מחלקים ומכפילים. מחלקים ומכפלות סימני חלוקה בסיסיים

המונח "ריבוי" מתייחס לתחום המתמטיקה: מנקודת מבטו של מדע זה, הכוונה היא למספר הפעמים שמספר מסוים הוא חלק ממספר אחר.

מושג הריבוי

אם לפשט את האמור לעיל, ניתן לומר שהריבוי של מספר אחד ביחס למשנהו מראה כמה פעמים המספר הראשון גדול מהשני. לפיכך, העובדה שמספר אחד הוא כפולה של מספר אחר פירושה למעשה שניתן לחלק את הגדול שבהם בקטן ללא שארית. לדוגמה, כפולה של 3 היא 6.

הבנה כזו של המונח "ריבוי" טומנת בחובה גזירה של כמה השלכות חשובות ממנו. הראשון שבהם הוא שלכל מספר יכול להיות מספר בלתי מוגבל של כפולות שלו. זאת בשל העובדה שכדי לקבל כפולה נוספת של מספר כלשהו, ​​יש צורך להכפיל את הראשון שבהם בכל ערך שלם חיובי, אשר, בתורו, יש לו קבוצה אינסופית. לדוגמה, כפולות של המספר 3 הן המספרים 6, 9, 12, 15 ואחרות המתקבלות על ידי הכפלת המספר 3 בכל מספר שלם חיובי.

המאפיין החשוב השני נוגע להגדרת המספר השלם הקטן ביותר שהוא כפולה של המספר הנדון. לפיכך, הכפולה הקטנה ביותר של כל מספר היא המספר עצמו. זה נובע מהעובדה שהתוצא השלם הקטן ביותר של חלוקת מספר אחד במספר אחר הוא אחד, וחלוקת המספר בעצמה היא שמספקת את התוצאה הזו. בהתאם לכך, מספר שהוא כפולה של המספר הנדון אינו יכול להיות קטן ממספר זה עצמו. לדוגמה, עבור המספר 3, הכפולה הקטנה ביותר תהיה 3. במקרה זה, למעשה, אי אפשר לקבוע את הכפולה הגדולה ביותר של זה הנדון.

מספרים שהם כפולות של 10

למספרים שהם כפולות של 10 יש את כל התכונות הללו יחד עם כפולות אחרות. לכן, מהמאפיינים המפורטים עולה כי המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של 10 הוא המספר 10 עצמו. יחד עם זאת, מכיוון שהמספר 10 הוא דו ספרתי, אנו יכולים להסיק שרק מספרים המורכבים משני תווים לפחות יכול להיות כפולה של 10.

כדי לקבל מספרים אחרים שהם כפולות של 10, עליך להכפיל את המספר 10 בכל מספר שלם חיובי. לפיכך, רשימת הכפולות של 10 תכלול את המספרים 20, 30, 40, 50 וכן הלאה. יש לשים לב שכל המספרים המתקבלים חייבים להיות מתחלקים ב-10 ללא שארית. במקרה זה, אי אפשר לקבוע את הכפולה הגדולה ביותר של 10, כמו במקרים עם מספרים אחרים.

כמו כן, שים לב שיש דרך מעשית קלה לקבוע אם המספר המסוים המדובר הוא כפולה של 10. לשם כך, עליך לברר מהי הספרה האחרונה שלו. לכן, אם הוא שווה ל-0, המספר הנדון יהיה כפולה של 10, כלומר ניתן לחלק אותו ב-10 ללא שארית. אחרת, המספר אינו כפולה של 10.

סימני חלוקה של מספריםעל 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 ומספרים אחרים כדאי לדעת לפתרון מהיר של בעיות בסימון הדיגיטלי של מספר. במקום לחלק מספר אחד במספר, מספיק לבדוק מספר סימנים, שעל בסיסם ניתן לקבוע באופן חד משמעי האם מספר אחד מתחלק באחר באופן מוחלט (בין אם מדובר בכפולה) או לא.

הסימנים העיקריים של חלוקה

בואו נביא הסימנים העיקריים לחלוקה של מספרים:

• סימן לחלוקה של מספר ב-"2"המספר מתחלק באופן שווה ב-2 אם המספר זוגי (הספרה האחרונה היא 0, 2, 4, 6 או 8)
  דוגמה: המספר 1256 הוא כפולה של 2 כי הוא מסתיים ב-6. והמספר 49603 אינו מתחלק אפילו ב-2 כי הוא מסתיים ב-3.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"3"מספר מתחלק ב-3 אם סכום הספרות שלו מתחלק ב-3
  דוגמה: המספר 4761 מתחלק ב-3 כי סכום הספרות שלו הוא 18 והוא מתחלק ב-3. והמספר 143 אינו כפול של 3 כי סכום הספרות שלו הוא 8 ואינו מתחלק ב-3.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"4"מספר מתחלק ב-4 אם שתי הספרות האחרונות של המספר הן אפס או אם המספר המורכב משתי הספרות האחרונות מתחלק ב-4
  דוגמה: המספר 2344 הוא כפולה של 4 כי 44 / 4 = 11. והמספר 3951 אינו מתחלק ב-4 כי 51 אינו מתחלק ב-4.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"5"מספר מתחלק ב-5 אם הספרה האחרונה של המספר היא 0 או 5
  דוגמה: המספר 5830 מתחלק ב-5 כי הוא מסתיים ב-0. אבל המספר 4921 אינו מתחלק ב-5 כי הוא מסתיים ב-1.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"6"מספר מתחלק ב-6 אם הוא מתחלק ב-2 וב-3
  דוגמה: המספר 3504 הוא כפולה של 6 כי הוא מסתיים ב-4 (סימן להתחלקות ב-2) וסכום הספרות של המספר הוא 12 והוא מתחלק ב-3 (סימן להתחלקות ב-3). והמספר 5432 אינו מתחלק לחלוטין ב-6, למרות שהמספר מסתיים ב-2 (נצפה בסימן ההתחלקות ב-2), אולם, סכום הספרות הוא 14 והוא אינו מתחלק לחלוטין ב-3.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"8"מספר מתחלק ב-8 אם שלוש הספרות האחרונות של המספר הן אפס או אם המספר המורכב משלוש הספרות האחרונות של המספר מתחלק ב-8
  דוגמה: המספר 93112 מתחלק ב-8 כי 112 / 8 = 14. והמספר 9212 אינו כפול של 8 כי 212 אינו מתחלק ב-8.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"9"מספר מתחלק ב-9 אם סכום הספרות שלו מתחלק ב-9
  דוגמה: המספר 2916 הוא כפולה של 9 כי סכום הספרות הוא 18 והוא מתחלק ב-9. והמספר 831 אינו מתחלק אפילו ב-9 כי סכום הספרות של המספר הוא 12 והוא אינו מתחלק ב-9. מתחלק ב-9.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"10"מספר מתחלק ב-10 אם הוא מסתיים ב-0
  דוגמה: המספר 39590 מתחלק ב-10 כי הוא מסתיים ב-0. והמספר 5964 אינו מתחלק ב-10 כי הוא לא מסתיים ב-0.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"11"מספר מתחלק ב-11 אם סכום הספרות במקומות אי-זוגיים שווה לסכום הספרות במקומות זוגיים או שהסכומים חייבים להיות שונים ב-11
  דוגמה: המספר 3762 מתחלק ב-11 כי 3 + 6 = 7 + 2 = 9. והמספר 2374 אינו מתחלק ב-11 כי 2 + 7 = 9 ו-3 + 4 = 7.
• סימן לחלוקה של מספר ב-"25"מספר מתחלק ב-25 אם הוא מסתיים ב-00, 25, 50 או 75
  דוגמה: המספר 4950 הוא כפולה של 25 כי הוא מסתיים ב-50. ו-4935 אינו מתחלק ב-25 כי הוא מסתיים ב-35.

קריטריוני חלוקה למספר מורכב

כדי לגלות אם מספר נתון מתחלק במספר מורכב, עליך לפרק את המספר המרוכב הזה ל גורמים ראשוניים יחסית, שקריטריוני חלוקתו ידועים. מספרים ראשוניים הם מספרים שאין להם מחלקים משותפים מלבד 1. לדוגמה, מספר מתחלק ב-15 אם הוא מתחלק ב-3 וב-5.

חשבו על דוגמה נוספת למחלק מורכב: מספר מתחלק ב-18 אם הוא מתחלק ב-2 ו-9. במקרה זה, לא ניתן לפרק את 18 ל-3 ו-6, מכיוון שהם אינם ראשוניים, מכיוון שיש להם מחלק משותף של 3 אנו נוודא זאת באמצעות דוגמה.

המספר 456 מתחלק ב-3, מכיוון שסכום הספרות שלו הוא 15, ומתחלק ב-6, מכיוון שהוא מתחלק גם ב-3 וגם ב-2. אבל אם מחלקים ידנית את 456 ב-18, מקבלים את היתרה. אם עבור המספר 456 נבדוק את סימני ההתחלקות ב-2 ו-9, ברור מיד שהוא מתחלק ב-2, אך אינו מתחלק ב-9, שכן סכום הספרות של המספר הוא 15 ואינו. מתחלק ב-9.

הנושא "מספרים מרובים" נלמד בכיתה ה' בבית ספר מקיף. מטרתו היא לשפר את הכישורים בכתב ובעל פה של חישובים מתמטיים. בשיעור זה מוצגים מושגים חדשים - "מספרים מרובים" ו"מחלקים", מתגבשת טכניקת מציאת מחלקים וכפולות של מספר טבעי, היכולת למצוא LCM בדרכים שונות.

הנושא הזה חשוב מאוד. ידע על זה יכול להיות מיושם בעת פתרון דוגמאות עם שברים. לשם כך, עליך למצוא את המכנה המשותף על ידי חישוב הכפולה הפחות משותפת (LCM).

כפולה של A היא מספר שלם המתחלק ב-A ללא שארית.

לכל מספר טבעי יש מספר אינסופי של כפולות שלו. זה נחשב לפחות. מכפלה לא יכולה להיות קטנה מהמספר עצמו.

יש צורך להוכיח כי המספר 125 הוא כפולה של המספר 5. לשם כך, עליך לחלק את המספר הראשון במספר. אם 125 מתחלק ב-5 ללא שארית, אז התשובה היא כן.

שיטה זו מתאימה למספרים קטנים.

בעת חישוב ה-LCM, ישנם מקרים מיוחדים.

1. אם אתה צריך למצוא כפולה משותפת עבור 2 מספרים (לדוגמה, 80 ו-20), כאשר אחד מהם (80) מתחלק ללא שארית בשני (20), אז המספר הזה (80) הוא הקטן ביותר כפולה של שני המספרים הללו.

LCM (80, 20) = 80.

2. אם לשניים אין מחלק משותף, אז נוכל לומר שה-LCM שלהם הוא המכפלה של שני המספרים הללו.

LCM (6, 7) = 42.

שקול את הדוגמה האחרונה. 6 ו-7 ביחס ל-42 הם מחלקים. הם מחלקים כפולה ללא שארית.

בדוגמה זו, 6 ו-7 הם מחלקי זוג. התוצר שלהם שווה למספר הרב ביותר (42).

מספר נקרא ראשוני אם הוא מתחלק רק בעצמו או ב-1 (3:1=3; 3:3=1). השאר נקראים מורכבים.

בדוגמה אחרת, עליך לקבוע אם 9 הוא מחלק ביחס ל-42.

42:9=4 (נותר 6)

תשובה: 9 אינו מחלק של 42 כי לתשובה יש שארית.

מחלק שונה ממכפלה בכך שהמחלק הוא המספר שבו מחלקים את המספרים הטבעיים, והמכפלה מתחלקת בעצמה במספר זה.

המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים או ב, כפול הכפולה הקטנה ביותר שלהם, ייתן את המכפלה של המספרים עצמם או ב.

כלומר: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

מכפילות משותפות למספרים מרוכבים יותר נמצאים בדרך הבאה.

לדוגמה, מצא את ה-LCM עבור 168, 180, 3024.

אנו מפרקים את המספרים הללו לגורמים ראשוניים, כותבים אותם כמכפלה של כוחות:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.