Keskiarvojen menetelmä

3.1 Keskiarvojen olemus ja merkitys tilastoissa. Keskiarvojen tyypit

Keskiarvo tilastoissa kutsutaan laadullisesti homogeenisten ilmiöiden ja prosessien yleistettyä ominaisuutta jonkin vaihtelevan attribuutin mukaan, joka osoittaa attribuutin tason suhteessa populaation yksikköön. keskiarvo abstrakti, koska luonnehtii attribuutin arvoa jollekin populaation persoonattomalle yksikölle.Essence Keskimääräinen suuruus on siinä, että yleinen ja välttämätön eli massailmiöiden kehityksen taipumus ja säännöllisyys paljastuvat yksilön ja sattuman kautta. Ominaisuudet, jotka tiivistyvät keskiarvoihin, ovat luontaisia ​​kaikille väestön yksiköille. Tästä johtuen keskiarvolla on suuri merkitys massailmiöille luontaisten kuvioiden tunnistamisessa, joita ei ole havaittavissa yksittäisissä populaation yksiköissä.

Yleiset keskiarvojen käytön periaatteet:

sen väestöyksikön kohtuullinen valinta, jolle keskiarvo lasketaan, on tarpeen;

keskiarvoa määritettäessä on lähdettävä keskiarvotetun ominaisuuden laadullisesta sisällöstä, otettava huomioon tutkittujen ominaisuuksien suhde sekä laskennassa käytettävissä olevat tiedot;

keskiarvot on laskettava laadullisesti homogeenisten aggregaattien mukaan, jotka saadaan ryhmittelymenetelmällä, joka sisältää yleistävien indikaattoreiden järjestelmän laskemisen;

kokonaiskeskiarvoja tulisi tukea ryhmien keskiarvoilla.

Perustietojen luonteesta, tilastojen laajuudesta ja laskentatavasta riippuen erotetaan seuraavat: keskiarvojen päätyypit:

1) tehon keskiarvot(aritmeettinen keskiarvo, harmoninen, geometrinen, neliön keskiarvo ja kuutio);

2) rakenteelliset (ei-parametriset) keskiarvot(moodi ja mediaani).

Tilastossa tarkasteltavan populaation oikean luonnehdinnan vaihtelevien ominaisuuksien perusteella kussakin yksittäistapauksessa antaa vain hyvin määritelty keskiarvotyyppi. Kysymys siitä, minkä tyyppistä keskiarvoa tulisi soveltaa tietyssä tapauksessa, ratkaistaan ​​tarkasteltavan populaation erityisellä analyysillä sekä tulosten mielekkyyden periaatteella summattaessa tai punnittaessa. Nämä ja muut periaatteet ilmaistaan ​​tilastoissa keskiarvojen teoria.

Esimerkiksi aritmeettista keskiarvoa ja harmonista keskiarvoa käytetään luonnehtimaan muuttuvan ominaisuuden keskiarvoa tutkittavassa populaatiossa. Geometristä keskiarvoa käytetään vain laskettaessa keskimääräistä dynamiikan nopeutta ja keskineliötä vain variaatioindikaattoreita laskettaessa.

Kaavat keskiarvojen laskemiseksi on esitetty taulukossa 3.1.

Taulukko 3.1 - Kaavat keskiarvojen laskemiseen

Keskiarvojen tyypit	Laskentakaavat
	yksinkertainen	painotettu
1. Aritmeettinen keskiarvo
2. Keskimääräinen harmoninen
3. Geometrinen keskiarvo
4. Keskimääräinen neliö

Nimitykset:- määrät, joiden keskiarvo lasketaan; - keskiarvo, jossa yllä oleva rivi osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan; - taajuus (yksittäisten piirteiden arvojen toistettavuus).

On selvää, että eri keskiarvot johdetaan yleiskaava tehokeskiarvolle (3.1) :

, (3.1)

kun k = + 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = +2 - neliökeskiarvo.

Keskiarvot ovat joko yksinkertaisia ​​tai painotettuja. painotetut keskiarvot arvoja kutsutaan, jotka ottavat huomioon, että joillakin attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla eri numeroita; tässä suhteessa jokainen vaihtoehto on kerrottava tällä luvulla. Tässä tapauksessa ”painot” ovat eri ryhmien väestöyksiköiden lukumäärää, ts. jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta f kutsutaan tilastollinen paino tai painon keskiarvo.

Lopulta oikea keskiarvon valinta olettaa seuraavan järjestyksen:

a) väestöä koskevan yleisen indikaattorin laatiminen;

b) arvojen matemaattisen suhteen määrittäminen tietylle yleistävälle indikaattorille;

c) yksittäisten arvojen korvaaminen keskiarvoilla;

d) keskiarvon laskeminen vastaavan yhtälön avulla.

3.2 Aritmeettinen keskiarvo ja sen ominaisuudet sekä laskentatekniikka. Keskimääräinen harmoninen

Aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskikokoinen tyyppi; se lasketaan niissä tapauksissa, joissa keskimääräisen attribuutin tilavuus muodostuu sen arvojen summana tutkitun tilastollisen perusjoukon yksittäisille yksiköille.

Aritmeettisen keskiarvon tärkeimmät ominaisuudet:

1. Keskiarvon ja taajuuksien summan tulo on aina yhtä suuri kuin muunnelman (yksittäisten arvojen) ja taajuuksien tulojen summa.

2. Jos jokaisesta vaihtoehdosta vähennetään (lisätään) mikä tahansa mielivaltainen luku, uusi keskiarvo pienenee (kasvaa) samalla luvulla.

3. Jos jokainen vaihtoehto kerrotaan (jaetaan) jollakin mielivaltaisella luvulla, uusi keskiarvo kasvaa (pienenee) samalla määrällä

4. Jos kaikki taajuudet (painot) jaetaan tai kerrotaan millä tahansa luvulla, aritmeettinen keskiarvo ei muutu tästä.

5. Yksittäisten vaihtoehtojen poikkeamien summa aritmeettisesta keskiarvosta on aina nolla.

On mahdollista vähentää mielivaltainen vakioarvo kaikista attribuutin arvoista (parempi on keskivaihtoehdon arvo tai vaihtoehtoja, joilla on korkein taajuus), pienentää tuloksena olevia eroja yhteisellä kertoimella (mieluiten välin arvolla ) ja ilmaise taajuudet yksityiskohdina (prosentteina) ja kerro laskettu keskiarvo yhteisellä kertoimella ja lisää mielivaltainen vakioarvo. Tätä aritmeettisen keskiarvon laskentatapaa kutsutaan laskentamenetelmä ehdollisesta nollasta .

Geometrinen keskiarvo löytää sovelluksensa keskimääräisen kasvunopeuden (keskimääräiset kasvunopeudet) määrittämisessä, kun ominaisuuden yksittäiset arvot esitetään suhteellisina arvoina. Sitä käytetään myös, jos on tarpeen löytää keskiarvo ominaisuuden minimi- ja maksimiarvojen välillä (esimerkiksi välillä 100 - 1000000).

juuri tarkoittaa neliötä käytetään mittaamaan ominaisuuden vaihtelua populaatiossa (keskihajonnan laskenta).

Tilastoissa se toimii Enemmistösääntö tarkoittaa:

X haittaa.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Rakenteelliset keinot (moodi ja mediaani)

Väestön rakenteen määrittämiseen käytetään erityisiä keskiarvoja, jotka sisältävät mediaanin ja moodin eli ns. rakenteelliset keskiarvot. Jos aritmeettinen keskiarvo lasketaan käyttämällä attribuuttiarvojen kaikkia muunnelmia, mediaani ja moodi kuvaavat sen muunnelman arvoa, joka on tietyllä keskimääräisellä sijalla järjestetyssä vaihtelusarjassa.

Muoti- ominaisuuden tyypillisin, useimmin tavattu arvo. varten erillinen sarja tila on se, jolla on suurin taajuus. Muodin määrittelemiseksi intervallisarja määritä ensin modaalinen intervalli (väli, jolla on korkein taajuus). Sitten tämän aikavälin sisällä löydetään ominaisuuden arvo, joka voi olla tila.

Intervallisarjan moodin tietyn arvon löytämiseksi on käytettävä kaavaa (3.2)

(3.2)

missä X Mo on modaalivälin alaraja; i Mo - modaalivälin arvo; f Mo on modaalivälin taajuus; f Mo-1 - modaalia edeltävän intervallin taajuus; f Mo+1 - modaalia seuraavan intervallin taajuus.

Muotia käytetään laajalti markkinointitoiminnassa kuluttajakysynnän tutkimuksessa, erityisesti eniten kysyttyjen vaatteiden ja kenkien kokojen määrittämisessä sekä hintapolitiikan säätelyssä.

Mediaani - muuttujan attribuutin arvo, joka kuuluu vaihteluvälin perusjoukon keskelle. varten rankattu sarja parittomalla numerolla yksittäiset arvot (esimerkiksi 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) mediaani on arvo, joka sijaitsee sarjan keskellä, ts. neljäs arvo on 6. For rankattu sarja parillisella numerolla yksittäisten arvojen (esimerkiksi 1, 5, 7, 10, 11, 14) mediaani on aritmeettinen keskiarvo, joka lasketaan kahdesta vierekkäisestä arvosta. Meidän tapauksessamme mediaani on (7+10)/2= 8,5.

Mediaanin löytämiseksi on siis ensin määritettävä sen järjestysluku (sen sijainti järjestetyssä sarjassa) kaavoilla (3.3):

(jos taajuuksia ei ole)

N minä =
(jos on taajuuksia) (3.3)

missä n on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Mediaanin numeerinen arvo intervallisarja määräytyy diskreetissä vaihtelusarjassa kertyneillä taajuuksilla. Tätä varten sinun on ensin määritettävä väli mediaanin löytämiseksi jakauman välisarjasta. Mediaani on ensimmäinen intervalli, jossa kertyneiden taajuuksien summa ylittää puolet havaintojen kokonaismäärästä.

Mediaanin numeerinen arvo määritetään yleensä kaavalla (3.4)

(3.4)

missä x Me - mediaanivälin alaraja; iMe - välin arvo; SMe -1 - mediaania edeltävän aikavälin kertynyt taajuus; fMe on mediaanivälin taajuus.

Löydetyn välin sisällä mediaani lasketaan myös kaavalla Me = xl e, jossa toinen tekijä yhtälön oikealla puolella näyttää mediaanin sijainnin mediaanivälissä, ja x on tämän välin pituus. Mediaani jakaa variaatiosarjan kahtia taajuudella. Määrittele lisää kvartiileja , jotka jakavat variaatiosarjan 4 todennäköisyydellä samankokoiseen osaan, ja desiilejä jakaa sarja 10 yhtä suureen osaan.

Nyt puhutaan miten lasketaan keskiarvo.
Klassisessa muodossaan yleinen tilastoteoria tarjoaa meille yhden version keskiarvon valintasäännöistä.
Ensin sinun on tehtävä oikea looginen kaava keskiarvon (LFS) laskemiseksi. Jokaiselle keskiarvolle on aina vain yksi looginen kaava sen laskemiseen, joten tässä on vaikea tehdä virhettä. Mutta meidän on aina muistettava, että osoittajassa (tämä on murtoluvun päällä) on kaikkien ilmiöiden summa ja nimittäjässä (mikä on murtoluvun alaosassa) on alkioiden kokonaismäärä.

Kun looginen kaava on koottu, voit käyttää sääntöjä (ymmärtämisen helpottamiseksi yksinkertaistamme ja pienennämme niitä):
1. Jos loogisen kaavan nimittäjä esitetään lähtötiedoissa (taajuuden mukaan), niin laskenta suoritetaan painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavan mukaan.
2. Jos lähtötiedoissa on loogisen kaavan osoittaja, niin laskenta suoritetaan harmonisen painotetun keskiarvon kaavan mukaan.
3. Jos tehtävässä on samanaikaisesti sekä loogisen kaavan osoittaja että nimittäjä (tätä tapahtuu harvoin), niin laskenta suoritetaan käyttämällä tätä kaavaa tai käyttämällä yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa.
Tämä on klassinen ajatus oikean kaavan valitsemisesta keskiarvon laskemiseen. Seuraavaksi esittelemme toimintosarjan tehtävien ratkaisemisessa keskiarvon laskemiseksi.

Algoritmi tehtävien ratkaisemiseksi keskiarvon laskemiseksi

A. Määritä menetelmä keskiarvon laskemiseksi - yksinkertainen tai painotettu . Jos tiedot esitetään taulukossa, käytämme painotettua menetelmää, jos tiedot esitetään yksinkertaisella luettelolla, niin käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B. Määritä tai järjestä symbolit - x - vaihtoehto, f – taajuus . Variantti on ilmiö, jolle haluat löytää keskiarvon. Loput taulukon tiedoista ovat taajuus.

B. Määritämme muodon keskiarvon laskemiseksi - aritmeettinen tai harmoninen . Määrittely suoritetaan taajuussarakkeessa. Aritmeettista muotoa käytetään, jos taajuudet on annettu eksplisiittisellä numerolla (ehdollisesti voit korvata sanan kappaleet, elementtien lukumäärä "kappaleet" niille). Harmonista muotoa käytetään, jos taajuuksia ei anneta eksplisiittisellä luvulla, vaan kompleksisella indikaattorilla (keskiarvon ja taajuuden tulo).

Vaikeinta on arvata, missä ja kuinka paljon annetaan, varsinkin sellaiselle kokemattomalle opiskelijalle. Tällaisessa tilanteessa voit käyttää jotakin seuraavista tavoista. Joihinkin (taloudellisiin) tehtäviin soveltuu vuosien käytännön aikana kehitetty lausunto (lauseke B.1). Muissa tilanteissa sinun on käytettävä kohtaa B.2.

C.1 Jos taajuus on asetettu rahayksiköissä (ruplissa), niin laskennassa käytetään harmonista keskiarvoa, tällainen väite on aina totta, jos havaittu taajuus on asetettu rahassa, muissa tilanteissa tämä sääntö ei päde.

B.2 Käytä edellä tässä artikkelissa mainitun keskiarvon valitsemiseen liittyviä sääntöjä. Jos taajuus on annettu keskiarvon laskemisen loogisen kaavan nimittäjällä, lasketaan aritmeettisen keskiarvon muodon mukaan, jos taajuus annetaan keskiarvon laskemisen loogisen kaavan osoittajalla, lasketaan harmoninen keskimuoto.

Harkitse esimerkkejä tämän algoritmin käytöstä.

V. Koska tiedot esitetään rivissä, käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B. V. Meillä on tiedot vain eläkkeiden määrästä, ja niistä tulee meidän versiomme – x. Tiedot esitetään yksinkertaisena lukuna (12 henkilöä), laskennassa käytetään yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

Eläkkeensaajan keskimääräinen eläke on 9208,3 ruplaa.

B. Koska vaaditaan keskimääräinen maksumäärä lasta kohden, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme sinne merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

C. Taajuus (lasten lukumäärä) annetaan selkeällä numerolla (voit korvata sanan lapsia, venäjän kielen kannalta ilmaus on virheellinen, mutta itse asiassa se on erittäin kätevää check), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään aritmeettista painotettua keskiarvoa.

On muodikasta ratkaista samaa ongelmaa ei kaavallisesti, vaan taulukkomuodossa, eli syöttää kaikki välilaskutoimien tiedot taulukkoon.

Tämän seurauksena kaikki, mitä nyt tarvitsee tehdä, on erottaa kaksi summaa oikeassa järjestyksessä.

Keskimääräinen maksu lasta kohden kuukaudessa oli 1 910 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Taajuus (tuotantokustannus) asetetaan implisiittisellä suurella (taajuus on asetettu ruplaa Algoritmikohta B1), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään harmonista painotettua keskiarvoa. Yleensä itse asiassa tuotantokustannukset ovat monimutkainen indikaattori, joka saadaan kertomalla tuotteen yksikön hinta tällaisten tuotteiden lukumäärällä, tämä on keskimääräisen harmonisen arvon ydin.

Jotta tämä ongelma voitaisiin ratkaista aritmeettisen keskiarvon kaavalla, on välttämätöntä, että tuotantokustannusten sijasta on määrä tuotteita, joilla on vastaava hinta.

Huomaa, että nimittäjässä laskelmien 410 (120 + 80 + 210) jälkeen saatu summa on valmistettujen tuotteiden kokonaismäärä.

Tuotteen keskimääräinen yksikköhinta oli 314,4 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Koska keskimääräinen yksikkökustannus on löydettävä, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme sinne merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

B. Taajuus (aukkojen kokonaismäärä) saadaan implisiittisellä luvulla (se on kahden aukkojen lukumäärän ja sellaisen opiskelijamäärän indikaattorin tulo), mikä tarkoittaa, että harmoninen painotettu keskiarvo on käytetään laskennassa. Käytämme algoritmin B2 pistettä.

Jotta tämä ongelma voitaisiin ratkaista aritmeettisen keskiarvon kaavan avulla, on välttämätöntä, että aukkojen kokonaismäärän sijasta on opiskelijoiden lukumäärä.

Teemme loogisen kaavan keskimääräisen läpäisymäärän laskemiseksi opiskelijaa kohden.

Taajuus ongelman tilanteen mukaan Kulkujen kokonaismäärä. Loogisessa kaavassa tämä indikaattori on osoittajassa, mikä tarkoittaa, että käytämme harmonisen keskiarvon kaavaa.

Huomaa, että nimittäjässä oleva summa 31 (18+8+5) laskennan jälkeen on opiskelijoiden kokonaismäärä.

Keskimääräinen poissaolojen määrä opiskelijaa kohden on 13,8 päivää.

keskiarvo- tämä on yleistävä indikaattori, joka luonnehtii laadullisesti homogeenista populaatiota tietyn määrällisen ominaisuuden mukaan. Esimerkiksi varkauksista tuomittujen keski-ikä.

Oikeustilastoissa keskiarvoja käytetään kuvaamaan:

Tämän luokan tapausten keskimääräiset käsittelyajat;

Keskikokoinen vaatimus;

Syytettyjen keskimääräinen lukumäärä tapausta kohti;

Keskimääräinen vahingon määrä;

Tuomareiden keskimääräinen työmäärä jne.

Keskiarvo on aina nimetty ja sillä on sama ulottuvuus kuin populaation erillisen yksikön attribuutilla. Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittua populaatiota minkä tahansa muuttuvan ominaisuuden mukaan, joten minkä tahansa keskiarvon takana on sarja tämän populaation yksiköiden jakautumista tutkitun ominaisuuden mukaan. Keskiarvon tyypin valinnan määrää indikaattorin sisältö ja keskiarvon laskemisen lähtötiedot.

Kaikki tilastollisissa tutkimuksissa käytetyt keskiarvot jakautuvat kahteen luokkaan:

1) tehon keskiarvot;

2) rakenteelliset keskiarvot.

Ensimmäinen keskiarvoluokka sisältää: aritmeettinen keskiarvo, harmoninen keskiarvo, geometrinen keskiarvo ja juuri tarkoittaa neliötä . Toinen luokka on muoti ja mediaani. Lisäksi jokaisella luetelluista tehokeskiarvotyypeistä voi olla kaksi muotoa: yksinkertainen ja painotettu . Keskiarvon yksinkertaista muotoa käytetään tutkittavan ominaisuuden keskiarvon saamiseksi, kun laskenta perustuu ryhmittämättömiin tilastoihin tai kun kukin variantti esiintyy populaatiossa vain kerran. Painotettuja keskiarvoja kutsutaan arvoiksi, jotka ottavat huomioon, että ominaisuuden arvojen vaihtoehdoilla voi olla eri numeroita, ja siksi jokainen vaihtoehto on kerrottava vastaavalla taajuudella. Toisin sanoen jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta kutsutaan tilastolliseksi painoksi.

yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo- yleisin mediatyyppi. Se on yhtä suuri kuin yksittäisten ominaisarvojen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä:

missä x 1 ,x 2 , … ,x N- muuttujan attribuutin yksittäiset arvot (vaihtoehdot) ja N - populaatioyksiköiden lukumäärä.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo käytetään, kun tiedot esitetään jakauman sarjana tai ryhmittelynä. Se lasketaan optioiden ja niitä vastaavien taajuuksien tulojen summana jaettuna kaikkien optioiden taajuuksien summalla:

missä x i- merkitys i- ominaisuuden :nnet muunnelmat; fi-taajuus i vaihtoehtoja.

Siten jokainen varianttiarvo on painotettu sen taajuudella, minkä vuoksi taajuuksia kutsutaan joskus tilastollisiksi painoiksi.

Kommentti. Kun puhutaan aritmeettisesta keskiarvosta sen tyyppiä määrittelemättä, tarkoitetaan yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

Taulukko 12

Ratkaisu. Laskennassa käytämme aritmeettisen painotetun keskiarvon kaavaa:

Näin ollen rikosasiassa on keskimäärin kaksi syytettyä.

Jos keskiarvon laskenta suoritetaan intervallijakaumasarjojen muodossa ryhmiteltyjen tietojen mukaan, sinun on ensin määritettävä kunkin intervallin x "i mediaaniarvot, sitten laskettava keskiarvo käyttämällä painotettua aritmeettisen keskiarvon kaava, jossa x" i on korvattu x i:n sijaan.

Esimerkki. Varkaudesta tuomittujen rikollisten iät on esitetty taulukossa:

Taulukko 13

Määritä varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä.

Ratkaisu. Jotta voit määrittää rikollisten keski-iän intervallivaihtelusarjan perusteella, sinun on ensin löydettävä välien mediaaniarvot. Koska on annettu intervallisarja, jossa on avoin ensimmäinen ja viimeinen intervalli, näiden välien arvot ovat yhtä suuret kuin vierekkäisten suljettujen intervallien arvot. Meidän tapauksessamme ensimmäisen ja viimeisen intervallin arvo on 10.

Nyt selvitetään rikollisten keski-ikä käyttämällä painotettua aritmeettista keskiarvoa:

Näin ollen varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä on noin 27 vuotta.

Keskimääräinen harmoninen yksinkertainen on attribuutin käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku:

missä 1/ x i ovat vaihtoehtojen käänteisarvoja ja N on väestöyksiköiden lukumäärä.

Esimerkki. Käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräisen vuosittaisen työmäärän selvittämiseksi rikosasioita käsiteltäessä tehtiin kysely tämän tuomioistuimen 5 tuomarin työmäärästä. Keskimääräinen yhden rikosasian käsittelyyn käytetty aika jokaiselle tutkitulle tuomarille osoittautui yhtä suureksi (päivissä): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Selvitä yhden rikosoikeuden keskimääräiset kustannukset. rikosasia ja tämän käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä.

Ratkaisu. Määrittääksemme keskimääräisen rikosasian käsittelyyn käytetyn ajan käytämme harmonista yksinkertaista kaavaa:

Esimerkin laskelmien yksinkertaistamiseksi otetaan vuoden päivien lukumääräksi 365, mukaan lukien viikonloput (tämä ei vaikuta laskentamenetelmään, ja laskettaessa vastaavaa indikaattoria käytännössä on tarpeen korvata työmäärä päivää tietyssä vuodessa 365 päivän sijaan). Tällöin tämän käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä on: 365 (päivää): 5,56 ≈ 65,6 (asiat).

Jos käyttäisimme yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa määrittääksemme yhden rikosjutun keskimääräisen ajan, saisimme:

365 (päivää): 5,64 ≈ 64,7 (tapaukset), so. Tuomareiden keskimääräinen työmäärä oli pienempi.

Tarkastellaan tämän lähestymistavan oikeellisuutta. Tätä varten käytämme tietoja kunkin tuomarin yhden rikosasian käsittelyyn käytetystä ajasta ja laskemme kunkin heistä käsiteltävien rikosasioiden lukumäärän vuodessa.

Saamme sen mukaisesti:

365 (päivää): 6 ≈ 61 (tapaus), 365 (päivää): 5,6 ≈ 65,2 (tapaus), 365 (päivää): 6,3 ≈ 58 (tapaus),

365 (päivää): 4,9 ≈ 74,5 (tapaukset), 365 (päivää): 5,4 ≈ 68 (tapaukset).

Nyt laskemme tämän käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräisen vuotuisen työmäärän rikosasioita käsiteltäessä:

Nuo. keskimääräinen vuosikuorma on sama kuin harmonista keskiarvoa käytettäessä.

Siten aritmeettisen keskiarvon käyttö tässä tapauksessa on laitonta.

Tapauksissa, joissa ominaisuuden muunnelmat tunnetaan, niiden tilavuusarvot (muunnelmien tulo taajuudella), mutta itse taajuudet ovat tuntemattomia, sovelletaan harmonisen painotetun keskiarvon kaavaa:

,

missä x i ovat ominaisuusvaihtoehtojen arvot ja w i ovat vaihtoehtojen tilavuusarvot ( w i = x i f i).

Esimerkki. Tiedot rangaistuslaitoksen eri laitosten tuottaman samantyyppisen tavaran yksikön hinnasta ja sen toteuttamisen määrästä on esitetty taulukossa 14.

Taulukko 14

Etsi tuotteen keskimääräinen myyntihinta.

Ratkaisu. Keskihintaa laskettaessa on käytettävä myydyn määrän suhdetta myytyjen yksiköiden määrään. Emme tiedä myytyjen yksiköiden määrää, mutta tiedämme tavaroiden myynnin määrän. Siksi myytyjen tavaroiden keskihinnan löytämiseksi käytämme harmonisen painotetun keskiarvon kaavaa. Saamme

Jos käytät aritmeettista keskiarvokaavaa tässä, voit saada keskihinnan, joka on epärealistinen:

Geometrinen keskiarvo lasketaan erottamalla N-asteen juuri ominaisuusvaihtoehtojen kaikkien arvojen tulosta:

,

missä x 1 ,x 2 , … ,x N- muuttujan ominaisuuden yksittäiset arvot (vaihtoehdot) ja

N- väestöyksiköiden lukumäärä.

Tämän tyyppistä keskiarvoa käytetään aikasarjojen keskimääräisten kasvunopeuksien laskemiseen.

juuri tarkoittaa neliötä käytetään laskemaan standardipoikkeama, joka on vaihtelun indikaattori, ja sitä käsitellään jäljempänä.

Väestön rakenteen määrittämiseksi käytetään erityisiä keskiarvoja, jotka sisältävät mediaani ja muoti , tai niin sanotut rakenteelliset keskiarvot. Jos aritmeettinen keskiarvo lasketaan attribuuttiarvojen kaikkien muunnelmien käytön perusteella, mediaani ja moodi kuvaavat sen muunnelman arvoa, joka on tietyllä keskimääräisellä sijalla järjestetyssä (järjestetyssä) sarjassa. Tilastollisen perusjoukon yksiköiden järjestys voidaan suorittaa tutkittavan ominaisuuden varianttien nousevassa tai laskevassa järjestyksessä.

Mediaani (minä) on arvo, joka vastaa sijoitetun sarjan keskellä olevaa varianttia. Mediaani on siis se sijoitetun sarjan variantti, jonka molemmilla puolilla tässä sarjassa pitäisi olla yhtä monta populaatioyksikköä.

Mediaanin löytämiseksi sinun on ensin määritettävä sen sarjanumero paremmuusjärjestykseen sijoittuneesta sarjasta kaavalla:

missä N on sarjan tilavuus (populaatioyksiköiden lukumäärä).

Jos sarja koostuu parittomasta määrästä jäseniä, mediaani on yhtä suuri kuin N Me . Jos sarja koostuu parillisesta määrästä jäseniä, niin mediaani määritellään kahden keskellä olevan vierekkäisen vaihtoehdon aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Esimerkki. Annettu rankattu sarja 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Sarjan tilavuus on N = 9, mikä tarkoittaa N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Siksi Me = 6, eli . viides vaihtoehto. Jos riville annetaan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ts. sarja, jossa on parillinen määrä jäseniä (N = 8), sitten N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Mediaani on siis puolet neljännen ja viidennen vaihtoehdon summasta, ts. Minä = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetissä variaatiosarjassa mediaani määräytyy kumuloituneiden taajuuksien mukaan. Varianttitaajuudet, alkaen ensimmäisestä, lasketaan yhteen, kunnes mediaaniluku ylittyy. Viimeisten summattujen optioiden arvo on mediaani.

Esimerkki. Selvitä syytettyjen mediaanimäärä rikosasioita kohden taulukon 12 tietojen avulla.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa vaihtelusarjan tilavuus on N = 154, joten N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Kun ensimmäisen ja toisen vaihtoehdon taajuudet summataan, saadaan: 75 + 43 = 118, ts. olemme ylittäneet mediaaniluvun. Joten minä = 2.

Ilmoita jakauman intervallivaihtelusarjassa ensin väli, jossa mediaani sijoittuu. Häntä kutsutaan mediaani . Tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kumulatiivinen taajuus ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta. Sitten mediaanin numeerinen arvo määritetään kaavalla:

missä x Minä- mediaanivälin alaraja; i - mediaanivälin arvo; S Me-1- mediaania edeltävän aikavälin kumuloitunut taajuus; f Minä- mediaanivälin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikoksentekijöiden mediaani-ikä taulukon 13 tilastojen perusteella.

Ratkaisu. Tilastotietoa edustaa intervallivaihtelusarja, mikä tarkoittaa, että määritetään ensin mediaaniväli. Populaation tilavuus N = 162, joten mediaaniväli on väli 18-28, koska tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kumulatiivinen taajuus (15 + 90 = 105) ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta (162: 2 = 81). Nyt mediaanin numeerinen arvo määritetään yllä olevalla kaavalla:

Näin ollen varkaudesta tuomituista puolet on alle 25-vuotiaita.

Muoti (mo) nimeä attribuutin arvo, joka löytyy useimmiten populaation yksiköistä. Muotia käytetään tunnistamaan sen piirteen arvo, jolla on suurin levinneisyys. Erilliselle sarjalle tila on vaihtoehto, jolla on korkein taajuus. Esimerkiksi taulukossa 3 esitetylle erilliselle sarjalle Mo= 1, koska tämä vaihtoehtojen arvo vastaa suurinta taajuutta - 75. Määritä intervallisarjan tila ensin määrittämällä modaalinen intervalli (väli, jolla on suurin taajuus). Sitten tämän aikavälin sisällä löydetään ominaisuuden arvo, joka voi olla tila.

Sen arvo saadaan kaavasta:

missä x Mo- modaalivälin alaraja; i - modaalivälin arvo; f Mo- modaalinen intervallitaajuus; f Mo-1- modaalia edeltävän intervallin taajuus; f Mo+1- modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkauksista tuomittujen rikollisten ikäluokka, jonka tiedot on esitetty taulukossa 13.

Ratkaisu. Korkein taajuus vastaa väliä 18-28, joten tilan on oltava tällä välillä. Sen arvo määritetään yllä olevalla kaavalla:

Suurin osa varkauksista tuomittuja rikollisia on siis 24-vuotiaita.

Keskiarvo antaa yleistävän ominaisuuden tutkittavan ilmiön kokonaisuudesta. Kaksi populaatiota, joilla on samat keskiarvot, voivat kuitenkin poiketa toisistaan ​​merkittävästi tutkitun ominaisuuden arvon vaihtelun asteen (vaihtelun) suhteen. Esimerkiksi yhdessä tuomioistuimessa määrättiin seuraavat vankeusrangaistukset: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vuotta ja toisessa - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 vuotta vanha. Molemmissa tapauksissa aritmeettinen keskiarvo on 6,7 vuotta. Nämä aggregaatit eroavat kuitenkin merkittävästi toisistaan ​​määrätyn vankeusajan yksittäisten arvojen jakautumisessa suhteessa keskiarvoon.

Ja ensimmäisessä tuomioistuimessa, jossa tämä vaihtelu on melko suuri, keskimääräinen vankeusaika ei kuvasta hyvin koko väestöä. Siten, jos attribuutin yksittäiset arvot eroavat vähän toisistaan, aritmeettinen keskiarvo on melko suuntaa-antava ominaisuus tämän populaation ominaisuuksille. Muutoin aritmeettinen keskiarvo on tämän perusjoukon epäluotettava ominaisuus ja sen soveltaminen käytännössä on tehotonta. Siksi on tarpeen ottaa huomioon tutkitun ominaisuuden arvojen vaihtelu.

Variaatio- nämä ovat eroja ominaisuuden arvoissa tietyn populaation eri yksiköissä samalla ajanjaksolla tai ajanhetkellä. Sana "variaatio" on latinaa alkuperää - variatio, joka tarkoittaa eroa, muutosta, vaihtelua. Se syntyy siitä, että attribuutin yksittäiset arvot muodostuvat eri tekijöiden (olosuhteiden) yhteisvaikutuksen alaisena, jotka yhdistetään eri tavoin kussakin yksittäisessä tapauksessa. Ominaisuuden vaihtelun mittaamiseen käytetään erilaisia ​​absoluuttisia ja suhteellisia indikaattoreita.

Tärkeimmät vaihtelun indikaattorit ovat seuraavat:

1) vaihteluväli;

2) keskimääräinen lineaarinen poikkeama;

3) dispersio;

4) keskihajonta;

5) variaatiokerroin.

Tarkastellaanpa lyhyesti jokaista niistä.

Alueen vaihtelu R on laskennan helppouden kannalta helpoin absoluuttinen indikaattori, joka määritellään tämän populaation yksiköiden attribuutin suurimman ja pienimmän arvojen välisenä erona:

Vaihtelun vaihteluväli (vaihteluväli) on tärkeä indikaattori piirteen vaihtelevuudesta, mutta sen avulla voidaan nähdä vain äärimmäisiä poikkeamia, mikä rajoittaa sen laajuutta. Ominaisuuden vaihtelun tarkempaan kuvaamiseen sen vaihtelun perusteella käytetään muita indikaattoreita.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama edustaa ominaisuuden yksittäisten arvojen keskiarvosta poikkeamien absoluuttisten arvojen aritmeettista keskiarvoa ja määräytyy kaavoilla:

1) varten ryhmittämättömät tiedot

2) varten variaatiosarja

Yleisimmin käytetty vaihtelumittari on kuitenkin dispersio . Se kuvaa tutkitun ominaisuuden arvojen leviämisen mittaa suhteessa sen keskiarvoon. Varianssi määritellään poikkeamien keskiarvona neliöitynä.

yksinkertainen varianssi ryhmittämättömille tiedoille:

.

Painotettu varianssi variaatiosarjalle:

Kommentti. Käytännössä on parempi käyttää seuraavia kaavoja varianssin laskemiseen:

Yksinkertaisen varianssin vuoksi

.

Painotetulle varianssille

Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri:

Keskihajonta on keskiarvon luotettavuuden mitta. Mitä pienempi keskihajonta, sitä homogeenisempi perusjoukko ja sitä paremmin aritmeettinen keskiarvo heijastaa koko populaatiota.

Edellä tarkastellut hajontamitat (variaatioalue, varianssi, keskihajonta) ovat absoluuttisia indikaattoreita, joiden perusteella ei aina ole mahdollista arvioida ominaisuuden vaihtelun astetta. Joissakin ongelmissa on tarpeen käyttää suhteellisia sirontaindeksejä, joista yksi on variaatiokerroin.

Variaatiokerroin- ilmaistuna prosentteina keskihajonnan suhteesta aritmeettiseen keskiarvoon:

Variaatiokerrointa ei käytetä pelkästään erilaisten ominaisuuksien tai saman ominaisuuden vaihtelun vertailevaan arviointiin eri populaatioissa, vaan myös populaation homogeenisuuden karakterisoimiseen. Tilastojoukko katsotaan kvantitatiivisesti homogeeniseksi, jos variaatiokerroin ei ylitä 33 % (lähellä normaalijakaumaa).

Esimerkki. Tuomioistuimen vankeuslaitoksen vankeuslaitoksessa rangaistusta suorittamaan toimitettujen 50 tuomitun vankeusajoista on seuraavat tiedot: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Muodosta jakosarja vankeusrangaistusten mukaan.

2. Laske keskiarvo, varianssi ja keskihajonna.

3. Laske variaatiokerroin ja tee johtopäätös tutkitun populaation homogeenisuudesta tai heterogeenisyydestä.

Ratkaisu. Diskreetin jakaumasarjan muodostamiseksi on tarpeen määrittää muunnelmat ja taajuudet. Tämän ongelman muunnelma on vankeusrangaistuksen kesto ja esiintymistiheys yksittäisten varianttien lukumäärä. Kun taajuudet on laskettu, saadaan seuraavat diskreetit jakaumasarjat:

Etsi keskiarvo ja varianssi. Koska tilastotiedot esitetään diskreetillä variaatiosarjalla, käytämme niiden laskemiseen aritmeettisen painotetun keskiarvon ja varianssin kaavoja. Saamme:

= = 4,1;

= 5,21.

Nyt laskemme keskihajonnan:

Löydämme variaatiokertoimen:

Näin ollen tilastollinen perusjoukko on kvantitatiivisesti heterogeeninen.

Aihe: Tilastot

Vaihtoehto numero 2

Tilastoissa käytetyt keskiarvot

Johdanto……………………………………………………………………………….3

Teoreettinen tehtävä

Keskimääräinen arvo tilastoissa, sen olemus ja soveltamisehdot.

1.1. Keskiarvon ydin ja käyttöolosuhteet………….4

1.2. Keskiarvojen tyypit…………………………………………………8

Käytännön tehtävä

Tehtävä 1, 2, 3…………………………………………………………………………14

Johtopäätös……………………………………………………………………………….21

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta……………………………………………………23

Johdanto

Tämä koe koostuu kahdesta osasta - teoreettisesta ja käytännön. Teoreettisessa osassa tarkastellaan yksityiskohtaisesti niin tärkeää tilastoluokkaa kuin keskiarvo, jotta voidaan tunnistaa sen olemus ja käyttöolosuhteet sekä tunnistaa keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät.

Tilastot, kuten tiedätte, tutkivat massa-sosiaalisia ja taloudellisia ilmiöitä. Jokaisella näistä ilmiöistä voi olla erilainen määrällinen ilmaus samasta ominaisuudesta. Esimerkiksi saman ammatin työntekijöiden palkat tai saman tuotteen hinnat markkinoilla jne. Keskiarvot kuvaavat kaupallisen toiminnan laadullisia indikaattoreita: jakelukustannukset, voitto, kannattavuus jne.

Minkä tahansa populaation tutkimiseksi vaihtelevien (kvantitatiivisesti muuttuvien) ominaisuuksien mukaan tilastot käyttävät keskiarvoja.

Medium Essence

Keskiarvo on yleistävä kvantitatiivinen ominaisuus samantyyppisten ilmiöiden kokonaisuudelle yhden muuttuvan ominaisuuden mukaan. Talouskäytännössä käytetään laajaa valikoimaa indikaattoreita, jotka lasketaan keskiarvoina.

Keskiarvon tärkein ominaisuus on, että se edustaa tietyn attribuutin arvoa koko populaatiossa yhtenä lukuna huolimatta sen määrällisistä eroista populaation yksittäisissä yksiköissä ja ilmaisee yhteisen asian, joka on luontainen kaikille yksiköille. tutkittava väestö. Siten se luonnehtii väestöyksikön ominaisuuden kautta koko väestöä kokonaisuutena.

Keskiarvot liittyvät suurten lukujen lakiin. Tämän suhteen ydin on siinä, että keskiarvoistettaessa yksittäisten arvojen satunnaisia ​​poikkeamia suurten lukujen lain toiminnasta johtuen ne kumoavat toisensa ja keskiarvossa paljastuu pääkehityssuunta, välttämättömyys, säännöllisyys. Keskiarvot mahdollistavat eri yksikkömäärien populaatioihin liittyvien indikaattoreiden vertailun.

Nykyaikaisissa talouden markkinasuhteiden kehityksen olosuhteissa keskiarvot toimivat työkaluna sosioekonomisten ilmiöiden objektiivisten mallien tutkimiseen. Taloudellisen analyysin ei kuitenkaan pidä rajoittua vain keskiarvoindikaattoreihin, sillä yleiset suotuisat keskiarvot voivat kätkeä niin suuria kuin vakavia puutteita yksittäisten taloudellisten yksiköiden toiminnassa sekä uuden, progressiivisen versoja. Esimerkiksi väestön tulojakauma mahdollistaa uusien yhteiskuntaryhmien muodostumisen tunnistamisen. Siksi keskimääräisten tilastotietojen ohella on tarpeen ottaa huomioon väestön yksittäisten yksiköiden ominaisuudet.

Keskiarvo on tulos kaikista tutkittavaan ilmiöön vaikuttavista tekijöistä. Toisin sanoen keskiarvoja laskettaessa satunnaisten (häiritsevien, yksittäisten) tekijöiden vaikutus kumoaa toisensa ja siten on mahdollista määrittää tutkittavaan ilmiöön luontainen kuvio. Adolf Quetelet korosti, että keskiarvojen menetelmän merkitys piilee mahdollisuudessa siirtyä yksittäisestä yleiseen, satunnaisesta säännölliseen, ja keskiarvojen olemassaolo on objektiivisen todellisuuden luokka.

Tilastot tutkivat massailmiöitä ja prosesseja. Jokaisella näistä ilmiöistä on sekä koko sarjalle yhteisiä että erityisiä, yksilöllisiä ominaisuuksia. Yksittäisten ilmiöiden välistä eroa kutsutaan variaatioksi. Toinen massailmiöiden ominaisuus on niiden luontainen läheisyys yksittäisten ilmiöiden ominaisuuksiin. Joten joukon elementtien vuorovaikutus johtaa ainakin osan niiden ominaisuuksien vaihtelun rajoittamiseen. Tämä suuntaus on olemassa objektiivisesti katsottuna. Sen objektiivisuudessa on syy keskiarvojen laajimmalle soveltamiselle käytännössä ja teoriassa.

Tilastojen keskiarvo on yleistävä indikaattori, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa ja heijastaa muuttuvan attribuutin suuruutta laadullisesti homogeenisen populaation yksikköä kohti.

Talouskäytännössä käytetään laajaa valikoimaa indikaattoreita, jotka lasketaan keskiarvoina.

Keskiarvojen menetelmän avulla tilastot ratkaisevat monia ongelmia.

Keskiarvojen pääarvo on niiden yleistävä toiminto, toisin sanoen ominaisuuden monien erilaisten yksittäisten arvojen korvaaminen keskiarvolla, joka luonnehtii koko ilmiösarjaa.

Jos keskiarvo yleistää piirteen laadullisesti homogeeniset arvot, se on ominaisuuden tyypillinen ominaisuus tietyssä populaatiossa.

On kuitenkin väärin supistaa keskiarvojen roolia vain karakterisoimaan ominaispiirteiden tyypillisiä arvoja populaatioissa, jotka ovat homogeenisiä tämän ominaisuuden suhteen. Käytännössä nykytilasto käyttää paljon useammin keskiarvoja, jotka yleistävät selkeästi homogeenisia ilmiöitä.

Kansantulon keskiarvo asukasta kohti, viljakasvien keskisato koko maassa, erilaisten elintarvikkeiden keskikulutus ovat valtion yhtenäisen talousjärjestelmän tunnusmerkkejä, nämä ovat niin sanottuja järjestelmän keskiarvoja.

Järjestelmän keskiarvot voivat luonnehtia sekä tila- tai objektijärjestelmiä, jotka ovat olemassa samanaikaisesti (valtio, toimiala, alue, planeetta Maa jne.) että dynaamisia järjestelmiä, jotka on jatkettu ajan myötä (vuosi, vuosikymmen, kausi jne.).

Keskiarvon tärkein ominaisuus on, että se heijastaa yhteistä, joka on luonnostaan ​​kaikille tutkittavan populaation yksiköille. Väestön yksittäisten yksiköiden attribuutin arvot vaihtelevat suuntaan tai toiseen monien tekijöiden vaikutuksesta, joiden joukossa voi olla sekä perus- että satunnaisia. Esimerkiksi koko yrityksen osakekurssi määräytyy sen taloudellisen aseman perusteella. Samanaikaisesti tiettyinä päivinä ja tietyissä pörsseissä vallitsevien olosuhteiden vuoksi näitä osakkeita voidaan myydä korkeampaan tai alhaisempaan hintaan. Keskiarvon ydin on siinä, että se kumoaa populaation yksittäisten yksiköiden attribuutin arvojen poikkeamat, jotka johtuvat satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta, ja ottaa huomioon väestön toiminnan aiheuttamat muutokset. tärkeimmät tekijät. Tämä antaa keskiarvon heijastaa attribuutin tyypillistä tasoa ja ottaa pois yksittäisten yksiköiden ominaispiirteistä.

Keskiarvon laskeminen on yksi yleinen yleistystekniikka; keskimääräinen indikaattori heijastaa yleistä, joka on tyypillistä (tyypillistä) tutkittavan perusjoukon kaikille yksiköille, samalla kun se jättää huomioimatta yksittäisten yksiköiden väliset erot. Jokaisessa ilmiössä ja sen kehityksessä on sattuman ja välttämättömyyden yhdistelmä.

Keskiarvo on yhteenveto prosessin säännönmukaisuuksista olosuhteissa, joissa se etenee.

Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittua populaatiota jonkin ominaisuuden mukaan, mutta minkä tahansa populaation karakterisoimiseksi, sen tyypillisten piirteiden ja laadullisten piirteiden kuvaamiseksi tarvitaan keskiarvoindikaattoreiden järjestelmä. Siksi sosioekonomisten ilmiöiden tutkimiseen tarkoitettujen kotimaisten tilastojen käytännössä lasketaan yleensä keskimääräisten indikaattorien järjestelmä. Joten esimerkiksi keskipalkkojen indikaattoria arvioidaan yhdessä keskimääräisen tuotannon, pääoman painosuhteen ja työn teho-painosuhteen, työn mekanisoitumisasteen ja automatisoitumisen indikaattoreiden kanssa.

Keskiarvo tulee laskea ottaen huomioon tutkittavan indikaattorin taloudellinen sisältö. Siksi tietylle sosioekonomisessa analyysissä käytettävälle indikaattorille voidaan laskea vain yksi todellinen keskiarvon arvo tieteellisen laskentamenetelmän perusteella.

Keskiarvo on yksi tärkeimmistä yleistävistä tilastollisista indikaattoreista, joka luonnehtii samantyyppisten ilmiöiden kokonaisuutta jonkin kvantitatiivisesti vaihtelevan ominaisuuden mukaan. Tilastossa keskiarvot ovat yleistäviä indikaattoreita, numeroita, jotka ilmaisevat yhteiskunnallisten ilmiöiden tyypillisiä ominaisulottuvuuksia yhden kvantitatiivisesti vaihtelevan ominaisuuden mukaan.

Keskiarvojen tyypit

Keskiarvojen tyypit eroavat ensisijaisesti siitä, mikä ominaisuus, mikä ominaisuuden yksittäisten arvojen alkuperäisen vaihtelevan massan parametri tulisi säilyttää muuttumattomana.

Aritmeettinen keskiarvo

Aritmeettinen keskiarvo on sellainen kohteen keskiarvo, jota laskettaessa kohteen kokonaistilavuus aggregaatissa pysyy muuttumattomana. Muuten voidaan sanoa, että aritmeettinen keskiarvo on keskimääräinen summa. Kun se lasketaan, määritteen kokonaismäärä jakautuu henkisesti tasaisesti kaikkien populaation yksiköiden kesken.

Aritmeettista keskiarvoa käytetään, jos tunnetaan keskiarvon (x) arvot ja tietyllä ominaisarvolla (f) olevien populaatioyksiköiden lukumäärä.

Aritmeettinen keskiarvo voi olla yksinkertainen ja painotettu.

yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Yksinkertaista käytetään, jos jokainen piirrearvo x esiintyy kerran, ts. jokaiselle x:lle ominaisarvo on f=1 tai jos alkuperäistä dataa ei ole järjestetty eikä tiedetä, kuinka monella yksiköllä on tiettyjä piirrearvoja.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvokaava on:

missä on keskiarvo; x on keskiarvotetun ominaisuuden (muunnelman) arvo, on tutkitun perusjoukon yksikkömäärä.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo

Toisin kuin yksinkertainen keskiarvo, aritmeettista painotettua keskiarvoa sovelletaan, jos attribuutin x jokainen arvo esiintyy useita kertoja, ts. jokaiselle ominaisuuden arvolle f≠1. Tätä keskiarvoa käytetään laajalti laskettaessa keskiarvoa diskreetin jakaumasarjan perusteella:

missä on ryhmien lukumäärä, x on keskiarvon arvo, f on ominaisuuden arvon paino (taajuus, jos f on populaatioyksiköiden lukumäärä; frekvenssi, jos f on niiden yksiköiden osuus, joilla on vaihtoehto x Kokonaisväestö).

Keskimääräinen harmoninen

Aritmeettisen keskiarvon lisäksi tilastot käyttävät harmonista keskiarvoa, attribuutin käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteistä. Kuten aritmeettinen keskiarvo, se voi olla yksinkertainen ja painotettu. Sitä käytetään, kun alkutiedoissa tarvittavia painoja (f i) ei ole määritelty suoraan, vaan ne sisältyvät tekijänä johonkin käytettävissä olevista indikaattoreista (eli kun keskiarvon alkusuhteen osoittaja on tiedossa, mutta sen nimittäjä on tuntematon).

Keskimääräinen harmoninen painotettu

Tulo xf antaa keskiarvotetun ominaisuuden x tilavuuden yksikköjoukolle ja on merkitty w:llä. Jos lähtötiedot sisältävät keskiarvotetun ominaisuuden x arvot ja keskiarvon w tilavuuden, keskiarvon laskemiseen käytetään harmonista painotettua:

missä x on keskiarvoistetun ominaisuuden x arvo (valinnainen); w on muunnelmien paino x, keskiarvotetun ominaisuuden tilavuus.

Harmoninen keskiarvo painottamaton (yksinkertainen)

Tällä keskiarvon muodolla, jota käytetään paljon harvemmin, on seuraava muoto:

missä x on keskiarvoistetun piirteen arvo; n on x-arvojen lukumäärä.

Nuo. se on ominaisuuden käänteisarvojen yksinkertaisen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku.

Käytännössä harmonista yksinkertaista keskiarvoa käytetään harvoin tapauksissa, joissa w:n arvot populaatioyksiköille ovat yhtä suuret.

Keskimääräinen neliö ja keskimääräinen kuutio

Joissakin tapauksissa talouskäytännössä on tarve laskea kohteen keskimääräinen koko neliö- tai kuutioyksiköinä ilmaistuna. Sitten käytetään keskineliötä (esimerkiksi sivu- ja neliömäisten osien keskimääräisen koon, putkien, rungon jne. keskimääräisen halkaisijan laskemiseen) ja keskimääräistä kuutiota (esimerkiksi määritettäessä sivun ja neliön keskimääräistä pituutta). kuutiot).

Jos ominaisuuden yksittäisiä arvoja korvattaessa keskiarvolla on tarpeen pitää alkuperäisten arvojen neliösumma ennallaan, keskiarvo on neliöllinen keskiarvo, yksinkertainen tai painotettu.

Keskinkertainen neliö yksinkertainen

Yksinkertaista käytetään, jos jokainen ominaisuuden x arvo esiintyy kerran, yleensä se näyttää tältä:

missä on keskiarvotetun ominaisuuden arvojen neliö; - väestöyksiköiden lukumäärä.

Keskimääräinen neliöpainotettu

Painotettua keskineliötä käytetään, jos jokainen keskiarvotetun ominaisuuden x arvo esiintyy f kertaa:

,

missä f on vaihtoehtojen x paino.

Keskimääräinen kuutio yksinkertainen ja painotettu

Keskimääräinen kuutio yksinkertainen on kuutiojuuri osamäärästä, joka jaetaan yksittäisten piirrearvojen kuutioiden summalla niiden lukumäärällä:

missä ovat piirteen arvot, n on niiden lukumäärä.

Keskimääräinen kuutiopainotettu:

,

missä f on x vaihtoehdon paino.

Neliön keskiarvolla ja kuutiokeskiarvolla on rajallista käyttöä tilastointikäytännössä. Neliökeskiarvotilastoja käytetään laajalti, mutta ei itse muunnelmista x , ja niiden poikkeamista keskiarvosta vaihteluindikaattoreita laskettaessa.

Keskiarvoa ei voida laskea kaikille, vaan osalle väestöyksiköitä. Esimerkki tällaisesta keskiarvosta voi olla progressiivinen keskiarvo yhtenä yksityisistä keskiarvoista, jota ei lasketa kaikille, vaan vain "parhaille" (esimerkiksi yksittäisten keskiarvojen ylä- tai alapuolella oleville indikaattoreille).

Geometrinen keskiarvo

Jos keskimääräisen attribuutin arvot eroavat merkittävästi toisistaan ​​tai ne on annettu kertoimilla (kasvuluvut, hintaindeksit), laskennassa käytetään geometristä keskiarvoa.

Geometrinen keskiarvo lasketaan erottamalla asteen juuri ja yksittäisten arvojen tuloista - piirteen muunnelmat X:

missä n on vaihtoehtojen lukumäärä; P on teoksen merkki.

Geometristä keskiarvoa on käytetty laajimmin määritettäessä keskimääräistä muutosnopeutta aikasarjoissa sekä jakaumasarjoissa.

Keskiarvot ovat yleisiä indikaattoreita, joissa ilmaistaan ​​yleisten olosuhteiden toiminta, tutkittavan ilmiön säännöllisyys. Tilastolliset keskiarvot lasketaan oikein tilastollisesti järjestetyn massahavainnon (jatkuvan tai otos) massatietojen perusteella. Tilastollinen keskiarvo on kuitenkin objektiivinen ja tyypillinen, jos se lasketaan laadullisesti homogeenisen populaation massatiedoista (massailmiöt). Keskiarvojen käytön tulee lähteä yleisen ja yksilön, massan ja yksilön kategorioiden dialektisesta ymmärtämisestä.

Yleisten keinojen ja ryhmäkeinojen yhdistäminen mahdollistaa laadullisesti homogeenisten populaatioiden rajoittamisen. Jakamalla tämän tai toisen monimutkaisen ilmiön muodostavien esineiden massa sisäisesti homogeenisiin, mutta laadullisesti erilaisiin ryhmiin, luonnehtimalla jokaista ryhmää sen keskiarvolla, voidaan paljastaa nousevan uuden laadun prosessin reservit. Esimerkiksi väestön tulojakauma mahdollistaa uusien yhteiskuntaryhmien muodostumisen tunnistamisen. Analyyttisessä osassa tarkastelimme erityistä esimerkkiä keskiarvon käyttämisestä. Yhteenvetona voidaan todeta, että keskiarvojen ulottuvuus ja käyttö tilastoissa on varsin laaja.

Käytännön tehtävä

Tehtävä 1

Määritä yhden ja Yhdysvaltain dollarin keskimääräinen ostokurssi ja keskimääräinen myyntikurssi

Keskimääräinen ostoprosentti

Keskimääräinen myyntihinta

Tehtävä #2

Tšeljabinskin alueen omien julkisten ateriapalvelutuotteiden volyymin dynamiikka vuosina 1996-2004 on esitetty taulukossa vertailukelpoisin hinnoin (miljoonaa ruplaa)

Suorita sarjan A ja B sulkeminen. Analysoidaksesi lopputuotteiden tuotannon dynamiikkasarjat, laske:

1. Absoluuttinen kasvu, kasvu ja kasvunopeudet, ketju ja perus

2. Valmiiden tuotteiden keskimääräinen vuosituotanto

3. Yrityksen tuotteiden keskimääräinen vuotuinen kasvu ja lisäys

4. Tee dynamiikkasarjan analyyttinen kohdistus ja laske ennuste vuodelle 2005

5. Kuvaa graafisesti sarja dynamiikkaa

6. Tee johtopäätös dynamiikan tulosten perusteella

1) yi B = yi-y1 yi C = yi-y1

y2 B = 2,175 – 2,04 y2 C = 2,175 – 2,04 = 0,135

y3B = 2,505 – 2,04 y3 C = 2,505 – 2,175 = 0,33

y4 B = 2,73 - 2,04 y4 C = 2,73 - 2,505 = 0,225

y5 B = 1,5 – 2,04 y5 C = 1,5 – 2,73 = 1,23

y6 B = 3,34 - 2,04 y6 C = 3, 34 - 1,5 = 1,84

y7 B = 3,6 3 – 2,04 y7 C = 3,6 3 – 3,34 = 0,29

y8 B = 3,96 – 2,04 y8 C = 3,96 – 3,63 = 0,33

y9 B = 4,41–2,04 y9 C = 4, 41 – 3,96 = 0,45

Tr B2 Tr C2

Tr B3 Tr C3

Tr B4 Tr C4

Tr B5 Tr C5

Tr B6 Tr C6

Tr B7 Tr C7

Tr B8 Tr C8

Tr B9 Tr C9

Tr B = (TprB * 100 %) - 100 %

Tr B2 \u003d (1,066 * 100 %) - 100 % \u003d 6,6 %

Tr C3 \u003d (1,151 * 100 %) - 100 % \u003d 15,1 %

2) y miljoonaa ruplaa – Tuotteiden keskimääräinen tuottavuus

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776

Tp

Tekijä:

v2005=2,921+1,496*4=2,921+5,984=8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Tehtävä nro 3

Tilastotiedot elintarvikkeiden ja muiden tuotteiden tukkutoimituksista sekä alueen vähittäiskauppaverkostosta vuosina 2003 ja 2004 on esitetty vastaavissa kaavioissa.

Taulukoiden 1 ja 2 mukaan se vaaditaan

1. Etsi elintarvikkeiden tukkukaupan yleisindeksi todellisissa hinnoissa;

2. Etsi elintarvikehuollon todellisen määrän yleinen indeksi;

3. Vertaa yleisiä indeksejä ja tee sopiva johtopäätös;

4. Laske muiden kuin elintarvikkeiden tarjonnan yleinen indeksi todellisissa hinnoissa;

5. Löytää muiden kuin elintarvikkeiden tarjonnan fyysisen määrän yleinen indeksi;

6. Vertaile saatuja indeksejä ja tee johtopäätös non-food -tuotteista;

7. Etsi konsolidoidut yleiset tarjontaindeksit koko hyödykemassalle todellisissa hinnoissa;

8. Etsi konsolidoitu fyysisen volyymin yleinen indeksi (koko tavaramassalle);

9. Vertaa tuloksena saatuja yhdistelmäindeksejä ja tee sopiva johtopäätös.

	Perusjakso			Raportointikausi (2004)			Raportointikauden toimitukset peruskauden hinnoilla
			1,291-0,681=0,61= - 39 Johtopäätös Lopuksi tehdään yhteenveto. Keskiarvot ovat yleisiä indikaattoreita, joissa ilmaistaan ​​yleisten olosuhteiden toiminta, tutkittavan ilmiön säännöllisyys. Tilastolliset keskiarvot lasketaan oikein tilastollisesti järjestetyn massahavainnon (jatkuvan tai otos) massatietojen perusteella. Tilastollinen keskiarvo on kuitenkin objektiivinen ja tyypillinen, jos se lasketaan laadullisesti homogeenisen populaation massatiedoista (massailmiöt). Keskiarvojen käytön tulee lähteä yleisen ja yksilön, massan ja yksilön kategorioiden dialektisesta ymmärtämisestä. Keskiarvo heijastaa yleistä, joka kehittyy jokaisessa yksittäisessä, yksittäisessä esineessä, tästä johtuen keskiarvosta tulee suuri merkitys massayhteiskunnallisille ilmiöille luontaisten ja yksittäisissä ilmiöissä havaittamattomien kuvioiden tunnistamisessa. Yksilön poikkeaminen yleisestä on ilmentymä kehitysprosessista. Yksittäisissä yksittäistapauksissa voidaan asettaa uuden, edistyneen elementin elementtejä. Tässä tapauksessa kehitysprosessia luonnehtii se erityinen tekijä, joka otetaan keskiarvojen taustalla. Siksi keskiarvo heijastaa tutkittujen ilmiöiden ominaista, tyypillistä, todellista tasoa. Näiden tasojen ominaisuudet ja niiden muutokset ajassa ja tilassa on yksi keskiarvojen pääongelmista. Joten esimerkiksi keskiarvojen kautta ilmenee se, mikä on tyypillistä tietyssä taloudellisen kehitysvaiheessa oleville yrityksille; väestön hyvinvoinnin muutos heijastuu keskipalkkoihin, perheiden kokonaistuloihin ja yksittäisten yhteiskuntaryhmien osalta tuotteiden, tavaroiden ja palvelujen kulutuksen tasoon. Keskimääräinen indikaattori on tyypillinen arvo (tavallinen, normaali, kokonaisuutena vahvistettu), mutta se on sellainen, että se muodostuu normaaleissa, luonnollisissa olosuhteissa tietyn massailmiön olemassaololle kokonaisuutena tarkasteltuna. Keskiarvo kuvastaa ilmiön objektiivista ominaisuutta. Todellisuudessa usein on olemassa vain poikkeavia ilmiöitä, eikä keskiarvoa ilmiönä välttämättä ole olemassa, vaikka käsite ilmiön tyypillisyydestä on lainattu todellisuudesta. Keskiarvo heijastaa tutkittavan ominaisuuden arvoa, ja siksi se mitataan samassa ulottuvuudessa kuin tämä ominaisuus. On kuitenkin olemassa useita tapoja määrittää likimääräisesti väestön jakautumisen taso vertaillakseen yhdistelmäominaisuuksia, jotka eivät ole suoraan vertailukelpoisia keskenään, esimerkiksi keskimääräistä väestöä suhteessa alueeseen (keskimääräinen väestötiheys). Riippuen siitä, mikä tekijä on poistettava, selviää myös keskiarvon sisältö. Yleisten keinojen ja ryhmäkeinojen yhdistäminen mahdollistaa laadullisesti homogeenisten populaatioiden rajoittamisen. Jakamalla tämän tai toisen monimutkaisen ilmiön muodostavien esineiden massa sisäisesti homogeenisiin, mutta laadullisesti erilaisiin ryhmiin, luonnehtimalla jokaista ryhmää sen keskiarvolla, voidaan paljastaa nousevan uuden laadun prosessin reservit. Esimerkiksi väestön tulojakauma mahdollistaa uusien yhteiskuntaryhmien muodostumisen tunnistamisen. Analyyttisessä osassa tarkastelimme erityistä esimerkkiä keskiarvon käyttämisestä. Yhteenvetona voidaan todeta, että keskiarvojen ulottuvuus ja käyttö tilastoissa on varsin laaja. Bibliografia 1. Gusarov, V.M. Laatutilaston teoria [Teksti]: oppikirja. lisäys / V.M. Gusarovin käsikirja yliopistoille. - M., 1998 2. Edronova, N.N. Yleinen tilastoteoria [Teksti]: oppikirja / Toim. N.N. Edronova - M.: Talous ja tilastot 2001 - 648 s. 3. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Yleinen tilastoteoria [Teksti]: Oppikirja / Toim. vastaava jäsen RAS I.I. Eliseeva. – 4. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Talous ja tilastot, 1999. - 480s.: ill. 4. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumjantsev V.N. Yleinen tilastoteoria: [Teksti]: Oppikirja. - M.: INFRA-M, 1996. - 416s. 5. Rjauzova, N.N. Yleinen tilastoteoria [Teksti]: oppikirja / Toim. N.N. Rjauzova - M.: Rahoitus ja tilastot, 1984. Gusarov V.M. Tilastoteoria: Oppikirja. Yliopistojen tuki. - M., 1998.-S.60. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Yleinen tilastoteoria. - M., 1999.-S.76. Gusarov V.M. Tilastoteoria: Oppikirja. Yliopistojen tuki. -M., 1998.-S.61.

Aritmeettinen keskiarvo - tilastollinen indikaattori, joka näyttää tietyn tietotaulukon keskiarvon. Tällainen indikaattori lasketaan murtolukuna, jonka osoittaja on kaikkien taulukon arvojen summa ja nimittäjä niiden luku. Aritmeettinen keskiarvo on tärkeä kerroin, jota käytetään kotitalouksien laskelmissa.

Kertoimen merkitys

Aritmeettinen keskiarvo on perusindikaattori tietojen vertailuun ja hyväksyttävän arvon laskemiseen. Esimerkiksi tietyn valmistajan tölkki olutta myydään eri myymälöissä. Mutta yhdessä kaupassa se maksaa 67 ruplaa, toisessa - 70 ruplaa, kolmannessa - 65 ruplaa ja viimeisessä - 62 ruplaa. Hintahaarukka on melko laaja, joten ostajaa kiinnostaa tölkin keskihinta, jotta hän voi vertailla kustannuksiaan tuotetta ostaessaan. Keskimäärin oluttölkillä kaupungissa on hinta:

Keskihinta = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruplaa.

Kun tiedät keskihinnan, on helppo määrittää, missä on kannattavaa ostaa tavaroita ja missä joudut maksamaan liikaa.

Aritmeettista keskiarvoa käytetään jatkuvasti tilastolaskelmissa tapauksissa, joissa analysoidaan homogeeninen tietojoukko. Yllä olevassa esimerkissä tämä on saman merkin oluttölkin hinta. Emme kuitenkaan voi verrata eri valmistajien oluen hintoja tai oluen ja limonadin hintoja, koska tällöin arvojen leviäminen on suurempi, keskihinta on hämärtynyt ja epäluotettava sekä laskelmien tarkoitus. Vääristyy karikatyyriksi "sairaalan keskilämpötila". Heterogeenisten tietotaulukoiden laskemiseen käytetään aritmeettista painotettua keskiarvoa, kun jokainen arvo saa oman painotuskertoimensa.

Aritmeettisen keskiarvon laskeminen

Laskentakaava on erittäin yksinkertainen:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

missä an on suuren arvo, n on arvojen kokonaismäärä.

Mihin tätä indikaattoria voidaan käyttää? Ensimmäinen ja ilmeinen käyttö on tilastoissa. Lähes jokaisessa tilastotutkimuksessa käytetään aritmeettista keskiarvoa. Tämä voi olla keskimääräinen avioliitto-ikä Venäjällä, opiskelijan aineen keskiarvosana tai päivittäistavaroiden keskimääräinen kulutus. Kuten edellä mainittiin, ilman painoja huomioimatta keskiarvojen laskeminen voi antaa outoja tai absurdeja arvoja.

Esimerkiksi Venäjän federaation presidentti antoi lausunnon, että tilastojen mukaan venäläisen keskipalkka on 27 000 ruplaa. Suurimmalle osalle venäläisistä tämä palkkataso tuntui absurdilta. Ei ole yllättävää, jos laskelmassa otetaan huomioon toisaalta oligarkkien, teollisuusyritysten johtajien, suurten pankkiirien tulot ja toisaalta opettajien, siivoajien ja myyjien palkat. Jopa yhden erikoisalan, esimerkiksi kirjanpitäjän, keskipalkoissa on suuria eroja Moskovassa, Kostromassa ja Jekaterinburgissa.

Kuinka laskea keskiarvot heterogeenisille tiedoille

Palkanlaskentatilanteissa on tärkeää ottaa huomioon kunkin arvon paino. Tämä tarkoittaa, että oligarkkien ja pankkiirien palkkojen painoarvo olisi esimerkiksi 0,00001 ja myyjien palkoilla 0,12. Nämä ovat lukuja katosta, mutta ne kuvaavat karkeasti oligarkkien ja myyntimiesten yleisyyttä venäläisessä yhteiskunnassa.

Siten keskiarvojen tai heterogeenisen datataulukon keskiarvon laskemiseksi on käytettävä aritmeettista painotettua keskiarvoa. Muuten saat Venäjällä keskipalkan 27 000 ruplaa. Jos haluat tietää matematiikan keskiarvosanasi tai valitun jääkiekkoilijan tekemien maalien määrän, aritmeettinen keskiarvolaskin sopii sinulle.

Ohjelmamme on yksinkertainen ja kätevä laskin aritmeettisen keskiarvon laskemiseen. Sinun tarvitsee vain syöttää parametriarvot laskutoimituksia varten.

Katsotaanpa pari esimerkkiä

Keskimääräisen arvosanan laskeminen

Monet opettajat käyttävät aritmeettista keskiarvomenetelmää aineen vuosiarvosanan määrittämiseen. Kuvitellaan, että lapsi saa seuraavat neljännesarvosanat matematiikasta: 3, 3, 5, 4. Minkä vuosiarvosanan opettaja antaa hänelle? Käytetään laskinta ja lasketaan aritmeettinen keskiarvo. Valitse ensin sopiva määrä kenttiä ja kirjoita arvosanat näkyviin tuleviin soluihin:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Opettaja pyöristää arvon opiskelijan eduksi, ja opiskelija saa vuodelta kiinteän neljän.

Syötyjen makeisten laskeminen

Havainnollistetaan aritmeettisen keskiarvon absurdiutta. Kuvittele, että Mashalla ja Vovalla oli 10 makeista. Masha söi 8 karkkia ja Vova vain 2. Kuinka monta karkkia kukin lapsi söi keskimäärin? Laskurilla on helppo laskea, että lapset söivät keskimäärin 5 makeaa kukin, mikä on täysin väärin ja tervettä järkeä. Tämä esimerkki osoittaa, että aritmeettinen keskiarvo on tärkeä merkityksellisille tietojoukoille.

Johtopäätös

Aritmeettisen keskiarvon laskentaa käytetään laajasti monilla tieteenaloilla. Tämä indikaattori on suosittu paitsi tilastolaskelmissa, myös fysiikassa, mekaniikassa, taloustieteessä, lääketieteessä tai rahoituksessa. Käytä laskimiamme apulaisena aritmeettisten keskiarvotehtävien ratkaisemisessa.