Pyramidin kaavat ja ominaisuudet. Geometriset hahmot

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä teemasta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja koska tuleva arkkitehdin ammattimme on tästä hahmosta inspiroitunut, uskomme, että hän voi työntää meidät mahtaviin projekteihin.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus, niiden tärkein laatu. Yhdistämällä lujuus ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi suunnitteluratkaisujen ominaisuuksiin, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka on sille perusmuoto.

Toisin sanoen kyseessä on geometrinen hahmo, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Egyptiläisiä pyramideja on pitkään pidetty kestävimpänä arkkitehtonisena rakenteena. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee korkeuden maanpinnan kasvaessa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: oppia uutta pyramideista, syventää tietoa ja löytää käytännön sovelluksia.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Opi historiallista tietoa pyramidista

Tarkastellaan pyramidia geometrisena hahmona

Löydä sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

Etsi yhtäläisyyksiä ja eroja eri puolilla maailmaa sijaitsevien pyramidien välillä

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti muinaisessa Kreikassa. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus Knidus todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujensa" XII osassa ja toi esiin myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kehon hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka yhtyvät yhdestä tasosta yhdessä pisteessä.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa muinaisina aikoina pidettiin yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin pystyttäminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan järjettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttitoimi, jonka piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaana osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttipalkinnoista, jotka osoittautuivat itse pyramidiksi.

Peruskonseptit

Pyramidi Kutsutaan monitahoja, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen yläosasta vedettynä;

Sivukasvot- yläreunassa lähentyvät kolmiot;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

pyramidin huipulla- sivureunat yhdistävä piste, joka ei ole alustan tasossa;

Korkeus- kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin leikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin huipulle.

Oikean pyramidin pääominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoilla ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala.

Pyramidin sivupinnan (täysi ja katkaistu) pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

s- pohjan kehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S1 + S2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake Tilavuusasteikkoa käytetään kaikenlaisille pyramideille.

H on pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kulmia, jotka muodostuvat sivureunasta ja sen projektiosta alustan tasoon kutsutaan kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivupinnan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, joka muodostuu pyramidin yhden pinnan kahdesta sivureunasta, kutsutaan pyramidin yläkulmassa.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten sekanttitason antama pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu erillisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin poikki kulkee pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja pohjan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Oikeassa pyramidissa:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista

Katkaistu pyramidi- pyramidin osa, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kantaan katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan OSB:tä: OSB-suorakulmio, koska.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi - monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyvät yhdessä pisteessä. Toiminnallisen tarkoituksen mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautaus- tai palvontapaikka. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmio, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Tunnetaan huomattava määrä pyramideja, jotka muinaisen maailman eri kulttuurit ovat rakentaneet pääasiassa temppeleinä tai monumentteina. Suurimmat pyramidit ovat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptiläiset pyramidit ovat muinaisen Egyptin suurimpia arkkitehtonisia monumentteja, joista yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden, ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä.

Käänteistä pyramidia muistuttava radioaseman rakennus Slovakian pääkaupungissa on rakennettu vuonna 1983. Tilan sisällä on toimisto- ja palvelutilojen lisäksi melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista. .

Louvre, joka "on hiljainen ja majesteettinen kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia täydennetään testamenttien tai ostojen kautta.

Opiskelijat törmäävät pyramidin käsitteeseen kauan ennen geometrian opiskelua. Syytä kuuluisia suuria egyptiläisiä maailman ihmeitä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tämän upean monitahoisen tutkimuksen. Kaikki yllä olevat nähtävyydet ovat oikeassa kunnossa. Mitä oikea pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, ja niistä keskustellaan edelleen.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Euclid määritteli sen kiinteäksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen suppenevat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että se oli hahmo siinä on kanta ja tasot kolmioiden muodossa, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Nykyaikaisen tulkinnan perusteella pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k litteästä kolmiohahmosta, joilla on yksi yhteinen piste.

Katsotaanpa tarkemmin, Mistä elementeistä se koostuu?

• k-gon katsotaan kuvion perustaksi;
• 3-kulmaiset hahmot työntyvät esiin sivuosan sivuina;
• yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan yläosaksi;
• kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
• jos suora viiva lasketaan ylhäältä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen sisätilaan suljettu osa on pyramidin korkeus;
• missä tahansa monitahoisen sivuelementissä voit piirtää kohtisuoran, jota kutsutaan apoteemiksi.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa pyramidin kaltaisella monitahoisella on, voidaan määrittää lausekkeella k + 1.

Tärkeä! Säännöllisen muotoinen pyramidi on stereometrinen kuvio, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

1. Pohja on oikean muotoinen hahmo.
2. Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
3. Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
4. Kuvan korkeuden pohja putoaa monikulmion keskelle, kun se on samanaikaisesti piirretyn ja kuvatun keskipiste.
5. Kaikki sivurivat on kallistettu perustasoon nähden samassa kulmassa.
6. Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suoritus yksinkertaistuu huomattavasti. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

1. Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnat ovat yhtä suuret kulmat pohjan kanssa.
2. Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on sama pituus ja samat kulmat kantaan nähden.

Neliö perustuu

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, joka perustuu neliöön.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Tasossa neliö on kuvattu, mutta ne perustuvat kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen yhdistää neliön sivu sen lävistäjään, käytetään seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Perustuu säännölliseen kolmioon

Säännöllinen kolmiopyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

• kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan ​​on 60 astetta;
• kaikkien sisäpintojen arvo on myös 60 astetta;
• kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
• kuvion sisään piirretyt elementit ovat samanarvoisia.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä kone. Usein koulun geometriakurssilla he työskentelevät kahden kanssa:

• aksiaalinen;
• rinnakkaispohjalta.

Aksiaalinen leikkaus saadaan leikkaamalla monitahoinen taso, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! Säännöllisen pyramidin aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on taustaa vastaava luku.

Esimerkiksi, jos pohja on neliö, niin alustan suuntainen osa on myös neliö, vain pienempi koko.

Ratkaistaessa ongelmia tässä tilanteessa, käytetään kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thales-lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään yhdensuuntaisesti pohjan kanssa ja se katkaisee monitahoisen yläosan, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia ​​polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Myös aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-alaa on kahdenlaisia:

• sivuelementtien alue;
• koko pinta-ala.

Itse otsikosta selviää mistä on kyse. Sivupinta sisältää vain sivuelementit. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat eli tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa sivuelementtien pinta-alan kaava:

1. Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
2. Sivutasojen määrä riippuu pohjassa olevan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi säännöllisessä nelikulmaisessa pyramidissa on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen laskea yhteen neljän luvun alueet Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo 4a=POS, jossa POS on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2 * Rosn on sen puolikehä.
3. Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Pyramidin koko pinnan pinta-ala koostuu sivutasojen ja pohjan pinta-alojen summasta: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Skanta*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet

Kolmion muotoinen pyramidi on kolmioon perustuva pyramidi. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjalle.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa kolmionmuotoisen pyramidin korkeuden selvittämiseksi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, missä S on kantapinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo perusalalla, se on: h \u003d (3V ) / S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit käyttää kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, sitten seuraavalla kaavalla: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvo on katsottava sinitaulukosta, joka on Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavassa tarvittava muuttuja korvattava sen vastineella, joka ilmaistaan ​​reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvataan tämä kaava edellisen kaavan kanta-alan sijaan , ja saamme seuraavan kaavan: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituudella, jolloin kuvion korkeuden laskentakaavasta voidaan poistaa kaikki muuttujat ja vain kuvion kolmiomaisen pinnan sivu voidaan jättää. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla tulosta sen pinnan pituus kuutioituna 2:n neliöjuurella.

Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan, saamme seuraavan kaavan laskentaan: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Myös säännöllinen kolmion muotoinen prisma voidaan piirtää palloon, ja kun tiedät vain pallon säteen (R), voit löytää tetraedrin korkeuden. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 suhdetta 6:n neliöjuuren ja säteen välillä. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä, mikä on tavallinen pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, joka perustuu nelikulmioon. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h \u003d (3V) / S. Kun pyramidin neliökanta tunnetaan: annettu tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa alue (S) edellisessä kaavassa sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee juuri ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edelleen löydämme suorassa kolmiossa SOC (Pythagoraan lauseen mukaan): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen nimi kolmiopyramidille - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Yksinkertaistaakseen viittauksia näihin kolmioihin matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinta-ala.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikkia pisteitä yhdistää yksi yhteinen ominaisuus: tavalla tai toisella sivupinnat ovat mukana kaikkialla (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistuneet korkeuteen