מהו שטח הפנים הכולל. שטח פנים צדדי של הפירמידה

- זוהי דמות רב-הדרלית, שבבסיסה נמצא מצולע, ושאר הפרצופים מיוצגים על ידי משולשים בעלי קודקוד משותף.

אם הבסיס הוא ריבוע, אז פירמידה נקראת מְרוּבָּע, אם המשולש הוא מְשּוּלָשׁ. גובה הפירמידה נמשך מהחלק העליון שלה בניצב לבסיס. משמש גם לחישוב השטח אפוטםהוא גובה פני הצד המונמכים מקודקודו.
הנוסחה עבור שטח פני השטח הצדדיים של פירמידה היא סכום שטחי פניה הצדדיים, השווים זה לזה. עם זאת, שיטת חישוב זו משמשת לעתים רחוקות מאוד. בעיקרון, השטח של הפירמידה מחושב דרך היקף הבסיס והמשפט:

שקול דוגמה לחישוב שטח פני השטח לרוחב של פירמידה.

תן פירמידה עם בסיס ABCDE וקודקוד F. AB =BC =CD =DE =EA =3 ס"מ. אפוטם a = 5 ס"מ. מצא את שטח המשטח הרוחבי של הפירמידה.
בוא נמצא את ההיקף. מכיוון שכל פני הבסיס שווים, אז היקף המחומש יהיה שווה ל:
עכשיו אתה יכול למצוא את אזור הצד של הפירמידה:

שטח של פירמידה משולשת רגילה

פירמידה משולשת רגילה מורכבת מבסיס שבו נמצא משולש רגיל ומשלושה פני צדדים שווים בשטחם.
ניתן לחשב את הנוסחה עבור שטח הפנים לרוחב של פירמידה משולשת רגילה בדרכים רבות. אתה יכול ליישם את הנוסחה הרגילה לחישוב דרך ההיקף והאפותם, או שאתה יכול למצוא את שטח הפנים של העצם ולהכפיל אותו בשלוש. מכיוון שפני הפירמידה הם משולש, אנו מיישמים את הנוסחה עבור שטח המשולש. זה ידרוש משפט ואורך הבסיס. שקול דוגמה לחישוב שטח הפנים לרוחב של פירמידה משולשת רגילה.

נתון פירמידה עם אפוטם a = 4 ס"מ ופני בסיס b = 2 ס"מ. מצא את שטח המשטח הרוחבי של הפירמידה.
ראשית, מצא את השטח של אחד מהפנים הצדדיות. במקרה זה זה יהיה:
החלף את הערכים בנוסחה:
מכיוון שבפירמידה רגילה כל הצדדים זהים, שטח פני הצד של הפירמידה יהיה שווה לסכום שטחי שלושת הפרצופים. בהתאמה:

שטח הפירמידה הקטומה

קטועפירמידה היא רב-הדרון שנוצר על ידי פירמידה וחתך מקביל לבסיס.
הנוסחה עבור שטח הפנים לרוחב של פירמידה קטומה היא פשוטה מאוד. השטח שווה למכפלה של מחצית מסכום היקפי הבסיסים והמשפט:

שטח פני השטח לרוחב של פירמידה שרירותית שווה לסכום שטחי פניה הצדדיים. הגיוני לתת נוסחה מיוחדת לביטוי אזור זה במקרה של פירמידה רגילה. אז תינתן פירמידה רגילה, שבבסיסה נמצא n-גון רגיל עם צלע שווה ל-a. תן h להיות גובה פני הצד, הנקרא גם אפותמהפירמידות. השטח של פני צד אחד הוא 1/2ah, ולכל פני הצד של הפירמידה יש ​​שטח השווה ל-n/2ha. מכיוון ש-na הוא היקף בסיס הפירמידה, נוכל לכתוב את הנוסחה שנמצאה באופן הבא :

שטח פנים לרוחבשל פירמידה רגילה שווה למכפלת המילה שלה במחצית מהיקף הבסיס.

בִּדְבַר שטח הפנים הכולל, ואז פשוט הוסף את השטח של הבסיס לצד.

כדור וכדור כתובים ומוגדרים. יש לציין כי מרכז הכדור הכתוב בפירמידה נמצא במפגש בין המישורים החצייים של הזוויות הדו-הדרליות הפנימיות של הפירמידה. מרכז הכדור המתואר ליד הפירמידה נמצא במפגש של מישורים העוברים דרך נקודות האמצע של קצוות הפירמידה ומאונכים להם.

פירמידה קטומה.אם הפירמידה נחתכת על ידי מישור מקביל לבסיס שלה, אז החלק המוקף בין מישור החיתוך לבסיס נקרא פירמידה קטומה.האיור מציג פירמידה, משליך את חלקה השוכב מעל מישור החיתוך, אנו מקבלים פירמידה קטומה. ברור שהפירמידה הקטנה שיש לזרוק היא הומוטטית לפירמידה הגדולה עם מרכז ההומותטי בקודקוד. מקדם הדמיון שווה ליחס הגבהים: k=h 2 /h 1, או צלעות צד, או ממדים ליניאריים אחרים התואמים של שתי הפירמידות. אנו יודעים שהשטחים של דמויות דומות קשורים כריבועים בעלי ממדים ליניאריים; אז השטחים של הבסיסים של שתי הפירמידות (כלומר חסכו את הבסיסים של הפירמידה הקטומה) קשורים כאל

כאן S 1 הוא השטח של הבסיס התחתון, ו- S 2 הוא השטח של הבסיס העליון של הפירמידה הקטומה. משטחי הצד של הפירמידות נמצאים באותו יחס. יש כלל דומה עבור כרכים.

כרכים של גופים דומיםקשורים כקוביות במידותיהן הליניאריות; למשל, נפחי הפירמידות קשורים כתוצרי הגבהים שלהן לפי שטח הבסיסים, שממנו נובע הכלל שלנו מיד. יש לו אופי כללי לחלוטין והוא נובע ישירות מהעובדה שלנפח יש תמיד את המימד של החזק השלישי של האורך. באמצעות כלל זה, אנו גוזרים נוסחה המבטאת את נפח הפירמידה הקטומה במונחים של גובה ושטחי הבסיסים.

תנו פירמידה קטומה עם גובה h ושטחי בסיס S 1 ו- S 2. אם נדמיין שהיא מורחבת לפירמידה המלאה, אזי ניתן למצוא בקלות את מקדם הדמיון של הפירמידה המלאה והפירמידה הקטנה כשורש היחס S 2 /S 1. גובה הפירמידה הקטומה מבוטא כ-h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). כעת יש לנו את נפח הפירמידה הקטומה (V 1 ו-V 2 מציינים את הנפחים של הפירמידה המלאה והקטנה)

נוסחת נפח פירמידה קטומה

אנו גוזרים את הנוסחה עבור שטח S של פני השטח הרוחביים של פירמידה קטומה רגילה דרך ההיקפים P 1 ו-P 2 של הבסיסים ואורך האפוטם א. אנו מתווכחים בדיוק באותו אופן כמו בעת גזירת הנוסחה לנפח. אנו משלימים את הפירמידה עם החלק העליון, יש לנו P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, כאשר k הוא מקדם הדמיון, P 1 ו- P 2 הם היקפים של הבסיסים, ו- S 1 ו S 2 הם הסוסים של משטחי הצד של כל הפירמידה שנוצרה והחלק העליון שלה, בהתאמה. עבור פני השטח הרוחביים אנו מוצאים (1 ו-2 - אפוטמים של הפירמידות, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

נוסחה עבור שטח הפנים לרוחב של פירמידה קטומה רגילה

כאשר מתכוננים לבחינה במתמטיקה, התלמידים צריכים לסדר את הידע שלהם באלגברה וגיאומטריה. אני רוצה לשלב את כל המידע הידוע, למשל, איך לחשב את שטח הפירמידה. יתר על כן, החל מהבסיס והצדדים לכל שטח הפנים. אם המצב ברור עם פני הצד, מכיוון שהם משולשים, אז הבסיס תמיד שונה.

מה לעשות כשמוצאים את השטח של בסיס הפירמידה?

זה יכול להיות כל דמות לחלוטין: ממשולש שרירותי ועד n-גון. והבסיס הזה, בנוסף להבדל במספר הזוויות, יכול להיות דמות רגילה או שגויה. במשימות USE המעניינות תלמידי בית ספר, יש רק משימות עם הדמויות הנכונות בבסיס. לכן, נדבר רק עליהם.

משולש ישר זווית

זה שווה צלעות. כזה שבו כל הצלעות שוות ומסומן באות "א". במקרה זה, השטח של בסיס הפירמידה מחושב על ידי הנוסחה:

S = (a 2 * √3) / 4.

כיכר

הנוסחה לחישוב השטח שלו היא הפשוטה ביותר, כאן "a" היא שוב הצלע:

n-גון רגיל שרירותי

לצלע של מצולע יש את אותו ייעוד. עבור מספר הפינות, האות הלטינית n משמשת.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

כיצד להמשיך בחישוב שטח הפנים הרוחבי והסך הכל?

מכיוון שהבסיס הוא דמות רגילה, כל פני הפירמידה שווים. יתר על כן, כל אחד מהם הוא משולש שווה שוקיים, שכן קצוות הצדדיים שווים. לאחר מכן, כדי לחשב את השטח הרוחבי של הפירמידה, אתה צריך נוסחה המורכבת מסכום המונומיאלים הזהים. מספר האיברים נקבע לפי מספר צלעות הבסיס.

שטחו של משולש שווה שוקיים מחושב לפי הנוסחה שבה מחצית מכפלת הבסיס מוכפלת בגובה. גובה זה בפירמידה נקרא אפוטם. ייעודו הוא "A". הנוסחה הכללית עבור שטח פנים רוחבי היא:

S \u003d ½ P * A, כאשר P הוא היקף בסיס הפירמידה.

ישנם מצבים בהם צלעות הבסיס אינן ידועות, אך נתונות קצוות הצד (ג) והזווית השטוחה בקודקוד שלו (α). אז זה אמור להשתמש בנוסחה כזו כדי לחשב את השטח הרוחבי של הפירמידה:

S = n/2 * ב-2 sin α .

משימה 1

מַצָב.מצא את השטח הכולל של הפירמידה אם הבסיס שלה שוכן עם צלע של 4 ס"מ, ולמשפט יש ערך של √3 ס"מ.

פִּתָרוֹן.אתה צריך להתחיל בחישוב היקף הבסיס. מכיוון שזהו משולש רגיל, אז P \u003d 3 * 4 \u003d 12 ס"מ. מכיוון שהמשפט ידוע, אתה יכול מיד לחשב את השטח של כל המשטח הרוחבי: ½ * 12 * √3 = 6 √3 ס"מ 2.

עבור משולש בבסיס, יתקבל ערך השטח הבא: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 ס"מ 2.

כדי לקבוע את השטח כולו, תצטרך להוסיף את שני הערכים המתקבלים: 6√3 + 4√3 = 10√3 ס"מ 2.

תשובה. 10√3 ס"מ2.

משימה מס' 2

מַצָב. יש פירמידה מרובעת רגילה. אורך דופן הבסיס הוא 7 מ"מ, קצה הצד הוא 16 מ"מ. אתה צריך לדעת את שטח הפנים שלו.

פִּתָרוֹן.מכיוון שהפוליהדרון הוא מרובע ורגיל, אז הבסיס שלו הוא ריבוע. לאחר שלמדנו את שטחי הבסיס והצדדים, ניתן יהיה לחשב את שטח הפירמידה. הנוסחה של הריבוע ניתנת לעיל. ובפנים הצדדיות ידועות כל צלעות המשולש. לכן, אתה יכול להשתמש בנוסחה של הרון כדי לחשב את השטחים שלהם.

החישובים הראשונים פשוטים ומובילים למספר הזה: 49 מ"מ 2. עבור הערך השני, תצטרך לחשב את חצי ההיקף: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 מ"מ. כעת אתה יכול לחשב את השטח של משולש שווה שוקיים: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 מ"מ 2. ישנם רק ארבעה משולשים כאלה, כך שבחישוב המספר הסופי, תצטרך להכפיל אותו ב-4.

מסתבר: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 מ"מ 2.

תשובה. הערך הרצוי הוא 267.576 מ"מ 2.

משימה מס' 3

מַצָב. עבור פירמידה מרובעת רגילה, אתה צריך לחשב את השטח. בו צד הריבוע 6 ס"מ וגובהו 4 ס"מ.

פִּתָרוֹן.הדרך הקלה ביותר היא להשתמש בנוסחה עם המכפלה של ההיקף והאפותם. קל למצוא את הערך הראשון. השני קצת יותר קשה.

נצטרך לזכור את משפט פיתגורס ולשקול אותו נוצר על ידי גובה הפירמידה והאפותם, שהוא ההיפוטנוז. הרגל השנייה שווה למחצית הצלע של הריבוע, שכן גובה הפוליהדרון נופל לאמצעו.

האפוטם הרצוי (התחתון של משולש ישר זווית) הוא √(3 2 + 4 2) = 5 (ס"מ).

עכשיו אתה יכול לחשב את הערך הרצוי: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (ס"מ 2).

תשובה. 96 ס"מ.

משימה מס' 4

מַצָב.הצד הנכון של הבסיס שלו הוא 22 מ"מ, הצלעות הצדדיות הן 61 מ"מ. מהו השטח של פני השטח הצדדיים של הפוליהדרון הזה?

פִּתָרוֹן.הטיעונים בו זהים לאלו המתוארים בבעיה מס' 2. רק שם ניתנה פירמידה עם ריבוע בבסיס, ועכשיו זה משושה.

קודם כל, שטח הבסיס מחושב באמצעות הנוסחה לעיל: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 ס"מ 2.

עכשיו אתה צריך לגלות את חצי ההיקף של משולש שווה שוקיים, שהוא פנים לרוחב. (22 + 61 * 2): 2 = 72 ס"מ. נותר לחשב את השטח של משולש כזה באמצעות נוסחת האנפה, ולאחר מכן להכפיל אותו בשש ולהוסיף אותו לזה שהתברר עבור בסיס.

חישובים באמצעות נוסחת האנפה: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 ס"מ 2. חישובים שיתנו את שטח הפנים לרוחב: 660 * 6 \u003d 3960 ס"מ 2. נותר להוסיף אותם כדי לגלות את כל פני השטח: 5217.47≈5217 ס"מ 2.

תשובה.בסיס - 726√3 ס"מ 2, משטח צד - 3960 ס"מ 2, כל השטח - 5217 ס"מ 2.

בעיות גיאומטריות אופייניות במישור ובמרחב התלת מימדי הן הבעיות בקביעת שטחי הפנים של דמויות שונות. במאמר זה אנו מציגים את הנוסחה עבור שטח פני השטח לרוחב של פירמידה מרובעת רגילה.

מהי פירמידה?

הבה ניתן הגדרה גיאומטרית קפדנית של פירמידה. נניח שיש מצולע עם n צלעות ו-n פינות. נבחר נקודה שרירותית במרחב שלא תהיה במישור ה-n-גון שצוין, ונחבר אותה לכל קודקוד של המצולע. נקבל דמות בעלת נפח כלשהו, ​​הנקראת פירמידה n-gonal. לדוגמה, בואו נראה באיור למטה איך נראית פירמידה מחומשת.

שני מרכיבים חשובים של כל פירמידה הם הבסיס שלה (n-גון) והחלק העליון שלה. אלמנטים אלו מחוברים זה לזה באמצעות n משולשים, שבאופן כללי אינם שווים זה לזה. הניצב שירד מלמעלה לבסיס נקרא גובה הדמות. אם הוא חוצה את הבסיס במרכז הגיאומטרי (חופף למרכז המסה של המצולע), אז פירמידה כזו נקראת קו ישר. אם, בנוסף למצב זה, הבסיס הוא מצולע רגיל, אז הפירמידה כולה נקראת רגילה. האיור שלהלן מראה כיצד נראות פירמידות רגילות עם בסיסים משולשים, מרובעים, מחומשים ומשושים.

פני השטח של הפירמידה

לפני שנפנה לשאלת השטח של פני השטח לרוחב של פירמידה מרובעת רגילה, יש להתעכב ביתר פירוט על מושג המשטח עצמו.

כפי שהוזכר לעיל ומוצג באיורים, כל פירמידה נוצרת על ידי קבוצה של פרצופים או צדדים. צלע אחת היא הבסיס ו-n צלעות הן משולשים. פני השטח של כל הדמות הם סכום השטחים של כל אחת מהצלעות שלה.

זה נוח ללמוד את פני השטח באמצעות דוגמה של דמות שנפרשת. סריקה לפירמידה מרובעת רגילה מוצגת באיורים שלהלן.

אנו רואים ששטח הפנים שלו שווה לסכום של ארבעה שטחים של משולשים שווה שוקיים זהים ושטח של ריבוע.

השטח הכולל של כל המשולשים היוצרים את צלעות הדמות נקרא שטח המשטח הרוחבי. לאחר מכן, אנו מראים כיצד לחשב אותו עבור פירמידה מרובעת רגילה.

שטח פנים לרוחב של פירמידה רגילה מלבנית

כדי לחשב את שטח הפנים לרוחב של הדמות שצוינה, נפנה שוב לטאטא לעיל. נניח שאנו יודעים את הצלע של הבסיס הריבועי. נסמן את זה בסמל א. ניתן לראות שלכל אחד מארבעת המשולשים הזהים יש בסיס באורך a. כדי לחשב את השטח הכולל שלהם, אתה צריך לדעת את הערך הזה עבור משולש אחד. ממהלך הגיאומטריה ידוע ששטח המשולש S t שווה למכפלת הבסיס והגובה, אותם יש לחלק לשניים. זה:

כאשר h b הוא גובה המשולש שווה שוקיים הנמשך לבסיס a. עבור פירמידה, הגובה הזה הוא התפיסה. כעת נותר להכפיל את הביטוי המתקבל ב-4 כדי לקבל את השטח S b של המשטח הרוחבי עבור הפירמידה המדוברת:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

נוסחה זו מכילה שני פרמטרים: האפוטם והצד של הבסיס. אם האחרון ידוע ברוב תנאי הבעיות, אז יש לחשב את הראשון תוך ידיעת כמויות אחרות. להלן הנוסחאות לחישוב apotema h b עבור שני מקרים:

• כאשר ידוע אורך הצלע הצדדית;
• כאשר גובה הפירמידה ידוע.

אם נסמן את אורך הקצה הרוחבי (הצלע של משולש שווה שוקיים) עם הסמל L, אז האפוטמה h b נקבעת על ידי הנוסחה:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

ביטוי זה הוא תוצאה של יישום משפט פיתגורס עבור משולש פני השטח הרוחביים.

אם ידוע גובה h של הפירמידה, ניתן לחשב את האפוטמה h b באופן הבא:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

זה גם לא קשה להשיג את הביטוי הזה אם ניקח בחשבון משולש ישר זווית בתוך הפירמידה שנוצרה על ידי הרגליים h ו- a / 2 והתחתון h b.

נראה כיצד ליישם את הנוסחאות הללו על ידי פתרון שתי בעיות מעניינות.

בעיה עם שטח פנים ידוע

ידוע ששטח פני השטח לרוחב של מרובע הוא 108 ס"מ 2 . יש צורך לחשב את הערך של אורך האפוטם שלה h bif גובה הפירמידה הוא 7 ס"מ.

נכתוב את הנוסחה עבור השטח S b של המשטח הרוחבי דרך הגובה. יש לנו:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

כאן פשוט החלפנו את נוסחת האפוטמה המתאימה בביטוי של S b. בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

כדי למצוא את הערך של a, אנו מבצעים שינוי של משתנים:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

כעת נחליף את הערכים הידועים ונפתור את המשוואה הריבועית:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

כתבנו רק את השורש החיובי של המשוואה הזו. אז הצדדים של בסיס הפירמידה יהיו שווים ל:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 ס"מ.

כדי לקבל את אורך האפוטמה, פשוט השתמש בנוסחה:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2 / 4) ≈ 7.808 ס"מ.

משטח רוחבי של פירמידת צ'אופס

בואו נקבע את הערך של שטח הפנים לרוחב עבור הפירמידה המצרית הגדולה ביותר. ידוע שבבסיסו שוכן ריבוע שאורך הצלע הוא 230.363 מטר. גובה המבנה היה במקור 146.5 מטר. החלף את המספרים האלה בנוסחה המתאימה עבור S b , נקבל:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2 / 4) * 230.363 ≈ 85860 מ' 2.

הערך שנמצא מעט גדול יותר משטחם של 17 מגרשי כדורגל.