Shpesh vetëm një përmendje ekuacionet diferenciale i bën nxënësit të ndihen jo rehat. Pse po ndodh kjo? Më shpesh, sepse kur studiohen bazat e materialit, lind një hendek në njohuri, për shkak të të cilit studimi i mëtejshëm i difurs bëhet thjesht torturë. Nuk është e qartë se çfarë të bëni, si të vendosni, ku të filloni?

Megjithatë, ne do të përpiqemi t'ju tregojmë se difurat nuk janë aq të vështira sa duket.

Konceptet bazë të teorisë së ekuacioneve diferenciale

Nga shkolla i njohim ekuacionet më të thjeshta në të cilat duhet të gjejmë të panjohurën x. Në fakt ekuacionet diferenciale vetëm paksa e ndryshme prej tyre - në vend të një ndryshoreje X ju duhet të gjeni një funksion në to y(x) , e cila do ta kthejë ekuacionin në një identitet.

D ekuacionet diferenciale kanë një rëndësi të madhe praktike. Kjo nuk është matematikë abstrakte që nuk ka asnjë lidhje me botën përreth nesh. Shumë procese reale natyrore përshkruhen duke përdorur ekuacione diferenciale. Për shembull, dridhjet e një vargu, lëvizja e një oshilatori harmonik, duke përdorur ekuacione diferenciale në problemet e mekanikës, gjejnë shpejtësinë dhe nxitimin e një trupi. Gjithashtu DU Gjej aplikim të gjerë në biologji, kimi, ekonomi dhe shumë shkenca të tjera.

Ekuacioni diferencial (DU) është një ekuacion që përmban derivate të funksionit y(x), vetë funksionin, variabla të pavarur dhe parametra të tjerë në kombinime të ndryshme.

Ka shumë lloje ekuacionesh diferenciale: ekuacione diferenciale të zakonshme, lineare dhe jolineare, homogjene dhe johomogjene, ekuacione diferenciale të rendit të parë dhe më të lartë, ekuacione diferenciale të pjesshme etj.

Me vendim ekuacioni diferencialështë një funksion që e kthen atë në një identitet. Ekzistojnë zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta të telekomandës.

Një zgjidhje e përgjithshme për një ekuacion diferencial është një grup i përgjithshëm zgjidhjesh që e shndërrojnë ekuacionin në një identitet. Një zgjidhje e pjesshme e një ekuacioni diferencial është një zgjidhje që plotëson kushtet shtesë të specifikuara fillimisht.

Përcaktohet rendi i ekuacionit diferencial rendit më të lartë derivatet e përfshira në të.

Ekuacionet diferenciale të zakonshme

Ekuacionet diferenciale të zakonshme janë ekuacione që përmbajnë një ndryshore të pavarur.

Le të shqyrtojmë ekuacionin diferencial më të thjeshtë të zakonshëm të rendit të parë. Ajo duket si:

Ky ekuacion mund të zgjidhet thjesht duke integruar anën e djathtë të tij.

Shembuj të ekuacioneve të tilla:

Ekuacione të ndashme

NË pamje e përgjithshme ky lloj ekuacioni duket si ky:

Ja një shembull:

Kur zgjidhni një ekuacion të tillë, duhet të ndani variablat, duke e sjellë atë në formën:

Pas kësaj, mbetet për të integruar të dy pjesët dhe për të marrë një zgjidhje.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë

Ekuacione të tilla duken si:

Këtu p(x) dhe q(x) janë disa funksione të ndryshores së pavarur, dhe y=y(x) është funksioni i dëshiruar. Këtu është një shembull i një ekuacioni të tillë:

Kur zgjidhin një ekuacion të tillë, më së shpeshti përdorin metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare ose paraqesin funksionin e dëshiruar si produkt i dy funksioneve të tjera y(x)=u(x)v(x).

Për të zgjidhur ekuacione të tilla, kërkohet përgatitje e caktuar dhe do të jetë mjaft e vështirë t'i marrësh ato "me një shikim".

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial me ndryshore të ndashme

Pra, ne shikuam llojet më të thjeshta të telekomandës. Tani le të shohim zgjidhjen për njërën prej tyre. Le të jetë ky një ekuacion me ndryshore të ndashme.

Së pari, le të rishkruajmë derivatin në një formë më të njohur:

Pastaj i ndajmë variablat, domethënë, në njërën pjesë të ekuacionit mbledhim të gjitha "I-të", dhe në tjetrën - "X"-të:

Tani mbetet për të integruar të dyja pjesët:

Ne integrohemi dhe marrim vendim të përbashkët të këtij ekuacioni:

Sigurisht, zgjidhja e ekuacioneve diferenciale është një lloj arti. Ju duhet të jeni në gjendje të kuptoni se çfarë lloj ekuacioni është, dhe gjithashtu të mësoni të shihni se çfarë transformimesh duhet të bëhen me të në mënyrë që të çoni në një formë ose në një tjetër, për të mos përmendur vetëm aftësinë për të diferencuar dhe integruar. Dhe për të pasur sukses në zgjidhjen e DE, ju duhet praktikë (si në çdo gjë). Dhe nëse për momentin nuk keni kohë të kuptoni se si zgjidhen ekuacionet diferenciale ose problemi Cauchy ju ka ngecur si një kockë në fyt, ose nuk e dini, kontaktoni autorët tanë. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ofrojmë një zgjidhje të gatshme dhe të detajuar, detajet e së cilës mund t'i kuptoni në çdo kohë të përshtatshme për ju. Ndërkohë, ju sugjerojmë të shikoni një video me temën "Si të zgjidhim ekuacionet diferenciale":

Në disa probleme të fizikës, nuk është e mundur të vendoset një lidhje e drejtpërdrejtë midis sasive që përshkruajnë procesin. Por është e mundur të merret një barazi që përmban derivatet e funksioneve në studim. Kështu lindin ekuacionet diferenciale dhe nevoja për t'i zgjidhur ato për të gjetur një funksion të panjohur.

Ky artikull është menduar për ata që përballen me problemin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në të cilin funksioni i panjohur është funksion i një ndryshoreje. Teoria është e strukturuar në atë mënyrë që me njohuri zero të ekuacioneve diferenciale, ju mund të përballoni detyrën tuaj.

Çdo lloj ekuacioni diferencial shoqërohet me një metodë zgjidhjeje me shpjegime të hollësishme dhe zgjidhje për shembuj dhe probleme tipike. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të përcaktoni llojin e ekuacionit diferencial të problemit tuaj, të gjeni një shembull të ngjashëm të analizuar dhe të kryeni veprime të ngjashme.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet diferenciale, do t'ju duhet gjithashtu aftësia për të gjetur grupe antiderivativësh (integrale të pacaktuar) të funksioneve të ndryshme. Nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë t'i referoheni seksionit.

Së pari, ne do të shqyrtojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit të parë që mund të zgjidhen në lidhje me derivatin, pastaj do të kalojmë në ODE të rendit të dytë, pastaj do të ndalemi në ekuacionet e rendit më të lartë dhe do të përfundojmë me sistemet e ekuacionet diferenciale.

Kujtojmë se nëse y është funksion i argumentit x.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë të formës.

Le të shkruajmë disa shembuj të telekomandës së tillë .

Ekuacionet diferenciale mund të zgjidhet në lidhje me derivatin duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me f(x) . Në këtë rast, arrijmë në një ekuacion që do të jetë ekuivalent me atë origjinal për f(x) ≠ 0. Shembuj të ODE-ve të tilla janë .

Nëse ka vlera të argumentit x në të cilat funksionet f(x) dhe g(x) zhduken njëkohësisht, atëherë shfaqen zgjidhje shtesë. Zgjidhje shtesë të ekuacionit dhënë x janë çdo funksion të përcaktuar për këto vlera argumentesh. Shembuj të ekuacioneve të tilla diferenciale përfshijnë:

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë.

Ekuacione diferenciale homogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

LDE me koeficientë konstante është një lloj shumë i zakonshëm i ekuacionit diferencial. Zgjidhja e tyre nuk është veçanërisht e vështirë. Së pari, gjenden rrënjët e ekuacionit karakteristik . Për p dhe q të ndryshme, janë të mundshme tre raste: rrënjët e ekuacionit karakteristik mund të jenë reale dhe të ndryshme, reale dhe përkuese. ose konjugate komplekse. Në varësi të vlerave të rrënjëve të ekuacionit karakteristik, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial shkruhet si , ose , ose përkatësisht.

Për shembull, merrni parasysh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik janë k 1 = -3 dhe k 2 = 0. Rrënjët janë reale dhe të ndryshme, prandaj zgjidhja e përgjithshme e një LODE me koeficientë konstante ka formën


Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e një LDDE të rendit të dytë me koeficientë konstante y kërkohet në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të LDDE përkatëse. dhe një zgjidhje të veçantë për ekuacionin origjinal johomogjen, që është, . Paragrafi i mëparshëm i kushtohet gjetjes së një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion diferencial homogjen me koeficientë konstante. Dhe një zgjidhje e veçantë përcaktohet ose me metodën e koeficientëve të pacaktuar për një formë të caktuar të funksionit f(x) në anën e djathtë të ekuacionit origjinal, ose me metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Si shembuj të LDDE-ve të rendit të dytë me koeficientë konstante, ne japim


Për të kuptuar teorinë dhe për t'u njohur me zgjidhjet e hollësishme të shembujve, ne ju ofrojmë në faqe ekuacione diferenciale lineare johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Ekuacionet diferenciale homogjene lineare (LODE) dhe ekuacionet diferenciale johomogjene lineare (LNDEs) të rendit të dytë.

Një rast i veçantë i ekuacioneve diferenciale të këtij lloji janë LODE dhe LDDE me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e LODE në një segment të caktuar përfaqësohet nga një kombinim linear i dy zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura y 1 dhe y 2 të këtij ekuacioni, d.m.th. .

Vështirësia kryesore qëndron pikërisht në gjetjen e zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura për një ekuacion diferencial të këtij lloji. Në mënyrë tipike, zgjidhjet e veçanta zgjidhen nga sistemet e mëposhtme të funksioneve linearisht të pavarura:


Megjithatë, zgjidhjet e veçanta nuk paraqiten gjithmonë në këtë formë.

Një shembull i një LOD është .

Zgjidhja e përgjithshme e LDDE kërkohet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e LDDE-së përkatëse dhe është zgjidhja e veçantë e ekuacionit diferencial origjinal. Ne sapo folëm për gjetjen e tij, por mund të përcaktohet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Mund të jepet një shembull i LNDU .

Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë.

Ekuacionet diferenciale që lejojnë një reduktim sipas rendit.

Rendi i ekuacionit diferencial , i cili nuk përmban funksionin e dëshiruar dhe derivatet e tij deri në rendin k-1, mund të reduktohet në n-k duke zëvendësuar .

Në këtë rast, ekuacioni diferencial origjinal do të reduktohet në . Pas gjetjes së zgjidhjes së tij p(x), mbetet të kthehemi në zëvendësim dhe të përcaktojmë funksionin e panjohur y.

Për shembull, ekuacioni diferencial pas zëvendësimit, ai do të bëhet një ekuacion me ndryshore të ndashme dhe rendi i tij do të reduktohet nga e treta në të parën.

Ekuacione të zgjidhura me integrim të drejtpërdrejtë

Merrni parasysh ekuacionin diferencial të mëposhtëm:
.
Ne integrojmë n herë.
;
;
e kështu me radhë. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën:
.
Shih Ekuacionet diferenciale që mund të zgjidhen drejtpërdrejt integrim > > >

Ekuacionet që nuk përmbajnë në mënyrë eksplicite variablin e varur y

Zëvendësimi ul rendin e ekuacionit me një. Këtu është një funksion nga .
Shihni Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një funksion në mënyrë eksplicite > > >

Ekuacionet që nuk përmbajnë në mënyrë eksplicite variablin e pavarur x

.
Ne konsiderojmë se është një funksion i . Pastaj
.
Në mënyrë të ngjashme për derivatet e tjerë. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Shihni Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një ndryshore eksplicite > > >

Ekuacionet homogjene në lidhje me y, y′, y′′, ...

Për të zgjidhur këtë ekuacion, bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i . Pastaj
.
Ne në mënyrë të ngjashme transformojmë derivatet, etj. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Shih ekuacionet diferenciale të rendit të lartë që janë homogjene në lidhje me një funksion dhe derivatet e tij >>

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë

Le të shqyrtojmë ekuacioni linear homogjen diferencial i rendit të n-të:
(1) ,
ku janë funksionet e ndryshores së pavarur. Le të ketë n zgjidhje lineare të pavarura për këtë ekuacion. Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) ka formën:
(2) ,
ku janë konstante arbitrare. Vetë funksionet formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
Sistemi i zgjidhjes themelore të një ekuacioni linear homogjen të rendit të n-të janë n zgjidhje të pavarura lineare të këtij ekuacioni.

Le të shqyrtojmë ekuacioni diferencial johomogjen linear i rendit të n-të:
.
Le të ketë një zgjidhje të veçantë (ndonjë) për këtë ekuacion. Atëherë zgjidhja e përgjithshme ka formën:
,
ku është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen (1).

Ekuacione diferenciale lineare me koeficientë konstante dhe të reduktueshme në to

Ekuacione lineare homogjene me koeficientë konstante

Këto janë ekuacionet e formës:
(3) .
Këtu janë numrat realë. Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për këtë ekuacion, duhet të gjejmë n zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare që formojnë një sistem themelor zgjidhjesh. Pastaj zgjidhja e përgjithshme përcaktohet me formulën (2):
(2) .

Ne po kërkojmë një zgjidhje në formë. marrim ekuacioni karakteristik :
(4) .

Nëse ky ekuacion ka rrënjë të ndryshme, atëherë sistemi themelor i zgjidhjeve ka formën:
.

Nëse në dispozicion rrënjë komplekse
,
atëherë ekziston edhe një rrënjë komplekse e konjuguar. Këto dy rrënjë korrespondojnë me zgjidhjet dhe , të cilat i përfshijmë në sistemin themelor në vend të zgjidhjeve komplekse dhe .

Shumë rrënjë shumëfishimet u përgjigjen zgjidhjeve lineare të pavarura: .

Shumë rrënjë komplekse shumëfishimet dhe vlerat e tyre komplekse të konjuguara korrespondojnë me zgjidhjet lineare të pavarura:
.

Ekuacione lineare johomogjene me një pjesë të veçantë johomogjene

Le të shqyrtojmë ekuacioni i formës
,
ku janë polinomet e shkallëve s 1 dhe s 2 ; - e përhershme.

Së pari ne kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin homogjen (3). Nëse ekuacioni karakteristik (4) nuk përmban rrënjë, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
,
Ku
;
;
s - më i madhi i s 1 dhe s 2 .

Nëse ekuacioni karakteristik (4) ka një rrënjë shumëfishim, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
.

Pas kësaj marrim zgjidhjen e përgjithshme:
.

Ekuacione lineare johomogjene me koeficientë konstante

Këtu ka tre zgjidhje të mundshme.

1) Metoda Bernoulli.
Së pari, gjejmë ndonjë zgjidhje jozero të ekuacionit homogjen
.
Më pas bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i ndryshores x. Ne marrim një ekuacion diferencial për u, i cili përmban vetëm derivate të u në lidhje me x. Duke kryer zëvendësimin, marrim ekuacionin n - 1 - urdhri.

2) Metoda lineare e zëvendësimit.
Le të bëjmë një zëvendësim
,
ku është një nga rrënjët e ekuacionit karakteristik (4). Si rezultat, marrim një lineare ekuacioni johomogjen me koeficientë konstante të rendit . Duke aplikuar vazhdimisht këtë zëvendësim, ne e reduktojmë ekuacionin origjinal në një ekuacion të rendit të parë.

3) Metoda e ndryshimit të konstantave të Lagranzhit.
Në këtë metodë, së pari zgjidhim ekuacionin homogjen (3). Zgjidhja e tij duket si kjo:
(2) .
Më tej supozojmë se konstantet janë funksione të ndryshores x. Atëherë zgjidhja e ekuacionit origjinal ka formën:
,
ku janë funksionet e panjohura. Duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal dhe duke vendosur disa kufizime, marrim ekuacione nga të cilat mund të gjejmë llojin e funksioneve.

ekuacioni i Euler-it

Reduktohet në një ekuacion linear me koeficientë konstante me zëvendësim:
.
Megjithatë, për të zgjidhur ekuacionin e Euler-it, nuk ka nevojë të bëhet një zëvendësim i tillë. Ju mund të kërkoni menjëherë një zgjidhje për ekuacionin homogjen në formë
.
Si rezultat, marrim të njëjtat rregulla si për një ekuacion me koeficientë konstante, në të cilin në vend të një ndryshoreje ju duhet të zëvendësoni .

Referencat:
V.V. Stepanov, Kursi i ekuacioneve diferenciale, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Përmbledhje problemesh mbi matematikë e lartë, "Lan", 2003.

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë dhe të rendit të lartë.
Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.
Shembuj zgjidhjesh.

Le të kalojmë në shqyrtimin e ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë dhe ekuacioneve diferenciale të rendit të lartë. Nëse keni një ide të paqartë se çfarë është një ekuacion diferencial (ose nuk e kuptoni fare se çfarë është), atëherë ju rekomandoj të filloni me mësimin Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Shembuj zgjidhjesh. Shumë parime zgjidhjeje dhe koncepte bazë të difuzioneve të rendit të parë shtrihen automatikisht në ekuacione diferenciale të rendit më të lartë, prandaj është shumë e rëndësishme që fillimisht të kuptohen ekuacionet e rendit të parë.

Shumë lexues mund të kenë një paragjykim se telekomanda e porosive 2, 3 dhe të tjera është diçka shumë e vështirë dhe e paarritshme për t'u zotëruar. Kjo eshte e gabuar . Të mësuarit për të zgjidhur difuzionet e rendit më të lartë është vështirë se është më e vështirë se DE "të zakonshme" të rendit të parë. Dhe në disa vende është edhe më e thjeshtë, pasi zgjidhjet përdorin në mënyrë aktive materiale nga programi shkollor.

Më popullorja ekuacionet diferenciale të rendit të dytë. Në një ekuacion diferencial të rendit të dytë Domosdoshmërisht përfshin derivatin e dytë dhe nuk përfshihen

Duhet të theksohet se disa nga foshnjat (dhe madje të gjitha përnjëherë) mund të mungojnë nga ekuacioni, është e rëndësishme që babai të jetë në shtëpi. Ekuacioni diferencial më primitiv i rendit të dytë duket kështu:

Ekuacionet diferenciale të rendit të tretë në detyrat praktike janë shumë më pak të zakonshme, sipas vëzhgimeve të mia subjektive, ato do të merrnin rreth 3-4% të votave në Dumën e Shtetit.

Në një ekuacion diferencial të rendit të tretë Domosdoshmërisht përfshin derivatin e tretë dhe nuk përfshihen derivatet e rendit më të lartë:

Ekuacioni më i thjeshtë diferencial i rendit të tretë duket kështu: - babai është në shtëpi, të gjithë fëmijët janë jashtë për shëtitje.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni ekuacionet diferenciale të rendit 4, 5 dhe më të lartë. Në problemet praktike, sisteme të tilla kontrolli rrallë dështojnë, megjithatë, unë do të përpiqem të jap shembuj përkatës.

Ekuacionet diferenciale të rendit të lartë, të cilat propozohen në problemet praktike, mund të ndahen në dy grupe kryesore.

1) Grupi i parë - i ashtuquajturi ekuacionet që mund të reduktohen sipas renditjes. Eja!

2) Grupi i dytë - ekuacionet lineare urdhra më të lartë me koeficientë konstante. Të cilat do të fillojmë ta shikojmë tani.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë
me koeficientë konstante

Në teori dhe praktikë, dallohen dy lloje të ekuacioneve të tilla: ekuacioni homogjen Dhe ekuacioni johomogjen.

DE homogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante Ajo ka pamje tjetër:
, ku dhe janë konstante (numra), dhe në anën e djathtë - në mënyrë rigoroze zero.

Siç mund ta shihni, nuk ka vështirësi të veçanta me ekuacionet homogjene, gjëja kryesore është vendosin drejt ekuacioni kuadratik .

Ndonjëherë ka ekuacione homogjene jo standarde, për shembull një ekuacion në formë , ku në derivatin e dytë ka disa konstante të ndryshme nga uniteti (dhe, natyrisht, të ndryshme nga zero). Algoritmi i zgjidhjes nuk ndryshon fare; duhet të hartoni me qetësi një ekuacion karakteristik dhe të gjeni rrënjët e tij. Nëse ekuacioni karakteristik do të ketë dy rrënjë të ndryshme reale, për shembull: , atëherë zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet sipas skemës së zakonshme: .

Në disa raste, për shkak të një gabimi shtypi në gjendje, mund të rezultojnë rrënjë "të këqija", diçka e tillë . Çfarë të bëni, përgjigja do të duhet të shkruhet si kjo:

Me rrënjë komplekse të konjuguara "të këqija" si nuk ka as problem, zgjidhje e përgjithshme:

Kjo eshte, gjithsesi ka një zgjidhje të përgjithshme. Sepse çdo ekuacion kuadratik ka dy rrënjë.

Në paragrafin e fundit, siç premtova, do të shqyrtojmë shkurtimisht:

Ekuacione lineare homogjene të rendit më të lartë

Gjithçka është shumë, shumë e ngjashme.

Një ekuacion linear homogjen i rendit të tretë ka formën e mëposhtme:
, ku janë konstantet.
Për këtë ekuacion, ju gjithashtu duhet të krijoni një ekuacion karakteristik dhe të gjeni rrënjët e tij. Ekuacioni karakteristik, siç kanë menduar shumë, duket kështu:
, dhe ate Gjithsesi Ajo ka saktësisht tre rrënjë

Le të jenë, për shembull, të gjitha rrënjët reale dhe të dallueshme: , atëherë zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet si më poshtë:

Nëse njëra rrënjë është reale dhe dy të tjerat janë komplekse të konjuguara, atëherë zgjidhjen e përgjithshme e shkruajmë si më poshtë:

Një rast i veçantë, kur të tre rrënjët janë shumëfishe (të njëjta). Le të shqyrtojmë DE më të thjeshtë homogjene të rendit të 3-të me një baba të vetmuar: . Ekuacioni karakteristik ka tre rrënjë zero që përputhen. Ne shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme si më poshtë:

Nëse ekuacioni karakteristik ka, për shembull, tre rrënjë të shumta, atëherë zgjidhja e përgjithshme, në përputhje me rrethanat, është si më poshtë:

Shembulli 9

Zgjidh një ekuacion diferencial homogjen të rendit të tretë

Zgjidhja: Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik:

, – fitohet një rrënjë reale dhe dy rrënjë komplekse të konjuguara.

Përgjigje: vendim të përbashkët

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë një ekuacion homogjen linear të rendit të katërt me koeficientë konstante: , ku janë konstante.

Një ekuacion i formës: quhet ekuacion diferencial linear i rendit më të lartë, ku a 0 , a 1 , ... a n janë funksione të një ndryshoreje x ose një konstante, dhe a 0 , a 1 , ... a n dhe f (x) konsiderohen të vazhdueshme.

Nëse a 0 =1 (nëse
atëherë mund ta ndani në të)
ekuacioni do të marrë formën:

Nëse
ekuacioni është johomogjen.

ekuacioni është homogjen.

Ekuacionet diferenciale homogjene lineare të rendit n

Ekuacionet e formës: quhen ekuacione diferenciale homogjene lineare të rendit n.

Teoremat e mëposhtme janë të vlefshme për këto ekuacione:

Teorema 1: Nëse
- zgjidhje , pastaj shuma
- gjithashtu një zgjidhje

Vërtetim: le ta zëvendësojmë shumën në

Meqenëse një derivat i çdo rendi të një shume është i barabartë me shumën e derivateve të tij, mund të rigruponi duke hapur kllapat:

sepse y 1 dhe y 2 janë zgjidhja.

0=0 (e vërtetë)
shuma është gjithashtu një vendim.

vërtetohet teorema.

Teorema 2: Nëse y 0 është zgjidhje , Kjo
- gjithashtu një zgjidhje .

Vërtetim: Le të zëvendësojmë
në ekuacion

meqenëse C-ja është nxjerrë nga shenja derivatore, atëherë

sepse zgjidhje, 0=0 (e saktë)
Сy 0 është gjithashtu një zgjidhje.

vërtetohet teorema.

Përfundim nga T1 dhe T2: Nëse
- Zgjidhjet (*)
Një kombinim linear është gjithashtu një zgjidhje (*).

Sisteme funksionesh të pavarura dhe linearisht të varura. Përcaktori i Wronskit dhe vetitë e tij

Përkufizimi: Sistemi i funksionit
- quhet linearisht i pavarur nëse kombinimi linear i koeficientëve
.

Përkufizimi: Sistemi i funksioneve
- quhet linearisht i varur nëse ka koeficientë
.

Le të marrim një sistem me dy funksione të varura në mënyrë lineare
sepse
ose
- gjendje pavarësia lineare dy funksione.

1)
i pavarur në mënyrë lineare

2)
varur në mënyrë lineare

3) varur në mënyrë lineare

Përkufizimi: Jepet një sistem funksionesh
- funksionet e ndryshores x.

Përcaktues
-Përcaktor Wronski për një sistem funksionesh
.

Për një sistem me dy funksione, përcaktorja Wronski duket kështu:

Karakteristikat e përcaktorit Wronsky:

Teorema: Mbi zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit të dytë.

Nëse y 1 dhe y 2 janë zgjidhje lineare të pavarura të një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit të dytë, atëherë

zgjidhja e përgjithshme është:

Dëshmi:
- vendimi bazuar në pasojën e T1 dhe T2.

Nëse jepen kushtet fillestare atëherë Dhe duhet gjetur pa mëdyshje.

- kushtet fillestare.

Le të krijojmë një sistem për të gjetur Dhe . Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë kushtet fillestare në zgjidhjen e përgjithshme.

përcaktues i këtij sistemi:
- Përcaktori Wronski i llogaritur në pikën x 0

sepse Dhe i pavarur në mënyrë lineare
(2 0 secila)

meqenëse përcaktorja e sistemit nuk është e barabartë me 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe Dhe gjenden në mënyrë unike nga sistemi.

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit n

Mund të tregohet se ekuacioni ka n zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare

Përkufizimi: n zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare
thirret ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit n sistemi i zgjidhjeve themelore.

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit n, d.m.th. (*) është një kombinim linear i sistemit themelor të zgjidhjeve:

Ku
- sistemi i zgjidhjeve themelore.

Ekuacione diferenciale homogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante

Këto janë ekuacionet e formës:
, ku dhe g janë numra (*)

Përkufizimi: Ekuacioni
- thirri ekuacioni karakteristik ekuacioni diferencial (*) - një ekuacion i zakonshëm kuadratik, zgjidhja e të cilit varet nga D, rastet e mëposhtme janë të mundshme:

1)D>0
- dy zgjidhje të vlefshme të ndryshme.

2)D=0
- një rrënjë reale e shumëfishimit 2.

3) D<0
- dy rrënjë komplekse të konjuguara.

Për secilin prej këtyre rasteve, ne tregojmë një sistem themelor zgjidhjesh të përbërë nga 2 funksione Dhe .

Ne do të tregojmë se:

1) Dhe - LNZ

2) Dhe - zgjidhje (*)

Le të shqyrtojmë 1 rast D>0
- 2 rrënjë të vërteta të ndryshme.

X
ekuacioni karakteristik:

Le të marrim si FSR:

a) tregoni LNZ

b) do të tregojmë se - zgjidhje (*), zëvendësues

+fq
+g
=0

barazi e vërtetë

zgjidhje (*)

treguar në mënyrë të ngjashme për y 2 .

konkluzioni:
- FSR (*)
vendim të përbashkët

Le të shqyrtojmë rastin 2: D=0
- 1 rrënjë reale e shumëfishimit 2.

Le të marrim si FSR:

LNZ:
Ka LNZ.

-zgjidhja e ekuacionit (shih rastin 1). Le ta tregojmë atë
- zgjidhje.

vendoseni në telekomandë

-zgjidhje.

konkluzioni: FSR

Shembull:

Rasti 3: D<0
- 2 rrënjë komplekse të konjuguara.

le të zëvendësojmë
në karakter ekuacionin

Një numër kompleks është 0 kur pjesët reale dhe imagjinare janë 0.

- do ta përdorim.

Le ta tregojmë atë
- formoni FSR-në.

A) LNZ:

B)
- zgjidhje për telekomandë

barazi e vërtetë
- vendimi i sistemit të kontrollit.

Në mënyrë të ngjashme tregohet se gjithashtu një zgjidhje.

konkluzioni: FSR:

Vendimi i përbashkët:

Nëse specifikohet nr.

- pastaj së pari gjeni një zgjidhje të përgjithshme
, derivati ​​i tij:
, dhe më pas ata zëvendësojnë n.u në këtë sistem dhe gjejnë Dhe .

Epo: