Një metodë e përafërt për vlerësimin e ndryshueshmërisë së një serie variacioni është përcaktimi i kufirit dhe amplitudës, por vlerat e variantit brenda serisë nuk merren parasysh. Masa kryesore e pranuar përgjithësisht e ndryshueshmërisë së një karakteristike sasiore brenda një serie variacionesh është devijimi standard (σ - sigma). Sa më i madh të jetë devijimi standard, aq më e lartë është shkalla e luhatjes së kësaj serie.

Metoda për llogaritjen e devijimit standard përfshin hapat e mëposhtëm:

1. Gjeni mesataren aritmetike (M).

2. Përcaktoni devijimet e opsioneve individuale nga mesatarja aritmetike (d=V-M). Në statistikat mjekësore, devijimet nga mesatarja përcaktohen si d (devijojnë). Shuma e të gjitha devijimeve është zero.

3. Katror çdo devijim d 2.

4. Shumëzoni katrorët e devijimeve me frekuencat përkatëse d 2 *p.

5. Gjeni shumën e prodhimeve å(d 2 *p)

6. Llogaritni devijimin standard duke përdorur formulën:

Kur n është më i madh se 30, ose kur n është më i vogël ose i barabartë me 30, ku n është numri i të gjitha opsioneve.

Vlera e devijimit standard:

1. Devijimi standard karakterizon përhapjen e variantit në lidhje me vlerën mesatare (d.m.th., ndryshueshmërinë e serisë së variacionit). Sa më e madhe të jetë sigma, aq më e lartë është shkalla e diversitetit të kësaj serie.

2. Devijimi standard përdoret për vlerësimin krahasues të shkallës së përputhshmërisë me mesataren vlera aritmetike seritë e variacioneve për të cilat është llogaritur.

Variacionet e dukurive masive i binden ligjit të shpërndarjes normale. Kurba që përfaqëson këtë shpërndarje duket si një kurbë simetrike e lëmuar në formë zile (kurba Gaussian). Sipas teorisë së probabilitetit, në dukuritë që i binden ligjit të shpërndarjes normale, ekziston një marrëdhënie e rreptë matematikore midis vlerave të mesatares aritmetike dhe devijimit standard. Shpërndarja teorike e një varianti në një seri variacione homogjene i bindet rregullit të tre sigmës.

Nëse në një sistem koordinatash drejtkëndëshe, vlerat e një karakteristike sasiore (variantet) vizatohen në boshtin e abshisës dhe frekuenca e shfaqjes së një varianti në një seri variacionesh paraqitet në boshtin e ordinatave, atëherë variantet me më të mëdha dhe më të vogla. vlerat janë të vendosura në mënyrë të barabartë në anët e mesatares aritmetike.

Është vërtetuar se kur shpërndarje normale shenjë:

68.3% e vlerave të variantit janë brenda M±1s

95.5% e vlerave të variantit janë brenda M±2s

99.7% e vlerave të variantit janë brenda M±3s

3. Devijimi standard ju lejon të vendosni vlera normale për parametrat klinikë dhe biologjikë. Në mjekësi, intervali M±1s zakonisht merret si diapazoni normal për fenomenin që studiohet. Devijimi i vlerës së vlerësuar nga mesatarja aritmetike me më shumë se 1s tregon një devijim të parametrit të studiuar nga norma.

4. Në mjekësi, rregulli tre-sigma përdoret në pediatri për vlerësimin individual të nivelit të zhvillimit fizik të fëmijëve (metoda e devijimit të sigmës), për zhvillimin e standardeve për veshjen e fëmijëve.

5. Devijimi standard është i nevojshëm për të karakterizuar shkallën e diversitetit të karakteristikës që studiohet dhe për të llogaritur gabimin e mesatares aritmetike.

Vlera e devijimit standard zakonisht përdoret për të krahasuar ndryshueshmërinë e serive të të njëjtit lloj. Nëse krahasohen dy seri me shenja të ndryshme(lartësia dhe pesha, kohëzgjatja mesatare e trajtimit spitalor dhe vdekshmëria spitalore, etj.), atëherë një krahasim i drejtpërdrejtë i madhësive të sigmës është i pamundur , sepse devijimi standard është një vlerë e emërtuar e shprehur në numra absolut. Në këto raste, përdorni koeficienti i variacionit (Cv), e cila është një vlerë relative: raporti në përqindje i devijimit standard me mesataren aritmetike.

Koeficienti i variacionit llogaritet duke përdorur formulën:

Sa më i lartë të jetë koeficienti i variacionit , aq më i madh është ndryshueshmëria e kësaj serie. Besohet se një koeficient variacion prej më shumë se 30% tregon heterogjenitetin cilësor të popullsisë.

Programi Excel vlerësohet shumë si nga profesionistët ashtu edhe nga amatorët, sepse përdoruesit e çdo niveli aftësie mund të punojnë me të. Për shembull, kushdo me aftësi minimale "komunikimi" në Excel mund të vizatojë një grafik të thjeshtë, të bëjë një pjatë të mirë, etj.

Në të njëjtën kohë, ky program madje ju lejon të kryeni lloje te ndryshme llogaritjet, për shembull, llogaritjet, por kjo kërkon një nivel paksa të ndryshëm përgatitjeje. Megjithatë, nëse sapo keni filluar të njiheni nga afër me këtë program dhe jeni të interesuar për gjithçka që do t'ju ndihmojë të bëheni një përdorues më i avancuar, ky artikull është për ju. Sot do t'ju tregoj se çfarë është devijimi standard formula në Excel, pse është e nevojshme fare dhe, në mënyrë rigoroze, kur përdoret. Shkoni!

Cfare eshte

Le të fillojmë me teorinë. Zakonisht quhet devijimi standard Rrenja katrore, e marrë nga mesatarja aritmetike e të gjitha diferencave në katror midis vlerave të disponueshme, si dhe mesatares aritmetike të tyre. Nga rruga, kjo sasi zakonisht quhet Letra greke"sigma". Devijimi standard llogaritet duke përdorur formulën STANDARDEVAL, në përputhje me rrethanat, programi e bën këtë për vetë përdoruesin.

Çështja është këtë konceptështë të identifikojë shkallën e ndryshueshmërisë së instrumentit, domethënë, ky është, në mënyrën e vet, një tregues me origjinë nga statistikat përshkruese. Ai identifikon ndryshimet në paqëndrueshmërinë e një instrumenti gjatë një periudhe të caktuar kohore. Formulat STDEV mund të përdoren për të vlerësuar devijimin standard të një kampioni, duke injoruar vlerat Boolean dhe tekstin.

Formula

Formula që ofrohet automatikisht në Excel ndihmon për të llogaritur devijimin standard në Excel. Për ta gjetur atë, duhet të gjeni seksionin e formulës në Excel, dhe më pas të zgjidhni atë të quajtur STANDARDEVAL, kështu që është shumë e thjeshtë.

Pas kësaj, do të shfaqet një dritare para jush në të cilën do t'ju duhet të vendosni të dhëna për llogaritjen. Në veçanti, dy numra duhet të futen në fusha të veçanta, pas së cilës vetë programi do të llogarisë devijimin standard për mostrën.

Pa dyshim, formula dhe llogaritjet matematikore janë një çështje mjaft komplekse, dhe jo të gjithë përdoruesit mund ta përballojnë atë menjëherë. Megjithatë, nëse gërmoni pak më thellë dhe e shikoni çështjen pak më në detaje, rezulton se jo gjithçka është aq e trishtuar. Shpresoj të jeni të bindur për këtë duke përdorur shembullin e llogaritjes së devijimit standard.

Video për të ndihmuar

Mësimi nr. 4

Tema: “Statistika përshkruese. Treguesit e diversitetit të tipareve në total"

Kriteret kryesore për diversitetin e një karakteristike në një popullatë statistikore janë: kufiri, amplituda, devijimi standard, koeficienti i lëkundjes dhe koeficienti i variacionit. Në mësimin e mëparshëm, u diskutua se vlerat mesatare ofrojnë vetëm një karakteristikë të përgjithësuar të karakteristikës që studiohet në total dhe nuk marrin parasysh vlerat e varianteve të saj individuale: vlerat minimale dhe maksimale, mbi mesataren, më poshtë. mesatare etj.

Shembull. Vlerat mesatare të dy sekuencave të ndryshme të numrave: -100; -20; 100; 20 dhe 0.1; -0,2; 0.1 janë absolutisht identike dhe të barabartaRRETH.Megjithatë, diapazoni i shpërndarjes së këtyre të dhënave të sekuencës mesatare relative janë shumë të ndryshme.

Përcaktimi i kritereve të listuara për diversitetin e një karakteristike kryhet kryesisht duke marrë parasysh vlerën e saj në elementë individualë të popullsisë statistikore.

Treguesit për matjen e variacionit të një tipari janë absolute Dhe i afërm. Treguesit absolut të variacionit përfshijnë: diapazonin e variacionit, kufirin, devijimin standard, dispersionin. Koeficienti i variacionit dhe koeficienti i lëkundjes i referohen masave relative të variacionit.

Kufiri (lim) - Ky është një kriter që përcaktohet nga vlerat ekstreme të një varianti në një seri variacionesh. Me fjalë të tjera, ky kriter kufizohet nga vlerat minimale dhe maksimale të atributit:

Amplituda (Am) ose diapazoni i variacionit - Ky është ndryshimi midis opsioneve ekstreme. Llogaritja e këtij kriteri kryhet duke zbritur vlerën minimale të tij nga vlera maksimale e atributit, gjë që na lejon të vlerësojmë shkallën e shpërndarjes së opsionit:

Disavantazhi i kufirit dhe amplitudës si kriter i ndryshueshmërisë është se ato varen plotësisht nga vlerat ekstreme të karakteristikës në serinë e variacionit. Në këtë rast, luhatjet në vlerat e atributeve brenda një serie nuk merren parasysh.

Përshkrimi më i plotë i diversitetit të një tipari në një popullatë statistikore është dhënë nga devijimi standard(sigma), e cila është një masë e përgjithshme e devijimit të një opsioni nga vlera mesatare e tij. Devijimi standard shpesh quhet devijimi standard.

Devijimi standard bazohet në një krahasim të secilit opsion me mesataren aritmetike të një popullate të caktuar. Meqenëse në total do të ketë gjithmonë opsione më pak dhe më shumë se ai, shuma e devijimeve me shenjën "" do të anulohet nga shuma e devijimeve me shenjën "", d.m.th. shuma e të gjitha devijimeve është zero. Për të shmangur ndikimin e shenjave të dallimeve, merren devijime nga mesatarja aritmetike në katror, ​​d.m.th. . Shuma e devijimeve në katror nuk është e barabartë me zero. Për të marrë një koeficient që mund të masë ndryshueshmërinë, merrni mesataren e shumës së katrorëve - kjo vlerë quhet variancat:

Në thelb, dispersioni është katrori mesatar i devijimeve të vlerave individuale të një karakteristike nga vlera mesatare e saj. Dispersion – katrori i devijimit standard.

Varianca është një sasi dimensionale (e emërtuar). Pra, nëse variantet e një serie numrash shprehen në metra, atëherë varianca jep metra katrorë; nëse opsionet shprehen në kilogramë, atëherë varianca jep katrorin e kësaj mase (kg 2), etj.

Devijimi standard– rrënja katrore e variancës:

, atëherë kur llogaritet dispersioni dhe devijimi standard në emëruesin e thyesës, në vend tëduhet vënë.

Llogaritja e devijimit standard mund të ndahet në gjashtë faza, të cilat duhet të kryhen në një sekuencë të caktuar:

Zbatimi i devijimit standard:

a) për gjykimin e ndryshueshmërisë së serive të variacioneve dhe vlerësimin krahasues të tipikitetit (përfaqësimit) të mesatareve aritmetike. Kjo është e nevojshme në diagnoza diferenciale gjatë përcaktimit të qëndrueshmërisë së tipareve.

b) për të rindërtuar serinë e variacionit, d.m.th. rivendosja e përgjigjes së saj të frekuencës bazuar në tre rregulla sigma. Në intervalin (М±3σ) 99.7% e të gjitha varianteve të serisë janë të vendosura në intervalin (М±2σ) - 95.5% dhe në rangun (М±1σ) - Varianti i rreshtit 68,3%.(Fig. 1).

c) për të identifikuar opsionet "pop-up".

d) të përcaktojë parametrat e normës dhe të patologjisë duke përdorur vlerësimet sigma

e) për të llogaritur koeficientin e variacionit

f) për të llogaritur gabimin mesatar të mesatares aritmetike.

Për të karakterizuar çdo popullsi që kalloji i shpërndarjes normale , mjafton të njihen dy parametra: mesatarja aritmetike dhe devijimi standard.

Figura 1. Rregulli Tre Sigma

Shembull.

Në pediatri, devijimi standard përdoret për të vlerësuar zhvillimin fizik të fëmijëve duke krahasuar të dhënat e një fëmije të caktuar me treguesit standard përkatës. Mesatarja aritmetike e zhvillimit fizik të fëmijëve të shëndetshëm merret si standard. Krahasimi i treguesve me standardet kryhet duke përdorur tabela të veçanta në të cilat jepen standardet së bashku me shkallët e tyre përkatëse sigma. Besohet se nëse treguesi i zhvillimit fizik të fëmijës është brenda standardit (mesatarja aritmetike) ±σ, atëherë zhvillimin fizik fëmija (sipas këtij treguesi) korrespondon me normën. Nëse treguesi është brenda standardit ±2σ, atëherë ka një devijim të lehtë nga norma. Nëse treguesi shkon përtej këtyre kufijve, atëherë zhvillimi fizik i fëmijës ndryshon ndjeshëm nga norma (patologjia është e mundur).

Përveç treguesve të variacionit të shprehur në vlera absolute, kërkimi statistikor përdor tregues të variacionit të shprehur në vlera relative. Koeficienti i lëkundjes - ky është raporti i diapazonit të variacionit me vlerën mesatare të tiparit. Koeficienti i variacionit - ky është raporti i devijimit standard me vlerën mesatare të karakteristikës. Në mënyrë tipike, këto vlera shprehen në përqindje.

Formulat për llogaritjen e treguesve të variacionit relativ:

Nga formulat e mësipërme del qartë se sa më i madh të jetë koeficienti V është më afër zeros, aq më i vogël është ndryshimi në vlerat e karakteristikës. Më shumë V, aq më e ndryshueshme është shenja.

Në praktikën statistikore, koeficienti i variacionit përdoret më shpesh. Përdoret jo vetëm për një vlerësim krahasues të variacionit, por edhe për të karakterizuar homogjenitetin e popullsisë. Popullsia konsiderohet homogjene nëse koeficienti i variacionit nuk kalon 33% (për shpërndarje afër normales). Aritmetikisht, raporti i σ dhe i mesatares aritmetike neutralizon ndikimin e vlerës absolute të këtyre karakteristikave, dhe raporti në përqindje e bën koeficientin e variacionit një vlerë pa dimension (të paemërtuar).

Vlera që rezulton e koeficientit të variacionit vlerësohet në përputhje me gradimet e përafërta të shkallës së diversitetit të tiparit:

i dobët - deri në 10%

Mesatarisht - 10 - 20%

E fortë - më shumë se 20%

Përdorimi i koeficientit të variacionit është i këshillueshëm në rastet kur është e nevojshme të krahasohen karakteristikat që janë të ndryshme në madhësi dhe dimension.

Dallimi midis koeficientit të variacionit dhe kritereve të tjera të shpërndarjes është demonstruar qartë shembull.

Tabela 1

Përbërja e punëtorëve të ndërmarrjeve industriale

Bazuar në karakteristikat statistikore të dhëna në shembull, mund të nxjerrim një përfundim për homogjenitetin relativ të përbërjes së moshës dhe nivelit arsimor të punonjësve të ndërmarrjes, duke pasur parasysh stabilitetin e ulët profesional të kontigjentit të anketuar. Është e lehtë të shihet se një përpjekje për të gjykuar këto tendenca sociale nga devijimi standard do të çonte në një përfundim të gabuar dhe një përpjekje për të krahasuar karakteristikat e kontabilitetit "përvoja e punës" dhe "mosha" me treguesin kontabël "arsimimi" në përgjithësi do të ishte. e pasaktë për shkak të heterogjenitetit të këtyre karakteristikave.

Mediana dhe përqindjet

Për shpërndarjet rendore (rangu), ku kriteri për mesin e serisë është mediana, devijimi standard dhe dispersioni nuk mund të shërbejnë si karakteristika të dispersionit të variantit.

E njëjta gjë është e vërtetë për seritë e variacioneve të hapura. Kjo rrethanë është për faktin se devijimet nga të cilat llogariten varianca dhe σ maten nga mesatarja aritmetike, e cila nuk llogaritet në seritë e variacionit të hapur dhe në seritë e shpërndarjeve të karakteristikave cilësore. Prandaj, për një përshkrim të ngjeshur të shpërndarjeve, përdoret një parametër tjetër i shpërndarjes - kuantile(sinonim - "përqindje"), i përshtatshëm për të përshkruar karakteristikat cilësore dhe sasiore në çdo formë të shpërndarjes së tyre. Ky parametër mund të përdoret gjithashtu për të kthyer karakteristikat sasiore në ato cilësore. Në këtë rast, vlerësime të tilla caktohen në varësi të cilës renditje të kuantiles korrespondon një opsion i caktuar.

Në praktikën e kërkimit biomjekësor, më shpesh përdoren sasitë e mëposhtme:

– mesatare;

, – çerekët (çerekët), ku – kuartilët e poshtëm, – kuartil i lartë.

Kuantilet ndajnë zonën e ndryshimeve të mundshme në një seri variacionesh në intervale të caktuara. Mediana (kuantili) është një opsion që ndodhet në mes të një serie variacioni dhe e ndan këtë seri në gjysmë në dy pjesë të barabarta ( 0,5 Dhe 0,5 ). Një çerek ndan një seri në katër pjesë: pjesa e parë (kuartil i poshtëm) është një opsion që ndan opsionet, vlerat numerike të të cilave nuk kalojnë 25% të maksimumit të mundshëm në një seri të caktuar, një çerek ndan opsionet me një vlerë numerike; deri në 50% të maksimumit të mundshëm. Kuartili i sipërm () ndan opsionet deri në 75% të vlerave maksimale të mundshme.

Në rast të shpërndarjes asimetrike variabël në lidhje me mesataren aritmetike, mesatarja dhe kuartilët përdoren për ta karakterizuar atë. Në këtë rast, përdoret forma e mëposhtme e shfaqjes së vlerës mesatare - Meh (;). Për shembull, tipari i studiuar – “periudha në të cilën fëmija filloi të ecë në mënyrë të pavarur” – ka një shpërndarje asimetrike në grupin e studimit. Në të njëjtën kohë, kuartili i poshtëm () korrespondon me fillimin e ecjes - 9,5 muaj, mesatarja - 11 muaj, çerekli i sipërm () - 12 muaj. Prandaj, karakteristika e trendit mesatar të atributit të specifikuar do të paraqitet si 11 (9.5; 12) muaj.

Vlerësimi i rëndësisë statistikore të rezultateve të studimit

Rëndësia statistikore e të dhënave kuptohet si shkalla në të cilën ato korrespondojnë me realitetin e shfaqur, d.m.th. Të dhëna statistikisht të rëndësishme janë ato që nuk shtrembërojnë dhe pasqyrojnë saktë realitetin objektiv.

Vlerësimi i rëndësisë statistikore të rezultateve të hulumtimit nënkupton përcaktimin me çfarë probabiliteti është e mundur të transferohen rezultatet e marra nga popullata e mostrës në të gjithë popullatën. Gradë rëndësi statistikoreështë e nevojshme për të kuptuar se sa një pjesë e një dukurie mund të përdoret për të gjykuar fenomenin në tërësi dhe modelet e tij.

Vlerësimi i rëndësisë statistikore të rezultateve të hulumtimit përbëhet nga:

1. gabimet e përfaqësimit (gabimet e vlerave mesatare dhe relative) - m;

2. kufijtë e besimit të vlerave mesatare ose relative;

3. besueshmëria e diferencës në vlerat mesatare ose relative sipas kriterit t.

Gabim standard i mesatares aritmetike ose gabim përfaqësimi karakterizon luhatjet e mesatares. Duhet të theksohet se sa më e madhe të jetë madhësia e kampionit, aq më e vogël është përhapja e vlerave mesatare. Gabim standard mesatarja llogaritet me formulën:

Në literaturën moderne shkencore, mesatarja aritmetike shkruhet së bashku me gabimin e përfaqësimit:

ose së bashku me devijimin standard:

Si shembull, merrni parasysh të dhënat për 1500 klinika të qyteteve në vend (popullsia e përgjithshme). Numri mesatar i pacientëve të shërbyer në klinikë është 18150 persona. Përzgjedhja e rastësishme e 10% të vendeve (150 klinika) jep një numër mesatar pacientësh të barabartë me 20,051 persona. Gabimi i kampionimit, padyshim për shkak të faktit se jo të gjitha 1500 klinikat janë përfshirë në kampion, është i barabartë me diferencën midis këtyre mesatareve - mesatarja e përgjithshme ( M gjen) dhe mesatarja e mostrës ( M zgjedhur). Nëse formojmë një kampion tjetër me të njëjtën madhësi nga popullata jonë, ai do të japë një vlerë të ndryshme gabimi. Të gjitha këto mjete kampione me mostra mjaft të mëdha shpërndahen normalisht rreth mesatares së përgjithshme me mjaftueshëm të mëdha numer i madh përsëritjet e një kampioni të të njëjtit numër objektesh nga një popullatë. Gabim standard i mesatares m- kjo është përhapja e pashmangshme e mjeteve të mostrës rreth mesatares së përgjithshme.

Në rastin kur rezultatet e hulumtimit janë paraqitur në sasi relative (për shembull, përqindje) - llogaritur gabim standard i fraksionit:

ku P është treguesi në %, n është numri i vëzhgimeve.

Rezultati shfaqet si (P ± m)%. Për shembull, përqindja e shërimit në mesin e pacientëve ishte (95,2±2,5)%.

Në rast se numri i elementeve të popullsisë, atëherë kur llogariten gabimet standarde të mesatares dhe thyesës në emëruesin e thyesës, në vend tëduhet vënë.

Për një shpërndarje normale (shpërndarja e mesatares së mostrës është normale), ne e dimë se cila pjesë e popullsisë bie brenda çdo intervali rreth mesatares. Veçanërisht:

Në praktikë, problemi është se karakteristikat e popullatës së përgjithshme janë të panjohura për ne dhe kampioni është bërë pikërisht për qëllimin e vlerësimit të tyre. Kjo do të thotë se nëse bëjmë mostra me të njëjtën madhësi n nga popullata e përgjithshme, atëherë në 68.3% të rasteve intervali do të përmbajë vlerën M(në 95,5% të rasteve do të jetë në interval dhe në 99,7% të rasteve - në interval).

Meqenëse është marrë në të vërtetë vetëm një mostër, ky pohim është formuluar në terma të probabilitetit: me një probabilitet prej 68,3%, vlera mesatare e atributit në popullatë qëndron në intervalin, me një probabilitet prej 95,5%. - në interval etj.

Në praktikë, një interval ndërtohet rreth vlerës së kampionit të tillë që, me një probabilitet të dhënë (mjaftueshëm të lartë), probabiliteti i besimit - do të “mbulonte” vlerën e vërtetë të këtij parametri në popullatën e përgjithshme. Ky interval quhet intervali i besimit.

Probabiliteti i besimitP – kjo është shkalla e besimit që intervali i besimit do të përmbajë në fakt vlerën e vërtetë (të panjohur) të parametrit në popullatë.

Për shembull, nëse probabiliteti i besimit Rështë 90%, kjo do të thotë se 90 mostra nga 100 do të japin vlerësimin e saktë të parametrit në popullatë. Prandaj, probabiliteti i gabimit, d.m.th. vlerësimi i gabuar i mesatares së përgjithshme për kampionin është i barabartë në përqindje: . Për këtë shembull, kjo do të thotë se 10 mostra nga 100 do të japin një vlerësim të pasaktë.

Natyrisht, shkalla e besimit (probabiliteti i besimit) varet nga madhësia e intervalit: sa më i gjerë të jetë intervali, aq më i lartë është besimi se një vlerë e panjohur për popullatën do të bjerë në të. Në praktikë, të paktën dyfishi i gabimit të kampionimit përdoret për të ndërtuar një interval besimi për të siguruar të paktën 95.5% besim.

Përcaktimi i kufijve të besimit të mesatareve dhe vlerave relative na lejon të gjejmë dy vlerat e tyre ekstreme - minimumin e mundshëm dhe maksimal të mundshëm, brenda të cilit treguesi i studiuar mund të ndodhë në të gjithë popullsinë. Nisur nga kjo, kufijtë e besimit (ose intervali i besimit)- këto janë kufijtë e vlerave mesatare ose relative, përtej të cilave për shkak të luhatjeve të rastësishme ka një probabilitet të parëndësishëm.

Intervali i besimit mund të rishkruhet si: , ku t– kriteri i besimit.

Kufijtë e besimit të mesatares aritmetike në popullatë përcaktohen nga formula:

M gjen = M zgjidhni + t m M

për vlerën relative:

R gjen = P zgjidhni + t m R

Ku M gjen Dhe R gjen- vlerat e vlerave mesatare dhe relative për popullatën e përgjithshme; M zgjidhni Dhe R zgjidhni- vlerat e vlerave mesatare dhe relative të marra nga popullata e mostrës; m M Dhe m P- gabimet e vlerave mesatare dhe relative; t- kriteri i besimit (kriteri i saktësisë, i cili vendoset gjatë planifikimit të studimit dhe mund të jetë i barabartë me 2 ose 3); t m- ky është një interval besimi ose Δ - gabimi maksimal i treguesit të marrë në një studim mostër.

Duhet theksuar se vlera e kriterit t në një masë të caktuar lidhet me probabilitetin e një parashikimi pa gabime (p), i shprehur në %. Ai zgjidhet nga vetë studiuesi, i udhëhequr nga nevoja për të marrë rezultatin me shkallën e kërkuar të saktësisë. Kështu, për probabilitetin e një parashikimi pa gabime prej 95,5%, vlera e kriterit tështë 2, për 99.7% - 3.

Vlerësimet e dhëna të intervalit të besueshmërisë janë të pranueshme vetëm për popullatat statistikore me më shumë se 30 vëzhgime me një madhësi më të vogël të popullsisë (mostra të vogla), përdoren tabela të veçanta për të përcaktuar kriterin t. Në këto tabela, vlera e dëshiruar ndodhet në kryqëzimin e vijës që korrespondon me madhësinë e popullatës (n-1), dhe një kolonë që korrespondon me nivelin e probabilitetit të një parashikimi pa gabime (95.5%; 99.7%) të zgjedhur nga studiuesi. Në kërkimin mjekësor, kur vendosen kufijtë e besimit për çdo tregues, probabiliteti i një parashikimi pa gabime është 95.5% ose më shumë. Kjo do të thotë se vlera e treguesit të marrë nga popullata e mostrës duhet të gjendet në popullatën e përgjithshme në të paktën 95.5% të rasteve.

Pyetje për temën e mësimit:

Rëndësia e treguesve të diversitetit të tipareve në një popullatë statistikore.

Karakteristikat e përgjithshme të treguesve të variacionit absolut.

Devijimi standard, llogaritja, aplikimi.

Masat relative të variacionit.

Rezultati mesatar, çerek.

Vlerësimi i rëndësisë statistikore të rezultateve të studimit.

Gabim standard i mesatares aritmetike, formula e llogaritjes, shembulli i përdorimit.

Llogaritja e proporcionit dhe gabimi standard i tij.

Koncepti i probabilitetit të besimit, një shembull i përdorimit.

10. Koncepti i një intervali besimi, zbatimi i tij.

Provoni detyrat në temë me përgjigje standarde:

1. TREGUESIT ABSOLUT TË NDRYSHIMIT REFERONI

1) koeficienti i variacionit

2) koeficienti i lëkundjes

4) mesatare

2. TREGUESIT RELATIVE TE VARIACIONIT LIDHEN

1) variancë

4) koeficienti i variacionit

3. KRITERI I CILI PËRCAKTOHET NGA VLERAT EKSTREME TË NJË OPCIONE NË SERIA VARIACIONI

2) amplituda

3) dispersion

4) koeficienti i variacionit

4. DALLIMI I OPCIONEVE EKSTREME ËSHTË

2) amplituda

3) devijimi standard

4) koeficienti i variacionit

5. KATRATI MESATAR I DEVIJIMEVE TE VLERAVE INDIVIDUALE TE NJE KARAKTERISTIKE NGA VLERA MESATORE TE SAJ ESHTE

1) koeficienti i lëkundjes

2) mesatare

3) dispersion

6. RAPORTI I SHKALLËS SË VARIACIONIT ME VLERËN MESATAR TË NJË PERSONAHU ËSHTË

1) koeficienti i variacionit

2) devijimi standard

4) koeficienti i lëkundjes

7. RAPORTI I DEVIJIMIT MESATAR KATROR ME VLERËN MESATAR TË NJË KARAKTERISTIKE ËSHTË

1) variancë

2) koeficienti i variacionit

3) koeficienti i lëkundjes

4) amplituda

8. OPTION QË ËSHTË NË MËSI TË SERISË VARIACIONI DHE E Ndan Atë NË DY PJESË TË BARABARTA ËSHTË

1) mesatare

3) amplituda

9. NË KËRKIMIN MJEKËSOR, KUR VENDOSEN KUFIJT E BESIMIT PËR ÇDO TREGUES, PRANOHET PROBABILITETI I NJË PARASHIKIMI PA GABIME.

10. NËSE 90 MOSTRA NGA 100 JAPIN VLERËSIM TË SAKTË TË NJË PARAMETRI NË POPULLSISË, KJO DO TË THOTË SE PROBABILITETI I BESIMIT P TË BARABARË

11. NËSE 10 MOSTRA NGA 100 JAPËN NJË VLERËSIM TË GABIM, PROBABILITETI I GABIMIT ËSHTË I BARABAR

12. KUFIJT E VLERAVE MESATARE OSE RELATIVE, SHKONI PËR TË CILËT PËR SHKAK TË LËSHTJEVE TË RASTËSISHME KA NJË PROBABILITETI të parëndësishëm – KJO ËSHTË

1) intervali i besimit

2) amplituda

4) koeficienti i variacionit

13. KONSIDEROHET NJË MOTORË E VOGËL AJO POPULLATË NË TË CILËN

1) n është më e vogël ose e barabartë me 100

2) n është më e vogël ose e barabartë me 30

3) n është më e vogël ose e barabartë me 40

4) n është afër 0

14. PËR PROBALITETIN E NJË PARASHIKIM PA GABIME 95% VLERA KRITERI tËSHTË

15. PËR PROBALITETIN E NJË PARASHIKIMI PA GABIME 99% VLERA KRITERI tËSHTË

16. PËR SHPËRNDARJET AFËR NORMALËS, POPULLSIA KONSIDEROHET HOMOGJEN NËSE KOEFICIENTI I VARIACIONIT NUK SHKALLON.

17. OPTION, OPCIONE TË NDARËS, VLERAT NUMERIKE TË TË CILËVE NUK KAQËSOJNË 25% TË MAKSIMEVE TË MUNDSHME NË SERIA E DËNUAR - KJO ËSHTË

2) kuartil i poshtëm

3) kuartil i sipërm

4) kuartil

.

1) e pamundur

2) po aq e mundur

3) i besueshëm

4) të rastësishme

19. SIPAS RREGULLËS SË "TRI Sigma", ME SHPËRNDARJE NORMAL TË NJË KARAKTERISTIKE BRENDA
DO TË NDODHET

1) Opsioni 68.3%.

Devijimi standard(sinonime: devijimi standard, devijimi standard, devijimi katror; termat e lidhur: devijimi standard, përhapje standarde) - në teorinë dhe statistikat e probabilitetit, treguesi më i zakonshëm i shpërndarjes së vlerave të një ndryshoreje të rastësishme në lidhje me pritjet e saj matematikore. Për grupe të kufizuara mostrash vlerash, në vend të pritje matematikore përdoret mesatarja aritmetike e popullatës së mostrës.

YouTube enciklopedik

• 1 / 5

  Devijimi standard matet në vetë njësi matëse ndryshore e rastësishme dhe përdoret gjatë llogaritjes së gabimit standard të mesatares aritmetike, gjatë ndërtimit të intervaleve të besueshmërisë, gjatë testimit statistikor të hipotezave, kur matet raporti linear midis variablave të rastit. Përcaktohet si rrënja katrore e variancës së një ndryshoreje të rastësishme.

  Devijimi standard:

  s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\djathtas)^(2)));)
  • Shënim: Shumë shpesh ka mospërputhje në emrat e MSD (Devijimi mesatar katror i rrënjës) dhe STD (Devijimi standard) me formulat e tyre. Për shembull, në modulin numPy të gjuhës programuese Python, funksioni std() përshkruhet si "devijim standard", ndërsa formula pasqyron devijimin standard (ndarja me rrënjën e mostrës). Në Excel, funksioni STANDARDEVAL() është i ndryshëm (ndarja me rrënjën e n-1).

  Devijimi standard(vlerësimi i devijimit standard të një ndryshoreje të rastësishme x në lidhje me pritshmërinë e tij matematikore bazuar në një vlerësim të paanshëm të variancës së tij) s (\displaystyle s):

  σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\djathtas) ^ (2))))

  Ku σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- dispersion; x i (\displaystyle x_(i)) - i elementi i përzgjedhjes; n (\displaystyle n)- Madhësia e mostrës;

  - mesatarja aritmetike e kampionit:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).) Duhet të theksohet se të dy vlerësimet janë të njëanshme. NË rast i përgjithshëm

  Është e pamundur të ndërtohet një vlerësim i paanshëm. Megjithatë, vlerësimi i bazuar në vlerësimin e paanshëm të variancës është konsistent.

  Në përputhje me GOST R 8.736-2011, devijimi standard llogaritet duke përdorur formulën e dytë të këtij seksioni. Ju lutemi kontrolloni rezultatet.

  Në përputhje me GOST R 8.736-2011, devijimi standard llogaritet duke përdorur formulën e dytë të këtij seksioni. Ju lutemi kontrolloni rezultatet. (Rregulli tre sigma 3 σ (\displaystyle 3\sigma) ) - pothuajse të gjitha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht qëndrojnë në interval(x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \djathtas)) . Më saktësisht - me një probabilitet përafërsisht 0.9973, vlera e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht qëndron në intervalin e specifikuar (me kusht që vlera x ¯ (\style ekrani (\bar (x)))

  e vërtetë, dhe nuk është marrë si rezultat i përpunimit të mostrës). Nëse . Më saktësisht - me një probabilitet përafërsisht 0.9973, vlera e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht qëndron në intervalin e specifikuar (me kusht që vlera vlerën e vërtetë është i panjohur, atëherë nuk duhet ta përdorniσ (\displaystyle \sigma) , A s , A .

  . Kështu, rregulli i tre sigmave shndërrohet në rregullin e tre

  Interpretimi i vlerës së devijimit standard Një vlerë më e madhe e devijimit standard tregon një përhapje më të madhe të vlerave në grupin e paraqitur me madhësi mesatare

  turma; një vlerë më e vogël, në përputhje me rrethanat, tregon se vlerat në grup janë grupuar rreth vlerës mesatare. Për shembull, kemi tre grupe numrash: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) dhe (6, 6, 8, 8). Të tre grupet kanë vlera mesatare të barabarta me 7, dhe devijime standarde, përkatësisht, të barabarta me 7, 5 dhe 1. Seti i fundit ka një devijim të vogël standard, pasi vlerat në grup janë grupuar rreth vlerës mesatare; seti i parë ka më shumë rëndësi të madhe

  Në një kuptim të përgjithshëm, devijimi standard mund të konsiderohet një masë e pasigurisë. Për shembull, në fizikë, devijimi standard përdoret për të përcaktuar gabimin e një serie matjesh të njëpasnjëshme të një sasie. Kjo vlerë është shumë e rëndësishme për përcaktimin e besueshmërisë së fenomenit në studim në krahasim me vlerën e parashikuar nga teoria: nëse vlera mesatare e matjeve ndryshon shumë nga vlerat e parashikuara nga teoria (devijim i madh standard), atëherë vlerat e fituara ose mënyra e marrjes së tyre duhet të rishikohen. identifikuar me riskun e portofolit.

  Klima

  Supozoni se ka dy qytete me të njëjtën temperaturë mesatare maksimale ditore, por njëri ndodhet në bregdet dhe tjetri në fushë. Dihet se në qytetet e vendosura në bregdet ka shumë maksimum të ndryshëm temperaturat e ditës më pak se ai i qyteteve të vendosura në brendësi. Prandaj, devijimi standard i temperaturave maksimale ditore për një qytet bregdetar do të jetë më i vogël se për qytetin e dytë, pavarësisht se vlera mesatare e kësaj vlere është e njëjtë, që në praktikë do të thotë se probabiliteti që temperatura maksimale e ajrit në çdo ditë e caktuar e vitit do të jetë më e lartë, ndryshon nga vlera mesatare, më e lartë për një qytet që ndodhet në brendësi.

  Sporti

  Le të supozojmë se ka disa ekipe futbolli që vlerësohen sipas disa parametrave, për shembull, numri i golave ​​të shënuar dhe pësuar, rastet e shënimit, etj. Ka shumë të ngjarë që skuadra më e mirë në këtë grup të ketë vlerat më të mira. për më shumë parametrave. Sa më i vogël të jetë devijimi standard i ekipit për secilin nga parametrat e paraqitur, aq më i parashikueshëm është rezultati i ekipit të tillë; Nga ana tjetër, ekipi me vlera të mëdha devijimi standard e bën të vështirë parashikimin e rezultatit, i cili nga ana tjetër shpjegohet me një çekuilibër, për shembull, mbrojtje e fortë, por sulm i dobët.

  Përdorimi i devijimit standard të parametrave të ekipit bën të mundur, në një shkallë ose në një tjetër, parashikimin e rezultatit të një ndeshjeje midis dy skuadrave, duke vlerësuar pikat e forta dhe anët e dobëta komandat, dhe për këtë arsye metodat e zgjedhura të luftës.

  Rrënja katrore e variancës quhet devijimi standard nga mesatarja, e cila llogaritet si më poshtë:

  Një transformim elementar algjebrik i formulës së devijimit standard e çon atë në formën e mëposhtme:

  Kjo formulë shpesh rezulton të jetë më e përshtatshme në praktikën e llogaritjes.

  Devijimi standard, ashtu si devijimi mesatar linear, tregon se sa mesatarisht devijojnë vlerat specifike të një karakteristike nga vlera mesatare e tyre. Devijimi standard është gjithmonë më i madh se devijimi mesatar linear. Midis tyre ekziston marrëdhënia e mëposhtme:

  Duke ditur këtë raport, ju mund të përdorni treguesit e njohur për të përcaktuar të panjohurën, për shembull, por (I llogarit a dhe anasjelltas. Devijimi standard mat madhësinë absolute të ndryshueshmërisë së një karakteristike dhe shprehet në të njëjtat njësi matëse si vlerat e karakteristikës (rubla, ton, vite, etj.). Është një masë absolute e variacionit.

  Për shenja alternative, për shembull prania ose mungesa arsimin e lartë, formulat e sigurimit, dispersionit dhe devijimit standard janë si më poshtë:

  Le të tregojmë llogaritjen e devijimit standard sipas të dhënave të një serie diskrete që karakterizon shpërndarjen e studentëve në një nga fakultetet universitare sipas moshës (Tabela 6.2).

  Tabela 6.2.

  

  Rezultatet e llogaritjeve ndihmëse janë dhënë në kolonat 2-5 të tabelës. 6.2.

  Mosha mesatare e një studenti, vite, përcaktohet nga formula mesatare aritmetike e ponderuar (kolona 2):

  

  Devijimet në katror të moshës individuale të studentit nga mesatarja përmbahen në kolonat 3-4, dhe produktet e devijimeve në katror dhe frekuencat përkatëse përmbahen në kolonën 5.

  Ne gjejmë variancën e moshës, viteve të nxënësve, duke përdorur formulën (6.2):

  

  Atëherë o = l/3,43 1,85 *oda, d.m.th. Çdo vlerë specifike e moshës së një studenti devijon nga mesatarja me 1,85 vjet.

  Koeficienti i variacionit

  Në vlerën e tij absolute, devijimi standard varet jo vetëm nga shkalla e ndryshimit të karakteristikës, por edhe nga nivelet absolute të opsioneve dhe mesatarja. Prandaj, është e pamundur të krahasohen drejtpërdrejt devijimet standarde të serive të variacionit me nivele mesatare të ndryshme. Për të qenë në gjendje të bëni një krahasim të tillë, duhet të gjeni pjesën e devijimit mesatar (linear ose kuadratik) në mesataren aritmetike, të shprehur në përqindje, d.m.th. llogarit masat relative të variacionit.

  Koeficienti linear i variacionit llogaritur me formulë

  Koeficienti i variacionit përcaktohet me formulën e mëposhtme:

  Në koeficientët e variacionit eliminohet jo vetëm pakrahasueshmëria e lidhur me njësi të ndryshme matëse të karakteristikës që studiohet, por edhe pakrahasueshmëria që lind për shkak të dallimeve në vlerën e mesatareve aritmetike. Për më tepër, treguesit e variacionit karakterizojnë homogjenitetin e popullsisë. Popullsia konsiderohet homogjene nëse koeficienti i variacionit nuk kalon 33%.

  Sipas tabelës. 6.2 dhe rezultatet e llogaritjes të marra më sipër, ne përcaktojmë koeficientin e variacionit, %, sipas formulës (6.3):

  

  Nëse koeficienti i variacionit kalon 33%, atëherë kjo tregon heterogjenitetin e popullsisë që studiohet. Vlera e përftuar në rastin tonë tregon se popullsia e nxënësve sipas moshës është homogjene në përbërje. Kështu, funksion i rëndësishëm përgjithësues i treguesve të variacionit - vlerësimi i besueshmërisë së mesatareve. Sa më pak c1, a2 dhe V, sa më homogjen të jetë grupi i dukurive që rezulton dhe aq më i besueshëm është mesatarja që rezulton. Sipas "rregullit tre sigma" të konsideruar nga statistikat matematikore, në seritë e shpërndara normalisht ose afër tyre, devijimet nga mesatarja aritmetike jo më shumë se ± 3 ndodhin në 997 raste nga 1000. Kështu, duke ditur X dhe a, mund të merrni një ide të përgjithshme fillestare seri variacionesh. Nëse, për shembull, mesatarja pagë punonjësi në kompani ishte 25,000 rubla, dhe a është e barabartë me 100 rubla, atëherë me një probabilitet afër sigurisë, mund të argumentohet se pagat e punonjësve të kompanisë luhaten brenda intervalit (25,000 ± ± 3 x 100), d.m.th. nga 24,700 në 25,300 rubla.