Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.
Vektori i drejtimit është i drejtë. Vektor normal

Një vijë e drejtë në një aeroplan është një nga më të thjeshtat forma gjeometrike, i njohur për ju që në shkollën fillore, dhe sot do të mësojmë se si ta trajtojmë atë duke përdorur metodat e gjeometrisë analitike. Për të zotëruar materialin, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë; e di se çfarë ekuacioni përcakton një drejtëz, në veçanti, një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe drejtëza paralele me boshtet e koordinatave. Ky informacion mund të gjenden në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare, e kam krijuar për matan, por seksionin rreth funksion linear Doli shumë e suksesshme dhe e detajuar. Prandaj, të dashur çajnik, ngrohuni aty më parë. Përveç kësaj, ju duhet të keni njohuri baze O vektorët, përndryshe kuptimi i materialit do të jetë jo i plotë.

Në këtë mësim do të shikojmë mënyrat në të cilat mund të krijoni një ekuacion të një vije të drejtë në një plan. Unë rekomandoj që të mos neglizhoni shembujt praktikë (edhe nëse duket shumë i thjeshtë), pasi do t'u jap atyre elementë dhe fakte të rëndësishme, teknikat teknike që do të kërkohen në të ardhmen, duke përfshirë në seksione të tjera të matematikës së lartë.

• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?
• Si ?
• Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?
• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

dhe fillojmë:

Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi

Forma e njohur "shkollë" e ekuacionit të drejtë quhet ekuacioni i një vije të drejtë me pjerrësinë. Për shembull, nëse një vijë e drejtë jepet nga ekuacioni, atëherë ajo shpat: . Le të shqyrtojmë kuptimin gjeometrik të këtij koeficienti dhe si ndikon vlera e tij në vendndodhjen e vijës:

Në lëndën e gjeometrisë vërtetohet se pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me tangjente e këndit ndërmjet drejtimit të boshtit pozitivdhe kjo linjë: , dhe këndi "zhvidhos" në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Për të mos rrëmuar vizatimin, vizatova kënde vetëm për dy vija të drejta. Le të shqyrtojmë vijën "e kuqe" dhe pjerrësinë e saj. Sipas sa më sipër: (këndi "alfa" tregohet nga një hark i gjelbër). Për vijën e drejtë "blu" me koeficientin e këndit, barazia është e vërtetë (këndi "beta" tregohet me një hark kafe). Dhe nëse dihet tangjentja e këndit, atëherë nëse është e nevojshme është e lehtë të gjendet dhe vetë këndi duke përdorur funksionin e anasjelltë - arktangjent. Siç thonë ata, një tabelë trigonometrike ose një mikrollogaritës në duart tuaja. Kështu, koeficienti këndor karakterizon shkallën e pjerrësisë së vijës së drejtë ndaj boshtit të abshisës.

Në këtë rast, është e mundur rastet e mëposhtme:

1) Nëse pjerrësia është negative: atëherë vija, përafërsisht, shkon nga lart poshtë. Shembuj janë linjat e drejta "blu" dhe "mjedër" në vizatim.

2) Nëse pjerrësia është pozitive: atëherë vija shkon nga poshtë lart. Shembuj - vija të drejta "të zeza" dhe "të kuqe" në vizatim.

3) Nëse pjerrësia është zero: , atëherë ekuacioni merr formën , dhe drejtëza përkatëse është paralele me boshtin. Një shembull është vija e drejtë "e verdhë".

4) Për një familje vijash paralele me një bosht (nuk ka asnjë shembull në vizatim, përveç vetë boshtit), koeficienti këndor nuk ekziston (tangjentja prej 90 gradë nuk është e përcaktuar).

Sa më i madh të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më i pjerrët shkon grafiku i vijës së drejtë..

Për shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Këtu, pra, vija e drejtë ka një pjerrësi më të madhe. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli ju lejon të injoroni shenjën, ne jemi vetëm të interesuar vlerat absolute koeficientët këndorë.

Nga ana tjetër, një vijë e drejtë është më e pjerrët se linjat e drejta .

Anasjelltas: sa më i vogël të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më e sheshtë është vija e drejtë.

Për linjat e drejta pabarazia është e vërtetë, pra vija e drejtë është më e sheshtë. Rrëshqitje për fëmijë, për të mos i dhënë vetes mavijosje dhe gunga.

Pse është e nevojshme kjo?

Zgjatni mundimin tuaj Njohja e fakteve të mësipërme ju lejon të shihni menjëherë gabimet tuaja, në veçanti, gabimet kur ndërtoni grafikët - nëse vizatimi rezulton të jetë "qartësisht diçka e gabuar". Është e këshillueshme që ju menjëherë ishte e qartë se, për shembull, vija e drejtë është shumë e pjerrët dhe shkon nga poshtë lart, dhe vija e drejtë është shumë e sheshtë, e shtypur afër boshtit dhe shkon nga lart poshtë.

Në problemet gjeometrike, shpesh shfaqen disa linja të drejta, kështu që është e përshtatshme t'i caktoni ato disi.

Emërtimet: vijat e drejta shënohen me shkronja të vogla latine: . Një opsion popullor është përcaktimi i tyre duke përdorur të njëjtën shkronjë me nënshkrime natyrore. Për shembull, pesë rreshtat që sapo shikuam mund të shënohen me .

Meqenëse çdo vijë e drejtë përcaktohet në mënyrë unike nga dy pika, ajo mund të shënohet me këto pika: etj. Emërtimi nënkupton qartë se pikat i përkasin vijës.

Është koha për t'u ngrohur pak:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?

Nëse dihet një pikë që i përket një drejtëze të caktuar dhe koeficienti këndor i kësaj drejtëze, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Shembulli 1

Shkruani një ekuacion për një drejtëz me pjerrësi nëse dihet se pika i përket drejtëzës së dhënë.

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës duke përdorur formulën . Në këtë rast:

Përgjigju:

Ekzaminimi bëhet thjesht. Së pari, ne shikojmë ekuacionin që rezulton dhe sigurohemi që pjerrësia jonë të jetë në vend. Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë këtë ekuacion. Le t'i lidhim ato në ekuacionin:

Përftohet barazia e saktë, që do të thotë se pika plotëson ekuacionin që rezulton.

konkluzioni: Ekuacioni u gjet saktë.

Një shembull më i ndërlikuar për t'u zgjidhur vetë:

Shembulli 2

Shkruani një ekuacion për një drejtëz nëse dihet se këndi i saj i prirjes ndaj drejtimit pozitiv të boshtit është , dhe pika i përket kësaj drejtëze.

Nëse keni ndonjë vështirësi, rilexoni materialin teorik. Më saktë, më praktike, i anashkaloj shumë prova.

Zilja Thirrja e fundit, festa e maturës ka kaluar dhe jashtë portave të shkollës sonë të lindjes na pret vetë gjeometria analitike. Shakatë kanë mbaruar... Ose ndoshta ata sapo kanë filluar =)

Me nostalgji tundim stilolapsin drejt të njohurit dhe njihemi me ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë. Sepse në gjeometrinë analitike kjo është pikërisht ajo që përdoret:

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze ka formën: , ku janë disa numra. Në të njëjtën kohë, koeficientët njëkohësisht nuk janë të barabarta me zero, pasi ekuacioni humbet kuptimin e tij.

Le të vishemi me kostum dhe ta lidhim ekuacionin me koeficientin e pjerrësisë. Së pari, le t'i zhvendosim të gjitha kushtet në ana e majte:

Termi me "X" duhet të vihet në radhë të parë:

Në parim, ekuacioni tashmë ka formën , por sipas rregullave të mirësjelljes matematikore, koeficienti i termit të parë (në këtë rast) duhet të jetë pozitiv. Shenjat e ndryshimit:

Mos harroni këtë veçori teknike! Koeficientin e parë (më shpesh) e bëjmë pozitiv!

Në gjeometrinë analitike, ekuacioni i një drejtëze pothuajse gjithmonë do të jepet në formë të përgjithshme. Epo, nëse është e nevojshme, mund të reduktohet lehtësisht në formën "shkollë" me një koeficient këndor (me përjashtim të vijave të drejta paralele me boshtin e ordinatave).

Le të pyesim veten se çfarë mjaft dini të ndërtoni një vijë të drejtë? Dy pikë. Por më shumë rreth këtij incidenti të fëmijërisë, tani qëndron rregulli me shigjeta. Çdo vijë e drejtë ka një pjerrësi shumë specifike, e cila është e lehtë për t'u "përshtatur". vektoriale.

Një vektor që është paralel me një drejtëzë quhet vektor i drejtimit të asaj drejtëze. Është e qartë se çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të vektorëve të drejtimit, dhe të gjithë do të jenë kolinearë (bashkëdrejtues ose jo - nuk ka rëndësi).

Vektorin e drejtimit do ta shënoj si më poshtë: .

Por një vektor nuk mjafton për të ndërtuar një vijë të drejtë, vektori është i lirë dhe nuk është i lidhur me asnjë pikë në rrafsh. Prandaj, është gjithashtu e nevojshme të dihet një pikë që i përket linjës.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një linje dhe vektori i drejtimit të kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj rreshti mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Ndonjëherë quhet ekuacioni kanonik i drejtëzës .

Çfarë duhet bërë kur një nga koordinatatështë e barabartë me zero, do ta kuptojmë në shembujt praktikë më poshtë. Nga rruga, ju lutem vini re - të dyja përnjëherë koordinatat nuk mund të jenë të barabarta me zero, pasi vektori zero nuk specifikon një drejtim specifik.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur formulën. Në këtë rast:

Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne shpëtojmë nga thyesat:

Dhe ne e sjellim ekuacionin në pamjen e përgjithshme:

Përgjigju:

Si rregull, nuk ka nevojë të bëni një vizatim në shembuj të tillë, por për hir të të kuptuarit:

Në vizatim shohim pikën e fillimit, vektorin e drejtimit origjinal (mund të vizatohet nga çdo pikë në rrafsh) dhe vijën e drejtë të ndërtuar. Nga rruga, në shumë raste është më e përshtatshme për të ndërtuar një vijë të drejtë duke përdorur një ekuacion me një koeficient këndor. Është e lehtë të transformojmë ekuacionin tonë në formë dhe të zgjedhim lehtësisht një pikë tjetër për të ndërtuar një vijë të drejtë.

Siç u përmend në fillim të paragrafit, një vijë e drejtë ka një numër të pafund të vektorëve të drejtimit, dhe të gjithë ata janë kolinear. Për shembull, unë vizatova tre vektorë të tillë: . Cilido qoftë vektori i drejtimit që zgjedhim, rezultati do të jetë gjithmonë i njëjti ekuacion drejtvizor.

Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Zgjidhja e proporcionit:

Ndani të dyja anët me –2 dhe merrni ekuacionin e njohur:

Të interesuarit mund të testojnë vektorët në të njëjtën mënyrë ose ndonjë vektor tjetër kolinear.

Tani le të zgjidhim problemin e anasjelltë:

Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?

Shume e thjeshte:

Nëse një drejtëzë jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori i drejtimit të kësaj drejtëze.

Shembuj të gjetjes së vektorëve të drejtimit të drejtëzave:

Deklarata na lejon të gjejmë vetëm një vektor drejtimi nga një numër i pafund, por nuk kemi nevojë për më shumë. Edhe pse në disa raste këshillohet të zvogëlohen koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Kështu, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë që është paralele me boshtin dhe koordinatat e vektorit të drejtimit që rezulton ndahen në mënyrë të përshtatshme me –2, duke marrë saktësisht vektorin bazë si vektorin e drejtimit. Logjike.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, dhe duke pjesëtuar koordinatat e vektorit me 5, marrim vektorin ort si vektor të drejtimit.

Tani le ta bëjmë duke kontrolluar shembullin 3. Shembulli u ngrit, kështu që ju kujtoj se në të kemi përpiluar ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Së pari, duke përdorur ekuacionin e drejtëzës ne rindërtojmë vektorin e drejtimit të saj: – çdo gjë është në rregull, ne kemi marrë vektorin origjinal (në disa raste rezultati mund të jetë një vektor kolinear me atë origjinal, dhe kjo zakonisht vërehet lehtë nga proporcionaliteti i koordinatave përkatëse).

Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë ekuacionin. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin:

Është marrë barazia e saktë, për të cilën jemi shumë të lumtur.

konkluzioni: Detyra u krye si duhet.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Është shumë e këshillueshme që të kontrolloni duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Mundohuni të kontrolloni gjithmonë (nëse është e mundur) një draft. Është marrëzi të bësh gabime ku mund të shmangen 100%.

Në rast se njëra nga koordinatat e vektorit të drejtimit është zero, vazhdoni shumë thjesht:

Shembulli 5

Zgjidhje: Formula nuk është e përshtatshme pasi emëruesi në anën e djathtë është zero. Ka një dalje! Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne e rishkruajmë formulën në formë, dhe pjesa tjetër rrotullohet përgjatë një rutine të thellë:

Përgjigju:

Ekzaminimi:

1) Rivendos vektorin drejtues të vijës së drejtë:
– vektori që rezulton është kolinear me vektorin e drejtimit origjinal.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin:

Merret barazia e saktë

konkluzioni: detyra e përfunduar saktë

Shtrohet pyetja, pse të shqetësoheni me formulën nëse ekziston një version universal që do të funksionojë në çdo rast? Ka dy arsye. Së pari, formula është në formën e një fraksioni kujtohet shumë më mirë. Dhe së dyti, disavantazhi formula universale eshte ajo rreziku për t'u ngatërruar rritet ndjeshëm kur zëvendësohen koordinatat.

Shembulli 6

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Le të kthehemi te dy pikat e kudogjendura:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur dy pika?

Nëse njihen dy pika, atëherë ekuacioni i një vije të drejtë që kalon nëpër këto pika mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Në fakt, ky është një lloj formule dhe ja pse: nëse njihen dy pika, atëherë vektori do të jetë vektori i drejtimit të vijës së dhënë. Në mësim Vektorë për dummies ne shqyrtuam problemin më të thjeshtë - si të gjejmë koordinatat e një vektori nga dy pika. Sipas këtij problemi, koordinatat e vektorit të drejtimit janë:

shënim : pikat mund të "këmbehen" dhe formula mund të përdoret . Një zgjidhje e tillë do të jetë e barabartë.

Shembulli 7

Shkruani një ekuacion të drejtëzit duke përdorur dy pika .

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Krehja e emëruesve:

Dhe përzieni kuvertën:

Tani është koha për të hequr qafe numrat thyesorë. Në këtë rast, duhet të shumëzoni të dy anët me 6:

Hapni kllapat dhe sillni në mendje ekuacionin:

Përgjigju:

Ekzaminimiështë e qartë - koordinatat e pikave fillestare duhet të plotësojnë ekuacionin që rezulton:

1) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

konkluzioni: Ekuacioni i drejtëzës është shkruar saktë.

Nëse të paktën një e pikëve nuk e plotëson ekuacionin, kërkoni një gabim.

Vlen të përmendet se verifikimi grafik në këtë rast është i vështirë, pasi ndërtoni një vijë të drejtë dhe shikoni nëse pikat i përkasin asaj , jo aq e thjeshtë.

Do të shënoj disa aspekte të tjera teknike të zgjidhjes. Ndoshta në këtë problem është më fitimprurëse të përdoret formula e pasqyrës dhe në të njëjtat pika bëni një ekuacion:

Më pak fraksione. Nëse dëshironi, mund ta kryeni zgjidhjen deri në fund, rezultati duhet të jetë i njëjti ekuacion.

Pika e dytë është të shikojmë përgjigjen përfundimtare dhe të kuptojmë nëse mund të thjeshtohet më tej? Për shembull, nëse merrni ekuacionin , atëherë këshillohet ta zvogëloni atë me dy: - ekuacioni do të përcaktojë të njëjtën vijë të drejtë. Megjithatë, kjo tashmë është një temë bisede pozicioni relativ i vijave.

Pasi ka marrë përgjigjen në shembullin 7, për çdo rast, kontrollova nëse TË GJITHA koeficientët e ekuacionit janë të pjesëtueshëm me 2, 3 ose 7. Edhe pse, më së shpeshti reduktime të tilla bëhen gjatë zgjidhjes.

Shembulli 8

Shkruani një ekuacion për një vijë që kalon nëpër pika .

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, e cila do t'ju lejojë të kuptoni dhe praktikoni më mirë teknikat e llogaritjes.

Ngjashëm me paragrafin e mëparshëm: nëse në formulë njëri prej emërtuesve (koordinata e vektorit të drejtimit) bëhet zero, pastaj e rishkruajmë në formën . Përsëri, vini re se sa e sikletshme dhe e hutuar duket ajo. nuk shoh kuptim të veçantë makinë shembuj praktik, pasi ne e kemi zgjidhur tashmë një problem të tillë (shih Nr. 5, 6).

Vektor normal i drejtpërdrejtë (vektor normal)

Çfarë është normale? Me fjalë të thjeshta, normalja është pingul. Domethënë, vektori normal i një drejtëze është pingul me një drejtëz të caktuar. Natyrisht, çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të tyre (si dhe vektorët e drejtimit), dhe të gjithë vektorët normalë të vijës së drejtë do të jenë kolinearë (bashkëdrejtues ose jo, nuk bën dallim).

Ballafaqimi me ta do të jetë edhe më i lehtë sesa me vektorët udhëzues:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori normal i kësaj drejtëze.

Nëse koordinatat e vektorit të drejtimit duhet të "tërhiqen" me kujdes nga ekuacioni, atëherë koordinatat e vektorit normal thjesht mund të "hiqen".

Vektori normal është gjithmonë ortogonal me vektorin e drejtimit të drejtëzës. Le të verifikojmë ortogonalitetin e këtyre vektorëve duke përdorur produkt me pika:

Do të jap shembuj me të njëjtat ekuacione si për vektorin e drejtimit:

A është e mundur të ndërtohet një ekuacion i një drejtëze me një pikë dhe një vektor normal? E ndjej në zorrët e mia, është e mundur. Nëse dihet vektori normal, atëherë drejtimi i vetë vijës së drejtë përcaktohet qartë - kjo është një "strukturë e ngurtë" me një kënd prej 90 gradë.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një drejtëze dhe vektori normal i kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Këtu gjithçka funksionoi pa fraksione dhe surpriza të tjera. Ky është vektori ynë normal. Duaje atë. Dhe respekt =)

Shembulli 9

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Ekuacioni i përgjithshëm i vijës së drejtë është marrë, le të kontrollojmë:

1) "Hiqni" koordinatat e vektorit normal nga ekuacioni: – po, me të vërtetë, vektori origjinal është marrë nga kushti (ose duhet të merret një vektor kolinear).

2) Le të kontrollojmë nëse pika e plotëson ekuacionin:

Barazi e vërtetë.

Pasi të jemi të bindur se ekuacioni është hartuar saktë, do të përfundojmë pjesën e dytë, më të lehtë të detyrës. Ne nxjerrim vektorin drejtues të vijës së drejtë:

Përgjigju:

Në vizatim situata duket si kjo:

Për qëllime trajnimi, një detyrë e ngjashme për zgjidhjen e pavarur:

Shembulli 10

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Pjesa e fundit e mësimit do t'i kushtohet më pak të zakonshme, por gjithashtu specie të rëndësishme ekuacionet e një drejtëze në një rrafsh

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Ekuacioni i drejtëzës në formë parametrike

Ekuacioni i një drejtëze në segmente ka formën , ku janë konstante jozero. Disa lloje ekuacionesh nuk mund të përfaqësohen në këtë formë, për shembull, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë (pasi termi i lirë është i barabartë me zero dhe nuk ka asnjë mënyrë për të marrë një në anën e djathtë).

Ky është, në mënyrë figurative, një lloj ekuacioni "teknik". Një detyrë e zakonshme është që ekuacioni i përgjithshëm paraqesin një vijë në formën e një ekuacioni të një drejtëze në segmente. Si është i përshtatshëm? Ekuacioni i një linje në segmente ju lejon të gjeni shpejt pikat e kryqëzimit të një drejtëze me boshtet koordinative, të cilat mund të jenë shumë të rëndësishme në disa probleme të matematikës më të lartë.

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës me boshtin. Ne rivendosim "y" në zero, dhe ekuacioni merr formën . Pika e dëshiruar fitohet automatikisht: .

E njëjta gjë me boshtin – pika në të cilën drejtëza pret boshtin e ordinatave.

Vetitë e një vije të drejtë në gjeometrinë Euklidiane.

Një numër i pafund i drejtëzave mund të vizatohen nëpër çdo pikë.

Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen mund të vizatohet një vijë e vetme e drejtë.

Dy drejtëza divergjente në një rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme ose janë

paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).

Në hapësirën tre-dimensionale ka tre opsione pozicioni relativ dy vija të drejta:

• linjat kryqëzohen;

• vijat janë paralele;

• vijat e drejta kryqëzohen.

Drejt linjë— kurba algjebrike e rendit të parë: një vijë e drejtë në sistemin koordinativ kartezian

jepet në rrafsh me një ekuacion të shkallës së parë (ekuacion linear).

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

dhe konstante A, B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme

ekuacioni i një vije të drejtë. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B Dhe ME Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- një vijë e drejtë kalon nëpër origjinë

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Me + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin OU

. B = C = 0, A ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin OU

. A = C = 0, B ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh

Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë

kushtet fillestare.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal.

Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me komponentë (A, B)

pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).

Zgjidhje. Me A = 3 dhe B = -1, le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x - y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C

Le t'i zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x - y - 1 = 0.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.

Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dhe M2 (x 2, y 2, z 2), Pastaj ekuacioni i një linje,

duke kaluar nëpër këto pika:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Aktiv

plani, ekuacioni i drejtëzës së shkruar më sipër është thjeshtuar:

Nëse x 1 ≠ x 2 Dhe x = x 1, Nëse x 1 = x 2 .

Fraksioni = k thirrur shpat drejt.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).

Zgjidhje. Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:

Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + Wu + C = 0çojnë në:

dhe caktoni , atëherë thirret ekuacioni që rezulton

ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor i drejtimit.

Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën

një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor drejtues i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin

Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori drejtues i një drejtëze.

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon në pikën A(1, 2).

Zgjidhje. Ne do të kërkojmë ekuacionin e vijës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,

koeficientët duhet të plotësojnë kushtet e mëposhtme:

1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.

Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.

në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:

x + y - 3 = 0

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -С, marrim:

ose ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit

drejt me bosht Oh, A b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin OU.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + Wu + C = 0 pjesëto me numër që quhet

faktori normalizues, atëherë marrim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.

Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ*C< 0.

R- gjatësia e pingulit të rënë nga origjina në vijën e drejtë,

A φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar Llojet e ndryshme ekuacionet

këtë vijë të drejtë.

Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:

Ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)

Ekuacioni i një drejtëze:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,

paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.

Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.

Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, Kjo kënd i mprehtë mes këtyre rreshtave

do të përkufizohet si

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul

Nëse k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direkt Ax + Wu + C = 0 Dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralele kur koeficientët janë proporcional

A 1 = λA, B 1 = λB. Nëse gjithashtu С 1 = λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

gjenden si zgjidhje e sistemit të ekuacioneve të këtyre drejtëzave.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon këtë pikë pingul me këtë vijë.

Përkufizimi. Vija që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b

përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga një pikë në një vijë.

Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca në vijën e drejtë Ax + Wu + C = 0 përcaktuar si:

Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e një pingule të rënë nga një pikë M për një të dhënë

e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M Dhe M 1:

(1)

Koordinatat x 1 Dhe në 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i vijës që kalon pikë e dhënë M 0 pingul

dhënë vijë të drejtë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është vërtetuar.

Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikat M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2). Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën M 1 ka formën y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ku k - koeficient ende i panjohur.

Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën M 2 (x 2 y 2), koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e vlerës së gjetur k në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e një vije të drejtë që kalon nëpër pikat M 1 dhe M 2:

Supozohet se në këtë ekuacion x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nëse x 1 = x 2, atëherë drejtëza që kalon nëpër pikat M 1 (x 1,y I) dhe M 2 (x 2,y 2) është paralele me boshtin e ordinatave. Ekuacioni i tij është x = x 1 .

Nëse y 2 = y I, atëherë ekuacioni i drejtëzës mund të shkruhet si y = y 1, drejtëza M 1 M 2 është paralele me boshtin e abshisave.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Lëreni drejtëzën të presë boshtin Ox në pikën M 1 (a;0), dhe boshtin Oy në pikën M 2 (0;b). Ekuacioni do të marrë formën:
ato.
. Ky ekuacion quhet ekuacioni i një drejtëze në segmente, sepse numrat a dhe b tregojnë se cilat segmente i pret vija në boshtet e koordinatave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar

Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar Mo (x O; y o) pingul me një vektor të caktuar jozero n = (A; B).

Le të marrim një pikë arbitrare M(x; y) në vijë dhe të konsiderojmë vektorin M 0 M (x - x 0; y - y o) (shih Fig. 1). Meqenëse vektorët n dhe M o M janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: d.m.th.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar .

Vektori n= (A; B), pingul me drejtëzën, quhet normal vektori normal i kësaj linje .

Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal, C = -Ax o - Vu o është termi i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës(shih Fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

,

Ku
- koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza, dhe
- vektori i drejtimit.

Kurbat e rendit të dytë Rrethi

Rrethi është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër.

Ekuacioni kanonik i një rrethi me rreze R të përqendruar në një pikë
:

Në veçanti, nëse qendra e kunjit përkon me origjinën e koordinatave, atëherë ekuacioni do të duket si:

Elipsa

Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna Dhe , të cilat quhen vatra, është një sasi konstante
, më e madhe se distanca ndërmjet vatrave
.

Ekuacioni kanonik i një elipse, vatrat e së cilës shtrihen në boshtin Ox, dhe origjina e koordinatave në mes midis vatrave ka formën
G de a gjatësia e boshtit gjysmë të madh; b – gjatësia e boshtit gjysmë të vogël (Fig. 2).

Drejtëza që kalon nëpër pikën K(x 0 ; y 0) dhe paralele me drejtëzën y ​​= kx + a gjendet me formulën:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Ku k është pjerrësia e vijës.

Formula alternative:
Drejtëza që kalon nëpër pikën M 1 (x 1 ; y 1) dhe paralele me drejtëzën Ax+By+C=0 përfaqësohet nga ekuacioni

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nga pika K( ;) paralel me drejtëzën y ​​= x+ .

Shembulli nr. 1. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër pikën M 0 (-2,1) dhe në të njëjtën kohë:
a) paralel me drejtëzën 2x+3y -7 = 0;
b) pingul me drejtëzën 2x+3y -7 = 0.
Zgjidhje . Le të imagjinojmë ekuacionin me pjerrësinë në formën y = kx + a. Për ta bërë këtë, transferoni të gjitha vlerat përveç y në anën e djathtë: 3y = -2x + 7 . Pastaj ndani anën e djathtë me një faktor 3. Marrim: y = -2/3x + 7/3
Le të gjejmë ekuacionin NK që kalon në pikën K(-2;1), paralel me drejtëzën y ​​= -2 / 3 x + 7 / 3
Duke zëvendësuar x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 marrim:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ose
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ose 3y + 2x +1 = 0

Shembulli nr. 2. Shkruani ekuacionin e një drejtëze paralele me drejtëzën 2x + 5y = 0 dhe duke formuar, së bashku me boshtet e koordinatave, një trekëndësh, sipërfaqja e të cilit është 5.
Zgjidhje . Meqenëse vijat janë paralele, ekuacioni i drejtëzës së dëshiruar është 2x + 5y + C = 0. Sipërfaqja trekëndësh kënddrejtë, ku a dhe b janë këmbët e tij. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të vijës së dëshiruar me boshtet e koordinatave:
;
.
Pra, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Le ta zëvendësojmë atë në formulën për zonën: . Marrim dy zgjidhje: 2x + 5y + 10 = 0 dhe 2x + 5y – 10 = 0.

Shembulli nr. 3. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2; 5) dhe paralel me drejtëzën 5x-7y-4=0.
Zgjidhje. Kjo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga ekuacioni y = 5 / 7 x – 4 / 7 (këtu a = 5 / 7). Ekuacioni i vijës së dëshiruar është y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d.m.th. 7(y-5)=5(x+2) ose 5x-7y+45=0 .

Shembulli nr. 4. Pasi kemi zgjidhur shembullin 3 (A=5, B=-7) duke përdorur formulën (2), gjejmë 5(x+2)-7(y-5)=0.

Shembulli nr. 5. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2;5) dhe paralel me drejtëzën 7x+10=0.
Zgjidhje. Këtu A=7, B=0. Formula (2) jep 7(x+2)=0, d.m.th. x+2=0. Formula (1) nuk është e zbatueshme, pasi ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në lidhje me y (kjo drejtëz është paralele me boshtin e ordinatave).

Ky artikull vazhdon temën e ekuacionit të një drejtëze në një rrafsh: ne do ta konsiderojmë këtë lloj ekuacioni si ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze. Le të përcaktojmë teoremën dhe të japim vërtetimin e saj; Le të kuptojmë se çfarë është një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i një drejtëze dhe si të bëjmë kalime nga një ekuacion i përgjithshëm në llojet e tjera të ekuacioneve të një drejtëze. Ne do të përforcojmë të gjithë teorinë me ilustrime dhe zgjidhje të problemeve praktike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Le të specifikohet në plan një sistem koordinativ drejtkëndor O x y.

Teorema 1

Çdo ekuacion i shkallës së parë, që ka formën A x + B y + C = 0, ku A, B, C janë disa numra realë (A dhe B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë), përcakton një drejtëz në një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan. Nga ana tjetër, çdo vijë e drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor në një aeroplan përcaktohet nga një ekuacion që ka formën A x + B y + C = 0 për një grup të caktuar vlerash A, B, C.

Dëshmi

Kjo teoremë përbëhet nga dy pika, ne do të vërtetojmë secilën prej tyre.

1. Le të vërtetojmë se ekuacioni A x + B y + C = 0 përcakton një vijë të drejtë në rrafsh.

Le të ketë një pikë M 0 (x 0 , y 0) koordinatat e së cilës korrespondojnë me ekuacionin A x + B y + C = 0. Kështu: A x 0 + B y 0 + C = 0. Zbresim nga ana e majtë dhe e djathtë e ekuacioneve A x + B y + C = 0 anët e majta dhe të djathta të ekuacionit A x 0 + B y 0 + C = 0, marrim një ekuacion të ri që duket si A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Është ekuivalente me A x + B y + C = 0.

Ekuacioni që rezulton A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 është një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e vektorëve n → = (A, B) dhe M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Kështu, bashkësia e pikave M (x, y) përcakton një vijë të drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor pingul me drejtimin e vektorit n → = (A, B). Mund të supozojmë se nuk është kështu, por atëherë vektorët n → = (A, B) dhe M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nuk do të ishin pingul, dhe barazia A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nuk do të ishte e vërtetë.

Rrjedhimisht, ekuacioni A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 përcakton një vijë të caktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor në rrafsh, dhe për këtë arsye ekuacioni ekuivalent A x + B y + C = 0 përcakton të njëjtën linjë. Kështu vërtetuam pjesën e parë të teoremës.

1. Le të japim një provë që çdo vijë e drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan mund të specifikohet nga një ekuacion i shkallës së parë A x + B y + C = 0.

Le të përcaktojmë një drejtëz a në një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh; pika M 0 (x 0 , y 0) nëpër të cilën kalon kjo drejtëz, si dhe vektori normal i kësaj drejtëze n → = (A, B) .

Le të ketë edhe një pikë M (x, y) - një pikë lundruese në një vijë. Në këtë rast, vektorët n → = (A, B) dhe M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) janë pingul me njëri-tjetrin, dhe produkt skalar ka një zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Le të rishkruajmë ekuacionin A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, të përkufizojmë C: C = - A x 0 - B y 0 dhe si rezultat përfundimtar marrim ekuacionin A x + B y + C = 0.

Pra, ne kemi vërtetuar pjesën e dytë të teoremës, dhe kemi vërtetuar të gjithë teoremën në tërësi.

Përkufizimi 1

Një ekuacion i formës A x + B y + C = 0 - Kjo ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndorOksi.

Bazuar në teoremën e provuar, mund të konkludojmë se një vijë e drejtë dhe ekuacioni i saj i përgjithshëm i përcaktuar në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor fiks janë të lidhur në mënyrë të pandashme. Me fjalë të tjera, rreshti origjinal korrespondon me ekuacionin e tij të përgjithshëm; ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze korrespondon me një vijë të caktuar.

Nga vërtetimi i teoremës del gjithashtu se koeficientët A dhe B për ndryshoret x dhe y janë koordinatat e vektorit normal të drejtëzës, i cili jepet nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës A x + B y + C = 0.

Le të shqyrtojmë shembull specifik ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Le të jepet ekuacioni 2 x + 3 y - 2 = 0, që i përgjigjet një drejtëze në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor. Vektori normal i kësaj linje është vektori n → = (2, 3). Të vizatojmë drejtëzën e dhënë në vizatim.

Mund të themi edhe sa vijon: drejtëza që shohim në vizatim përcaktohet nga ekuacioni i përgjithshëm 2 x + 3 y - 2 = 0, pasi koordinatat e të gjitha pikave në një drejtëz të caktuar korrespondojnë me këtë ekuacion.

Mund të marrim ekuacionin λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të përgjithshëm të drejtëzës me një numër λ jo të barabartë me zero. Ekuacioni që rezulton është ekuivalent me ekuacionin e përgjithshëm origjinal, prandaj, do të përshkruajë të njëjtën vijë të drejtë në aeroplan.

Përkufizimi 2

Ekuacioni i përgjithshëm i plotë i një drejtëze– një ekuacion i tillë i përgjithshëm i drejtëzës A x + B y + C = 0, në të cilin numrat A, B, C janë të ndryshëm nga zero. Përndryshe ekuacioni është jo të plota.

Le të analizojmë të gjitha variacionet e ekuacionit të përgjithshëm jo të plotë të një drejtëze.

1. Kur A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ekuacioni i përgjithshëm merr formën B y + C = 0. Një ekuacion i tillë i përgjithshëm jo i plotë përcakton në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y një vijë të drejtë që është paralele me boshtin O x, pasi për çdo vlerë reale të x ndryshorja y do të marrë vlerën - C B. Me fjalë të tjera, ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës A x + B y + C = 0, kur A = 0, B ≠ 0, specifikon vendndodhjen e pikave (x, y), koordinatat e të cilave janë të barabarta me të njëjtin numër - C B.
2. Nëse A = 0, B ≠ 0, C = 0, ekuacioni i përgjithshëm merr formën y = 0. Ky ekuacion jo i plotë përcakton boshtin x O x.
3. Kur A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, marrim një ekuacion të përgjithshëm jo të plotë A x + C = 0, duke përcaktuar një vijë të drejtë paralele me ordinatën.
4. Le të jetë A ≠ 0, B = 0, C = 0, atëherë ekuacioni i përgjithshëm jo i plotë do të marrë formën x = 0, dhe ky është ekuacioni i vijës koordinative O y.
5. Së fundi, për A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ekuacioni i përgjithshëm jo i plotë merr formën A x + B y = 0. Dhe ky ekuacion përshkruan një vijë të drejtë që kalon përmes origjinës. Në fakt, çifti i numrave (0, 0) korrespondon me barazinë A x + B y = 0, pasi A · 0 + B · 0 = 0.

Le të ilustrojmë grafikisht të gjitha llojet e mësipërme të ekuacionit të përgjithshëm jo të plotë të një vije të drejtë.

Shembulli 1

Dihet se drejtëza e dhënë është paralele me boshtin e ordinatave dhe kalon në pikën 2 7, - 11. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i rreshtit të dhënë.

Zgjidhje

Një vijë e drejtë paralele me boshtin e ordinatave jepet nga një ekuacion i formës A x + C = 0, në të cilin A ≠ 0. Kushti specifikon gjithashtu koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon vija, dhe koordinatat e kësaj pike plotësojnë kushtet e ekuacionit të përgjithshëm jo të plotë A x + C = 0, d.m.th. barazia është e vërtetë:

A 2 7 + C = 0

Prej tij është e mundur të përcaktohet C nëse i japim A-së një vlerë jo zero, për shembull, A = 7. Në këtë rast, marrim: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Ne i njohim të dy koeficientët A dhe C, i zëvendësojmë në ekuacionin A x + C = 0 dhe marrim ekuacionin e kërkuar të vijës së drejtë: 7 x - 2 = 0

Përgjigje: 7 x - 2 = 0

Shembulli 2

Vizatimi tregon një vijë të drejtë, ju duhet të shkruani ekuacionin e saj.

Zgjidhje

Vizatimi i dhënë na lejon të marrim lehtësisht të dhënat fillestare për të zgjidhur problemin. Në vizatim shohim se drejtëza e dhënë është paralele me boshtin O x dhe kalon nëpër pikën (0, 3).

Vija e drejtë, e cila është paralele me abshisën, përcaktohet nga ekuacioni i përgjithshëm jo i plotë B y + C = 0. Le të gjejmë vlerat e B dhe C. Koordinatat e pikës (0, 3), meqë drejtëza e dhënë kalon nëpër të, do të plotësojnë ekuacionin e drejtëzës B y + C = 0, atëherë barazia është e vlefshme: B · 3 + C = 0. Le të vendosim B në një vlerë të ndryshme nga zero. Le të themi B = 1, me ç'rast nga barazia B · 3 + C = 0 mund të gjejmë C: C = - 3. Ne përdorim vlerat e njohura B dhe C, marrim ekuacionin e kërkuar të drejtëzës: y - 3 = 0.

Përgjigje: y - 3 = 0 .

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një rrafsh

Le të kalojë drejtëza e dhënë nëpër pikën M 0 (x 0 , y 0), atëherë koordinatat e saj korrespondojnë me ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës, d.m.th. barazia është e vërtetë: A x 0 + B y 0 + C = 0. Le të zbresim anët e majta dhe të djathta të këtij ekuacioni nga ana e majtë dhe e djathtë e ekuacionit të përgjithshëm të plotë të vijës. Marrim: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ky ekuacion është i barabartë me atë të përgjithshëm origjinal, kalon në pikën M 0 (x 0, y 0) dhe ka një normal vektori n → = (A, B) .

Rezultati që morëm bën të mundur që të shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze me koordinatat e njohura të vektorit normal të drejtëzës dhe koordinatat e një pike të caktuar të kësaj drejtëze.

Shembulli 3

Jepet një pikë M 0 (- 3, 4) nëpër të cilën kalon një drejtëz dhe vektori normal i kësaj drejtëze n → = (1 , - 2) . Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i rreshtit të dhënë.

Zgjidhje

Kushtet fillestare na lejojnë të marrim të dhënat e nevojshme për të hartuar ekuacionin: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Pastaj:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemi mund të ishte zgjidhur ndryshe. Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze është A x + B y + C = 0. Vektori normal i dhënë na lejon të marrim vlerat e koeficientëve A dhe B, pastaj:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Tani le të gjejmë vlerën C, duke përdorur pikën M 0 (- 3, 4) të përcaktuar nga gjendja e problemit, nëpër të cilën kalon drejtëza. Koordinatat e kësaj pike i përgjigjen ekuacionit x - 2 · y + C = 0, d.m.th. - 3 - 2 4 + C = 0. Prandaj C = 11. Ekuacioni i drejtë i kërkuar merr formën: x - 2 · y + 11 = 0.

Përgjigje: x - 2 y + 11 = 0.

Shembulli 4

Jepet një vijë 2 3 x - y - 1 2 = 0 dhe një pikë M 0 e shtrirë në këtë vijë. Dihet vetëm abshisa e kësaj pike dhe është e barabartë me - 3. Është e nevojshme të përcaktohet ordinata e një pike të caktuar.

Zgjidhje

Le t'i caktojmë koordinatat e pikës M 0 si x 0 dhe y 0 . Të dhënat burimore tregojnë se x 0 = - 3. Meqenëse pika i përket një linje të caktuar, atëherë koordinatat e saj korrespondojnë me ekuacionin e përgjithshëm të kësaj linje. Atëherë barazia do të jetë e vërtetë:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Përcaktoni y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Përgjigje: - 5 2

Kalimi nga ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në llojet e tjera të ekuacioneve të një drejtëze dhe anasjelltas

Siç e dimë, ekzistojnë disa lloje ekuacionesh për të njëjtën drejtëz në një aeroplan. Zgjedhja e llojit të ekuacionit varet nga kushtet e problemit; është e mundur të zgjidhni atë që është më i përshtatshëm për zgjidhjen e tij. Shkathtësia e shndërrimit të një ekuacioni të një lloji në një ekuacion të një lloji tjetër është shumë e dobishme këtu.

Së pari, le të shqyrtojmë kalimin nga ekuacioni i përgjithshëm i formës A x + B y + C = 0 në ekuacionin kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Nëse A ≠ 0, atëherë termin B y e zhvendosim në anën e djathtë të ekuacionit të përgjithshëm. Në anën e majtë nxjerrim A nga kllapat. Si rezultat, marrim: A x + C A = - B y.

Kjo barazi mund të shkruhet si proporcion: x + C A - B = y A.

Nëse B ≠ 0, lëmë vetëm termin A x në anën e majtë të ekuacionit të përgjithshëm, kalojmë të tjerët në anën e djathtë, marrim: A x = - B y - C. Nxjerrim – B nga kllapa, pastaj: A x = - B y + C B .

Le ta rishkruajmë barazinë në formën e një proporcioni: x - B = y + C B A.

Sigurisht, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh formulat që rezultojnë. Mjafton të njohim algoritmin e veprimeve kur kalojmë nga një ekuacion i përgjithshëm në një kanonik.

Shembulli 5

Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 3 y - 4 = 0. Është e nevojshme ta shndërrojmë atë në një ekuacion kanonik.

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin origjinal si 3 y - 4 = 0. Më pas vazhdojmë sipas algoritmit: termi 0 x mbetet në anën e majtë; dhe në anën e djathtë vendosim - 3 nga kllapat; marrim: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Le të shkruajmë barazinë që rezulton si proporcion: x - 3 = y - 4 3 0 . Kështu, ne kemi marrë një ekuacion të formës kanonike.

Përgjigje: x - 3 = y - 4 3 0.

Për të shndërruar ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në parametra, fillimisht bëhet kalimi në formën kanonike dhe më pas kalimi nga ekuacioni kanonik i drejtëzës në ekuacione parametrike.

Shembulli 6

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni 2 x - 5 y - 1 = 0. Shkruani ekuacionet parametrike për këtë rresht.

Zgjidhje

Le të bëjmë kalimin nga ekuacioni i përgjithshëm në atë kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Tani marrim të dyja anët e ekuacionit kanonik që rezulton të barabartë me λ, atëherë:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Përgjigje:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ekuacioni i përgjithshëm mund të shndërrohet në një ekuacion të një drejtëze me pjerrësi y = k · x + b, por vetëm kur B ≠ 0. Për kalimin, termin B y e lëmë në anën e majtë, pjesa tjetër transferohet në të djathtë. Marrim: B y = - A x - C . Le t'i ndajmë të dyja anët e barazisë që rezulton me B, të ndryshme nga zero: y = - A B x - C B.

Shembulli 7

Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës: 2 x + 7 y = 0. Ju duhet ta konvertoni atë ekuacion në një ekuacion të pjerrësisë.

Zgjidhje

ne do të prodhojmë veprimet e nevojshme sipas algoritmit:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Përgjigje: y = - 2 7 x .

Nga ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze, mjafton thjesht të merret një ekuacion në segmente të formës x a + y b = 1. Për të bërë një tranzicion të tillë, ne zhvendosim numrin C në anën e djathtë të barazisë, ndajmë të dy anët e barazisë që rezulton me - C dhe, së fundi, transferojmë koeficientët për ndryshoret x dhe y te emëruesit:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Shembulli 8

Është e nevojshme të transformohet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - 7 y + 1 2 = 0 në ekuacionin e drejtëzës në segmente.

Zgjidhje

Le të lëvizim 1 2 në anën e djathtë: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Le t'i ndajmë të dyja anët e barazisë me -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Përgjigje: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Në përgjithësi, kalimi i kundërt është gjithashtu i lehtë: nga llojet e tjera të ekuacioneve në atë të përgjithshëm.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente dhe një ekuacion me një koeficient këndor mund të shndërrohet lehtësisht në një të përgjithshëm duke mbledhur thjesht të gjithë termat në anën e majtë të barazisë:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ekuacioni kanonik shndërrohet në një të përgjithshëm sipas skemës së mëposhtme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Për të kaluar nga ato parametrike, së pari kaloni në atë kanonike dhe më pas në atë të përgjithshme:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Shembulli 9

Janë dhënë ekuacionet parametrike të drejtëzës x = - 1 + 2 · λ y = 4. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i kësaj rreshti.

Zgjidhje

Le të bëjmë kalimin nga ekuacionet parametrike në kanonike:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Le të kalojmë nga kanoniku në të përgjithshëm:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Përgjigje: y - 4 = 0

Shembulli 10

Është dhënë ekuacioni i drejtëzës në segmentet x 3 + y 1 2 = 1. Është e nevojshme të kalojmë në formën e përgjithshme të ekuacionit.

Zgjidhja:

Ne thjesht e rishkruajmë ekuacionin në formën e kërkuar:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Përgjigje: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Hartimi i një ekuacioni të përgjithshëm të një drejtëze

Më sipër thamë se ekuacioni i përgjithshëm mund të shkruhet me koordinatat e njohura të vektorit normal dhe koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza. Një vijë e tillë e drejtë përcaktohet nga ekuacioni A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Aty kemi analizuar edhe shembullin përkatës.

Tani le të shohim më shumë shembuj kompleks, në të cilën së pari duhet të përcaktoni koordinatat e vektorit normal.

Shembulli 11

Jepet një drejtëz paralele me drejtëzën 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Është e njohur edhe pika M 0 (4, 1) nëpër të cilën kalon drejtëza e dhënë. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i rreshtit të dhënë.

Zgjidhje

Kushtet fillestare na tregojnë se drejtëzat janë paralele, atëherë, si vektor normal i drejtëzës, ekuacioni i së cilës duhet të shkruhet, marrim vektorin e drejtimit të drejtëzës n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Tani ne i dimë të gjitha të dhënat e nevojshme për të krijuar ekuacionin e përgjithshëm të linjës:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Përgjigje: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Shembulli 12

Drejtëza e dhënë kalon përmes origjinës pingul me drejtëzën x - 2 3 = y + 4 5. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion i përgjithshëm për një vijë të caktuar.

Zgjidhje

Vektori normal i një drejtëze të caktuar do të jetë vektori i drejtimit të drejtëzës x - 2 3 = y + 4 5.

Pastaj n → = (3, 5) . Vija e drejtë kalon nëpër origjinë, d.m.th. përmes pikës O (0, 0). Le të krijojmë një ekuacion të përgjithshëm për një rresht të caktuar:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Përgjigju: 3 x + 5 y = 0 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter