Kolmion pyramidin määritelmä. Mikä antaa meille mahdollisuuden pitää pyramidia geometrisena ihmeenä

Kolmion muotoinen pyramidi on kolmioon perustuva pyramidi. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjalle.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa kolmionmuotoisen pyramidin korkeuden selvittämiseksi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, missä S on kantapinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo perusalalla, se on: h \u003d (3V ) / S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit käyttää kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, sitten seuraavalla kaavalla: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvo on katsottava sinitaulukosta, joka on Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavassa tarvittava muuttuja korvattava sen vastineella, joka ilmaistaan ​​reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvataan tämä kaava edellisen kaavan kanta-alan sijaan , ja saamme seuraavan kaavan: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituudella, jolloin kuvion korkeuden laskentakaavasta voidaan poistaa kaikki muuttujat ja vain kuvion kolmiomaisen pinnan sivu voidaan jättää. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla tulosta sen pinnan pituus kuutioituna 2:n neliöjuurella.

Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan, saamme seuraavan kaavan laskentaan: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Myös säännöllinen kolmion muotoinen prisma voidaan piirtää palloon, ja kun tiedät vain pallon säteen (R), voit löytää tetraedrin korkeuden. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 suhdetta 6:n neliöjuuren ja säteen välillä. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä, mikä on tavallinen pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, joka perustuu nelikulmioon. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h \u003d (3V) / S. Kun pyramidin neliökanta tunnetaan: annettu tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa alue (S) edellisessä kaavassa sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee juuri ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edelleen löydämme suorassa kolmiossa SOC (Pythagoraan lauseen mukaan): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

• apoteemi- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, joka vedetään sen yläosasta (lisäksi apoteemi on kohtisuoran pituus, joka lasketaan säännöllisen monikulmion keskeltä yhdelle sen sivuista);
• sivupinnat (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmiot, jotka suppenevat yläreunassa;
• kylkiluut ( KUTEN , BS , CS , D.S. ) - sivupintojen yhteiset puolet;
• pyramidin huipulla (v. S) - piste, joka yhdistää sivureunat ja joka ei ole alustan tasossa;
• korkeus ( NIIN ) - kohtisuoran segmentti, joka vedetään pyramidin yläosan läpi sen pohjan tasoon (sellaisen segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);
• pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin osa, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;
• pohja (ABCD) on monikulmio, johon pyramidin huippu ei kuulu.

pyramidin ominaisuudet.

1. Kun kaikki sivureunat ovat samankokoisia, niin:

• pyramidin pohjan lähellä on helppo kuvata ympyrää, kun taas pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivurivat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa;
• lisäksi päinvastoin on myös totta, ts. kun sivureunat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa tai kun ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle, silloin kaikilla pyramidin sivureunoilla on saman kokoinen.

2. Kun sivupintojen kaltevuuskulma pohjan tasoon on sama, niin:

• pyramidin pohjan lähellä on helppo kuvata ympyrää, kun taas pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivupintojen korkeudet ovat yhtä pitkiä;
• sivupinnan pinta-ala on ½ pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulo.

3. Pallo voidaan kuvata lähellä pyramidia, jos pyramidin kanta on monikulmio, jonka ympärille voidaan kuvata ympyrä (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on niihin nähden kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskipisteiden läpi kulkevien tasojen leikkauspiste. Tästä lauseesta päätämme, että pallo voidaan kuvata sekä minkä tahansa kolmion ympärillä että minkä tahansa säännöllisen pyramidin ympärillä.

4. Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat 1. pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tästä pisteestä tulee pallon keskipiste.

Yksinkertaisin pyramidi.

Pyramidin pohjan kulmien lukumäärän mukaan ne jaetaan kolmiomaisiin, nelikulmaisiin ja niin edelleen.

Pyramidi tulee kolmion muotoinen, nelikulmainen, ja niin edelleen, kun pyramidin kanta on kolmio, nelikulmio ja niin edelleen. Kolmion muotoinen pyramidi on tetraedri - tetraedri. Nelikulmainen - viisihedri ja niin edelleen.

Määritelmä

Pyramidi on monikulmio, joka koostuu monikulmioista \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmioista, joilla on yhteinen kärki \(P\) (ei sijaitse monikulmion tasossa) ja vastakkaiset sivut, jotka ovat yhtäpitäviä monikulmion sivujen kanssa. monikulmio.
Nimitys: \(PA_1A_2...A_n\) .
Esimerkki: viisikulmainen pyramidi \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmiot \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. olla nimeltään sivupinnat pyramidit, segmentit \(PA_1, PA_2\) jne. - kylkiluut, monikulmio \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – perusta, piste \(P\) – kokous.

Korkeus Pyramidit ovat kohtisuora, joka on pudotettu pyramidin huipulta pohjan tasoon.

Pyramidia, jonka pohjassa on kolmio, kutsutaan tetraedri.

Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

\((a)\) pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret;

\((b)\) pyramidin korkeus kulkee rajatun ympyrän keskustan läpi lähellä kantaa;

\(c)\) sivurivat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

\(d)\) sivupinnat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

säännöllinen tetraedri on kolmiopyramidi, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita.

Lause

Ehdot \((a), (b), (c), (d)\) ovat vastaavat.

Todiste

Piirrä pyramidin korkeus \(PH\) . Olkoon \(\alpha\) pyramidin kannan taso.

1) Osoitetaan, että \((a)\) tarkoittaa \((b)\) . Olkoon \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Koska \(PH\perp \alpha\) , niin \(PH\) on kohtisuorassa mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden, joten kolmiot ovat suorakulmaisia. Nämä kolmiot ovat siis yhtä suuret yhteisessä haarassa \(PH\) ja hypotenuusassa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Joten \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tämä tarkoittaa, että pisteet \(A_1, A_2, ..., A_n\) ovat samalla etäisyydellä pisteestä \(H\) , joten ne sijaitsevat samalla ympyrällä, jonka säde on \(A_1H\) . Tämä ympyrä on määritelmän mukaan rajattu polygonin \(A_1A_2...A_n\) ympärille.

2) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja yhtä suuri kahdessa jalassa. Siksi niiden kulmat ovat myös yhtä suuret, joten \(\kulma PA_1H=\kulma PA_2H=...=\kulma PA_nH\).

3) Osoitetaan, että \((c)\) tarkoittaa \((a)\) .

Samanlainen kuin ensimmäinen piste, kolmiot \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja jalkaa pitkin ja terävä kulma. Tämä tarkoittaa, että niiden hypotenuusat ovat myös yhtä suuret, eli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((d)\) .

Koska säännöllisessä monikulmiossa rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden keskipisteet ovat samat (yleensä tätä pistettä kutsutaan säännöllisen monikulmion keskipisteeksi), jolloin \(H\) on piirretyn ympyrän keskipiste. Piirretään kohtisuorat pisteestä \(H\) kannan sivuille: \(HK_1, HK_2\) jne. Nämä ovat piirretyn ympyrän säteet (määritelmän mukaan). Sitten TTP:n mukaan (\(PH\) on kohtisuora tasoon nähden, \(HK_1, HK_2\) jne. ovat projektioita, jotka ovat kohtisuorassa sivuihin) vino \(PK_1, PK_2\) jne. kohtisuorassa sivuihin \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastaavasti. Siis määritelmän mukaan \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H\) yhtä suuri kuin sivupintojen ja pohjan väliset kulmat. Koska kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorassa kulmassa kahdella jalalla), sitten kulmat \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H, ...\) ovat tasa-arvoisia.

5) Osoitetaan, että \((d)\) tarkoittaa \((b)\) .

Neljännen pisteen tapaan kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorakulmaisina jalkaa pitkin ja teräväkulmaisina), mikä tarkoittaa, että segmentit \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ovat tasa-arvoisia. Siten määritelmän mukaan \(H\) on kantaan kirjoitetun ympyrän keskipiste. Mutta siitä lähtien säännöllisissä monikulmioissa piirretyn ja rajatun ympyrän keskipisteet ovat samat, jolloin \(H\) on rajatun ympyrän keskipiste. Chtd.

Seuraus

Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteema.
Säännöllisen pyramidin kaikkien sivupintojen apoteemit ovat keskenään yhtä suuret ja ovat myös mediaaneja ja puolittajia.

Tärkeät muistiinpanot

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus putoaa kannan korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kolmio).

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus putoaa kannan diagonaalien leikkauspisteeseen (kanta on neliö).

3. Säännöllisen kuusikulmiopyramidin korkeus putoaa kannan lävistäjien leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kuusikulmio).

4. Pyramidin korkeus on kohtisuorassa mihin tahansa pohjassa olevaan suoraan nähden.

Määritelmä

Pyramidi on ns suorakulmainen jos yksi sen sivureunoista on kohtisuorassa kannan tasoon nähden.

Tärkeät muistiinpanot

1. Suorakaiteen muotoisen pyramidin pohjaan nähden kohtisuorassa oleva reuna on pyramidin korkeus. Eli \(SR\) on korkeus.

2. Koska \(SR\) kohtisuorassa mihin tahansa tyvestä lähtevään viivaan nähden \(\triangle SRM, \triangle SRP\) ovat suorakulmaisia ​​kolmioita.

3. Kolmiot \(\kolmio SRN, \kolmio SRK\) ovat myös suorakaiteen muotoisia.
Toisin sanoen mikä tahansa kolmio, jonka muodostaa tämä reuna ja tämän reunan kärjestä lähtevä diagonaali, joka sijaitsee pohjassa, on suorakulmainen.

\[(\Large(\text(pyramidin tilavuus ja pinta-ala)))\]

Lause

Pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa pyramidin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulosta: \

Seuraukset

Olkoon \(a\) pohjan sivu, \(h\) pyramidin korkeus.

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on \(V_(\teksti(oikea kolmio pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Säännöllisen tetraedrin tilavuus on \(V_(\text(oikea tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Lause

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta.

\[(\Large(\teksti(Katkaistu pyramidi)))\]

Määritelmä

Tarkastellaan mielivaltaista pyramidia \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Piirretään taso, joka on yhdensuuntainen pyramidin pohjan kanssa tietyn pisteen läpi, joka sijaitsee pyramidin sivureunassa. Tämä taso jakaa pyramidin kahdeksi monitahoiseksi, joista toinen on pyramidi (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja toinen on ns. katkaistu pyramidi(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Katkaistulla pyramidilla on kaksi kantaa - polygonit \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\) , jotka ovat samankaltaisia ​​keskenään.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty jostakin ylemmän kannan pisteestä alemman pohjan tasoon.

Tärkeät muistiinpanot

1. Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

2. Jana, joka yhdistää säännöllisen katkaistun pyramidin (eli säännöllisen pyramidin poikkileikkauksella saadun pyramidin) kantojen keskipisteet on korkeus.

Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu sen muotoon upotetuista matemaattisista laeista.

Kohde: tutkittuaan pyramidia geometrisena kappaleena selittääkseen sen muodon täydellisyyden.

Tehtävät:

1. Anna pyramidin matemaattinen määritelmä.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset asettivat pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesti?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan sanasta pyramis, suku n. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (kuva). Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakenne, jolla on pyramidin geometrinen muoto (joskus myös porrastettu tai tornin muotoinen). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja 3.–2. vuosituhannella eKr. kutsutaan pyramideiksi. e., samoin kuin muinaiset amerikkalaiset temppelien jalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

On mahdollista, että kreikkalainen sana "pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoitti pyramidin korkeutta. Tunnettu venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram…j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr.

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzova ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ovat pyramidin sivupinnat, P on pyramidin huippu, segmentit RA1, RA2, .. ., RAn ovat sivureunat.

Tällaista pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko, matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja, jotka ovat tulleet meille, Euclid, määrittelee pyramidin kiinteäksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraavaa pyramidin määritelmää: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat yhdessä pisteessä lähentyvät kolmiot ja jonka kanta on monikulmio."

Ryhmämme, kun vertaili näitä määritelmiä, tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää "säätiön" käsitettä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 työssään "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehon hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät pyramidin eri puolille. tasainen pohja.”

Meistä näyttää siltä, ​​​​että viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se viittaa siihen, että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä esiintyi 1800-luvun oppikirjassa: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin huippu).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan pitkäh pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa - pyramidi PABCD, ABCD - sen pohja, PO - korkeus.

Koko pinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sen pintojen pinta-alojen summaksi.

Täysi = Sside + Sbase, missä Sside on sivupintojen pinta-alojen summa.

pyramidin tilavuus löytyy kaavan mukaan:

V = 1/3Sbase h, missä Sosn. - perusalue h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.
Apothem ST - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan suuntainen taso A'B'C'D', niin:

1) sivureunat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) leikkauksessa saadaan kantaa vastaava monikulmio A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (juhlien katkaiseman säännöllisen apoteemi

Pyramidin osat.

Pyramidin leikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita.

Pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi kulkevaa osaa kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasossa.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla sijaitsevan pisteen läpi ja tietyn jäljen leikkauksesta pohjan tasossa, rakentaminen tulee suorittaa seuraavasti:

etsi annetun pinnan tason ja pyramidin leikkauksen jäljen leikkauspiste ja nimeä se;

rakentaa tietyn pisteen ja tuloksena olevan leikkauspisteen kautta kulkeva suora;

· Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa siihen, mikä on syntynyt molemmista.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eikö tämä lause ole, jonka egyptiläiset papit halusivat jatkaa pystyttämällä pyramidin kolmion 3:4:5 pohjalta? On vaikea löytää parempaa esimerkkiä havainnollistamaan Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Niinpä Egyptin pyramidien nerokkaat luojat yrittivät tehdä vaikutuksen kaukaisiin jälkeläisiin tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla Cheopsin pyramidin "geometriseksi pääideaksi" - "kultaisen" suorakulmaisen kolmion ja Khafren pyramidille - "pyhä" tai "egyptiläinen" kolmio.

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidien ominaisuuksia kultaisen leikkauksen mittasuhteilla.

Seuraava kultaisen leikkauksen määritelmä on annettu matemaattisessa tietosanakirjassa - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteessa - segmentin AB jako kahteen osaan siten, että suurin osa sen AC:stä on suhteellinen keskiarvo koko segmentin AB ja sen pienemmän osan CB välillä.

Janan kultaisen osan algebrallinen löytö AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a - x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. X-suhde voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Jakson AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, segmentti BE \u003d 1/2 AB asetetaan sen päälle, A ja E yhdistetään, DE \ u003d BE lykätään ja lopuksi AC \u003d AD, sitten yhtälö AB täyttyy: CB = 2: 3.

Kultaista leikkausta käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa ja sitä löytyy luonnosta. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Myös ympärillämme olevat esineet tarjoavat esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidosten leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua yhteiseen kasvin varteen, voidaan huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisen suhteen (diat) paikalla. Jokainen meistä "käyttää" kultaista suhdetta kanssamme "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä lasku- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä arvoituksia tutkimalla egyptiläiset oppivat, kuinka muinaiset egyptiläiset käsittelivät erilaisia ​​määriä, jotka syntyivät laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittareita, joissa käytettiin usein murtolukuja, sekä kuinka he käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaisluvun suhteena, jota kutsutaan "sekediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna n:nnellä vaakayksiköiden lukumäärällä pystysuoraa korkeusyksikköä kohti. . Siten tämä mittayksikkö vastaa nykyaikaista kaltevuuskulmamme kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seked" liittyy nykyaikaiseen sanaamme "gradientti".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. Käytännössä tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyytensä, mistä johtuen kunkin pyramidin kaltevuuskulmien erot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5) näkyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä). Joten tämä asenne oli muinaisten egyptiläisten tiedossa.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät tienneet 3:4:5 kolmiota, sanotaan, että hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta pyramideja koskevat matemaattiset ongelmat ratkaistaan ​​aina kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Muinaiset egyptiläiset tiesivät epäilemättä Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numeerisen symbolismin merkityksen kanssa kaikenlaisessa egyptiläisessä kuvataiteessa. On hyvin todennäköistä, että tällaisilla suhteilla oli suuri merkitys, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi oli johdonmukaisen suunnittelun kohteena, joka oli suunniteltu heijastamaan jonkinlaista jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat kolmelle pyramidille eri kulmat.

Orionin salaisuudessa Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita Gizan pyramidien yhteydestä Orionin tähdistöyn, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä myytissä Isis ja Osiris, ja on syytä pitää jokaista pyramidia kuvana yhdestä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

IHMEÄ "GEOMETRIA".

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärää" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​vastasi neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaan Cheops-pyramidin kokoa (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) annettujen perustelujen mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF on yhtä suuri kuin L\u003d 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu eri tavalla 146,6-148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10 ´ 10 m ja sata vuotta sitten 6 ´ 6 m. On ilmeistä, että pyramidin huippu on purettu, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen "luonnos". Pitkän aikaa kolossaalisen paineen vaikutuksesta (joka saavutti 500 tonnia 1 m2 alapintaa kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät pyramidin "geometrisen perusidean".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä tänäkin päivänä. Kulman ilmoitettu arvo vastaa tangenttia (tg a), yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta CB(Kuva 2), so. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijat kohtasivat suuren yllätyksen!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a\u003d 51 ° 50", eli pienentääksesi sitä vain yhdellä kaaren minuutilla, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset johtivat tutkijat seuraavaan erittäin mielenkiintoiseen hypoteesiin: Cheopsin pyramidin kolmio ASV perustui suhteeseen AC / CB = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC tarkoittaa x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksyt x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3"Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme perustaksi hypoteesin, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Johdetaan nyt joitain muita suhteita Cheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinnan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden CB yksikköä kohti, eli: CB= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan yhtä suuri kuin SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde peruspinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheopsin pyramidin tärkein geometrinen salaisuus!

Cheopsin pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmään kuuluvat pyramidin eri ulottuvuuksien välisen suhteen todelliset ja keksityt ominaisuudet.

Yleensä ne saadaan etsimällä jotain "vakiota", erityisesti numeroa "pi" (Ludolf-luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kantaluvut "e" (Napierin luku) ovat 2,71828...; luku "F", "kultaisen leikkauksen" numero on esimerkiksi 0,618 ... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen omaisuus: (Korkeus) 2 \u003d 0,5 st. pää x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 st. osn \u003d "Ф":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. pää : Korkeus = "Pi"; 4) G. Reberin ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 st. pää = "F"; 5) K. Kleppishin omaisuus: (St. Main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (St. Main. W. Apothem) \u003d. 2. pää X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuuksien ero on yhtä suuri kuin kaksi kertaa Menkauren pyramidin tilavuus...

Monia mielenkiintoisia määräyksiä, erityisesti koskien pyramidien rakentamista "kultaisen leikkauksen" mukaan, on esitetty D. Hambidgen "Dynamic Symmetry in Architecture" ja M. Geekin kirjoissa "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Muista, että "kultainen leikkaus" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, kun osa A on yhtä monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A on pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A / B on yhtä suuri kuin luku "Ф" == 1,618. .. "Kultaleikkauksen" käyttö on osoitettu ei vain yksittäisissä pyramideissa, vaan koko Gizan pyramidikompleksissa.

Kaikkein kummallisinta on kuitenkin se, että yksi ja sama Cheopsin pyramidi "ei voi" sisältää niin monia ihania ominaisuuksia. Kun otat tietyn ominaisuuden yksitellen, voit "säätää" sitä, mutta kerralla ne eivät sovi - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otetaan alun perin yksi ja sama puoli pyramidin pohjasta (233 m), myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheopsilla, mutta vastaavat erilaisia ​​ominaisuuksia. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse kuvion ominaisuuksista. "Ihme" tulisi pitää vain jotain ilmeisen mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheops-pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa, miljardi kertaa vähemmän ja niin edelleen. . Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on tämä: "Jos jaamme pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saamme täsmälleen 10 miljoonasosan maan akselista." Laske: jaa 233 luvulla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytät hänen keksimäänsä "egyptiläistä kyynärpäätä", pyramidin sivu vastaa "aurinkovuoden tarkinta kestoa, ilmaistuna lähimpään vuorokauden miljardisosaan" - 365.540.903.777 .

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka yleensä korkeudeksi on otettu 146,6 m, Smith otti sen 148,2 m. Nykyaikaisten tutkamittausten mukaan maan kiertoradan puolipääakseli on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen utelias lausunto:

"Kuinka selittää, että Cheopsin, Khafren ja Menkauren pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat suhteessa toisiinsa: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten, skeptisyydestä huolimatta, huomioikaa lausuntojen rakentamisen tunnettu harmonia: 1) pyramidin korkeus "avaruuteen menevänä" viivana - vastaa etäisyyttä Maasta Auringoon; 2) pyramidin pohjan "substraattia" lähimpänä oleva puoli, eli Maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi mehiläiskielellä, jonka on analysoinut Karl von Frisch. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä.

PYRAMIDIEN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei ilmestynyt heti. Skytialaiset hautasivat maakukkuloiden - koukkujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäistä kertaa Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin III-dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja täällä historioitsijoiden mukaan tsaarin "uudella jumaluuskonseptilla" oli tärkeä rooli keskusvallan vahvistamisessa. Vaikka kuninkaalliset hautaukset erottuivat suuremmasta loistosta, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabas. Muumion sisältävän sarkofagin kammion yläpuolelle kaadettiin suorakaiteen muotoinen pienistä kivistä koostuva kukkula, johon sitten asetettiin pieni rakennus suurista kivipaloista - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle farao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin. Se oli porrastettu ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla faaraon "kasvatti" viisas ja arkkitehti Imhotep, jota myöhemmin pidettiin taikurina ja kreikkalaiset tunnistivat jumalan Asklepioksen. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten mittojen mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska jatke tehtiin alemmas, muodostui ikään kuin kaksi porrasta.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta oli pyramidin alla.

Useita porrastettuja pyramideja tunnetaan, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit on suunnattu täydellisesti neljään pääpisteeseen ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä aiheutti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Suhteellisuusperiaate" on koko luku omistettu tälle: "Mikä voisi määrittää pyramidien kulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka yläosassa on suora kulma.

Avaruudessa se on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Tästä aiheesta on tiettyjä pohdintoja Hambidgen, Geekin ja muiden kirjoissa.

Mitä hyötyä puolioktaedrin kulmasta on? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides pallo niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun tulee yhdistää pallojen keskustat viivoilla (henkisesti). Pohjassa saat neliön, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin pohja, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten tiheä 1:4-tyyppisten pallojen pakkaus antaa meille säännöllisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Todennäköisesti pyramidit ovat vanhenemassa. Toisin kuin kuuluisa sanonta:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, niissä voi ja niiden pitäisi tapahtua paitsi ulkoisen sään prosessit, myös sisäiset "kutistumisprosessit" , josta pyramidit voivat laskea. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin teoksista selvisi, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa tehdä lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Juuri nämä prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Medum-pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin silvottu?" kysyy V. Zamarovsky. "Tavalliset viittaukset ajan tuhoaviin vaikutuksiin ja "kiven käyttöön muissa rakennuksissa" eivät sovi tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja pintalaatoista on edelleen paikoillaan, sen juurella olevissa raunioissa. "Kuten tulemme näkemään, monet säännökset saavat jopa ajattelemaan, että myös kuuluisa Kheopsin pyramidi" kutistui ". Joka tapauksessa , kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto voidaan luoda myös jäljittelemällä: joitain luonnollisia kuvioita, "ihmeellistä täydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Tällaiset kiteet voivat olla timantti- ja kultakiteitä. Suuri määrä "leikkautuvia" merkkejä sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti on ominaista. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, virheetön ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Kuten tiedätte, aurinkokultti oli tärkeä osa muinaisen Egyptin uskontoa. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen", yksi nykyaikaisista oppikirjoista sanoo "Sky Khufu" tai "Sky Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Jedef-Ra tuli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka alkoi kutsua itseään "Ra:n pojaksi", toisin sanoen Aurinko. Melkein kaikki kansat symboloivat aurinkoa "aurinkometallina", kullana. "Iso kirkkaan kullan levy" - niin egyptiläiset kutsuivat päivänvaloamme. Egyptiläiset tunsivat kullan erittäin hyvin, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat esiintyä oktaedrin muodossa.

"Muotonäytteenä" "aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen täällä. Timantin nimi tuli juuri arabimaailmasta, "almas" - vaikein, vaikein, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tiesivät timantin ja sen ominaisuudet ovat melko hyvät. Joidenkin kirjoittajien mukaan he käyttivät jopa pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Etelä-Afrikka on nykyään tärkein timanttien toimittaja, mutta Länsi-Afrikka on myös runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan siellä jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella on mahdollista, että juuri kopioimalla timanttien ja kultakiteiden oktaedreja muinaiset egyptiläiset jumalallistivat faaraot, "tuhoutumattomia" kuin timantti ja "loistavia" kuin kulta, Auringon poikia. vain luonnon upeimpien luomusten kanssa.

Lähtö:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustumalla sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

KIRJASTUS

"Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus oppilaitokset \ jne. - 9. painos - M .: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Enlightenment", 1982

Geometria luokka 10-11, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Opiskelijat törmäävät pyramidin käsitteeseen kauan ennen geometrian opiskelua. Syytä kuuluisia suuria egyptiläisiä maailman ihmeitä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tämän upean monitahoisen tutkimuksen. Kaikki yllä olevat nähtävyydet ovat oikeassa kunnossa. Mitä on tapahtunut oikea pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, ja niistä keskustellaan edelleen.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Euclid määritteli sen kiinteäksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen suppenevat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että se oli hahmo siinä on kanta ja tasot kolmioiden muodossa, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Nykyaikaisen tulkinnan perusteella pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k litteästä kolmiohahmosta, joilla on yksi yhteinen piste.

Katsotaanpa tarkemmin, Mistä elementeistä se koostuu?

• k-gon katsotaan kuvion perustaksi;
• 3-kulmaiset hahmot työntyvät esiin sivuosan sivuina;
• yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan yläosaksi;
• kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
• jos suora viiva lasketaan ylhäältä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen sisätilaan suljettu osa on pyramidin korkeus;
• missä tahansa monitahoisen sivuelementissä voit piirtää kohtisuoran, jota kutsutaan apoteemiksi.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa pyramidin kaltaisella monitahoisella on, voidaan määrittää lausekkeella k + 1.

Tärkeä! Säännöllisen muotoinen pyramidi on stereometrinen kuvio, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

1. Pohja on oikean muotoinen hahmo.
2. Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
3. Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
4. Kuvan korkeuden pohja putoaa monikulmion keskelle, kun se on samanaikaisesti piirretyn ja kuvatun keskipiste.
5. Kaikki sivurivat on kallistettu perustasoon nähden samassa kulmassa.
6. Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suoritus yksinkertaistuu huomattavasti. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

1. Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnat ovat yhtä suuret kulmat pohjan kanssa.
2. Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on sama pituus ja samat kulmat kantaan nähden.

Neliö perustuu

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, joka perustuu neliöön.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Tasossa neliö on kuvattu, mutta ne perustuvat kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen yhdistää neliön sivu sen lävistäjään, käytetään seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Perustuu säännölliseen kolmioon

Säännöllinen kolmiopyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

• kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan ​​on 60 astetta;
• kaikkien sisäpintojen arvo on myös 60 astetta;
• kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
• kuvion sisään piirretyt elementit ovat samanarvoisia.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä kone. Usein koulun geometriakurssilla he työskentelevät kahden kanssa:

• aksiaalinen;
• rinnakkaispohjalta.

Aksiaalinen leikkaus saadaan leikkaamalla monitahoinen taso, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! Säännöllisen pyramidin aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on taustaa vastaava luku.

Esimerkiksi, jos pohja on neliö, niin alustan suuntainen osa on myös neliö, vain pienempi koko.

Ratkaistaessa ongelmia tässä tilanteessa, käytetään kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thales-lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään yhdensuuntaisesti pohjan kanssa ja se katkaisee monitahoisen yläosan, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia ​​polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Myös aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-alaa on kahdenlaisia:

• sivuelementtien alue;
• koko pinta-ala.

Itse otsikosta selviää mistä on kyse. Sivupinta sisältää vain sivuelementit. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat eli tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa sivuelementtien pinta-alan kaava:

1. Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
2. Sivutasojen määrä riippuu pohjassa olevan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi säännöllisessä nelikulmaisessa pyramidissa on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen laskea yhteen neljän luvun alueet Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo 4a=POS, jossa POS on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2 * Rosn on sen puolikehä.
3. Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Pyramidin koko pinnan pinta-ala koostuu sivutasojen ja pohjan pinta-alojen summasta: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Skanta*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet