Le të llogarisim diskriminuesin për rastin 4ac. Diskriminues i një ekuacioni kuadratik

Problemet e ekuacionit kuadratik studiohen gjithashtu në kurrikula shkollore dhe në universitete. Ato nënkuptojnë ekuacione të formës a*x^2 + b*x + c = 0, ku x- ndryshore, a, b, c – konstante; a<>0 . Detyra është të gjesh rrënjët e ekuacionit.

Kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik

Grafiku i një funksioni që përfaqësohet nga një ekuacion kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) ekuacioni kuadratik- këto janë pikat e prerjes së parabolës me boshtin e abshisës (x). Nga kjo rezulton se ka tre raste të mundshme:
1) parabola nuk ka pika të prerjes me boshtin e abshisave. Kjo do të thotë se është në rrafshin e sipërm me degë lart ose në fund me degë poshtë. Në raste të tilla, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale (ka dy rrënjë komplekse).

2) parabola ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox. Një pikë e tillë quhet kulmi i parabolës dhe ekuacioni kuadratik në të fiton vlerën e tij minimale ose maksimale. Në këtë rast, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë reale (ose dy rrënjë identike).

3) Rasti i fundit është më interesant në praktikë - ka dy pika të kryqëzimit të parabolës me boshtin e abshisë. Kjo do të thotë se ka dy rrënjë reale të ekuacionit.

Në bazë të analizës së koeficientëve të fuqive të variablave, mund të nxirren përfundime interesante për vendosjen e parabolës.

1) Nëse koeficienti a është më i madh se zero, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, nëse ai është negativ, degët e parabolës drejtohen poshtë;

2) Nëse koeficienti b është më i madh se zero, atëherë kulmi i parabolës qëndron në gjysmëplanin e majtë, nëse merr një vlerë negative, atëherë në të djathtë.

Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik

Le të transferojmë konstantën nga ekuacioni kuadratik

për shenjën e barabartë, marrim shprehjen

Shumëzojini të dyja anët me 4a

Për të marrë një katror të plotë në të majtë, shtoni b^2 në të dy anët dhe kryeni transformimin

Nga këtu gjejmë

Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Diskriminuesi është vlera e shprehjes radikale nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, të llogaritura me formulë Kur diskriminuesi është zero, ekuacioni kuadratik ka një zgjidhje (dy rrënjë që përputhen), e cila mund të merret lehtësisht nga formula e mësipërme për D=0. Kur diskriminuesi është negativ, ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Sidoqoftë, zgjidhjet e ekuacionit kuadratik gjenden në planin kompleks dhe vlera e tyre llogaritet duke përdorur formulën

Teorema e Vietës

Le të shqyrtojmë dy rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe të ndërtojmë një ekuacion kuadratik mbi bazën e tyre vetë teorema e Vietës rrjedh lehtësisht nga shënimi: nëse kemi një ekuacion kuadratik të formës. atëherë shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me koeficientin p të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë q. Paraqitja formulore e sa më sipër do të duket si Nëse në një ekuacion klasik konstanta a është jozero, atëherë duhet të ndani të gjithë ekuacionin me të dhe më pas të zbatoni teoremën e Vieta-s.

Skema e ekuacioneve kuadratike të faktorizimit

Le të vendoset detyra: faktorizoni një ekuacion kuadratik. Për ta bërë këtë, së pari zgjidhim ekuacionin (gjeni rrënjët). Më pas, ne i zëvendësojmë rrënjët e gjetura në formulën e zgjerimit për ekuacionin kuadratik.

Problemet e ekuacionit kuadratik

Detyra 1. Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik

x^2-26x+120=0 .

Zgjidhje: Shkruani koeficientët dhe zëvendësojini ato në formulën diskriminuese

Rrënja e kësaj vlere është 14, është e lehtë të gjendet me një makinë llogaritëse, ose të mbahet mend me përdorim të shpeshtë, megjithatë, për lehtësi, në fund të artikullit do t'ju jap një listë të katrorëve të numrave që mund të hasen shpesh në probleme të tilla.
Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në formulën rrënjësore

dhe marrim

Detyra 2. Zgjidhe ekuacionin

2x 2 +x-3=0.

Zgjidhja: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik, shkruajmë koeficientët dhe gjejmë diskriminuesin


Nga formulat e njohura gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

Detyra 3. Zgjidhe ekuacionin

9x 2 -12x+4=0.

Zgjidhje: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik. Përcaktimi i diskriminuesit

Kemi një rast kur rrënjët përkojnë. Gjeni vlerat e rrënjëve duke përdorur formulën

Detyra 4. Zgjidhe ekuacionin

x^2+x-6=0 .

Zgjidhja: Në rastet kur ka koeficientë të vegjël për x, këshillohet të zbatohet teorema e Vietës. Sipas gjendjes së tij marrim dy ekuacione

Nga kushti i dytë gjejmë se produkti duhet të jetë i barabartë me -6. Kjo do të thotë që njëra prej rrënjëve është negative. Kemi çiftin e mëposhtëm të mundshëm të zgjidhjeve (-3;2), (3;-2) . Duke marrë parasysh kushtin e parë, ne refuzojmë çiftin e dytë të zgjidhjeve.
Rrënjët e ekuacionit janë të barabarta

Detyra 5. Gjeni gjatësitë e brinjëve të një drejtkëndëshi nëse perimetri i tij është 18 cm dhe sipërfaqja e tij është 77 cm 2.

Zgjidhje: Gjysma e perimetrit të një drejtkëndëshi është e barabartë me shumën e brinjëve të tij ngjitur. Le të shënojmë x si anën më të madhe, atëherë 18-x është ana e saj më e vogël. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me produktin e këtyre gjatësive:
x(18-x)=77;
ose
x 2 -18x+77=0.
Le të gjejmë diskriminuesin e ekuacionit

Llogaritja e rrënjëve të ekuacionit

Nëse x=11, Se 18 = 7, e kundërta është gjithashtu e vërtetë (nëse x=7, atëherë 21's=9).

Detyra 6. Faktoroni ekuacionin kuadratik 10x 2 -11x+3=0.

Zgjidhje: Le të llogarisim rrënjët e ekuacionit, për ta bërë këtë gjejmë diskriminuesin

Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në formulën rrënjësore dhe llogarisim

Zbatojmë formulën për zbërthimin e një ekuacioni kuadratik sipas rrënjëve

Duke hapur kllapat marrim një identitet.

Ekuacioni kuadratik me parametër

Shembulli 1. Në cilat vlera parametrash A, a ka një rrënjë ekuacioni (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?

Zgjidhje: Me zëvendësim të drejtpërdrejtë të vlerës a=3 shohim se nuk ka zgjidhje. Më pas, do të përdorim faktin që me një diskriminues zero, ekuacioni ka një rrënjë të shumëfishimit 2. Le të shkruajmë diskriminuesin

Le ta thjeshtojmë dhe ta barazojmë me zero

Ne kemi marrë një ekuacion kuadratik në lidhje me parametrin a, zgjidhja e të cilit mund të merret lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi i tyre është 12. Me kërkim të thjeshtë konstatojmë se numrat 3,4 do të jenë rrënjët e ekuacionit. Meqenëse ne kemi refuzuar tashmë zgjidhjen a=3 në fillim të llogaritjeve, e vetmja e saktë do të jetë - a=4. Kështu, për a=4 ekuacioni ka një rrënjë.

Shembulli 2. Në cilat vlera parametrash A, ekuacionin a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ka më shumë se një rrënjë?

Zgjidhja: Le të shqyrtojmë fillimisht pikat njëjës, ato do të jenë vlerat a=0 dhe a=-3. Kur a=0, ekuacioni do të thjeshtohet në formën 6x-9=0; x=3/2 dhe do të ketë një rrënjë. Për a= -3 marrim identitetin 0=0.
Le të llogarisim diskriminuesin

Dhe le të gjejmë vlerat dhe në të cilën është pozitive

Nga kushti i parë marrim a>3. Për të dytën, gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit


Le të përcaktojmë intervalet ku funksioni merr vlera pozitive. Duke zëvendësuar pikën a=0 marrim 3>0 . Pra, jashtë intervalit (-3;1/3) funksioni është negativ. Mos harroni pikën a=0, e cila duhet të përjashtohet sepse ekuacioni origjinal ka një rrënjë në të.
Si rezultat, marrim dy intervale që plotësojnë kushtet e problemit

Do të ketë shumë detyra të ngjashme në praktikë, përpiquni t'i kuptoni vetë detyrat dhe mos harroni të merrni parasysh kushtet që janë reciprokisht ekskluzive. Studioni mirë formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike ato shpesh nevojiten në llogaritjet në probleme dhe shkenca të ndryshme.

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, gabimisht mund të vendosni se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik termi i dytë ka një koeficient çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Shqyrtohen rastet e rrënjëve reale, të shumëfishta dhe komplekse. Faktorizimi i një trinomi kuadratik. Interpretimi gjeometrik. Shembuj të përcaktimit të rrënjëve dhe faktorizimit.

Formulat bazë

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik:
(1) .
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik(1) përcaktohen nga formula:
; .
Këto formula mund të kombinohen si kjo:
.
Kur dihen rrënjët e një ekuacioni kuadratik, atëherë një polinom i shkallës së dytë mund të përfaqësohet si produkt i faktorëve (të faktorizuar):
.

Më pas supozojmë se janë numra realë.
Le të shqyrtojmë diskriminues i një ekuacioni kuadratik:
.
Nëse diskriminuesi është pozitiv, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë të ndryshme reale:
; .
Atëherë faktorizimi i trinomit kuadratik ka formën:
.
Nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë reale të shumëfishta (të barabarta):
.
Faktorizimi:
.
Nëse diskriminuesi është negativ, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë komplekse të konjuguara:
;
.
Këtu është njësia imagjinare, ;
dhe janë pjesët reale dhe imagjinare të rrënjëve:
; .
Pastaj

.

Interpretimi grafik

Nëse ndërton grafiku i një funksioni
,
e cila është një parabolë, atëherë pikat e prerjes së grafikut me boshtin do të jenë rrënjët e ekuacionit
.
Në , grafiku pret boshtin x (boshtin) në dy pika.
Kur , grafiku prek boshtin x në një pikë.
Kur , grafiku nuk e kalon boshtin x.

Më poshtë janë shembuj të grafikëve të tillë.

Formula të dobishme në lidhje me ekuacionin kuadratik

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ne kryejmë transformime dhe zbatojmë formulat (f.1) dhe (f.3):




,
Ku
; .

Pra, morëm formulën për një polinom të shkallës së dytë në formën:
.
Kjo tregon se ekuacioni

kryer në
Dhe .
Kjo është, dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
.

Shembuj të përcaktimit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

Shembulli 1

(1.1) .

Zgjidhje

.
Duke krahasuar me ekuacionin tonë (1.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Meqenëse diskriminuesi është pozitiv, ekuacioni ka dy rrënjë reale:
;
;
.

Nga këtu marrim faktorizimin e trinomit kuadratik:

.

Grafiku i funksionit y = 2 x 2 + 7 x + 3 pret boshtin x në dy pika.

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai kalon boshtin (boshtin) e abshisave në dy pika:
Dhe .
Këto pika janë rrënjët e ekuacionit origjinal (1.1).

Përgjigju

;
;
.

Shembulli 2

Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(2.1) .

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
.
Duke krahasuar me ekuacionin origjinal (2.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Meqenëse diskriminuesi është zero, ekuacioni ka dy rrënjë të shumta (të barabarta):
;
.

Atëherë faktorizimi i trinomit ka formën:
.

Grafiku i funksionit y = x 2 - 4 x + 4 prek boshtin x në një pikë.

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai prek boshtin x (boshtin) në një pikë:
.
Kjo pikë është rrënja e ekuacionit origjinal (2.1). Sepse kjo rrënjë faktorizohet dy herë:
,
atëherë një rrënjë e tillë zakonisht quhet shumëfish. Kjo do të thotë, ata besojnë se ekzistojnë dy rrënjë të barabarta:
.

Përgjigju

;
.

Shembulli 3

Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(3.1) .

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
(1) .
Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal (3.1):
.
Krahasuar me (1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Diskriminuesi është negativ, . Prandaj nuk ka rrënjë të vërteta.

Ju mund të gjeni rrënjë komplekse:
;
;
.

Pastaj


.

Grafiku i funksionit nuk e kalon boshtin x. Nuk ka rrënjë të vërteta.

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Nuk e pret boshtin x (boshtin). Prandaj nuk ka rrënjë të vërteta.

Përgjigju

Nuk ka rrënjë të vërteta. Rrënjët komplekse:
;
;
.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe atyre lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për secilin ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Që nga aritmetika Rrenja katrore ekziston vetëm nga një numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, një diskriminues nuk kërkohej - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.