Leikkaavien viivojen välinen kulma: määritelmä, esimerkkejä löydöstä.

a. Olkoon kaksi suoraa, jotka, kuten luvussa 1 todettiin, muodostavat erilaisia ​​positiivisia ja negatiivisia kulmia, jotka voivat olla joko teräviä tai tylpäitä. Kun tiedämme yhden näistä kulmista, löydämme helposti minkä tahansa muun.

Muuten, kaikille näille kulmille tangentin numeerinen arvo on sama, ero voi olla vain etumerkissä

Linjojen yhtälöt. Luvut ovat ensimmäisen ja toisen suoran suuntausvektorien projektioita, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin yksi suorien viivojen muodostamista kulmista. Siksi ongelma rajoittuu vektorien välisen kulman määrittämiseen, saamme

Yksinkertaisuuden vuoksi voimme sopia kahden suoran välisestä kulmasta terävän positiivisen kulman ymmärtämiseksi (kuten esimerkiksi kuvassa 53).

Silloin tämän kulman tangentti on aina positiivinen. Siten, jos kaavan (1) oikealle puolelle saadaan miinusmerkki, meidän on hylättävä se, eli säilytettävä vain itseisarvo.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma

Kaavan (1) mukaan meillä on

Kanssa. Jos osoitetaan, mikä kulman sivuista on sen alku ja mikä sen loppu, niin laskettaessa aina kulman suunta vastapäivään, saadaan kaavoista (1) jotain lisää. Kuten kuvasta on helppo nähdä. 53 kaavan (1) oikealta puolelta saatu merkki osoittaa, kumpi - terävä vai tylppä - kulma muodostaa toisen viivan ensimmäisen kanssa.

(Itse asiassa, kuvasta 53 näemme, että ensimmäisen ja toisen suuntavektorin välinen kulma on joko yhtä suuri kuin haluttu viivojen välinen kulma tai eroaa siitä ±180°.)

d. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niin myös niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaisia.Soveltamalla kahden vektorin yhdensuuntaisuuden ehtoa saadaan!

Tämä on välttämätön ja riittävä ehto, jotta kaksi suoraa ovat samansuuntaisia.

Esimerkki. Suoraan

ovat rinnakkaisia, koska

e. Jos suorat ovat kohtisuorassa, niin niiden suuntavektorit ovat myös kohtisuorassa. Soveltamalla kahden vektorin kohtisuoraisuuden ehtoa saadaan kahden suoran kohtisuoraisuuden ehto, nimittäin

Esimerkki. Suoraan

kohtisuorassa, koska

Ratkaisemme rinnakkaisuuden ja kohtisuoran ehtojen yhteydessä seuraavat kaksi tehtävää.

f. Piirrä pisteen läpi yhdensuuntainen viiva annetun suoran kanssa

Päätös tehdään näin. Koska haluttu suora on yhdensuuntainen annetun kanssa, niin sen suuntavektoriksi voidaan ottaa sama kuin annetun suoran, eli vektorin projektioilla A ja B. Sitten kirjoitetaan halutun suoran yhtälö. muodossa (1 §)

Esimerkki. Yhtälö suorasta pisteestä (1; 3), joka kulkee yhdensuuntaisen suoran kanssa

tulee seuraavaksi!

g. Piirrä viiva pisteen läpi, joka on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan

Tässä ei enää sovi ottaa vektoria projektioilla A ja suuntausvektoriksi, vaan siihen nähden kohtisuorassa oleva vektori on voitettava. Tämän vektorin projektiot on siksi valittava sen ehdon mukaan, että molemmat vektorit ovat kohtisuorassa, eli ehdon mukaan

Tämä ehto voidaan täyttää äärettömällä monella tavalla, koska tässä on yksi yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta.Mutta helpoin tapa on ottaa se. Silloin halutun suoran yhtälö kirjoitetaan muotoon

Esimerkki. Yhtälö suorasta, joka kulkee kohtisuorassa pisteessä (-7; 2).

on seuraava (toisen kaavan mukaan)!

h. Siinä tapauksessa, että rivit on annettu muodon yhtälöillä

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään seuraavasti

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2 . Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2 .

Lause. Suorat Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ovat verrannollisia. Jos myös С 1 = λС, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Kohtisuorassa tähän linjaan nähden

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi ja on kohtisuorassa suoraa y \u003d kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti

.

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

(1)

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 läpi kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu. Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: jossa b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa annetaan kaltevuusyhtälöillä

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

sitten niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

On huomattava, että murto-osan osoittajassa ensimmäisen suoran kaltevuus vähennetään toisen suoran kulmasta.

Jos suoran yhtälöt annetaan yleisessä muodossa

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

4. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdot:

a) Jos suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niin niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys:

k 1 = k 2 . (8)

b) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä yleismuodossa (6), niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on, että kertoimet vastaavissa virtakoordinaateissa niiden yhtälöissä ovat verrannollisia, ts.

5. Kahden suoran kohtisuoraisuuden ehdot:

a) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niiden kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden kulmakertoimet ovat suuruudeltaan käänteissuuntaisia ​​ja etumerkillisesti vastakkaisia, ts.

Tämä ehto voidaan kirjoittaa myös muotoon

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jos suorien yhtälöt annetaan yleismuodossa (6), niin niiden kohtisuoraisuuden ehto (välttämätön ja riittävä) on yhtälön täyttyminen

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä (6). Suorat (6) leikkaavat jos ja vain jos

1. Kirjoita yhtälöt pisteen M läpi kulkeville suorille, joista toinen on yhdensuuntainen ja toinen on kohtisuorassa annettua suoraa l vastaan.

Ohje

merkintä

Trigonometrisen funktion tangentin jakso on 180 astetta, mikä tarkoittaa, että suorien viivojen kaltevuuskulmat eivät voi absoluuttisina arvoina ylittää tätä arvoa.

Hyödyllisiä neuvoja

Jos kaltevuuskertoimet ovat keskenään yhtä suuret, tällaisten viivojen välinen kulma on 0, koska tällaiset suorat joko ovat yhteneväisiä tai ovat yhdensuuntaisia.

Risteysviivojen välisen kulman määrittämiseksi on tarpeen siirtää molemmat viivat (tai yksi niistä) uuteen paikkaan rinnakkaisella siirrolla risteykseen. Sen jälkeen sinun pitäisi löytää kulma tuloksena olevien leikkaavien viivojen välillä.

Tarvitset

• Viivain, suorakulmainen kolmio, lyijykynä, astemittari.

Ohje

Olkoon siis vektori V = (a, b, c) ja taso A x + B y + C z = 0, missä A, B ja C ovat normaalin N:n koordinaatit. Sitten kulman kosini α vektorien V ja N välillä on: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Laskeaksesi kulman arvon asteina tai radiaaneina, sinun on laskettava kosinin käänteisfunktio tuloksena olevasta lausekkeesta, ts. arkosiini: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Esimerkki: löytää kulma välillä vektori(5, -3, 8) ja kone, annetaan yleisellä yhtälöllä 2 x - 5 y + 3 z = 0. Ratkaisu: kirjoita muistiin tason N = (2, -5, 3) normaalivektorin koordinaatit. Korvaa kaikki tunnetut arvot yllä olevaan kaavaan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Liittyvät videot

Suora, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, on ympyrän tangentti. Toinen tangentin ominaisuus on, että se on aina kohtisuorassa kosketuspisteeseen vedettyä sädettä vastaan, eli tangentti ja säde muodostavat suoran viivan kulma. Jos yhdestä pisteestä A piirretään kaksi ympyrän AB ja AC tangenttia, ne ovat aina yhtä suuret keskenään. Tangenttien välisen kulman määrittely ( kulma ABC) tuotetaan Pythagoraan lauseella.

Ohje

Kulman määrittämiseksi sinun on tiedettävä ympyrän OB ja OS säde sekä tangentin alkupisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä - O. Kulmat ABO ja ACO ovat siis yhtä suuret, säde OB esimerkiksi 10 cm, ja etäisyys ympyrän AO keskipisteeseen on 15 cm. Määritä tangentin pituus kaavalla Pythagoraan lauseen mukaisesti: AB \u003d neliöjuuri AO2 - OB2 tai 152 - 102 \ u003d 225 - 100 \u003d 125;

Puhun lyhyesti. Kahden suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen kulma. Siten, jos onnistut löytämään suuntavektorien a \u003d (x 1; y 1; z 1) ja b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinaatit, voit löytää kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavan mukaan:

Katsotaanpa, kuinka tämä kaava toimii tietyissä esimerkeissä:

Tehtävä. Pisteet E ja F on merkitty kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Koska kuution reunaa ei ole määritelty, asetetaan AB = 1. Otamme käyttöön vakiokoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A ja x-, y-, z-akselit on suunnattu pitkin AB, AD ja AA 1, vastaavasti. . Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään nyt suoritemme suuntavektorien koordinaatit.

Etsi vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitsemme pisteet A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Koska piste E on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE origo on sama kuin origo, joten AE = (0,5; 0; 1).

Käsitellään nyt BF-vektoria. Samalla tavalla analysoimme pisteet B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), koska F - segmentin B 1 C 1 keskikohta. Meillä on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Suuntavektorit ovat siis valmiit. Viivojen välisen kulman kosini on suuntavektorien välisen kulman kosini, joten meillä on:

Tehtävä. Säännöllisessä kolmikulmaisessa prismassa ABCA 1 B 1 C 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet D ja E - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi suorien AD ja BE välinen kulma.

Otamme käyttöön standardikoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A, x-akseli on suunnattu AB:tä pitkin, z - AA 1:tä pitkin. Suunnamme y-akselia niin, että OXY-taso osuu ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsi haluttujen suorien suuntavektorien koordinaatit.

Etsitään ensin AD-vektorin koordinaatit. Tarkastellaan pisteitä: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), koska D - segmentin A 1 B 1 keskikohta. Koska vektorin AD alku on sama kuin origo, saadaan AD = (0.5; 0; 1).

Etsitään nyt vektorin BE koordinaatit. Piste B = (1; 0; 0) on helppo laskea. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - hieman monimutkaisempi. Meillä on:

Vielä on löydettävä kulman kosini:

Tehtävä. Säännöisessä kuusikulmaisessa prismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet K ja L - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AK ja BL välinen kulma.

Otamme käyttöön prisman vakiokoordinaattijärjestelmän: asetamme koordinaattien origon alemman kannan keskelle, suuntaamme x-akselin FC:tä pitkin, y-akselin segmenttien AB ja DE keskipisteiden läpi ja z-akselin pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB = 1. Kirjoitetaan meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:

Pisteet K ja L ovat janan A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löydetään aritmeettisen keskiarvon kautta. Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AK ja BL koordinaatit:

Etsitään nyt kulman kosini:

Tehtävä. Säännölliseen nelikulmaiseen pyramidiin SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet E ja F - sivujen SB ja SC keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Otamme käyttöön standardikoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A, x- ja y-akselit on suunnattu AB:tä ja AD:tä pitkin ja z-akseli on suunnattu pystysuunnassa ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.

Pisteet E ja F ovat janan SB ja SC keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Kirjoitamme meille kiinnostavien kohteiden koordinaatit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AE ja BF koordinaatit:

Vektorin AE koordinaatit ovat samat kuin pisteen E koordinaatit, koska piste A on origo. Vielä on löydettävä kulman kosini: