מבחן מאן ויטני לדגימה אחת. מאן-וויטני קריטריון U בתזה, קורס ועבודה לתואר שני בפסיכולוגיה

קריטריון בסטטיסטיקה מתמטית הוא כלל נוקשה לפיו השערה בעלת רמת מובהקות מסויימת מתקבלת או נדחית. כדי לבנות אותו, אתה צריך למצוא פונקציה מסוימת. זה צריך להיות תלוי בתוצאות הסופיות של הניסוי, כלומר בערכים שנמצאו אמפירית. פונקציה זו היא שתהווה כלי להערכת הפער בין הדגימות.

ערך מובהק סטטיסטית. מידע כללי

מובהקות סטטיסטית היא כמות שסביר שלא תתרחש במקרה. האינדיקטורים הקיצוניים יותר שלו גם הם חסרי משמעות. אומרים שההבדל הוא מובהק סטטיסטית אם יש נתונים שסביר להניח שלא יתרחשו אם נאמר שההבדל אינו קיים. אבל זה בכלל לא אומר שההבדל הזה חייב להיות בהכרח גדול ומשמעותי.

רמת המובהקות הסטטיסטית של המבחן

יש להבין את המונח הזה כהסתברות לדחות את השערת האפס אם היא נכונה. זה נקרא גם שגיאה מסוג I או החלטה חיובית כוזבת. ברוב המקרים, התהליך מסתמך על ערך p ("ערך פי"). זוהי ההסתברות המצטברת בעת התבוננות ברמת הקריטריון הסטטיסטי. זה, בתורו, מחושב מהמדגם בזמן קבלת השערת האפס. ההנחה תידחה אם ערך p זה נמוך מהרמה שהוכרזה על ידי האנליסט. המשמעות של ערך הבדיקה תלויה ישירות במדד זה: ככל שהוא קטן יותר, כך יש יותר סיבה לדחות את ההשערה, בהתאמה.

רמת המובהקות מסומנת בדרך כלל באות b (אלפא). אינדיקטורים פופולריים בקרב מומחים: 0.1%, 1%, 5% ו-10%. אם, נניח, נאמר שהסיכוי לצרוף מקרים הוא 1 ל-1000, אז אנחנו בהחלט מדברים על רמה של 0.1% מהמובהקות הסטטיסטית של משתנה אקראי. לרמות b שונות יש את היתרונות והחסרונות שלהן. אם הציון נמוך יותר, סביר יותר שההשערה החלופית תהיה משמעותית. עם זאת, קיים סיכון שהניחוש הכוזב לריק לא יידחה. ניתן להסיק כי הבחירה ברמת ה-b האופטימלית תלויה במאזן "מובהקות-כוח" או, בהתאם, בהחלפת ההסתברויות של החלטות חיוביות כוזבות ושליליות שקריות. מילה נרדפת ל"משמעות סטטיסטית" בספרות המקומית היא המונח "מהימנות".

הגדרת השערת אפס

בסטטיסטיקה מתמטית, מה נבדק לגבי עקביות עם נתונים אמפיריים שכבר נמצאים במלאי. ברוב המקרים, השערת האפס היא ההשערה שאין מתאם בין המשתנים הנחקרים או שאין הבדלים בהומוגניות בהתפלגויות הנחקרים. במחקר סטנדרטי, מתמטיקאי מנסה להפריך את השערת האפס, כלומר להוכיח שהיא לא עולה בקנה אחד עם נתונים ניסיוניים. יתרה מכך, חייבת להיות הנחה חלופית, הנלקחת במקום האפס.

הגדרת מפתח

מבחן U (מאן-וויטני) מאפשר לך להעריך את ההבדלים בין שתי הדגימות. ניתן לתת אותם לפי רמה של תכונה כלשהי, הנמדדת כמותית. שיטה זו אידיאלית להערכת הבדלים בדגימות קטנות. קריטריון פשוט זה הוצע על ידי פרנק וילקסון ב-1945. וכבר בשנת 1947, השיטה תוקנה והוספה על ידי המדענים ח"ב מאן וד"ר ויטני, שבשמותיהם היא נקראת עד היום. הקריטריון של מאן-וויטני בפסיכולוגיה, מתמטיקה, סטטיסטיקה ומדעים רבים אחרים הוא אחד המרכיבים הבסיסיים של הביסוס המתמטי של תוצאות המחקר התיאורטי.

תיאור

מבחן מאן-וויטני היא שיטה פשוטה יחסית ללא פרמטרים. כוחו משמעותי. זה גבוה משמעותית מהעוצמה של מבחן Q-Rosenbaum. השיטה מעריכה כמה קטן השטח של ערכי צולב בין דגימות, כלומר בין סדרת הערכים המדורגת של הסט הראשון והשני. ככל שערך הקריטריון קטן יותר, כך סביר יותר שהפערים בערכי הפרמטרים אמינים. כדי ליישם נכון את קריטריון U (מאן-וויטני), אסור לשכוח כמה מגבלות. כל דוגמה חייבת להכיל לפחות 3 ערכי תכונה. יתכן שבמקרה אחד יש שני ערכים, אבל במקרה השני חייבים להיות לפחות חמישה מהם. בדגימות שנחקרו, צריך להיות מספר מינימלי של אינדיקטורים תואמים. כל המספרים צריכים להיות שונים באופן אידיאלי.

נוֹהָג

כיצד להשתמש נכון במבחן מאן-וויטני? הטבלה שנערכה בשיטה זו מכילה ערכים קריטיים מסוימים. הצעד הראשון הוא ליצור סדרה בודדת משתי הדגימות התואמות, אשר לאחר מכן מדורגת. כלומר, האלמנטים מסודרים לפי מידת הצמיחה של התכונה, ודרגה נמוכה יותר מוקצית לערך נמוך יותר. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את המספר הכולל הבא של דרגות:

N = N1 + N2,

כאשר הערכים N1 ו-N2 הם מספר היחידות הכלולות בדגימה הראשונה והשנייה, בהתאמה. יתר על כן, סדרת ערכים מדורגת יחידה מחולקת לשתי קטגוריות. יחידות, בהתאמה, מהמדגם הראשון והשני. כעת סכום דרגות הערכים בשורה הראשונה והשנייה מחושב בתורו. נקבע הגדול שבהם (Tx), המתאים למדגם עם יחידות nx. כדי להמשיך ולהשתמש בשיטת Wilcoxon, ערכה מחושב בשיטה הבאה. יש צורך לברר מהטבלה עבור רמת המובהקות הנבחרת את הערך הקריטי של קריטריון זה עבור N1 ו-N2 שנלקחו ספציפית.

המחוון המתקבל יכול להיות קטן או שווה לערך מהטבלה. במקרה זה, מצוין הבדל משמעותי ברמות התכונה בדגימות שנחקרו. אם הערך המתקבל גדול מערך הטבלה, השערת האפס מתקבלת. כאשר מחשבים את מבחן מאן-וויטני, יש לשים לב שאם השערת האפס נכונה, למבחן תהיה וגם השונות. שים לב שעבור כמויות גדולות מספיק של נתוני מדגם, השיטה נחשבת לחלוקה כמעט נורמלית. המשמעות של ההבדלים היא ככל שהערך של מבחן מאן-וויטני גבוה יותר, כך נמוך יותר.

לפי רמת כל תכונה, נמדד כמותית. מאפשר לך לזהות הבדלים בערך של פרמטר בין דגימות קטנות.

שמות נוספים: מבחן מאן-וויטני-וילקוקסון מאן-וויטני-וילקוקסון, MWW), מבחן סכום הדירוג של Wilcoxon (eng. Wilcoxon rank-sum test) או מבחן Wilcoxon-Mann-Whitney (eng. מבחן Wilcoxon - Mann - Whitney). פחות שכיח: מבחן מספר ההיפוכים.

יוטיוב אנציקלופדית

1 / 3

✪ מבחן U-MANN-WHITNEY | ניתוח נתונים מס' 8

✪ מבחן U-MANN-WHITNEY ב- STATISTICA #03 | סטָטִיסטִיקָה

✪ קריטריון U Mann Whitney

כתוביות

כַּתָבָה

שיטה זו לאיתור הבדלים בין דגימות הוצעה בשנת 1945 על ידי פרנק וילקסון ( F. Wilcoxon). בשנת 1947, הוא תוקן והורחב באופן מהותי על ידי ח.ב.מאן ( ח''ב מאן) וד.ר. ויטני ( ד.ר. ויטני), שבשמותיו היא נקראת כיום.

תיאור הקריטריון

בדיקה לא פרמטרית פשוטה. עוצמת המבחן גבוהה מזו של מבחן Q-Rosenbaum.

שיטה זו קובעת אם שטח הערכים החופפים בין שתי סדרות (סדרת ערכי הפרמטרים המדורגת במדגם הראשון וזהה במדגם השני) קטן מספיק. ככל שערך הקריטריון קטן יותר, כך סביר יותר שההבדלים בין ערכי הפרמטרים בדגימות משמעותיים.

מגבלות תחולת קריטריון

1. כל אחת מהדגימות חייבת להכיל לפחות 3 ערכי תכונה. מותר שבמדגם אחד יש שני ערכים, אבל בשנייה יש לפחות חמישה.
2. לא אמורים להיות ערכים תואמים בנתוני המדגם (כל המספרים שונים) או שצריכים להיות מעט מאוד התאמות כאלה (עד 10).

שימוש בקריטריון

כדי ליישם את מבחן Mann-Whitney U, עליך לבצע את הפעולות הבאות.

1. הרכיב סדרה מדורגת בודדת משתי הדגימות המושוות, סידור האלמנטים שלהן לפי מידת הצמיחה של התכונה והקצאת דרגה נמוכה יותר לערך הנמוך יותר. המספר הכולל של הדרגות יהיה שווה ל: N = n 1 + n 2 , (\displaystyle N=n_(1)+n_(2),)איפה הוא מספר האלמנטים במדגם הראשון, והוא מספר האלמנטים במדגם השני.
2. חלקו סדרה מדורגת יחידה לשניים, המורכבת מיחידות של המדגם הראשון והשני, בהתאמה. חשב בנפרד את סכום הדרגות שנפלו על חלקם של מרכיבי המדגם הראשון, ובנפרד - על חלקם של המרכיבים של המדגם השני. לְהַגדִיר גָדוֹלמשני סכומי דרגה ( T x (\displaystyle T_(x))) המתאים למדגם עם n x (\displaystyle n_(x))אלמנטים.
3. קבע את הערך של מבחן U-Mann-Whitney באמצעות הנוסחה: U = n 1 ⋅ n 2 + n x ⋅ (n x + 1) 2 − T x . (\displaystyle U=n_(1)\cdot n_(2)+(\frac (n_(x)\cdot (n_(x)+1))(2))-T_(x).)
4. על פי הטבלה לרמת המובהקות הסטטיסטית שנבחרה, קבע את הערך הקריטי של הקריטריון עבור הנתונים n 1 (\displaystyle n_(1))ו n 2 (\displaystyle n_(2)). אם הערך שהתקבל U (\displaystyle U) פָּחוּתטבלאי או שווה לו, אזי מכירים בקיומו של הבדל משמעותי בין רמת התכונה בדגימות הנחשבות (מתקבלת השערה חלופית). אם הערך המתקבל U (\displaystyle U)יותר מהשולחן, מקובל

כאשר T x הוא הסכום הגדול ביותר של הדרגות, n x הוא הגדול מבין גדלי המדגם n 1 ו- n 2 .

הקצאת שירות. מחשבון מקוון זה עושה חישוב U מבחן מאן-וויטני.

מטרת הקריטריון

הקריטריון נועד להעריך את ההבדלים בין שני מדגמים במונחים של רמת כל תכונה, הנמדדת כמותית. זה מאפשר לך לזהות הבדלים בין דגימות קטנות כאשר n 1, n 2 ≥ 3 או n 1 =2, n 2 ≥ 5. לכל מדגם לא יהיו יותר מ-60 תצפיות.
שיטה זו קובעת אם שטח הערכים החופפים בין שתי סדרות קטן מספיק. הבה נניח שאנו קוראים לשורה הראשונה (מדגם, קבוצה) שורת הערכים שבה הערכים, לפי ההערכה המוקדמת, גבוהים יותר, והשורה השנייה היא זו שבה הם ככל הנראה נמוכים יותר.
ככל ששטח ההצלבה קטן יותר, כך גדל הסיכוי שההבדלים יהיו משמעותיים. לפעמים הבדלים אלו נקראים הבדלים במיקום של שתי הדגימות.
הערך האמפירי של קריטריון U משקף כמה גדול אזור הצירוף בין השורות. לכן, ככל שה-U emp קטן יותר, כך גדל הסיכוי שההבדלים משמעותיים.

השערות
H 0: רמת התכונה בקבוצה 2 אינה נמוכה מרמת התכונה בקבוצה 1.
H 1: רמת התכונה בקבוצה 2 נמוכה מרמת התכונה בקבוצה 1.

אלגוריתם לחישוב קריטריון מאן-וויטני

1. שלב את כל הנתונים לסדרה אחת על ידי סימון נתונים השייכים לדוגמאות שונות.
2. דרג את הערכים על ידי מתן דרגה נמוכה יותר לערך הנמוך. סך כל הדרגות יהיה (n 1 + n 2).
3. חשב את סכום הדרגות בנפרד עבור כל מדגם.
4. קבע את הסכומים הגדולים מבין שני הדרגות.
5. קבע את הערך של U לפי הנוסחה:
   U \u003d n 1 n 2 + n x (n x + 1) / 2 - T x,
   כאשר n 1 - גודל מדגם מס' 1; n 2 - גודל מדגם מס' 2; T x הוא הגדול מבין שני סכומי הדרגה; n x הוא גודל המדגם המקסימלי: n x = max(n 1, n 2).
6. קבע את הערכים הקריטיים של U cr לפי הטבלה. אם U emp > U cr (0.05). H 0 מתקבל. אם U emp ≤ U cr (0.05) H 0 נדחה. ככל שערך U קטן יותר, מהימנות ההבדלים גבוהה יותר.

דוגמא. רמת האינטליגנציה המילולית והלא מילולית נמדדה אצל המשתתפים לכאורה בניסוי הפסיכולוגי באמצעות טכניקת D. Wexler. נבדקו שתי קבוצות של צעירים בני 18 עד 24, סטודנטים מהפקולטה לפיזיקה והפקולטה לפסיכולוגיה. אינדיקטורים של אינטליגנציה מילולית מוצגים בטבלה. האם ניתן לטעון שאחת הקבוצות עדיפה על השנייה מבחינת אינטליגנציה מילולית?

ו	פ
135	130
130	129
131	121
128	129
127	119
137	124
126	125
137	129
131	129
137	130
137	131
127	123
133
125

השוואה של התוצאות מראה שהערכים של מדגם X גבוהים במקצת מדגימות Y, ולכן אנו מחשיבים את מדגם X כראשון.
לפיכך, עלינו לקבוע אם ההבדל בין הציונים יכול להיחשב משמעותי.
פִּתָרוֹן.
בואו נמיין את הטבלה המוצגת. בעת הדירוג, אנו משלבים שתי דוגמאות לאחת. הדרגות מוקצות בסדר עולה של ערך הערך הנמדד, כלומר. הדרגה הנמוכה ביותר תואמת את הציון הנמוך ביותר. שימו לב שבמקרה של צירוף מקרים של מספר תלמידים, יש להתייחס לדירוג של ציון כזה כממוצע האריתמטי של אותם מיקומים שציונים אלו תופסים כשהם מסודרים בסדר עולה.
מכיוון שלמטריקס יש דרגות קשורות (אותו מספר דרגה) של השורה הראשונה, נעצב אותן מחדש. הדרגות נוצרות מחדש מבלי לשנות את חשיבות הדרגה, כלומר יש לשמר את היחסים המקבילים (גדולים מ, פחות או שווים ל) בין מספרי הדרגה. כמו כן, לא מומלץ להגדיר את הדרגה מעל 1 ומתחת לערך השווה למספר הפרמטרים (במקרה זה n = 26). רפורמציה של דרגות מתבצעת בטבלה.

מספרי מושבים בשורה מסודרת	מיקום גורמים לפי הערכת המומחה	דרגות חדשות
1	119	1
2	121	2
3	123	3
4	124	4
5	125	5.5
6	125	5.5
7	126	7
8	127	8.5
9	127	8.5
10	128	10
11	129	12.5
12	129	12.5
13	129	12.5
14	129	12.5
15	130	16
16	130	16
17	130	16
18	131	19
19	131	19
20	131	19
21	133	21
22	135	22
23	137	24.5
24	137	24.5
25	137	24.5
26	137	24.5

באמצעות עקרון הדירוג המוצע, אנו מקבלים טבלת דרגות.

איקס	דרגה X	י	דרגה Y
125	5.5	119	1
126	7	121	2
127	8.5	123	3
127	8.5	124	4
128	10	125	5.5
130	16	129	12.5
131	19	129	12.5
131	19	129	12.5
133	21	129	12.5
135	22	130	16
137	24.5	130	16
137	24.5	131	19
137	24.5
137	24.5
סְכוּם	234.5	סְכוּם	116.5

נתונים אלה מספיקים כדי להשתמש בנוסחה לחישוב הערך האמפירי של הקריטריון:

ההשערה H 0 לגבי ההבדלים הבלתי מובהקים בין הדגימות מתקבלת אם U cr< u эмп. В противном случае H 0 отвергается и различие определяется как существенное.
כאשר U kp היא הנקודה הקריטית, שנמצאת לפי טבלת מאן-וויטני.
הבה נמצא את הנקודה הקריטית U kp
לפי הטבלה נמצא U kp (0.05) = 45
מאז U kp > u emp - קבל את ההשערה החלופית H 1; הבדלים ברמות המדגם יכולים להיחשב משמעותיים.

מויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מבחן U-Man-Whitney(אנגלית) מבחן U-Man-Whitney) הוא מבחן סטטיסטי המשמש להערכת ההבדלים בין שני מדגמים בלתי תלויים במונחים של רמת כל תכונה, הנמדדת כמותית. מאפשר לך לזהות הבדלים בערך של פרמטר בין דגימות קטנות.

שמות נוספים: מבחן מאן-וויטני-וילקוקסון מאן-וויטני-וילקוקסון, MWW ), מבחן סכום הדירוג של Wilcoxon (eng. מבחן סכום דירוג של Wilcoxon) או מבחן Wilcoxon-Mann-Whitney (eng. מבחן Wilcoxon - Mann - Whitney ). פחות שכיח: מבחן מספר ההיפוכים.

כַּתָבָה

שיטה זו לאיתור הבדלים בין דגימות הוצעה בשנת 1945 על ידי פרנק וילקסון ( F. Wilcoxon). בשנת 1947 הוא תוקן והורחב באופן מהותי על ידי ח.ב.מאן ( ח''ב מאן) וד.ר. ויטני ( ד.ר. ויטני), שבשמותיו היא נקראת כיום.

תיאור הקריטריון

בדיקה לא פרמטרית פשוטה. עוצמת המבחן גבוהה מזו של מבחן Q-Rosenbaum.

שיטה זו קובעת אם שטח הערכים החופפים בין שתי סדרות (סדרת ערכי הפרמטרים המדורגת במדגם הראשון וזהה במדגם השני) קטן מספיק. ככל שערך הקריטריון קטן יותר, כך סביר יותר שההבדלים בין ערכי הפרמטרים בדגימות משמעותיים.

מגבלות תחולת קריטריון

1. כל אחת מהדגימות חייבת להכיל לפחות 3 ערכי תכונה. מותר שבמדגם אחד יש שני ערכים, אבל בשנייה יש לפחות חמישה.
2. לא אמורים להיות ערכים תואמים בנתוני המדגם (כל המספרים שונים) או שצריכים להיות מעט מאוד התאמות כאלה.

שימוש בקריטריון

כדי ליישם את מבחן Mann-Whitney U, עליך לבצע את הפעולות הבאות.

1. הרכיב סדרה מדורגת בודדת משתי הדגימות המושוות, סידור האלמנטים שלהן לפי מידת הצמיחה של התכונה והקצאת דרגה נמוכה יותר לערך הנמוך יותר. המספר הכולל של הדרגות יהיה שווה ל: $N=n\_1+n\_2,$איפה $n\_1$הוא מספר האלמנטים במדגם הראשון, ו $n\_2$הוא מספר האלמנטים במדגם השני.
2. חלקו סדרה מדורגת יחידה לשניים, המורכבת מיחידות של המדגם הראשון והשני, בהתאמה. חשב בנפרד את סכום הדרגות שנפלו על חלקם של מרכיבי המדגם הראשון, ובנפרד - על חלקם של המרכיבים של המדגם השני. לְהַגדִיר גָדוֹלמשני סכומי דרגה ( $T\_x$) המתאים למדגם עם $n\_x$אלמנטים.
3. קבע את הערך של מבחן U-Mann-Whitney באמצעות הנוסחה: $U=n\_1\backslash cdot\; n\_2+\backslash frac(n\_x\backslash cdot(n\_x+1))(2)-T\_x.$
4. על פי הטבלה לרמת המובהקות הסטטיסטית שנבחרה, קבע את הערך הקריטי של הקריטריון עבור הנתונים $n\_1$ו $n\_2$. אם הערך שהתקבל $U$ פָּחוּתטבלאי או שווה לו, אזי מכירים בקיומו של הבדל משמעותי בין רמת התכונה בדגימות הנחשבות (מתקבלת השערה חלופית). אם הערך המתקבל $U$יותר מהטבלה, השערת האפס מתקבלת. המשמעות של ההבדלים גבוהה יותר, ככל שהערך נמוך יותר $U$.
5. אם השערת האפס נכונה, לקריטריון יש את הציפייה המתמטית $M(U)=\backslash frac(n\_1\backslash cdot\; n\_2)(2)$ופיזור $D(U)=\backslash frac(n\_1\backslash cdot\; n\_2\backslash cdot\; (n\_1+n\_2+1))(12)$ועם כמות גדולה מספיק של נתונים לדוגמה $(n\_1>19,\backslash ;n\_2>19)$מופץ כמעט רגיל.

טבלת ערכים קריטיים

ראה גם

• מבחן Kruskal-Wallis הוא הכללה רב-משתנית של מבחן U-Man-Whitney.

כתבו ביקורת על המאמר "מבחן U-Mann-Whitney"

הערות

סִפְרוּת

• מאן ח"ב, וויטני ד"ר.בבדיקה האם אחד משני משתנים אקראיים גדול מהשני מבחינה סטוקסטית. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - מס' 18. - עמ' 50-60.
• Wilcoxon F.השוואות פרטניות לפי שיטות דירוג. // עלון ביומטריה 1. - 1945. - עמ' 80-83.
• Gubler E. V., Genkin A. A.יישום קריטריונים סטטיסטיים לא פרמטריים במחקר ביו-רפואי. - ל', 1973.
• סידורנקו E.V.שיטות עיבוד מתמטי בפסיכולוגיה. - סנט פטרסבורג, 2002.

אינדיקטורים סטטיסטיים תיאור סטָטִיסטִיקָה סטָטִיסטִי נסיגה ו בְּדִיקָה השערות ציון כולל מתאם ו נְסִיגָה גרפי שיטות

קטע המאפיין את מבחן U-Man-Whitney

הוא שכח את עצמו לדקה אחת, אבל במרווח קצר זה של שכחה ראה אינספור חפצים בחלום: הוא ראה את אמו ואת ידה הלבנה הגדולה, ראה את כתפיה הדקות של סוניה, את עיניה וצחוקה של נטשה, ואת דניסוב בקולו ושפמו, ותליאנין, וכל תולדותיו עם תלינין ובוגדניך. כל הסיפור הזה היה אחד ויחיד, שהחייל הזה עם הקול החד, וכל הסיפור הזה והזה, והחייל הזה והזה כל כך כואב, ללא הפוגה החזיק, נמחץ, והכל לכיוון אחד משך את ידו. הוא ניסה להתרחק מהם, אבל הם לא הרפו משיערו, אפילו לא לשנייה על כתפו. זה לא יזיק, זה יהיה נהדר אם הם לא ימשכו את זה; אבל אי אפשר היה להיפטר מהם.
הוא פקח את עיניו והרים את מבטו. חופה השחורה של הלילה תלויה חצר מעל לאור הגחלים. אבקות של שלג יורד עפו באור הזה. טושין לא חזר, הרופא לא בא. הוא היה לבד, רק איזשהו חייל ישב כעת עירום בצד השני של האש וחמם את גופו הצהוב והדקיק.
"אף אחד לא רוצה אותי! חשב רוסטוב. - אין מי שיעזור או ירחם. והייתי פעם בבית, חזקה, עליזה, אהובה. הוא נאנח ונאנק בעל כורחו.
- מה כואב לך? – שאל החייל, מנענע את חולצתו מעל האש, ובלי להמתין לתשובה, נהנה, הוסיף: – אין לדעת שהם פינקו את האנשים ביום אחד – תשוקה!
רוסטוב לא הקשיב לחייל. הוא הביט בפתיתי השלג המתנופפים מעל האש ונזכר בחורף הרוסי עם בית חם ומואר, מעיל פרווה רך, מזחלת מהירה, גוף בריא, ועם כל האהבה והאכפתיות של המשפחה. "ולמה באתי לכאן!" הוא חשב.
למחרת, הצרפתים לא חידשו את התקפותיהם, ושארית מחלקת הבגרציה הצטרפו לצבאו של קוטוזוב.

הנסיך ואסילי לא התחשב בתוכניותיו. הוא אפילו פחות חשב לעשות רע לאנשים כדי להשיג יתרון. הוא היה רק ​​איש עולם שהצליח בעולם ועשה מההצלחה הזו הרגל. בהתאם לנסיבות, לפי התקרבותו לאנשים, הוא ערך כל העת תכניות ושיקולים שונים, שבהם הוא עצמו לא מימש עד הסוף, אך היוו את כל עניין חייו. לא קרה לו תוכנית אחת או שתיים כאלה בשימוש, אלא עשרות, שחלקן רק התחילו להופיע לו, אחרות הושגו, ואחרות הושמדו. הוא לא אמר לעצמו, למשל: "האיש הזה עכשיו בשלטון, אני חייב לרכוש את אמונו וידידותו ודרכו לדאוג לקצבה חד פעמית", או שהוא לא אמר לעצמו: "הנה, פייר עשיר, אני חייב לפתות אותו לשאת את בתו ולשאול את ה-40,000 שאני צריך"; אבל אדם חזק פגש אותו, ובאותו רגע האינסטינקט אמר לו שהאיש הזה יכול להועיל, והנסיך וסילי ניגש אליו ובהזדמנות הראשונה, ללא הכנה, אינסטינקטיבית, הוחמיא, הכיר, דיבר על זה, על מה היה צריך.
פייר היה בקצות אצבעותיו במוסקבה, והנסיך ואסילי דאג למנותו ללשכת היונקר, שהשתוותה אז לדרגת חבר מועצת המדינה, והתעקש שהצעיר ילך עמו לפטרבורג וישאר בביתו. כאילו בהיעדר דעת ובו בזמן עם ביטחון ללא ספק שכך צריך להיות, עשה הנסיך ואסילי כל מה שצריך כדי לשאת את פייר לבתו. אם הנסיך ואסילי היה חושב מראש על תוכניותיו, לא יכול היה להיות לו טבעיות כזו בהתנהגותו ופשטות והיכרות כזו בהתמודדות עם כל האנשים המוצבים מעל ומתחתיו. משהו כל הזמן משך אותו לאנשים חזקים או עשירים ממנו, והוא ניחן באומנות נדירה לתפוס בדיוק את הרגע שבו היה הכרחי ואפשרי להשתמש באנשים.
פייר, לאחר שלפתע התעשר והרוזן בזוקי, לאחר הבדידות והחוסר זהירות לאחרונה, חש עצמו מוקף ועסוק עד כדי כך שהוא הצליח להישאר לבד במיטה עם עצמו. הוא נאלץ לחתום על ניירות, להתמודד עם משרדי ממשלה, שמשמעותם לא היה לו מושג ברור, לשאול את המנהל הכללי על משהו, ללכת לאחוזה ליד מוסקבה ולקבל אנשים רבים שבעבר אפילו לא רצו לדעת על כך. קיומו, אבל עכשיו ייעלב ויתעצבן אם לא ירצה לראות אותם. כל הפנים המגוונות הללו - אנשי עסקים, קרובי משפחה, מכרים - היו כולם טובים באותה מידה, נטיית חיבה כלפי היורש הצעיר; כולם, ברור וללא ספק, היו משוכנעים ביתרונות הגבוהים של פייר. ללא הרף הוא שמע את המילים: "בטוב לבך יוצא הדופן" או "בלבך היפה", או "אתה בעצמך כל כך טהור, ספור..." או "אם הוא היה חכם כמוך" וכו', אז הוא הוא התחיל באמת ובתמים להאמין בחביבותו יוצאת הדופן ובנפשו יוצאת הדופן, על אחת כמה וכמה מאז שתמיד נראה לו, בעומק נשמתו, שהוא באמת אדיב מאוד וחכם מאוד. אפילו אנשים שבעבר היו כועסים ועוינים בעליל הפכו לרכים ואוהבים איתו. בכורה כל כך כועסת מהנסיכות, עם מותניים ארוכים, עם שיער מוחלק כמו של בובה, הגיעה לחדרו של פייר לאחר ההלוויה. השפילה את עיניה והבזיקה ללא הרף, אמרה לו שהיא מצטערת מאוד על אי ההבנות שהיו ביניהם ושעכשיו היא לא מרגישה זכאית לבקש דבר, מלבד רשות, לאחר השבץ שפקד אותה, להישאר למשך כמה שבועות בבית שהיא כל כך אהבה והקריבה כל כך הרבה קורבנות. היא לא יכלה שלא לבכות לנוכח המילים האלה. נפגע מהעובדה שהנסיכה דמוית הפסל הזו יכלה להשתנות כל כך, פייר אחז בידה וביקש סליחה, בלי לדעת למה. מאותו יום, הנסיכה החלה לסרוג צעיף מפוספס לפייר והתחלפה לגמרי כלפיו.

מבחן U-Mann-Whitney הוא מבחן סטטיסטי לא פרמטרי המשמש להשוואה בין שני מדגמים בלתי תלויים במונחים של רמת כל תכונה, הנמדדת כמותית. השיטה מבוססת על קביעה האם אזור הערכים המצטלבים בין שתי סדרות וריאציות (סדרת טווח של ערכי פרמטרים במדגם הראשון וזהה במדגם השני) קטן מספיק. ככל שערך הקריטריון קטן יותר, כך סביר יותר שההבדלים בין ערכי הפרמטרים בדגימות משמעותיים.

1. היסטוריה של התפתחות מבחן U

שיטה זו לאיתור הבדלים בין דגימות הוצעה בשנת 1945 על ידי כימאי וסטטיסטיקאי אמריקאי פרנק וילקסון.
בשנת 1947, הוא שופץ והורחב באופן משמעותי על ידי מתמטיקאים חֲצִי פֶּנסיוֹן. מאן(ח"ב מאן) ו ד"ר. ויטני(D.R. Whitney), שבשמותיה היא נקראת כיום.

2. לשם מה משמש מבחן U-Man-Whitney?

מבחן U-Man-Whitney משמש להערכת ההבדלים בין שני מדגמים בלתי תלויים במונחים של רמת כל תכונה כמותית.

3. מתי ניתן להשתמש במבחן Mann-Whitney U?

מבחן U-Man-Whitney הוא מבחן לא פרמטרי, ולכן, בניגוד למבחן t של הסטודנט, הוא אינו מצריך התפלגות נורמלית של האוכלוסיות המושוואות.

מבחן ה-U מתאים להשוואת דגימות קטנות: כל דגימה חייבת להכיל לפחות 3 ערכי תכונה. מותר שבמדגם אחד יש 2 ערכים, אבל בשנייה אז חייבים להיות לפחות חמישה.

התנאי ליישום מבחן U-Man-Whitney הוא היעדר בקבוצות ההשוואה של ערכי תכונות חופפים (כל המספרים שונים) או מספר קטן מאוד של התאמות כאלה.

אנלוגי של מבחן Mann-Whitney U להשוואה בין יותר משתי קבוצות הוא מבחן קרוסקאל-וואליס.

4. כיצד לחשב את מבחן U-Man-Whitney?

ראשית, משתי הדגימות שהשוו, שורה אחת בדירוג, על ידי סידור יחידות התצפית לפי מידת העלייה של התכונה והקצאת ערך נמוך יותר לדרגה נמוכה יותר. במקרה של ערכי תכונה שווים עבור מספר יחידות, לכל אחד מהם מוקצה הממוצע האריתמטי של ערכי דירוג עוקבים.

לדוגמה, לשתי יחידות אשר תופסות את המקום השני והשלישי (דירוג) בשורה מדורגת אחת יש את אותם ערכים. לכן, לכל אחד מהם מוקצית דרגה שווה ל- (3 + 2) / 2 = 2.5.

בסדרה המדורגת יחידה, המספר הכולל של הדרגות יהיה שווה ל:

N = n 1 + n 2

איפה n 1הוא מספר האלמנטים במדגם הראשון, ו n 2הוא מספר האלמנטים במדגם השני.

לאחר מכן, אנו שוב מחלקים את הסדרה המדורגת בודדת לשניים, המורכבת, בהתאמה, מהיחידות של המדגם הראשון והשני, תוך זכירת ערכי הדרגות עבור כל יחידה. אנו מחשבים בנפרד את סכום הדרגות שנפלו על חלקם של מרכיבי המדגם הראשון, ובנפרד - על חלקם של המרכיבים של המדגם השני. קבע את הגדול מבין שני סכומי הדרגה ( T x) המתאים למדגם עם n xאלמנטים.

לבסוף, אנו מוצאים את הערך של מבחן U-Mann-Whitney באמצעות הנוסחה:

5. כיצד לפרש את ערכו של מבחן U-Man-Whitney?

הערך המתקבל של קריטריון U מושווה לפי הטבלה עבור רמת המובהקות הסטטיסטית הנבחרת ( p=0.05אוֹ p=0.01) עם ערך קריטי U עבור מספר נתון של דגימות השוואה:

• אם הערך המתקבל U פָּחוּתטבלאי או שוויםלו, אזי מוכרת המובהקות הסטטיסטית של ההבדלים בין רמות התכונה במדגמים הנחשבים (מתקבלת השערה חלופית). המשמעות של ההבדלים גבוהה יותר, ככל שהערך של U נמוך יותר.
• אם הערך המתקבל U יותרטבלאי, השערת האפס מתקבלת.