Kombinatoriikka verkossa ei seiso vierekkäin. Kombinatoriikan peruskaavat

On huomattava, että kombinatoriikka on korkeamman matematiikan itsenäinen osa (eikä osa teraria) ja tälle tieteenalalle on kirjoitettu painavia oppikirjoja, joiden sisältö ei toisinaan ole abstraktia algebraa helpompaa. Pieni osuus teoreettisesta tiedosta kuitenkin riittää meille, ja tässä artikkelissa yritän analysoida aiheen perusteita tyypillisillä kombinatorisilla ongelmilla saavutettavassa muodossa. Ja monet teistä auttavat minua ;-)

Mitä aiomme tehdä? Suppeassa merkityksessä kombinatoriikka on erilaisten yhdistelmien laskemista, jotka voidaan tehdä tietystä joukosta diskreetti esineitä. Esineillä tarkoitetaan kaikkia yksittäisiä esineitä tai eläviä olentoja - ihmisiä, eläimiä, sieniä, kasveja, hyönteisiä jne. Samaan aikaan kombinatoriikka ei välitä ollenkaan siitä, että setti koostuu mannasuurimosta, juotosraudasta ja suosammakosta. On erittäin tärkeää, että nämä esineet ovat luettavissa - niitä on kolme. (diskreetti) ja on tärkeää, että mikään niistä ei ole samanlainen.

Kun paljon on selvitetty, nyt yhdistelmistä. Yleisimmät yhdistelmätyypit ovat objektien permutaatiot, niiden valinta joukosta (yhdistelmä) ja jakautuminen (sijoittelu). Katsotaan kuinka tämä tapahtuu juuri nyt:

Permutaatiot, yhdistelmät ja sijoittelut ilman toistoa

Älä pelkää epäselviä termejä, varsinkin kun jotkut niistä eivät todellakaan ole kovin menestyviä. Aloitetaan otsikon hännästä - mikä tarkoittaa " ilman toistoa"? Tämä tarkoittaa, että tässä osiossa tarkastellaan joukkoja, jotka koostuvat eri esineitä. Esimerkiksi ... ei, en tarjoa puuroa juotosraudalla ja sammakolla, jotain maukkaampaa on parempi =) Kuvittele, että omena, päärynä ja banaani materialisoituivat edessäsi olevalle pöydälle (jos niitä on) mikä tahansa, tilanne voidaan simuloida todellisuudessa). Asetamme hedelmät vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä:

omena / päärynä / banaani

Ensimmäinen kysymys: kuinka monella tavalla ne voidaan järjestää uudelleen?

Yksi yhdistelmä on jo kirjoitettu yllä ja muiden kanssa ei ole ongelmia:

omena / banaani / päärynä
päärynä / omena / banaani
päärynä / banaani / omena
banaani / omena / päärynä
banaani / päärynä / omena

Kaikki yhteensä: 6 yhdistelmää tai 6 permutaatioita.

No, ei ollut vaikeaa luetella kaikkia mahdollisia tapauksia tänne, mutta entä jos kohteita on enemmän? Jo neljällä eri hedelmällä yhdistelmien määrä kasvaa merkittävästi!

Ei piinaa - 3 esinettä voidaan järjestää uudelleen eri tavoilla.

Toinen kysymys: kuinka monella tavalla voit valita a) yhden hedelmän, b) kaksi hedelmää, c) kolme hedelmää, d) vähintään yhden hedelmän?

Miksi valita? Joten he lisäsivät ruokahalua edellisessä kappaleessa - syödäkseen! a) Yksi hedelmä voidaan valita ilmeisesti kolmella tavalla - ota joko omena, päärynä tai banaani.

Muodollinen laskenta perustuu yhdistelmien lukumäärän kaava:

Tässä tapauksessa merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "Kuinka monella tavalla voit valita 1 hedelmän kolmesta?"

b) Listaamme kaikki mahdolliset kahden hedelmän yhdistelmät:

omena ja päärynä;
omena ja banaani;
päärynä ja banaani.

Yhdistelmien lukumäärä on helppo tarkistaa samalla kaavalla:

Merkintä ymmärretään samalla tavalla: "Kuinka monella tavalla voit valita 2 hedelmää kolmesta?".

c) Ja lopuksi, kolme hedelmää voidaan valita ainutlaatuisella tavalla:

Muuten, yhdistelmien lukumäärän kaava on järkevä myös tyhjälle näytteelle:
Tällä tavalla et voi valita yhtään hedelmää - itse asiassa, et ota mitään ja se on siinä.

d) Kuinka monella tavalla voit ottaa ainakin yksi hedelmää? "Vähintään yksi" ehto tarkoittaa, että olemme tyytyväisiä yhteen hedelmään (mihin tahansa) tai mihin tahansa kahteen hedelmään tai kaikkiin kolmeen hedelmään:
tapoja, joilla voit valita ainakin yhden hedelmän.

Vastatakseni seuraavaan kysymykseen tarvitsen kaksi vapaaehtoista ... ... No, koska kukaan ei halua, niin soitan hallitukseen =)

Kolmas kysymys: kuinka monella tavalla yksi hedelmä voidaan jakaa Dashalle ja Natashalle?

Jotta voit jakaa kaksi hedelmää, sinun on ensin valittava ne. Edellisen kysymyksen kappaleen "olla" mukaan tämä voidaan tehdä eri tavoilla, kirjoitan ne uudelleen:

omena ja päärynä;
omena ja banaani;
päärynä ja banaani.

Mutta nyt yhdistelmiä on kaksi kertaa enemmän. Harkitse esimerkiksi ensimmäistä hedelmäparia:
voit hoitaa Dashaa omenalla ja Natashaa päärynällä;
tai päinvastoin - Dasha saa päärynän ja Natasha omenan.

Ja tällainen permutaatio on mahdollista jokaiselle hedelmäparille.

Tässä tapauksessa se toimii sijoituskaava:

Se eroaa kaavasta siinä, että se ottaa huomioon Ei vain kuinka monta tapaa voidaan valita useita objekteja, mutta myös kaikki objektien permutaatiot jokaisessa mahdollinen näyte. Joten tarkasteltavassa esimerkissä on tärkeää paitsi, että voit valita esimerkiksi päärynän ja banaanin, myös kuinka ne jaetaan (sijoitetaan) Dashan ja Natashan välillä.

Yritä ymmärtää hyvin ero permutaatioiden, yhdistelmien ja sijoittelujen välillä. Yksinkertaisimmissa tapauksissa voit laskea uudelleen kaikki mahdolliset yhdistelmät manuaalisesti, mutta useimmiten siitä tulee ylivoimainen tehtävä, minkä vuoksi sinun on ymmärrettävä kaavojen merkitys.

Muistutan myös, että nyt puhumme joukosta eri esineitä, ja jos omena/päärynä/banaani korvataan kolmella omenalla tai jopa kolmella hyvin samankaltaisella omenalla, ne otetaan silti huomioon kyseessä olevan ongelman yhteydessä. eri.

Tarkastellaanpa kutakin yhdistelmätyyppiä yksityiskohtaisemmin:

Permutaatiot

Permutaatiot kutsutaan yhdistelmiksi samasta eri esineitä ja eroavat vain niiden sijoitusjärjestyksessä. Kaikkien mahdollisten permutaatioiden lukumäärä ilmaistaan ​​kaavalla

Permutaatioiden erottuva piirre on, että jokainen niistä sisältää KAIKKI asettaa, eli kaikki esineitä. Esimerkiksi ystävällinen perhe:

Tehtävä 1

Kuinka monella tavalla 5 henkilöä voi istua pöytään?

Ratkaisu: käytä kaavaa permutaatioiden lukumäärälle:

Vastaus: 120 tapaa

Uskomatonta, mutta se on fakta. Huomaa, että tässä ei ole väliä onko pöytä pyöreä, neliön muotoinen vai yleensä kaikki ihmiset istuvat penkillä saman seinän varrella - vain esineiden lukumäärä ja niiden suhteellinen sijainti ovat tärkeitä. Ihmisten permutoinnin lisäksi hyllyssä olevien eri kirjojen permutointiongelma tulee usein vastaan, mutta tämä olisi liian yksinkertaista vaikka teekannulle:

Tehtävä 2

Kuinka monta nelinumeroista numeroa voidaan tehdä neljästä kortista, joiden numerot ovat 0, 5, 7, 9?

Jotta voit tehdä nelinumeroisen luvun, sinun on käytettävä kaikki neljä korttia (numerot, joissaeri! ) , ja tämä on erittäin tärkeä edellytys kaavan soveltamiselle.. Ilmeisesti korttien järjestelellä saamme erilaisia ​​nelinumeroisia lukuja, ... odota, onko kaikki kunnossa? ;-)

Mieti tarkkaan ongelmaa! Yleensä tämä on kombinatoristen ja todennäköisyysongelmien tyypillinen piirre - niiden TARVITSE AJATTELU. Ja ajattele usein maallisella tavalla, kuten esimerkiksi analysoimalla johdantoesimerkkiä hedelmien kanssa. Ei tietenkään, en vaadi typerästi muita matematiikan osia, mutta minun on huomattava, että sama integraalit voi oppia päättämään puhtaasti mekaaninen.

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Liikevaihdon kasvu:

Yhdistelmät

Oppikirjoissa annetaan yleensä ytimekäs ja epäselvä määritelmä yhdistelmistä, joten minun suussani sanamuoto ei ole erityisen järkevä, mutta toivottavasti ymmärrettävä:

Yhdistelmät nimeä erilaisia ​​objektiyhdistelmiä, jotka on valittu useista eri objekteista ja jotka eroavat toisistaan ​​vähintään yhden objektin osalta. Toisin sanoen yksi yhdistelmä on ainutlaatuinen valikoima elementtejä, joissa heidän järjestyksellään ei ole väliä(sijainti). Tällaisten yksilöllisten yhdistelmien kokonaismäärä lasketaan kaavalla .

Tehtävä 3

Laatikossa on 15 osaa. Kuinka monella tavalla 4 osaa voidaan ottaa?

Ratkaisu: ensinnäkin kiinnitän jälleen huomion siihen, että ehdon logiikan mukaan yksityiskohdat huomioidaan eri- vaikka ne ovat itse asiassa samantyyppisiä ja visuaalisesti samanlaisia (tässä tapauksessa ne voidaan esimerkiksi numeroida) .

Tehtävässä puhumme 4 osan valinnasta, joissa heidän "edellisellä kohtalollaan" ei ole väliä - karkeasti sanottuna "valitsi vain 4 kappaletta ja siinä se." Näin ollen meillä on osien yhdistelmä. Laskemme heidän lukumääränsä:

Täällä ei tietenkään tarvitse siirtää suuria määriä.
Samanlaisessa tilanteessa suosittelen käyttämään seuraavaa temppua: valitse nimittäjästä suurin faktoraali (tässä tapauksessa ) ja pienennä murtolukua sillä. Tätä varten osoittaja tulee esittää muodossa . Kirjoitan hyvin yksityiskohtaisesti:

Voit ottaa 4 osaa laatikosta eri tavoilla.

Vielä kerran, mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit valmistaa 15 eri osan sarjasta tuhat kolmesataakuusikymmentäviisi ainutlaatuinen 4 osan yhdistelmät. Toisin sanoen jokainen tällainen neljän osan yhdistelmä eroaa muista yhdistelmistä ainakin yhden yksityiskohdan osalta.

Vastaus: 1365 tapaa

Kaava on tarpeen kiinnittää tarkkaan huomiota, koska se on kombinatoriikan "hitti". Samalla on hyödyllistä ymmärtää ja kirjoittaa muistiin "äärimmäiset" arvot ilman laskelmia: . Analysoituun ongelmaan sovellettuina:

Ainoa tapa on olla ottamatta yhtäkään yksityiskohtaa;
tapoja, joilla voit ottaa 1 osan (mikä tahansa 15:stä);
tapoja, joilla voit ottaa 14 osaa (tässä tapauksessa yksi 15 osasta jää laatikkoon);
- ainoa tapa, jolla voit ottaa kaikki viisitoista osaa.

Suosittelen, että tutustut huolellisesti Newtonin binomiaaliin ja Pascalin kolmioon, jonka mukaan on muuten erittäin kätevää tarkistaa laskelmat pienille "en"-arvoille.

Tehtävä 4

Kuinka monella tavalla 36 kortin pakasta voidaan valita 3 korttia?

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Se, mikä on miellyttävää monissa kombinatorisissa ongelmissa, on lyhyys - tärkeintä on ymmärtää ydin. Ja olemus avautuu joskus eri näkökulmista. Katsotaanpa hyvin opettavaista esimerkkiä:

Tehtävä 4

Henkilö osallistuu shakkiturnaukseen ja kaikki pelaavat yhden pelin kaikkien kanssa. Kuinka monta peliä turnauksessa pelattiin?

Koska itse pelaan shakkia ja olen toistuvasti osallistunut round robin -turnauksiin, suuntauduin välittömästi turnaustaulukon mukaan solujen koon mukaan, jossa jokaisen pelin tulos huomioidaan kahdesti ja lisäksi ”päälävistäjän” solut ovat varjostettuja (koska jäsenet eivät leiki itsensä kanssa). Yllä olevan päättelyn perusteella pelattujen pelien kokonaismäärä lasketaan kaavalla . Tämä päätös on täysin oikea. (katso vastaava tiedostoValmiiden ratkaisujen pankki ) ja unohdin sen pitkäksi aikaa periaatteella "päätetty, kyllä, okei".

Yksi sivuston vierailijoista kuitenkin huomasi, että itse asiassa täällä voit ohjata mitä banaalimpia yhdistelmiä:
eri parit voivat koostua kilpailijoista (kuka pelaa valkoista, kuka mustaa - ei väliä).

Vastaava ongelma on kädenpuristus: osastolla työskentelee miehiä ja kaikki kättelevät toisiaan, kuinka monta kädenpuristusta he tekevät? Muuten, shakinpelaajat kättelevät toisiaan ennen jokaista peliä.

No, tästä on kaksi johtopäätöstä:

Ensinnäkin kaikki ilmeinen ei ole ilmeistä;

Ja toiseksi, älä pelkää ratkaista ongelmia "pakkauksesta"!

Lämmin kiitos kirjeistäsi, ne auttavat parantamaan opetusmateriaalin laatua!

Majoitukset

Tai "edistyneet" yhdistelmät. Sijoittelut nimeä erilaisia ​​objektiyhdistelmiä, jotka on valittu monista eri objekteista ja jotka eroavat toisistaan ​​näytteen objektien koostumukseltaan, niin ja heidän järjestyksensä. Sijoittelujen määrä lasketaan kaavalla

Mitä elämämme on? Peli:

Tehtävä 5

Borya, Dima ja Volodya istuivat pelaamaan pistettä. Kuinka monella tavalla he voivat jakaa yhden kortin kukin? (pakka sisältää 36 korttia)

Ratkaisu: tilanne on samanlainen kuin Tehtävä 4, mutta eroaa siinä, että ei ole tärkeää vain mitkä kolme korttia nostetaan pakasta, vaan myös MITEN ne jaetaan pelaajien kesken. Sijoituskaava:

Tapoja jakaa 3 korttia pelaajille.

On toinenkin ratkaisumalli, joka on minun näkökulmastani vielä selkeämpi:

tapoja, joilla voit nostaa 3 korttia pakasta.

Katsotaan nyt yhtä seitsemästä tuhannestasataa neljästäkymmenestä yhdistelmät, esimerkiksi: patakuningas, 9 sydäntä, 7 sydäntä. Kombinatorisessa terminologiassa nämä 3 korttia voidaan "järjestää" Boreyn, Diman ja Volodyan välillä seuraavilla tavoilla:

KP, 9H, 7H;
KP, 7H, 9H;
9H, KP, 7H;
9H, 7H, KP;
7H, KP, 9H;
7H, 9H, KP.

Ja sama tosiasia on totta kenelle tahansa ainutlaatuinen 3 kortin sarja. Ja älä unohda, me laskimme sellaiset sarjat. Sinun ei tarvitse olla professori ymmärtääksesi, että löydettyjen yhdistelmien määrä tulee kertoa kuudella:

On olemassa tapoja jakaa yksi kortti 3 pelaajalle.

Pohjimmiltaan se osoittautui silmämääräiseksi tarkastukseksi kaavat, jonka lopullisen merkityksen selvennämme seuraavassa osiossa.

Vastaus: 42840

Ehkä sinulla on vielä kysyttävää, mutta kuka jakoi kortit? ...luultavasti opettaja =)
Ja jotta kukaan ei loukkaantuisi, koko opiskelijaryhmä osallistuu seuraavaan tehtävään:

Tehtävä 6

Opiskelijaryhmässä on 23 henkilöä. Kuinka monella tavalla rehtori ja hänen sijaisensa voidaan valita?

Tehtävä "sijoittaa" asemat joukkueessa on hyvin yleinen ja on todellinen nappihaitari. Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

KOMBINATORIIKKA

Kombinatoriikka on matematiikan haara, joka tutkii jonkin perusjoukon elementtien valinnan ja järjestämisen ongelmia annettujen sääntöjen mukaisesti. Kombinatoriikan kaavoja ja periaatteita käytetään todennäköisyysteoriassa satunnaisten tapahtumien todennäköisyyden laskemiseen ja sitä kautta satunnaismuuttujien jakautumislakien saamiseksi. Tämä puolestaan ​​mahdollistaa massasatunnaisten ilmiöiden lakien tutkimisen, mikä on erittäin tärkeää luonnossa ja tekniikassa ilmenevien tilastolakien oikean ymmärtämisen kannalta.

Säännöt yhteen- ja kertolaskulle kombinatoriikassa

Summa sääntö. Jos kaksi toimenpidettä A ja B ovat toisensa poissulkevia ja toiminta A voidaan suorittaa m tavalla ja B n tavalla, niin mikä tahansa näistä toiminnoista (joko A tai B) voidaan suorittaa n + m tavalla.

Esimerkki 1

Luokassa on 16 poikaa ja 10 tyttöä. Kuinka monella tavalla yksi hoitaja voidaan nimittää?

Ratkaisu

Voit nimittää päivystykseen joko pojan tai tytön, ts. kuka tahansa 16 pojasta tai mikä tahansa 10 tytöstä voi olla päivystävä.

Summasäännön mukaan saadaan, että yksi päivystäjä voidaan jakaa 16+10=26 tapaa.

Tuotesääntö. Vaaditaan suorittamaan peräkkäin k toimintoa. Jos ensimmäinen toiminto voidaan suorittaa n 1 tavalla, toinen toiminto n 2 tavalla, kolmas n 3 tavalla ja niin edelleen k:teen toimintoon asti, joka voidaan suorittaa n k tavalla, niin kaikki k toimintoa yhdessä voidaan suorittaa. suoritettu:

tavoilla.

Esimerkki 2

Luokassa on 16 poikaa ja 10 tyttöä. Kuinka monella tavalla kaksi hoitajaa voidaan nimittää?

Ratkaisu

Ensimmäinen päivystävä voi olla joko poika tai tyttö. Koska luokassa on 16 poikaa ja 10 tyttöä, niin voit nimittää päivystäjän 16 + 10 = 26 tavalla.

Kun olemme valinneet ensimmäisen päivystäjän, voimme valita toisen 25 henkilön joukosta, ts. 25 tapaa.

Kertolaskulauseen mukaan kaksi hoitajaa voidaan valita 26*25=650 tavalla.

Yhdistelmät ilman toistoa. Yhdistelmät toistoilla

Klassinen kombinatoriikan ongelma on toistottomien yhdistelmien lukumäärän ongelma, jonka sisältö voidaan ilmaista kysymyksellä: kuinka monta tavoilla voi valita m osoitteesta n eri esineitä?

Esimerkki 3

Sinun tulee valita lahjaksi 4 kpl 10 erilaisesta kirjasta. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä?

Ratkaisu

Meidän on valittava 4 kirjaa 10:stä, ja valintajärjestyksellä ei ole väliä. Siten sinun on löydettävä 10 elementin yhdistelmien lukumäärä neljällä:

.

Tarkastellaan toistoja sisältävien yhdistelmien lukumäärää koskevaa ongelmaa: on r identtistä objektia, jokaista n eri tyyppiä; kuinka monta tavoilla voi valita m() of nämä (n*r) kohteita?

.

Esimerkki 4

Konditoriassa myytiin 4 erilaista kakkua: napoleoneja, ekleereitä, murokeksi ja puffikakkuja. Kuinka monella tavalla voi ostaa 7 kakkua?

Ratkaisu

Koska 7 kakun joukossa voi olla saman lajikkeen kakkuja, jolloin 7 kakun ostotapojen määrä määräytyy yhdistelmän lukumäärän mukaan toistoilla 7 - 4.

.

Sijoitukset ilman toistoa. Sijoitukset toistoilla

Klassinen kombinatoriikan ongelma on toistottomien sijoitusten lukumäärän ongelma, jonka sisältö voidaan ilmaista kysymyksellä: kuinka monta tavoilla voi valita ja paikka päällä m erilainen paikoissa m osoitteesta n erilainen kohteita?

Esimerkki 5

Joissakin sanomalehdissä on 12 sivua. Tämän sanomalehden sivuille on asetettava neljä valokuvaa. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä, jos yhdelläkään sanomalehden sivulla ei pitäisi olla enemmän kuin yksi valokuva?

Ratkaisu.

Tässä tehtävässä emme vain valitse valokuvia, vaan sijoitamme ne tietyille sanomalehden sivuille, ja jokaisella lehden sivulla ei saa olla enempää kuin yksi valokuva. Siten ongelma rajoittuu klassiseen ongelmaan määrittää sijoittelujen lukumäärä ilman toistoja 12 elementistä 4 elementillä:

Näin ollen 4 valokuvaa 12 sivulla voidaan järjestää 11880 tavalla.

Klassinen kombinatoriikan tehtävä on myös toistojen sijoittelujen lukumäärä, jonka sisältö voidaan ilmaista kysymyksellä: kuinka monta tavoilla voi sinäbarmeija ja paikka päällä m erilainen paikoissa m osoitteesta n kohdettaKanssaredi mikä on sama?

Esimerkki 6

Pojalla oli lautapelisarjasta postimerkit numeroilla 1, 3 ja 7. Hän päätti käyttää näitä leimoja liittääkseen kaikkiin kirjoihin viisinumeroisia numeroita - luettelon laatimiseen. Kuinka monta eri viisinumeroista numeroa poika osaa tehdä?

Permutaatiot ilman toistoa. Permutaatiot toistoilla

Klassinen kombinatoriikan ongelma on permutaatioiden lukumäärän ongelma ilman toistoa, jonka sisältö voidaan ilmaista kysymyksellä: kuinka monta tavoilla voi paikka n eri kohteita päällä n erilainen paikkoja?

Esimerkki 7

Kuinka monta nelikirjaimista "sanaa" voidaan tehdä sanan "avioliitto" kirjaimista?

Ratkaisu

Yleinen joukko on 4 sanaa "avioliitto" (b, p, a, k). "Sanojen" lukumäärä määräytyy näiden 4 kirjaimen permutaatioiden perusteella, ts.

Siinä tapauksessa, että valitun n elementin joukossa on sama (valinta palautuksella), toistojen permutaatioiden lukumäärän ongelma voidaan ilmaista kysymyksellä: Kuinka monella tavalla n kohdetta voidaan järjestää uudelleen n eri paikkaan, jos n kohteen joukossa on k eri tyyppiä (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Esimerkki 8

Kuinka monta eri kirjainyhdistelmää voidaan tehdä sanan "Mississippi" kirjaimista?

Ratkaisu

Siinä on 1 kirjain "m", 4 kirjainta "i", 3 kirjainta "c" ja 1 kirjain "p", yhteensä 9 kirjainta. Siksi permutaatioiden määrä toistoilla on

TAUSTA YHTEENVETO OSASTA "KOMBINATORIIKKA"

Kombinatoriikka on matematiikan haara, joka tutkii kysymyksiä siitä, kuinka monta erilaista yhdistelmää voidaan tietyin ehdoin tehdä annetuista objekteista. Kombinatoriikan perusteet ovat erittäin tärkeitä satunnaisten tapahtumien todennäköisyyksien arvioinnissa, koska juuri niiden avulla on mahdollista laskea periaatteessa mahdollinen määrä erilaisia ​​tapahtumien kehityksen skenaarioita.

Kombinatoriikan peruskaava

Olkoon alkioryhmiä k, ja i:s ryhmä koostuu n i alkiosta. Valitaan yksi elementti jokaisesta ryhmästä. Tällöin kokonaismäärä N tapoja, joilla tällainen valinta voidaan tehdä, määräytyy suhteella N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Esimerkki 1 Selvitetään tämä sääntö yksinkertaisella esimerkillä. Olkoon kaksi elementtiryhmää, joista ensimmäinen koostuu n 1 elementistä ja toinen - n 2 elementistä. Kuinka monta eri elementtiparia näistä kahdesta ryhmästä voidaan tehdä niin, että pari sisältää yhden elementin jokaisesta ryhmästä? Oletetaan, että otimme ensimmäisen elementin ensimmäisestä ryhmästä ja muuttamatta sitä käymme läpi kaikki mahdolliset parit vaihtamalla vain toisen ryhmän elementit. Tälle elementille on n 2 tällaista paria. Sitten otamme toisen elementin ensimmäisestä ryhmästä ja teemme sille myös kaikki mahdolliset parit. Tällaisia ​​pareja on myös n 2. Koska ensimmäisessä ryhmässä on vain n 1 elementtiä, mahdollisia vaihtoehtoja on n 1 *n 2.

Esimerkki 2 Kuinka monta kolminumeroista parillista lukua voidaan tehdä numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jos numerot voidaan toistaa?
Ratkaisu: n 1 \u003d 6 (koska voit ottaa minkä tahansa luvun 1, 2, 3, 4, 5, 6 ensimmäiseksi numeroksi), n 2 \u003d 7 (koska voit ottaa minkä tahansa luvun 0:sta toiseksi numeroksi, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (koska voit ottaa minkä tahansa luvun 0, 2, 4, 6 kolmanneksi numeroksi).
Joten N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Siinä tapauksessa, että kaikki ryhmät koostuvat samasta määrästä elementtejä, ts. n 1 =n 2 =...n k =n voidaan olettaa, että jokainen valinta tehdään samasta ryhmästä ja elementti palaa ryhmään valinnan jälkeen. Tällöin kaikkien valintatapojen lukumäärä on yhtä suuri kuin n k . Tätä kombinatoriikan valintatapaa kutsutaan palauttaa näytteitä.

Esimerkki 3 Kuinka monta nelinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 5, 6, 7, 8?
Ratkaisu. Nelinumeroisen luvun kullekin numerolle on viisi mahdollisuutta, joten N=5*5*5*5=5 4 =625.

Tarkastellaan joukkoa, joka koostuu n elementistä. Tätä joukkoa kombinatoriikassa kutsutaan yleinen väestö.

Sijoittelujen määrä n elementistä m:llä

Määritelmä 1. Majoitus alkaen n elementtejä m kombinatoriikassa kutsutaan mitä tahansa tilattu setti alkaen m erilaisia ​​elementtejä, jotka on valittu yleisestä väestöstä n elementtejä.

Esimerkki 4 Kolmen elementin (1, 2, 3) eri järjestelyt kaksi kerrallaan muodostavat joukot (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Sijoittelut voivat poiketa toisistaan ​​sekä elementeissä että järjestyksessä.

Sijoitusten lukumäärä kombinatoriikassa on merkitty A n m:llä ja se lasketaan kaavalla:

Kommentti: n!=1*2*3*...*n (lue: "en factorial"), lisäksi oletetaan, että 0!=1.

Esimerkki 5. Kuinka monta kaksinumeroista lukua on, joissa kymmenluku ja yksikkönumero ovat erilaisia ​​ja parittomia?
Ratkaisu: koska on viisi paritonta numeroa, nimittäin 1, 3, 5, 7, 9, niin tämä ongelma rajoittuu siihen, että valitaan ja asetetaan kaksi viidestä eri numerosta kahteen eri paikkaan, ts. annetut numerot ovat:

Määritelmä 2. Yhdistelmä alkaen n elementtejä m kombinatoriikassa kutsutaan mitä tahansa tilaamaton setti alkaen m erilaisia ​​elementtejä, jotka on valittu yleisestä väestöstä n elementtejä.

Esimerkki 6. Sarjan (1, 2, 3) yhdistelmät ovat (1, 2), (1, 3), (2, 3).

N elementin yhdistelmien lukumäärä m:llä

Yhdistelmien lukumäärä on merkitty C n m:llä ja se lasketaan kaavalla:

Esimerkki 7 Kuinka monella tavalla lukija voi valita kaksi kirjaa kuudesta saatavilla olevasta?

Ratkaisu: Tapamäärä on yhtä suuri kuin kuuden kirjan yhdistelmien lukumäärä kahdella, ts. vastaa:

N elementin permutaatiot

Määritelmä 3. Permutaatio alkaen n elementtejä kutsutaan millä tahansa tilattu setti näitä elementtejä.

Esimerkki 7a. Kolmesta elementistä (1, 2, 3) koostuvan joukon kaikki mahdolliset permutaatiot ovat: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N alkion erilaisten permutaatioiden lukumäärä merkitään P n:llä ja lasketaan kaavalla P n =n!.

Esimerkki 8 Kuinka monella tavalla eri kirjailijoiden seitsemän kirjaa voidaan järjestää hyllylle riviin?

Ratkaisu: Tämä ongelma koskee seitsemän eri kirjan permutaatioiden määrää. P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 tapaa järjestää kirjat.

Keskustelu. Näemme, että mahdollisten yhdistelmien määrä voidaan laskea eri sääntöjen mukaan (permutaatiot, yhdistelmät, sijoittelut), ja tulos on erilainen, koska laskentaperiaate ja itse kaavat ovat erilaisia. Kun tarkastelet määritelmiä tarkasti, voit nähdä, että tulos riippuu useista tekijöistä samanaikaisesti.

Ensinnäkin, kuinka monesta elementistä voimme yhdistää niiden joukot (kuinka suuri on elementtien yleinen populaatio).

Toiseksi tulos riippuu siitä, minkä kokoisia elementtijoukkoja tarvitsemme.

Lopuksi on tärkeää tietää, onko joukon elementtien järjestyksellä meille merkitystä. Selvitetään viimeinen tekijä seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 9 Vanhempainkokouksessa on 20 henkilöä. Kuinka monta eri vaihtoehtoa vanhempaintoimikunnan kokoonpanolle on olemassa, jos siihen pitäisi kuulua 5 henkilöä?
Ratkaisu: Tässä esimerkissä emme ole kiinnostuneita komitealuettelon nimien järjestyksestä. Jos sen seurauksena samat ihmiset esiintyvät sen koostumuksessa, niin merkityksen kannalta tämä on meille sama vaihtoehto. Siksi voimme käyttää kaavaa luvun laskemiseen yhdistelmiä 20 elementistä, 5.

Asiat ovat toisin, jos jokainen komitean jäsen on aluksi vastuussa tietystä työalueesta. Sitten samalla komitean palkkalistalla 5 on mahdollista sen sisällä! vaihtoehtoja permutaatioita tuo asia. Erilaisten (sekä kokoonpanon että vastuualueen) vaihtoehtojen lukumäärä määräytyy tässä tapauksessa numeron mukaan sijoittelut 20 elementistä, 5.

Tehtävät itsetestaukseen
1. Kuinka monta kolminumeroista parillista lukua voidaan tehdä luvuista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jos luvut voidaan toistaa?

2. Kuinka monta viisinumeroista numeroa on, jotka luetaan samalla tavalla vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle?

3. Luokassa on kymmenen ainetta ja viisi oppituntia päivässä. Kuinka monella tavalla voit tehdä aikataulun yhdelle päivälle?

4. Kuinka monella tavalla konferenssiin voidaan valita 4 delegaattia, jos ryhmässä on 20 henkilöä?

5. Kuinka monella tavalla kahdeksan erilaista kirjainta voidaan laittaa kahdeksaan eri kirjekuoreen, jos jokaiseen kirjekuoreen laitetaan vain yksi kirje?

6. Kolmesta matemaatikosta ja kymmenestä taloustieteilijästä on tarpeen tehdä komissio, jossa on kaksi matemaatikkoa ja kuusi ekonomistia. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä?

Permutaatio on elementtien yhdistelmä kohteesta N eri elementtejä tietyssä järjestyksessä. Permutaatiossa elementtien järjestys on tärkeä, ja kaikkien elementtien tulee olla mukana permutaatiossa. N elementtejä.

Tehtävä: Etsi kaikki mahdolliset permutaatiot numerosarjalle 1, 2, 3.
Siellä on seuraavat permutaatiot:

1: 1 2 3
2: 1 3 2
3: 2 1 3
4: 2 3 1
5: 3 1 2
6: 3 2 1

Permutaatiot ilman toistoa

Permutaatioiden määrä N eri elementille on N!. Todella:

• mikä tahansa niistä N elementtejä (vaihtoehtoja yhteensä N),
• mikä tahansa jäljellä olevista (N-1) elementtejä (vaihtoehtoja yhteensä N (N-1)),
• jos jatkamme tätä sarjaa kaikille N paikkoja, saamme: N (N-1) (N-2) ... ... 1, siinä kaikki N! permutaatioita.

Harkitse ongelmaa saada kaikki numeroiden permutaatiot 1…N(eli pituiset sekvenssit N), jossa jokainen numero esiintyy tasan 1 kerran. Permutaatioiden hankintajärjestykseen on monia vaihtoehtoja. Useimmin ratkaistu ongelma on kuitenkin permutaatioiden luominen sisään leksikografinen tilaus (katso esimerkki yllä). Tässä tapauksessa kaikki permutaatiot lajitellaan ensin ensimmäisen numeron mukaan, sitten toisen ja niin edelleen. nousevassa järjestyksessä. Ensimmäinen permutaatio on siis 1 2 … N, ja viimeinen N N-1 … 1.

Harkitse algoritmia ongelman ratkaisemiseksi. Alkuperäinen numerosarja on annettu. Jokaisen seuraavan permutoinnin saamiseksi sinun on suoritettava seuraavat vaiheet:

• On tarpeen skannata nykyinen permutaatio oikealta vasemmalle ja samalla varmistaa, että jokainen seuraava permutaation elementti (alkio, jolla on suurempi numero) ei ole enempää kuin edellinen (alkio, jolla on pienempi numero). Heti kun tätä suhdetta rikotaan, on tarpeen pysähtyä ja merkitä nykyinen numero (sijainti 1).
• Katso jälleen oikealta vasemmalle kuljettua polkua, kunnes saavutamme ensimmäisen numeron, joka on suurempi kuin edellisessä vaiheessa merkitty.
• Vaihda kaksi vastaanotettua elementtiä.
• Nyt taulukon osassa, joka sijaitsee paikan 1 oikealla puolella, sinun on lajiteltava kaikki numerot nousevaan järjestykseen. Koska ennen sitä ne kaikki oli jo kirjoitettu laskevassa järjestyksessä, on välttämätöntä yksinkertaisesti kääntää tämä osa alisekvenssistä.

Siten saamme uuden sekvenssin, jota pidetään seuraavassa vaiheessa alkuperäisenä.

Toteutus C++:ssa

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45

#sisältää
käyttäen nimiavaruutta std;

{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
jos (j == -1)
palauttaa väärä; // ei enää permutaatioita
int k = n - 1;
kun taas (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1;
kun (l swap(a, l++, r--);
palauttaa tosi;
}
void Print(int *a, int n) // lähdön permutaatio
{
staattinen int numero = 1; // permutaationumero
leveys (3);
cout<< num++ << ": " ;
for (int i = 0; i< n; i++)
cout<< a[i] << " " ;
cout<< endl;
}
int main()
{
intn, *a;
cout<< "N = " ;
cin >> n;
a = uusi int[n];
for (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
Tulosta(a, n);
while (NextSet(a, n))
Tulosta(a, n);
cin.get(); cin.get();
paluu 0;
}

Toteutustulos

Permutaatiot toistoilla

Permutaatioiden luomisen ongelma ansaitsee erityistä huomiota. N elementtejä, jos sekvenssin elementit voidaan toistaa. Oletetaan, että alkuperäinen sarja koostuu elementeistä n 1 , n 2 ... n k, jossa elementti n 1 toistaa r1 yhden kerran, n 2 toistaa r2 kertaa jne. Jossa n 1 + n 2 +... + n k = N. Jos kaikki lasketaan n1 +n2 +...+n k permutaation elementtejä eri toistoilla, sitten yhteensä erilaisia ​​permutaatioita ( n 1 +n 2 +...+n k)!. Kuitenkin näiden permutaatioiden joukossa kaikki eivät ole erilaisia. Todellakin, kaikkea r1 elementtejä n 1 voimme järjestää uudelleen toistensa kanssa, eikä tämä muuta permutaatiota. Samalla tavalla voimme järjestää elementit uudelleen n 2, n 3 jne. Tämän seurauksena meillä on r1! saman permutaation kirjoittamisen muunnelmia toistuvien elementtien erilaisella järjestelyllä n 1. Siten mikä tahansa permutaatio voidaan kirjoittaa r 1 ! r 2 ! ... r k ! tavoilla. Siksi erilaisten permutaatioiden määrä toistoilla on

Voit luoda toistoja sisältäviä permutaatioita käyttämällä yllä olevaa algoritmia permutaatioiden luomiseen ilman toistoja. Otetaan toistuva elementti taulukkoon a. Alla on ohjelmakoodi permutaatioiden generoimiseksi toistoilla (vain main()-funktion koodi on muutettu).

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#sisältää
käyttäen nimiavaruutta std;
void swap(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
jos (j == -1)
palauttaa väärä; // ei enää permutaatioita
int k = n - 1;
kun taas (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // lajittele loput sekvenssistä
kun (l swap(a, l++, r--);
palauttaa tosi;
}
void Print(int *a, int n) // lähdön permutaatio
{
staattinen int numero = 1; // permutaationumero
leveys (3); // permutaationumeron tulostuskentän leveys
cout<< num++ << ": " ;
for (int i = 0; i< n; i++)
cout<< a[i] << " " ;
cout<< endl;
}
int main()
{
intn, *a;
cout<< "N = " ;
cin >> n;
a = uusi int[n];
for (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // toistuva elementti
Tulosta(a, n);
while (NextSet(a, n))
Tulosta(a, n);
cin.get(); cin.get();
paluu 0;
}

Yllä olevan algoritmin tulos on:

Sijoitusten lukumäärä ilman toistoja alkaen n päällä k n k erilaisia ​​koordinaatteja.

Sijoitusten lukumäärä ilman toistoja saadaan kaavasta:

Esimerkki: Kuinka monella tavalla voit muodostaa 3-numeroisen luvun, jossa on eri numeroita ja joka ei sisällä numeroa 0?

Numeroiden määrä
, vektorin mitta, jolla on erilaiset koordinaatit

Toistoja sisältävien sijoitusten lukumäärä

Toistojen sijoittelujen määrä alkaen n päällä k on olemassa olevien tapojen lukumäärä n eri elementit rakentavat vektoreita k koordinaatit, joiden joukossa voi olla sama.

Toistojen sijoittelujen määrä saadaan kaavasta:

.

Esimerkki: Kuinka monta sanaa, joiden pituus on 6, voidaan muodostaa 26 latinalaisten aakkosten kirjaimesta?

Kirjainten lukumäärä
, vektorin ulottuvuus

Permutaatioiden lukumäärä ilman toistoa

Permutaatioiden määrä ilman toistoja kohteesta n elementtejä on kuinka monta tapaa se voidaan sijoittaa n eri paikkaan n erilaisia ​​elementtejä.

Permutaatioiden lukumäärä ilman toistoja saadaan kaavasta:

.

Kommentti: Tarvittavan sarjan teho MUTTA on kätevää etsiä kaavalla:
, missä X- kuinka monta tapaa valita halutut paikat; klo- kuinka monta tapaa järjestää tarvittavat elementit niihin; z- kuinka monta tapaa järjestää jäljellä olevat elementit jäljellä oleviin paikkoihin.

Esimerkki. Kuinka monella tavalla 5 erilaista kirjaa voidaan järjestää kirjahyllylle? Kuinka monessa tapauksessa kaksi kirjaa A ja B ovat vierekkäin?

Kokonaismäärä tapoja järjestää 5 kirjaa 5 paikkaan on yhtä suuri kuin = 5! = 120.

Tehtävässä X on useita tapoja valita kaksi paikkaa vierekkäin, X= 4;klo on kuinka monta tapaa järjestää kaksi kirjaa kahteen paikkaan, klo = 2! = 2; z- kuinka monta tapaa järjestää loput 3 kirjaa jäljellä oleviin kolmeen paikkaan, z= 3! = 6. Joten
= 48.

Yhdistelmien määrä ilman toistoja

Yhdistelmien määrä ilman toistoja alkaen n päällä k on olemassa olevien tapojen lukumäärä n erilaisia ​​kohteita valita k kappaletta ilman tilausta.

Yhdistelmien lukumäärä ilman toistoja saadaan kaavasta:

.

Ominaisuudet:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

Esimerkki. Urnassa on 7 palloa. Näistä 3 on valkoisia. 3 palloa valitaan sattumanvaraisesti. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä? Kuinka monessa tapauksessa niiden joukossa on täsmälleen yksi valkoinen?

kaikkia tapoja
. Saadaksesi useita tapoja valita 1 valkoinen pallo (3 valkoisesta) ja 2 musta pallo (4 mustasta), sinun on kerrottava
ja
Siten haluttu määrä tapoja

Harjoitukset

1. 35 opiskelijasta luokassa oli vuoden lopussa matematiikassa "5" - 14 henkilöä; fysiikassa - 15 henkilöä; kemiassa - 18 henkilöä; matematiikassa ja fysiikassa - 7 henkilöä; matematiikassa ja kemiassa - 9 henkilöä; fysiikassa ja kemiassa - 6 henkilöä; kaikissa kolmessa aineessa - 4 henkilöä. Kuinka monella ihmisellä on "5" määritetyissä aiheissa? Kuinka monella ihmisellä ei ole "5" näissä aiheissa? Onko "5" vain matematiikassa? Onko "5" vain kahdessa aiheessa?

2. 30 opiskelijan ryhmässä kaikki osaavat vähintään yhtä vierasta kieltä - englantia tai saksaa. Englantia puhuu 22 opiskelijaa, saksaa 17. Kuinka moni opiskelija osaa molempia kieliä? Kuinka moni opiskelija osaa saksaa, mutta ei osaa englantia?

3. Kansan ystävyysinstituutin hostellin 20 huoneessa asuvat opiskelijat Venäjältä; 15 Afrikasta; 20 Etelä-Amerikan maista. Lisäksi 7 - venäläisiä ja afrikkalaisia ​​asuu, 8 - venäläisiä ja eteläamerikkalaisia; vuonna 9 - afrikkalaiset ja eteläamerikkalaiset; vuonna 3 - sekä venäläiset että eteläamerikkalaiset ja afrikkalaiset. Kuinka monessa huoneessa opiskelijat asuvat: 1) vain yhdeltä mantereelta; 2) vain kahdelta mantereelta; 3) vain afrikkalaiset.

4. Jokaisen 500 opiskelijan on osallistuttava vähintään yhteen kolmesta erikoiskurssista: matematiikan, fysiikan ja tähtitieteen. Kolmelle erityiskurssille osallistuu 10 opiskelijaa, matematiikan ja fysiikan - 30 opiskelijaa, matematiikan ja tähtitieteen - 25 opiskelijaa; vain fysiikan erikoiskurssi - 80 opiskelijaa. Tiedetään myös, että matematiikan erikoiskurssilla on 345 opiskelijaa, fysiikan 145 opiskelijaa ja tähtitieteen 100 opiskelijaa. Kuinka monta opiskelijaa osallistuu yksin tähtitieteen erikoiskurssille? Kuinka monta opiskelijaa osallistuu kahdelle erikoiskurssille?

5. Kurssin vetäjä esitteli seuraavan liikuntakasvatuksen raportin. Yhteensä - 45 opiskelijaa. Jalkapalloosio - 25 henkilöä, koripalloosasto - 30 henkilöä, shakkiosasto - 28 henkilöä. Samaan aikaan jalkapallo- ja koripalloosioille osallistuu 16 henkilöä samaan aikaan, 18 - jalkapalloa ja shakkia, 17 - koripalloa ja shakkia, 15 henkilöä kaikilla kolmella osastolla. Selitä, miksi raporttia ei hyväksytty.

6. Akvaariossa on 11 kalaa. Näistä 4 on punaisia, loput kultaisia. 4 kalaa valitaan sattumanvaraisesti. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä? Etsi useita tapoja tehdä tämä niin, että niiden joukossa on: 1) täsmälleen yksi punainen; 2) täsmälleen 2 kultapalaa; 3) vähintään yksi punainen.

7. Listalla on 8 nimeä. Näistä 4 on naisia. Kuinka monella tavalla ne voidaan jakaa kahteen yhtä suureen ryhmään niin, että jokaisella on naisellinen sukunimi?

8. Valitse 4 36 kortin pakasta. Kuinka monella tavalla se tehdään niin, että: 1) kaikki kortit ovat eri maata; 2) kaikki kortit olivat samaa maata; 3) 2 punaista ja 2 mustaa.

9. Jaetun aakkoston korteissa on kirjaimet K, K, K, U, U, A, E, R. Kuinka monta tapaa laittaa ne peräkkäin niin, että saadaan "varis".

10. Annetaan leikattujen aakkosten kortteja, joissa on kirjaimet O, T, O, L, O, R, I, N, G, O, L, O, G. Kuinka monta tapaa yhdistää ne niin, että sana " otolaryngologist” saadaan.

11. Annetaan kiväärin aakkosten kortit kirjaimilla L, I, T, E, R, A, T, U, R, A. Kuinka monta tapaa laittaa ne peräkkäin niin, että saadaan sana "kirjallisuus" .

12. 8 henkilöä rivissä. Kuinka monta tapaa tehdä se niin, että kaksi tiettyä henkilöä A ja B ovat: 1) vierekkäin; 2) jonon reunoilla;

13. 10 ihmistä istuu pyöreän pöydän ääressä, jossa on 10 istuinta. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä niin, että on: 1) kaksi tiettyä henkilöä A ja B; 2) kolme tiettyä henkilöä A, B ja C.

14. 10 arabialaista numeroa muodostavat 5-numeroisen koodin. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä, jotta: 1) kaikki luvut ovat erilaisia; 2) viimeinen paikka on parillinen luku.

15. Latinalaisen aakkoston 26 kirjaimesta (joista 6 vokaalia) tehdään kuusikirjaiminen sana. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä niin, että sana sisältää: 1) täsmälleen yhden kirjaimen "a"; 2) täsmälleen yksi vokaali; täsmälleen kaksi kirjainta "a"; c) täsmälleen kaksi vokaalia.

16. Kuinka monta nelinumeroista lukua on jaollinen 5:llä?

17. Kuinka monta nelinumeroista lukua eri numeroilla on jaollinen 25:llä?

19. 3 noppaa heitetään. Kuinka monessa tapauksessa se putosi: 1) tasan 1 "kuusi"; 2) vähintään yksi "kuusi".

20. Heitä 3 noppaa. Kuinka monta tapausta tulee olemaan: 1) jokainen on erilainen; 2) täsmälleen kaksi identtistä määrää pisteitä.

21. Kuinka monta sanaa eri kirjaimilla voidaan tehdä aakkosista a, b, c, d? Listaa ne kaikki leksikografisessa järjestyksessä: abcd, abcd….