה, ההצהרות ההפוכות הבאות שוות ערך:
1) וקטורים תלויים ליניארית;
2) וקטורים אינם מהווים בסיס;
3) הוקטורים הם קולינאריים;
4) וקטורים יכולים להתבטא באופן ליניארי זה דרך זה;
+ 5) הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו, שווה לאפס.

אני מאוד מאוד מקווה שכרגע אתה כבר מבין את כל המונחים והאמירות שנתקלו.

בואו נסתכל מקרוב על הנקודה החדשה, החמישית: שני וקטורים מישוריים הם קולינאריים אם ורק אם הקובע המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הנתונים שווה לאפס:. כדי להשתמש בתכונה זו, כמובן, אתה צריך להיות מסוגל למצוא גורמים קובעים .

אנחנו נחליטדוגמה 1 בדרך השנייה:

א) חשב את הקובע המורכב מקואורדינטות הוקטורים :
, כך שהווקטורים האלה הם קולינאריים.

ב) שני וקטורים מישוריים מהווים בסיס אם הם אינם קולינאריים (בלתי תלויים ליניארית). הבה נחשב את הקובע המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים :
, מכאן שהווקטורים הם בלתי תלויים לינארית ומהווים בסיס.

תשובה:א) , ב) טופס.

זה נראה הרבה יותר קומפקטי ויפה יותר מהפתרון עם הפרופורציות.

בעזרת החומר הנחשב ניתן לבסס לא רק את הקולינאריות של וקטורים, אלא גם להוכיח את ההקבלה של מקטעים, קווים ישרים. שקול כמה בעיות עם צורות גיאומטריות ספציפיות.

דוגמה 3

בהינתן קודקודים של מרובע. הוכיחו שהמרובע הוא מקבילית.

הוכחה: אין צורך לבנות שרטוט בבעיה, מכיוון שהפתרון יהיה אנליטי בלבד. זכור את ההגדרה של מקבילית:
מַקבִּילִית מרובע נקרא, שבו הצלעות הנגדיות מקבילות בזוגיות.

לפיכך, יש צורך להוכיח:
1) מקביליות של צלעות מנוגדות ו;
2) מקביליות של צלעות מנוגדות ו.

אנו מוכיחים:

1) מצא את הוקטורים:

2) מצא את הוקטורים:

התוצאה היא אותו וקטור ("לפי בית הספר" - וקטורים שווים). קולינאריות די ברורה, אבל עדיף לקבל את ההחלטה כמו שצריך, עם ההסדר. חשב את הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים:
, אז הוקטורים האלה הם קולינאריים, ו.

סיכום: צלעות מנוגדות של מרובע מקבילות בזוגיות, ולכן היא מקבילה בהגדרה. Q.E.D.

עוד דמויות טובות ושונות:

דוגמה 4

בהינתן קודקודים של מרובע. הוכיחו שהמרובע הוא טרפז.

לניסוח קפדני יותר של ההוכחה, עדיף, כמובן, לקבל את ההגדרה של טרפז, אבל מספיק רק לזכור איך הוא נראה.

זוהי משימה להחלטה עצמאית. פתרון מלא בסוף השיעור.

ועכשיו הגיע הזמן לנוע לאט מהמטוס לחלל:

כיצד לקבוע את הקולינאריות של וקטורי החלל?

הכלל דומה מאוד. כדי ששני וקטורי מרחב יהיו קולינאריים, הכרחי ומספיקכך שהקואורדינטות שלהם יהיו פרופורציונליות.

דוגמה 5

גלה אם וקטורי המרחב הבאים הם קולינאריים:

א) ;
ב)
ב)

פִּתָרוֹן:
א) בדוק אם יש מקדם מידתיות לקואורדינטות המתאימות של הוקטורים:

למערכת אין פתרון, מה שאומר שהווקטורים אינם קולינאריים.

"פשוט" נוצר על ידי בדיקת הפרופורציה. במקרה הזה:
– הקואורדינטות המתאימות אינן פרופורציונליות, מה שאומר שהווקטורים אינם קולינאריים.

תשובה:הוקטורים אינם קולינאריים.

ב-ג) אלו נקודות להכרעה עצמאית. נסה את זה בשתי דרכים.

יש שיטה לבדיקת וקטורים מרחביים לקולינאריות ובאמצעות דטרמיננט מסדר שלישי, שיטה זו מכוסה במאמר מכפלת צולב של וקטורים .

בדומה למקרה המישור, ניתן להשתמש בכלים הנחשבים כדי לחקור את ההקבלה של מקטעים וקווים מרחביים.

ברוכים הבאים למדור השני:

תלות לינארית ואי תלות של וקטורי מרחב תלת מימדיים.
בסיס מרחבי ומערכת קואורדינטות אפינית

רבות מהקביעות ששקלנו במטוס יהיו תקפות גם לחלל. ניסיתי למזער את סיכום התיאוריה, שכן חלק הארי במידע כבר נלעס. עם זאת, אני ממליץ לך לקרוא בעיון את חלק המבוא, שכן מונחים ומושגים חדשים יופיעו.

כעת, במקום המישור של שולחן המחשב, בואו נבחן את המרחב התלת מימדי. ראשית, בואו ניצור את הבסיס שלו. מישהו נמצא עכשיו בפנים, מישהו בחוץ, אבל בכל מקרה, אנחנו לא יכולים להתרחק משלושה מימדים: רוחב, אורך וגובה. לכן נדרשים שלושה וקטורים מרחביים כדי לבנות את הבסיס. וקטור אחד או שניים אינם מספיקים, הרביעי מיותר.

ושוב אנחנו מתחממים על האצבעות. אנא הרם את ידך למעלה ופרש לכיוונים שונים אגודל, מורה ואצבע אמצעית. אלו יהיו וקטורים, הם מסתכלים לכיוונים שונים, בעלי אורכים שונים ובעלי זוויות שונות בינם לבין עצמם. מזל טוב, הבסיס של החלל התלת מימדי מוכן! אגב, אתה לא צריך להדגים את זה למורים, לא משנה איך אתה מסובב את האצבעות, אבל אתה לא יכול לברוח מהגדרות =)

לאחר מכן, אנו שואלים שאלה חשובה, האם שלושה וקטורים כלשהם מהווים בסיס למרחב תלת מימדי? נא לחץ בחוזקה שלוש אצבעות על משטח שולחן המחשב. מה קרה? שלושה וקטורים ממוקמים באותו מישור, ובאופן גס, איבדנו את אחת המדידות - הגובה. וקטורים כאלה הם coplanarוברור לגמרי שהבסיס של המרחב התלת מימדי לא נוצר.

יש לציין שוקטורים קו-מפלאריים לא חייבים להיות באותו מישור, הם יכולים להיות במישורים מקבילים (רק אל תעשה את זה עם האצבעות, רק סלבדור דאלי יצא ככה =)).

הַגדָרָה: וקטורים נקראים coplanarאם קיים מישור שהם מקבילים אליו. כאן זה הגיוני להוסיף שאם מישור כזה לא קיים, אז הווקטורים לא יהיו קו-מפלאריים.

שלושה וקטורים קו-מפלאריים תלויים תמיד באופן ליניארי, כלומר, הם מתבטאים באופן ליניארי זה דרך זה. למען הפשטות, שוב דמיינו שהם שוכבים באותו מישור. ראשית, וקטורים הם לא רק קומפלנריים, אלא יכולים להיות גם קולינאריים, ואז כל וקטור יכול לבוא לידי ביטוי דרך כל וקטור. במקרה השני, אם, למשל, הוקטורים אינם קולינאריים, אז הווקטור השלישי מתבטא דרכם בצורה ייחודית: (ולמה קל לנחש מהחומרים של הסעיף הקודם).

גם ההיפך נכון: שלושה וקטורים שאינם קו מישוריים הם תמיד בלתי תלויים ליניארית, כלומר, הם לא באים לידי ביטוי זה דרך זה. וכמובן, רק וקטורים כאלה יכולים להוות בסיס למרחב תלת מימדי.

הַגדָרָה: הבסיס של המרחב התלת מימדינקרא משולש של וקטורים בלתי תלויים ליניאריים (לא קו-מפלאריים), נלקח בסדר מסוים, בעוד כל וקטור של החלל הדרך היחידהמתרחב בבסיס הנתון , היכן נמצאות הקואורדינטות של הווקטור בבסיס הנתון

כתזכורת, ניתן גם לומר שוקטור מיוצג כ צירוף ליניאריוקטורי בסיס.

הרעיון של מערכת קואורדינטות מוצג בדיוק באותו אופן כמו במקרה המישור, מספיקים נקודה אחת וכל שלושה וקטורים בלתי תלויים ליניאריים:

מָקוֹר, ו לא קומפלנריוקטורים, נלקח בסדר מסוים, סט מערכת קואורדינטות קשורות של מרחב תלת מימדי :

כמובן, רשת הקואורדינטות היא "אלכסונית" ולא נוחה, אך עם זאת, מערכת הקואורדינטות הבנויה מאפשרת לנו בהחלטלקבוע את הקואורדינטות של כל וקטור ואת הקואורדינטות של כל נקודה במרחב. בדומה למישור, כמה נוסחאות שכבר הזכרתי לא יעבדו במערכת הקואורדינטות האפיניות של המרחב.

המקרה המיוחד המוכר והנוח ביותר של מערכת קואורדינטות קשורות, כפי שכולם יכולים לנחש, הוא מערכת קואורדינטות חלל מלבנית:

נקודה במרחב הנקראת מָקוֹר, ו אורתונורמליסט בסיס מערכת קואורדינטות קרטזית של מרחב . תמונה מוכרת:

לפני שנמשיך למשימות מעשיות, אנו מבצעים שוב שיטתיות של המידע:

עבור שלושה וקטורי מרחב, ההצהרות הבאות שוות ערך:
1) הוקטורים בלתי תלויים ליניארית;
2) וקטורים מהווים בסיס;
3) הוקטורים אינם קומפלנריים;
4) לא ניתן לבטא וקטורים באופן ליניארי זה דרך זה;
5) הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו, שונה מאפס.

אמירות הפוכות, לדעתי, מובנות.

תלות לינארית / עצמאות של וקטורי מרחב נבדקת באופן מסורתי באמצעות הקובע (פריט 5). שאר המשימות המעשיות יהיו בעלות אופי אלגברי מובהק. זה הזמן לתלות מקל גיאומטרי על מסמר ולהניף מחבט בייסבול אלגברה ליניארי:

שלושה וקטורי חללהם קו מישוריים אם ורק אם הדטרמיננטה המורכבת מהקואורדינטות של הוקטורים הנתונים שווה לאפס: .

אני מפנה את תשומת לבך לניואנס טכני קטן: ניתן לכתוב את הקואורדינטות של וקטורים לא רק בעמודות, אלא גם בשורות (ערך הקובע לא ישתנה מכאן - ראה להלן). מאפיינים של דטרמיננטים). אבל זה הרבה יותר טוב בטורים, מכיוון שהוא מועיל יותר לפתרון כמה בעיות מעשיות.

לאותם קוראים ששכחו מעט את השיטות לחישוב הקובעים, או אולי אפילו גרוע בהן, אני ממליץ על אחד השיעורים הוותיקים ביותר שלי: איך מחשבים את הקובע?

דוגמה 6

בדוק אם הוקטורים הבאים מהווים בסיס למרחב תלת מימדי:

פִּתָרוֹן: למעשה, כל הפתרון מסתכם בחישוב הקובע.

א) חשב את הקובע, המורכב מקואורדינטות הוקטורים (הדטרמיננט מורחב בשורה הראשונה):

, מה שאומר שהווקטורים הם בלתי תלויים ליניארית (לא קו מישוריים) ומהווים בסיס למרחב תלת מימדי.

תשובה: הוקטורים הללו מהווים את הבסיס

ב) זוהי נקודה להכרעה עצמאית. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

יש גם משימות יצירתיות:

דוגמה 7

באיזה ערך של הפרמטר הווקטורים יהיו קומפלנריים?

פִּתָרוֹן: וקטורים הם קו מישוריים אם ורק אם הדטרמיננטה המורכבת מהקואורדינטות של הוקטורים הנתונים שווה לאפס:

בעיקרו של דבר, נדרש לפתור משוואה עם דטרמיננט. אנחנו עפים לאפסים כמו עפיפונים לתוך ג'רבואה - הכי משתלם לפתוח את הקובע בשורה השנייה ולהיפטר מיד מהמינוסים:

אנו מבצעים פישוטים נוספים ומצמצמים את העניין למשוואה הליניארית הפשוטה ביותר:

תשובה: בשעה

קל לבדוק כאן, לשם כך עליך להחליף את הערך המתקבל בקובע המקורי ולוודא כי על ידי פתיחתו מחדש.

לסיכום, הבה נבחן בעיה טיפוסית נוספת, שהיא יותר בעלת אופי אלגברי ונכללת באופן מסורתי במהלך האלגברה ליניארית. זה כל כך נפוץ שמגיע לו נושא נפרד:

הוכח ש-3 וקטורים מהווים בסיס למרחב תלת מימדי
ומצא את הקואורדינטות של הווקטור הרביעי בבסיס הנתון

דוגמה 8

ניתנים וקטורים. הראה שהווקטורים מהווים בסיס למרחב תלת מימדי ומצא את הקואורדינטות של הווקטור בבסיס זה.

פִּתָרוֹן: תחילה נעסוק בתנאי. לפי תנאי, ניתנים ארבעה וקטורים, וכפי שאתה יכול לראות, כבר יש להם קואורדינטות בבסיס כלשהו. מה הבסיס - לא מעניין אותנו. והדבר הבא מעניין: שלושה וקטורים עשויים בהחלט להיווצר בסיס חדש. והשלב הראשון זהה בדיוק לפתרון של דוגמה 6, יש צורך לבדוק אם הוקטורים באמת בלתי תלויים ליניארית:

חשב את הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים:

, מכאן שהווקטורים הם בלתי תלויים לינארית ומהווים בסיס למרחב תלת מימדי.

! חָשׁוּב : קואורדינטות וקטוריות בהכרחלִרְשׁוֹם לתוך עמודותקובע, לא מחרוזות. אחרת, יהיה בלבול באלגוריתם הפתרון הנוסף.