Püramiidi valemid ja omadused. Geomeetrilised kujundid

Sissejuhatus

Kui hakkasime stereomeetrilisi kujundeid uurima, puudutasime teemat "Püramiid". Meile meeldis see teema, sest püramiidi kasutatakse arhitektuuris väga sageli. Ja kuna meie tulevane arhitekti elukutse on sellest kujust inspireeritud, arvame, et ta suudab meid suurepäraste projektide juurde tõugata.

Arhitektuuristruktuuride tugevus, nende kõige olulisem kvaliteet. Seoses tugevuse esiteks materjalidega, millest need on loodud, ja teiseks disainilahenduste omadustega, selgub, et konstruktsiooni tugevus on otseselt seotud selle jaoks põhilise geomeetrilise kujuga.

Teisisõnu räägime geomeetrilisest kujundist, mida võib pidada vastava arhitektuurse vormi mudeliks. Selgub, et geomeetriline kuju määrab ka arhitektuurse struktuuri tugevuse.

Egiptuse püramiide ​​on pikka aega peetud kõige vastupidavamaks arhitektuuriliseks ehitiseks. Nagu teate, on neil korrapäraste nelinurksete püramiidide kuju.

Just see geomeetriline kuju annab tänu suurele aluspinnale suurima stabiilsuse. Teisest küljest tagab püramiidi kuju selle massi vähenemise, kui kõrgus maapinnast tõuseb. Just need kaks omadust muudavad püramiidi raskusjõu tingimustes stabiilseks ja seetõttu tugevaks.

Projekti eesmärk: õppida midagi uut püramiidide kohta, süvendada teadmisi ja leida praktilisi rakendusi.

Selle eesmärgi saavutamiseks oli vaja lahendada järgmised ülesanded:

Õppige ajaloolist teavet püramiidi kohta

Vaatleme püramiidi kui geomeetrilist kujundit

Leia rakendust elus ja arhitektuuris

Leidke maailma eri paigus asuvate püramiidide sarnasusi ja erinevusi

Teoreetiline osa

Ajalooline teave

Püramiidi geomeetria algus pandi Vana-Egiptuses ja Babüloonias, kuid aktiivselt arendati seda Vana-Kreekas. Esimene, kes tegi kindlaks, millega püramiidi ruumala on võrdne, oli Demokritos ja Eudoxus of Cnidus tõestas seda. Vana-Kreeka matemaatik Euclid süstematiseeris teadmised püramiidi kohta oma "Alguste" XII köites ja tõi välja ka püramiidi esimese määratluse: kehakuju, mida piiravad tasapinnad, mis ühes punktis koonduvad ühest tasapinnast.

Egiptuse vaaraode hauad. Suurimat neist - Cheopsi, Khafre ja Mikerini püramiide ​​El Gizas peeti iidsetel aegadel üheks seitsmest maailmaimest. Püramiidi püstitamine, kus kreeklased ja roomlased nägid juba monumenti kuningate enneolematule uhkusele ja julmusele, mis määras kogu Egiptuse rahva mõttetule ehitusele, oli kõige olulisem kultuseakt ja see pidi ilmselt väljendama riigi ja selle valitseja müstiline identiteet. Maa elanikkond tegeles haua ehitamisega põllutööst vabal osal aastast. Mitmed tekstid annavad tunnistust tähelepanust ja hoolitsusest, mida kuningad ise (ehkki hilisemast ajast) oma haua ehitamisele ja selle ehitajatele osutasid. Samuti on teada erilised kultusautasud, milleks osutus püramiid ise.

Põhimõisted

Püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp.

Apoteem- tavalise püramiidi külgpinna kõrgus, tõmmatud selle tipust;

Külgmised näod- ülaosas koonduvad kolmnurgad;

Külgmised ribid- külgpindade ühised küljed;

püramiidi tipp- külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;

Kõrgus- risti lõik, mis on tõmmatud läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (selle lõigu otsad on püramiidi tipp ja risti alus);

Püramiidi diagonaallõige- püramiidi lõik, mis läbib aluse tippu ja diagonaali;

Alus- hulknurk, mis ei kuulu püramiidi tippu.

Õige püramiidi peamised omadused

Külgmised servad, külgpinnad ja apoteemid on vastavalt võrdsed.

Alusel olevad kahetahulised nurgad on võrdsed.

Külgservade kahetahulised nurgad on võrdsed.

Iga kõrguspunkt on kõigist põhitippudest võrdsel kaugusel.

Iga kõrguspunkt on kõigist külgpindadest võrdsel kaugusel.

Püramiidi põhivalemid

Püramiidi külg- ja täispinna pindala.

Püramiidi (täis- ja kärbitud) külgpinna pindala on selle kõigi külgpindade pindalade summa, kogupindala on kõigi selle külgpindade pindalade summa.

Teoreem: Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega püramiidi aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

lk- aluse ümbermõõt;

h- apoteem.

Tüvipüramiidi külg- ja täispindade pindala.

p1, lk 2 - baasi perimeetrid;

h- apoteem.

R- tavalise kärbitud püramiidi kogupindala;

S pool- tavalise kärbitud püramiidi külgpinna pindala;

S1 + S2- baaspindala

Püramiidi maht

Vorm Mahu skaalat kasutatakse igasuguste püramiidide jaoks.

H on püramiidi kõrgus.

Püramiidi nurgad

Nurki, mille moodustavad püramiidi külgpind ja alus, nimetatakse kahetahulisteks nurkadeks püramiidi põhjas.

Kahe nurga moodustavad kaks risti.

Selle nurga määramiseks peate sageli kasutama kolme risti teoreemi.

Nimetatakse nurki, mille moodustab külgserv ja selle projektsioon aluse tasapinnale nurgad külgserva ja aluse tasapinna vahel.

Nurka, mille moodustavad kaks külgpinda, nimetatakse kahetahuline nurk püramiidi külgservas.

Nurka, mille moodustavad püramiidi ühe külje kaks külgserva, nimetatakse nurgas püramiidi tipus.

Püramiidi lõigud

Püramiidi pind on hulktahuka pind. Iga selle tahk on tasapind, seega on püramiidi lõik, mis on antud lõiketasandiga, katkendlik joon, mis koosneb eraldi sirgetest.

Diagonaalne lõige

Püramiidi lõiku tasapinnast, mis läbib kahte külgserva, mis ei asu samal pinnal, nimetatakse diagonaalne lõik püramiidid.

Paralleelsed lõigud

Teoreem:

Kui püramiidi läbib alusega paralleelne tasapind, siis jagatakse selle tasandiga püramiidi külgservad ja kõrgused proportsionaalseteks osadeks;

Selle tasapinna lõik on põhjaga sarnane hulknurk;

Lõigu ja aluse pindalad on omavahel seotud nende kauguste ruutudena tipust.

Püramiidi tüübid

Õige püramiid- püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskele.

Õige püramiidi juures:

1. külgmised ribid on võrdsed

2. külgpinnad on võrdsed

3. apoteemid on võrdsed

4. kahetahulised nurgad põhjas on võrdsed

5. külgservade kahetahulised nurgad on võrdsed

6. iga kõrguspunkt on kõigist alustippudest võrdsel kaugusel

7. iga kõrguspunkt on kõigist külgpindadest võrdsel kaugusel

Kärbitud püramiid- püramiidi osa, mis jääb selle aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahele.

Nimetatakse kärbitud püramiidi alust ja vastavat lõiku kärbitud püramiidi alused.

Nimetatakse risti, mis on tõmmatud ühe aluse mis tahes punktist teise aluse tasapinnaga kärbitud püramiidi kõrgus.

Ülesanded

nr 1. Tavalises nelinurkses püramiidis on punkt O aluse keskpunkt, SO=8 cm, BD=30 cm. Leidke külgserv SA.

Probleemi lahendamine

nr 1. Tavalises püramiidis on kõik tahud ja servad võrdsed.

Vaatleme OSB-d: OSB-ristkülikukujuline ristkülik, sest.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Püramiid arhitektuuris

Püramiid - monumentaalne struktuur tavalise korrapärase geomeetrilise püramiidi kujul, mille küljed koonduvad ühes punktis. Funktsionaalse otstarbe järgi olid püramiidid iidsetel aegadel matmis- või kultuspaigad. Püramiidi alus võib olla kolmnurkne, nelinurkne või hulknurkne suvalise arvu tippudega, kuid levinuim versioon on nelinurkne alus.

Teada on arvestatav hulk püramiide, mis on ehitatud muinasmaailma erinevate kultuuride poolt, peamiselt templite või monumentidena. Suurimad püramiidid on Egiptuse püramiidid.

Üle kogu Maa võib näha püramiidide kujulisi arhitektuurseid struktuure. Püramiidhooned meenutavad iidseid aegu ja näevad väga kaunid välja.

Egiptuse püramiidid on Vana-Egiptuse suurimad arhitektuurimälestised, millest üks "maailma seitsmest imest" on Cheopsi püramiid. Jalamilt tipuni ulatub see 137,3 meetrini ja enne tipu kaotamist oli selle kõrgus 146,7 m.

Raadiojaama ümberpööratud püramiidi meenutav hoone Slovakkia pealinnas on ehitatud 1983. aastal. Lisaks kontoritele ja teeninduspindadele on mahu sees üsna avar kontserdisaal, kus on üks Slovakkia suurimaid oreleid. .

Louvre, mis "on vaikne ja majesteetlik nagu püramiid", on sajandite jooksul läbi teinud palju muutusi, enne kui sellest sai maailma suurim muuseum. See sündis kindlusena, mille püstitas Philip Augustus 1190. aastal ja mis peagi muutus kuninglikuks residentsiks. 1793. aastal sai paleest muuseum. Kogud rikastatakse pärandamise või ostude kaudu.

Õpilased puutuvad püramiidi kontseptsiooniga kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süüdistada kuulsaid suuri Egiptuse maailmaimesid. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik ülaltoodud sihikud on õiges vormis. Mida parempoolne püramiid, ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui tahket kujundit, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kujund sellel on alus ja tasapinnad kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.

Kaasaegse tõlgenduse põhjal on püramiid esitatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurksest kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame lähemalt, Millistest elementidest see koosneb?

• k-gon loetakse joonise aluseks;
• 3-nurksed figuurid ulatuvad küljeosa külgedena välja;
• ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
• kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
• kui sirgjoon on ülaosast joonise tasapinnale langetatud 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis olev osa püramiidi kõrgus;
• mis tahes külgelemendis meie hulktahuka küljes saate joonistada risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on püramiidi sarnasel hulktahukal, saab määrata avaldise k + 1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasand on võrdsete külgedega k-gon.

Põhiomadused

Õige püramiid on palju omadusi mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

1. Alus on õige kujuga kujund.
2. Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
3. Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
4. Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskele, samal ajal kui see on sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunkt.
5. Kõik külgmised ribid on kallutatud aluspinna suhtes sama nurga all.
6. Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine oluliselt lihtsustatud. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

1. Kui hulknurk mahub ringi, on külgpinnad alusega võrdsed nurgad.
2. Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad sama pikkusega ja võrdsete nurkade all alusega.

Väljak põhineb

Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.

Näiteks kui on vaja ühendada ruudu külg selle diagonaaliga, siis kasutatakse järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

Põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on tavaline kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

• ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
• kõigi sisepindade väärtus on samuti 60 kraadi;
• mis tahes nägu võib toimida alusena;
• joonise sees on võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone lennuk. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

• aksiaalne;
• paralleelselt.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine ​​variant. Sel juhul on meil taustaga sarnane joonis.

Näiteks kui alus on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära hulktahuka ülemise osa, siis saadakse alumisse ossa korrapärane kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgpinnad võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja kõrgus joonestada telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala on kahte tüüpi:

• külgmiste elementide pindala;
• kogu pinna pindala.

Pealkirjast endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

1. Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
2. Külgtasapindade arv sõltub aluses oleva k-goni tüübist. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a=POS, kus POS on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
3. Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside \u003d Rosn * L.

Püramiidi täispinna pindala koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala on võrdne põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega jagatuna kolmega: V=1/3*Sbase*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

Kolmnurkne püramiid on kolmnurgal põhinev püramiid. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle aluste poole.

Püramiidi kõrguse leidmine

Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3)Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrguse valem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse baaspinnaga, see on: h \u003d (3V ) / S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemi S=(1/2)γh järgi: h = (2S)/γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, kasutades järgmist valemit: S = (1/2)γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtust tuleb vaadata siinuste tabelist, mis on Internetis. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S)/γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ suurust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√(2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on ainult hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) on võrdne 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisest, ruudus 3 ruutjuurega. Asendame selle valemi eelmise valemi aluspinna asemel , ja saame järgmise valemi: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraeedri ruumala saab väljendada selle serva pikkusega, siis saab kujundi kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult kujundi kolmnurkse tahu külg. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades korrutisest 12-ga selle esikülje pikkuse kuubiku ruutjuurega 2.

Asendame selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Samuti saab sfääri kirjutada korrapärase kolmnurkse prisma ja teades ainult sfääri raadiust (R), saate leida tetraeedri kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R/√6. Asendame muutuja γ selle avaldisega eelmises valemis ja saame valemi: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama valemi saab ka teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul on kolmnurga serva pikkus võrdne 12 suhtega ruutjuure 6 ja raadiuse vahel. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust

Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma, mis on tavaline püramiid. Nelinurkne püramiid on püramiid, mis põhineb nelinurgal. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse (S) pindala, siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage maht, mis on korrutatud 3-ga, pindalaga S: h \u003d (3V) / S. Püramiidi ruudukujulise aluse korral, mille ruumala (V) ja külje pikkus on γ, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mis on ümbritsetud aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC lõikepunkt. Meil on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edasi leiame täisnurksest kolmnurgast SOC (Pythagorase teoreemi järgi): SO = √(SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida tavalise püramiidi kõrgust.

Siin on kogutud põhiteave püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Kõiki neid õpitakse eksamiks valmistudes koos matemaatika juhendajaga.

Mõelge tasapinnale, hulknurgale selles lamamine ja punkt S, mis selles ei lama. Ühendage S hulknurga kõigi tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Segmente nimetatakse külgmisteks servadeks. Hulknurka nimetatakse põhjaks ja punkti S püramiidi tipuks. Olenevalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n=3), nelinurkseks (n=4), viisnurkseks (n=5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi - tetraeeder. Püramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud selle tipust alustasandiga.

Püramiidi nimetatakse õigeks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.

Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "regulaarne püramiid" ja "regulaarne tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab, et hulknurga keskpunkt P kõrguspõhjaga, seega on tavaline tetraeeder korrapärane püramiid.

Mis on apoteem?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on korrapärane, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele.

Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: töö püramiididega on 80% üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA

Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam nimetada neist esimene apoteemiline, ja teiseks rannikuala. Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab seda ühepoolselt tutvustama.

Püramiidi mahu valem:
1) , kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2) , kus on sisse kirjutatud sfääri raadius ja püramiidi kogupindala.
3) , kus MN on mis tahes kahe ristumise serva kaugus ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi kõrguse aluse omadus:

Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse poole võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu

Matemaatika juhendaja kommentaar: pange tähele, et kõiki punkte ühendab üks ühine omadus: nii või teisiti osalevad igal pool külgpinnad (nende elemendid on apoteemid). Seetõttu saab juhendaja pakkuda meeldejätmiseks vähem täpset, kuid mugavamat sõnastust: punkt P langeb kokku kirjutatud ringi keskpunktiga, püramiidi põhjaga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemilised kolmnurgad on võrdsed.

Punkt P langeb kokku püramiidi aluse lähedal asuva piiritletud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgribid on võrdselt aluse poole kaldu
3) Kõik külgmised ribid on kõrgusele võrdselt kaldu