Mikä on kokonaispinta-ala. Pyramidin sivupinta-ala

- Tämä on monitahoinen kuvio, jonka pohjalla on monikulmio, ja loput pinnat esitetään kolmioilla, joilla on yhteinen kärki.

Jos kanta on neliö, kutsutaan pyramidia nelikulmainen, jos kolmio on kolmion muotoinen. Pyramidin korkeus piirretään sen yläosasta kohtisuoraan pohjaan nähden. Käytetään myös alueen laskemiseen apoteemi on sivupinnan korkeus laskettuna kärjestään.
Pyramidin sivupinnan pinta-alan kaava on niiden sivupintojen pintojen summa, jotka ovat yhtä suuria keskenään. Tätä laskentatapaa käytetään kuitenkin erittäin harvoin. Pohjimmiltaan pyramidin pinta-ala lasketaan pohjan ja apoteemin kehän kautta:

Harkitse esimerkkiä pyramidin sivupinnan alueen laskemisesta.

Olkoon pyramidi, jonka kanta on ABCDE ja kärki F. AB =BC =CD =DE =EA = 3 cm Apothem a = 5 cm. Etsi pyramidin sivupinnan pinta-ala.
Etsitään ympärysmitta. Koska kaikki pohjan pinnat ovat yhtä suuret, viisikulmion ympärysmitta on yhtä suuri:
Nyt löydät pyramidin sivualueen:

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala

Säännöllinen kolmiopyramidi koostuu pohjasta, jossa on säännöllinen kolmio, ja kolmesta pinta-alaltaan yhtä suuresta sivupinnasta.
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-alan kaava voidaan laskea monin tavoin. Voit käyttää tavallista kaavaa kehän ja apoteemin laskemiseen tai voit etsiä yhden kasvojen alueen ja kertoa sen kolmella. Koska pyramidin pinta on kolmio, käytämme kaavaa kolmion pinta-alalle. Se vaatii apoteemin ja pohjan pituuden. Harkitse esimerkkiä säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.

Annettu pyramidi, jonka apoteemi a = 4 cm ja pohjapinta b = 2 cm. Etsi pyramidin sivupinnan pinta-ala.
Etsi ensin yhden sivupinnan alue. Tässä tapauksessa se tulee olemaan:
Korvaa arvot kaavassa:
Koska tavallisessa pyramidissa kaikki sivut ovat samat, pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmen pinnan pinta-alojen summa. Vastaavasti:

Katkaistun pyramidin pinta-ala

Katkaistu Pyramidi on pyramidin muodostama monitahoinen poikkileikkaus, joka on yhdensuuntainen kannan kanssa.
Katkaistun pyramidin sivupinta-alan kaava on hyvin yksinkertainen. Pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan kehän ja apoteemin puolen summan tulo:

Mielivaltaisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupintojen pinta-alojen summa. On järkevää antaa erityinen kaava tämän alueen ilmaisemiseksi säännöllisen pyramidin tapauksessa. Olkoon siis annettu säännöllinen pyramidi, jonka pohjalla on säännöllinen n-kulmio, jonka sivu on yhtä suuri kuin a. Olkoon h sivupinnan korkeus, jota kutsutaan myös apoteema pyramidit. Yhden sivupinnan pinta-ala on 1/2ah ja pyramidin koko sivupinnan pinta-ala on n/2ha. Koska na on pyramidin pohjan ympärysmitta, voimme kirjoittaa löydetyn kaavan seuraavasti: :

Sivuttaispinta-ala säännöllisen pyramidin tulo on yhtä suuri kuin sen apoteemin tulo puolella kannan kehästä.

Mitä tulee kokonaispinta-ala, lisää sitten vain pohjan pinta-ala sivuun.

Kaiverrettu ja rajattu pallo ja pallo. On huomattava, että pyramidiin piirretyn pallon keskipiste sijaitsee pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasojen leikkauskohdassa. Pyramidin lähellä kuvatun pallon keskipiste sijaitsee pyramidin reunojen keskipisteiden läpi kulkevien ja niihin kohtisuorassa olevien tasojen leikkauskohdassa.

Katkaistu pyramidi. Jos pyramidi leikataan sen pohjan kanssa yhdensuuntaisella tasolla, niin leikkaustason ja pohjan väliin jäänyt osa on ns. katkaistu pyramidi. Kuvassa on pyramidi, hylkäämällä sen leikkaustason yläpuolella olevan osan, saamme katkaistun pyramidin. On selvää, että hylättävä pieni pyramidi on homoteettinen suuren pyramidin kanssa, jonka kärjessä on homoteetin keskusta. Samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin molempien pyramidien korkeuksien suhde: k=h 2 /h 1 tai sivurivat tai muut vastaavat lineaariset mitat. Tiedämme, että samankaltaisten kuvioiden alueet liittyvät lineaaristen mittojen neliöiksi; joten molempien pyramidien kantajen pinta-alat (eli säästä katkaistun pyramidin kantat) liittyvät toisiinsa

Tässä S 1 on alapohjan pinta-ala ja S 2 on katkaistun pyramidin ylemmän pohjan pinta-ala. Pyramidien sivupinnat ovat samassa suhteessa. Volumeille on sama sääntö.

Samankaltaisten ruumiiden määrät ovat suhteessa niiden lineaaristen mittojen kuutioihin; esimerkiksi pyramidien tilavuudet suhteutetaan niiden korkeuksien tuloina kantapintojen pinta-alalla, josta sääntömme seuraa välittömästi. Se on luonteeltaan täysin yleinen ja seuraa suoraan siitä, että tilavuudella on aina pituuden kolmannen potenssin mitta. Tätä sääntöä käyttämällä johdetaan kaava, joka ilmaisee katkaistun pyramidin tilavuuden kannan korkeudella ja pinta-aloilla.

Olkoon katkaistu pyramidi, jonka korkeus on h ja kantapinta-alat S 1 ja S 2. Jos kuvittelemme, että se laajenee koko pyramidiin, niin täyden pyramidin ja pienen pyramidin samankaltaisuuskerroin voidaan helposti löytää S 2 /S 1 -suhteen juureksi. Katkaistun pyramidin korkeus ilmaistaan ​​muodossa h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nyt meillä on katkaistun pyramidin tilavuus (V 1 ja V 2 tarkoittavat täyden ja pienen pyramidin tilavuutta)

katkaistu pyramidin tilavuuskaava

Johdetaan kaava säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-alalle S kantojen ympärysmittojen P 1 ja P 2 kautta sekä apoteemin a pituus. Väittelemme täsmälleen samalla tavalla kuin johtaessamme tilavuuden kaavaa. Täydennämme pyramidia yläosalla, meillä on P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, missä k on samankaltaisuuskerroin, P 1 ja P 2 ovat kantajen kehät ja S 1 ja S 2 ovat koko tuloksena olevan pyramidin sivupintojen ja vastaavasti sen huipun hevoset. Sivupinnalle löydämme (a 1 ja a 2 - pyramidien apoteemit, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

kaava säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-alalle

Matematiikan tenttiin valmistautuessaan opiskelijan on systematisoitava tietonsa algebrasta ja geometriasta. Haluaisin yhdistää kaikki tunnetut tiedot, esimerkiksi kuinka laskea pyramidin pinta-ala. Lisäksi alustasta ja sivupinnasta alkaen koko pinta-alalle. Jos sivupintojen tilanne on selvä, koska ne ovat kolmioita, pohja on aina erilainen.

Mitä tehdä, kun etsitään pyramidin pohjan pinta-ala?

Se voi olla täysin mikä tahansa kuvio: mielivaltaisesta kolmiosta n-kulmioon. Ja tämä pohja voi kulmien lukumäärän eron lisäksi olla tavallinen kuva tai väärä. Koululaisia ​​kiinnostavissa USE-tehtävissä on pohjassa vain tehtäviä, joissa on oikeat luvut. Siksi puhumme vain niistä.

suorakulmainen kolmio

Se on tasasivuinen. Sellainen, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret ja merkitty kirjaimella "a". Tässä tapauksessa pyramidin pohjan pinta-ala lasketaan kaavalla:

S = (a 2 * √3) / 4.

Neliö

Kaava sen pinta-alan laskemiseksi on yksinkertaisin, tässä "a" on jälleen sivu:

Mielivaltainen säännöllinen n-gon

Monikulmion sivulla on sama nimitys. Kulmien lukumäärässä käytetään latinalaista kirjainta n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kuinka edetä laskettaessa sivuttaista ja kokonaispinta-alaa?

Koska pohja on säännöllinen hahmo, kaikki pyramidin pinnat ovat yhtä suuret. Lisäksi jokainen niistä on tasakylkinen kolmio, koska sivureunat ovat yhtä suuret. Sitten tarvitset kaavan, joka koostuu identtisten monomien summasta, jotta voit laskea pyramidin sivuttaisen alueen. Termien lukumäärä määräytyy pohjan sivujen lukumäärän mukaan.

Tasakylkisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla, jossa puolet kannan tulosta kerrotaan korkeudella. Tätä pyramidin korkeutta kutsutaan apoteemiksi. Sen nimi on "A". Sivupinta-alan yleinen kaava on:

S \u003d ½ P * A, jossa P on pyramidin pohjan ympärysmitta.

On tilanteita, joissa pohjan sivuja ei tunneta, mutta sivureunat (c) ja tasakulma sen kärjessä (α) on annettu. Sitten on tarkoitus käyttää tällaista kaavaa pyramidin sivupinta-alan laskemiseen:

S = n/2 * in 2 sin α .

Tehtävä 1

Kunto. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala, jos sen kanta on 4 cm:n sivussa ja apoteemin arvo on √3 cm.

Ratkaisu. Sinun on aloitettava laskemalla pohjan kehä. Koska tämä on säännöllinen kolmio, niin P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Koska apoteemi tunnetaan, voit laskea välittömästi koko sivupinnan alueen: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Pohjassa olevalle kolmiolle saadaan seuraava pinta-ala: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Koko alueen määrittämiseksi sinun on lisättävä kaksi tuloksena saatua arvoa: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Vastaus. 10√3 cm2.

Tehtävä #2

Kunto. Siellä on säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alustan sivun pituus on 7 mm, sivureuna 16 mm. Sinun on tiedettävä sen pinta-ala.

Ratkaisu. Koska monitaho on nelikulmainen ja säännöllinen, sen kanta on neliö. Kun olet oppinut pohja- ja sivupintojen alueet, on mahdollista laskea pyramidin pinta-ala. Neliön kaava on annettu yllä. Ja sivupinnoilla kolmion kaikki sivut tunnetaan. Siksi voit käyttää Heronin kaavaa laskeaksesi niiden alueet.

Ensimmäiset laskelmat ovat yksinkertaisia ​​ja johtavat tähän numeroon: 49 mm 2. Toista arvoa varten sinun on laskettava puolikehä: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nyt voit laskea tasakylkisen kolmion alueen: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Tällaisia ​​kolmioita on vain neljä, joten lopullista lukua laskettaessa sinun on kerrottava se neljällä.

Osoittautuu: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Vastaus. Haluttu arvo on 267,576 mm 2.

Tehtävä nro 3

Kunto. Tavallisen nelikulmaisen pyramidin osalta sinun on laskettava pinta-ala. Siinä neliön sivu on 6 cm ja korkeus 4 cm.

Ratkaisu. Helpoin tapa on käyttää kaavaa kehän ja apoteemin tulon kanssa. Ensimmäinen arvo on helppo löytää. Toinen on hieman vaikeampi.

Meidän on muistettava Pythagoraan lause ja katsottava, että se muodostuu pyramidin korkeudesta ja apoteemista, joka on hypotenuusa. Toinen jalka on yhtä suuri kuin puolet neliön sivusta, koska monitahoisen korkeus putoaa sen keskelle.

Haluttu apoteemi (suorakulmaisen kolmion hypotenuusa) on √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nyt voit laskea halutun arvon: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Vastaus. 96 cm2.

Tehtävä #4

Kunto. Sen pohjan oikea puoli on 22 mm, sivurivat 61 mm. Mikä on tämän monitahoisen sivupinnan pinta-ala?

Ratkaisu. Sen perustelu on sama kuin tehtävässä 2 kuvattu. Vain siellä annettiin pyramidi, jonka pohjassa oli neliö, ja nyt se on kuusikulmio.

Ensinnäkin pohjan pinta-ala lasketaan käyttämällä yllä olevaa kaavaa: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Nyt sinun on selvitettävä tasakylkisen kolmion puolikehä, joka on sivupinta. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Jäljelle jää laskea kunkin tällaisen kolmion pinta-ala Heron-kaavalla, kertoa se kuudella ja lisätä se kolmion pinta-alaan, joka osoittautui pohja.

Laskelmat Heron-kaavalla: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Laskelmat, jotka antavat sivupinnan: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Ne on vielä laskettava yhteen saadaksesi selville koko pinta: 5217,47≈5217 cm 2.

Vastaus. Pohja - 726√3 cm 2, sivupinta - 3960 cm 2, koko alue - 5217 cm 2.

Tyypillisiä geometrisia ongelmia tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa ovat eri kuvioiden pinta-alojen määrittelyongelmat. Tässä artikkelissa esittelemme kaavan säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinnan pinta-alalle.

Mikä on pyramidi?

Annetaan pyramidille tiukka geometrinen määritelmä. Oletetaan, että on jokin monikulmio, jossa on n sivua ja n kulmaa. Valitsemme mielivaltaisen pisteen avaruudesta, joka ei ole määritellyn n-kulmion tasossa, ja yhdistämme sen monikulmion jokaiseen kärkeen. Saadaan kuvio, jolla on jonkin verran tilavuutta, jota kutsutaan n-kulmaiseksi pyramidiksi. Esitetään esimerkiksi alla olevassa kuvassa, miltä viisikulmainen pyramidi näyttää.

Minkä tahansa pyramidin kaksi tärkeää elementtiä ovat sen pohja (n-gon) ja huippu. Nämä elementit on yhdistetty toisiinsa n kolmiolla, jotka eivät yleensä ole keskenään samanarvoisia. Ylhäältä pohjaan pudonnutta kohtisuoraa kutsutaan kuvion korkeudeksi. Jos se leikkaa pohjan geometrisessa keskustassa (yhtää monikulmion massakeskipisteen), niin tällaista pyramidia kutsutaan suoraksi viivaksi. Jos tämän ehdon lisäksi kanta on säännöllinen monikulmio, koko pyramidia kutsutaan säännölliseksi. Alla oleva kuva näyttää, miltä tavalliset pyramidit näyttävät kolmion, nelikulmaisen, viisikulmaisen ja kuusikulmaisen pohjan kanssa.

Pyramidin pinta

Ennen kuin siirrytään kysymykseen säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinnan pinta-alasta, on syytä tarkastella tarkemmin itse pinnan käsitettä.

Kuten edellä mainittiin ja kuvioissa esitetään, mikä tahansa pyramidi muodostuu joukosta kasvoja tai sivuja. Yksi sivu on kanta ja n sivua ovat kolmioita. Koko kuvion pinta on sen kunkin sivun pinta-alojen summa.

On kätevää tutkia pintaa käyttämällä esimerkkiä hahmon avautumisesta. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin skannaus on esitetty alla olevissa kuvissa.

Näemme, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin neljän samanlaisen tasakylkisen kolmion alueen ja neliön pinta-alan summa.

Kaikkien kuvion sivut muodostavien kolmioiden kokonaispinta-alaa kutsutaan sivupinnan pinta-alaksi. Seuraavaksi näytämme kuinka se lasketaan säännölliselle nelikulmaiselle pyramidille.

Suorakaiteen muotoisen säännöllisen pyramidin sivupinta-ala

Määritetyn kuvan sivupinta-alan laskemiseksi siirrymme jälleen yllä olevaan pyyhkäisyyn. Oletetaan, että tiedämme neliön kannan sivun. Merkitään se symbolilla a. Voidaan nähdä, että jokaisella neljästä identtisestä kolmiosta on kanta, jonka pituus on a. Jotta voit laskea niiden kokonaispinta-alan, sinun on tiedettävä tämä arvo yhdelle kolmiolle. Geometrian kurssista tiedetään, että kolmion pinta-ala S t on yhtä suuri kuin kannan ja korkeuden tulo, joka tulisi jakaa puoliksi. Tuo on:

Missä h b on kantaan a piirretyn tasakylkisen kolmion korkeus. Pyramidille tämä korkeus on apoteemi. Nyt on vielä kerrottava saatu lauseke 4:llä, jotta saadaan kyseessä olevan pyramidin sivupinnan pinta-ala S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Tämä kaava sisältää kaksi parametria: apoteemi ja pohjan sivu. Jos jälkimmäinen tunnetaan useimmissa tehtävien olosuhteissa, niin edellinen on laskettava muiden suureiden tiedossa. Tässä on kaavat apoteeman h b laskemiseksi kahdelle tapaukselle:

• kun sivurivan pituus tiedetään;
• kun pyramidin korkeus tiedetään.

Jos merkitsemme sivureunan (tasakylkisen kolmion sivun) pituutta symbolilla L, niin apoteema h b määritetään kaavalla:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

Tämä lauseke on seurausta Pythagoraan lauseen soveltamisesta sivupinnan kolmioon.

Jos pyramidin korkeus h tiedetään, niin apoteema h b voidaan laskea seuraavasti:

hb = √(h2 + a2/4).

Tätä lauseketta ei myöskään ole vaikea saada, jos tarkastellaan pyramidin sisällä olevaa suorakulmaista kolmiota, jonka muodostavat jalat h ja a / 2 sekä hypotenuusa h b.

Näytämme kuinka näitä kaavoja sovelletaan ratkaisemalla kaksi mielenkiintoista ongelmaa.

Ongelma tunnetussa pinta-alassa

Tiedetään, että nelikulmaisen sivupinnan pinta-ala on 108 cm 2 . On tarpeen laskea sen apoteemin pituuden arvo h bi, jos pyramidin korkeus on 7 cm.

Kirjoita kaava sivupinnan pinta-alalle S b korkeuden läpi. Meillä on:

Sb = 2*√(h2 + a2/4) *a.

Tässä olemme yksinkertaisesti vaihtaneet vastaavan apoteemakaavan S b:n lausekkeeseen. Neliötetään yhtälön molemmat puolet:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

A:n arvon löytämiseksi teemme muuttujien muutoksen:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Korvaamme nyt tunnetut arvot ja ratkaisemme toisen asteen yhtälön:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Olemme kirjoittaneet vain tämän yhtälön positiivisen juuren. Sitten pyramidin pohjan sivut ovat yhtä suuret:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Saadaksesi apoteeman pituuden, käytä kaavaa:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Cheopsin pyramidin sivupinta

Määritetään Egyptin suurimman pyramidin sivupinta-alan arvo. Tiedetään, että sen pohjalla on neliö, jonka sivupituus on 230,363 metriä. Rakenteen korkeus oli alun perin 146,5 metriä. Korvaa nämä luvut vastaavaan kaavaan S b , saamme:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85 860 m 2.

Löytynyt arvo on hieman suurempi kuin 17 jalkapallokentän pinta-ala.