Si të gjejmë ndryshimin e logaritmeve me të njëjtën bazë. Vetitë themelore të logaritmeve

\(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)

Le ta shpjegojmë më thjesht. Për shembull, \(\log_(2)(8)\) e barabartë me fuqinë, në të cilën \(2\) duhet të ngrihet për të marrë \(8\). Nga kjo është e qartë se \(\log_(2)(8)=3\).

Shembuj:		\(\log_(5)(25)=2\)		sepse \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		sepse \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		sepse \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumenti dhe baza e logaritmit

Çdo logaritëm ka "anatominë" e mëposhtme:

Argumenti i një logaritmi zakonisht shkruhet në nivelin e tij, dhe baza shkruhet në nënshkrim më afër shenjës së logaritmit. Dhe kjo hyrje lexohet kështu: "logaritmi nga njëzet e pesë në bazën pesë".

Si të llogarisni logaritmin?

Për të llogaritur logaritmin, duhet t'i përgjigjeni pyetjes: në çfarë fuqie duhet të ngrihet baza për të marrë argumentin?

Për shembull, njehso logaritmin: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(4\) për të marrë \(16\)? Natyrisht e dyta. Kjo është arsyeja pse:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(5)\) për të marrë \(1\)? Çfarë fuqie e bën çdo numër një? Zero, sigurisht!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(7)\) për të marrë \(\sqrt(7)\)? Së pari, çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(3\) për të marrë \(\sqrt(3)\)? Nga ne e dimë se është një fuqi thyesore, që do të thotë se rrënja katrore është fuqia e \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Shembull : Llogarit logaritmin \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Zgjidhje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Duhet të gjejmë vlerën e logaritmit, le ta shënojmë si x. Tani le të përdorim përkufizimin e një logaritmi: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Shigjeta majtas\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Çfarë lidh \(4\sqrt(2)\) dhe \(8\)? Dy, sepse të dy numrat mund të përfaqësohen me dy: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Në të majtë përdorim vetitë e shkallës: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dhe \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazat janë të barabarta, kalojmë në barazinë e treguesve
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me \(\frac(2)(5)\)
		Rrënja që rezulton është vlera e logaritmit

Përgjigju : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pse u shpik logaritmi?

Për ta kuptuar këtë, le të zgjidhim ekuacionin: \(3^(x)=9\). Thjesht përputhni \(x\) për të funksionuar barazinë. Sigurisht, \(x=2\).

Tani zgjidhni ekuacionin: \(3^(x)=8\).Me çfarë është x? Kjo është pika.

Më të zgjuarit do të thonë: "X është pak më pak se dy". Si ta shkruajmë saktësisht këtë numër? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, u shpik logaritmi. Falë tij, përgjigja këtu mund të shkruhet si \(x=\log_(3)(8)\).

Dua të theksoj se \(\log_(3)(8)\), si çdo logaritëm është vetëm një numër. Po, duket e pazakontë, por është e shkurtër. Sepse po të donim ta shkruanim në formë dhjetore, atëherë do të dukej kështu: \(1.892789260714.....\)

Shembull : Zgjidheni ekuacionin \(4^(5x-4)=10\)

Zgjidhje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dhe \(10\) nuk mund të sillen në të njëjtën bazë. Kjo do të thotë që ju nuk mund të bëni pa një logaritëm. Le të përdorim përkufizimin e logaritmit: \(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Le ta kthejmë ekuacionin në mënyrë që X të jetë në të majtë
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Para nesh. Le të lëvizim \(4\) në të djathtë. Dhe mos kini frikë nga logaritmi, trajtojeni atë si një numër të zakonshëm.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Pjestojeni ekuacionin me 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Kjo është rrënja jonë. Po, duket e pazakontë, por ata nuk e zgjedhin përgjigjen.

Përgjigju : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmet dhjetore dhe natyrore

Siç thuhet në përkufizimin e një logaritmi, baza e tij mund të jetë çdo numër pozitiv përveç një \((a>0, a\neq1)\). Dhe mes të gjithëve arsyet e mundshme Janë dy që ndodhin aq shpesh sa që u shpik një shënim i shkurtër i veçantë për logaritmet me to:

Logaritmi natyror: një logaritëm baza e të cilit është numri i Euler-it \(e\) (i barabartë me afërsisht \(2.7182818…\)), dhe logaritmi shkruhet si \(\ln(a)\).

Kjo eshte, \(\ln(a)\) është e njëjtë me \(\log_(e)(a)\)

Logaritmi dhjetor: Një logaritëm baza e të cilit është 10 shkruhet \(\lg(a)\).

Kjo eshte, \(\lg(a)\) është i njëjtë me \(\log_(10)(a)\), ku \(a\) është një numër.

Identiteti bazë logaritmik

Logaritmet kanë shumë veti. Njëri prej tyre quhet "Identiteti themelor logaritmik" dhe duket kështu:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi. Le të shohim saktësisht se si lindi kjo formulë.

Le të kujtojmë një shënim të shkurtër të përkufizimit të logaritmit:

nëse \(a^(b)=c\), atëherë \(\log_(a)(c)=b\)

Kjo do të thotë, \(b\) është e njëjtë me \(\log_(a)(c)\). Atëherë mund të shkruajmë \(\log_(a)(c)\) në vend të \(b\) në formulën \(a^(b)=c\). Doli \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiteti kryesor logaritmik.

Mund të gjeni veti të tjera të logaritmeve. Me ndihmën e tyre, ju mund të thjeshtoni dhe llogaritni vlerat e shprehjeve me logaritme, të cilat janë të vështira për t'u llogaritur drejtpërdrejt.

Shembull : Gjeni vlerën e shprehjes \(36^(\log_(6)(5))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(25\)

Si të shkruani një numër si logaritëm?

Siç u përmend më lart, çdo logaritëm është vetëm një numër. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo numër mund të shkruhet si logaritëm. Për shembull, ne e dimë se \(\log_(2)(4)\) është e barabartë me dy. Pastaj në vend të dy mund të shkruani \(\log_(2)(4)\).

Por \(\log_(3)(9)\) është gjithashtu e barabartë me \(2\), që do të thotë se mund të shkruajmë gjithashtu \(2=\log_(3)(9)\) . Po kështu me \(\log_(5)(25)\), dhe me \(\log_(9)(81)\), etj. Kjo është, rezulton

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kështu, nëse kemi nevojë, mund të shkruajmë dy si logaritëm me çdo bazë kudo (qoftë në një ekuacion, në një shprehje ose në një pabarazi) - ne thjesht shkruajmë bazën në katror si argument.

Është e njëjta gjë me trefishin - mund të shkruhet si \(\log_(2)(8)\), ose si \(\log_(3)(27)\), ose si \(\log_(4)( 64) \)... Këtu shkruajmë bazën në kub si argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dhe me katër:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dhe me minus një:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dhe me një të tretën:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Çdo numër \(a\) mund të përfaqësohet si një logaritëm me bazën \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Shembull : Gjeni kuptimin e shprehjes \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(1\)

Sot do të flasim për formula logaritmike dhe japin tregues shembuj zgjidhjesh.

Ata vetë nënkuptojnë modele zgjidhjesh sipas vetive themelore të logaritmeve. Përpara se të aplikoni formulat e logaritmit për zgjidhje, le t'ju kujtojmë të gjitha vetitë:

Tani, bazuar në këto formula (veti), do të tregojmë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve bazuar në formula.

Logaritmi një numër pozitiv b për bazën a (i shënuar me log a b) është një eksponent tek i cili duhet të rritet a për të marrë b, me b > 0, a > 0 dhe 1.

Sipas përkufizimit, log a b = x, që është ekuivalente me a x = b, pra log a a x = x.

Logaritmet, shembuj:

log 2 8 = 3, sepse 2 3 = 8

log 7 49 = 2, sepse 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sepse 5 -1 = 1/5

Logaritmi dhjetor- ky është një logaritëm i zakonshëm, baza e të cilit është 10. Shënohet si lg.

log 10 100 = 2, sepse 10 2 = 100

Logaritmi natyror- gjithashtu një logaritëm i zakonshëm, një logaritëm, por me bazën e (e = 2,71828... - një numër irracional). Shënuar si ln.

Këshillohet që formulat ose vetitë e logaritmeve të mësohen përmendësh, sepse ato do të na duhen më vonë gjatë zgjidhjes së logaritmeve, ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive. Le të shqyrtojmë secilën formulë përsëri me shembuj.

• Identiteti bazë logaritmik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vetitë e fuqisë së një numri logaritmik dhe bazës së logaritmit

  Eksponenti i numrit logaritmik log a b m = mlog a b

  Eksponenti i bazës së logaritmit log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  nëse m = n, marrim log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Kalimi në një themel të ri
  log a b = log c b/log c a,

  nëse c = b, marrim log b b = 1

  atëherë log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Siç mund ta shihni, formulat për logaritmet nuk janë aq të komplikuara sa duken. Tani, pasi kemi parë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve, mund të kalojmë te ekuacionet logaritmike. Ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike në mënyrë më të detajuar në artikullin: "". Mos humbasë!

Nëse keni ende pyetje në lidhje me zgjidhjen, shkruajini ato në komentet e artikullit.

Shënim: ne vendosëm të merrnim një klasë tjetër arsimimi dhe të studionim jashtë vendit si opsion.

(nga greqishtja λόγος - "fjalë", "marrëdhënie" dhe ἀριθμός - "numër") numra b bazuar në a(log α b) quhet një numër i tillë c, Dhe b= një c, domethënë regjistron log α b=c Dhe b=ac janë ekuivalente. Logaritmi ka kuptim nëse a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Me fjale te tjera logaritmi numrat b bazuar në A formuluar si një eksponent tek i cili duhet të ngrihet një numër a për të marrë numrin b(logaritmi ekziston vetëm për numrat pozitivë).

Nga ky formulim del se llogaritja x= log α b, është ekuivalente me zgjidhjen e ekuacionit a x =b.

Për shembull:

log 2 8 = 3 sepse 8 = 2 3 .

Le të theksojmë se formulimi i treguar i logaritmit bën të mundur përcaktimin e menjëhershëm vlera e logaritmit, kur numri nën shenjën e logaritmit vepron si një fuqi e caktuar e bazës. Në të vërtetë, formulimi i logaritmit bën të mundur justifikimin se nëse b=a c, pastaj logaritmi i numrit b bazuar në a barazohet Me. Është gjithashtu e qartë se tema e logaritmeve është e lidhur ngushtë me temën fuqitë e një numri.

Llogaritja e logaritmit quhet logaritmi. Logaritmi është operacioni matematikor i marrjes së një logaritmi. Kur merren logaritmet, produktet e faktorëve shndërrohen në shuma termash.

Potencimiështë operacioni matematikor i anasjelltë i logaritmit. Gjatë fuqizimit, një bazë e caktuar ngrihet në shkallën e shprehjes mbi të cilën kryhet fuqizimi. Në këtë rast, shumat e termave shndërrohen në produkt faktorësh.

Shumë shpesh, logaritmet reale përdoren me bazat 2 (binare), numrin e Euler-it e ≈ 2,718 (logaritmi natyror) dhe 10 (dhjetor).

Në këtë fazë është e këshillueshme që të merret në konsideratë mostrat e logaritmit regjistri 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Dhe hyrjet lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nuk kanë kuptim, pasi në të parën prej tyre vendoset një numër negativ nën shenjën e logaritmit, në të dytin ka një numër negativ. në bazë, dhe në të tretën ka një numër negativ nën shenjën e logaritmit dhe njësinë në bazë.

Kushtet për përcaktimin e logaritmit.

Vlen të konsiderohen veçmas kushtet a > 0, a ≠ 1, b > 0.nën të cilat marrim përkufizimi i logaritmit. Le të shqyrtojmë pse u morën këto kufizime. Një barazi e formës x = log α do të na ndihmojë për këtë b, i quajtur identiteti bazë logaritmik, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i logaritmit të dhënë më sipër.

Le të marrim kushtin a≠1. Meqenëse një për çdo fuqi është e barabartë me një, atëherë barazia x=log α b mund të ekzistojë vetëm kur b=1, por regjistri 1 1 do të jetë çdo numër real. Për të eliminuar këtë paqartësi, marrim a≠1.

Le të vërtetojmë domosdoshmërinë e kushtit a>0. Në a=0 sipas formulimit të logaritmit mund të ekzistojë vetëm kur b=0. Dhe në përputhje me këtë atëherë regjistri 0 0 mund të jetë çdo numër real jo zero, pasi zero për çdo fuqi jozero është zero. Kjo paqartësi mund të eliminohet nga gjendja a≠0. Dhe kur a<0 do të duhej të refuzonim analizën e vlerave racionale dhe irracionale të logaritmit, pasi një shkallë me një eksponent racional dhe irracional përcaktohet vetëm për bazat jo negative. Pikërisht për këtë parashikohet kushti a>0.

Dhe kushti i fundit b>0 rrjedh nga pabarazia a>0, pasi x=log α b, dhe vlera e gradës me bazë pozitive a gjithmonë pozitive.

Karakteristikat e logaritmeve.

Logaritmet karakterizohet nga dallues veçoritë, gjë që çoi në përdorimin e tyre të gjerë për të lehtësuar ndjeshëm llogaritjet e mundimshme. Kur lëvizni "në botën e logaritmeve", shumëzimi shndërrohet në një mbledhje shumë më të lehtë, ndarja shndërrohet në zbritje dhe fuqizimi dhe nxjerrja e rrënjës shndërrohen, përkatësisht, në shumëzim dhe pjesëtim nga eksponenti.

Formulimi i logaritmeve dhe një tabelë e vlerave të tyre (për funksionet trigonometrike) u botua për herë të parë në 1614 nga matematikani skocez John Napier. Tabelat logaritmike, të zmadhuara dhe të detajuara nga shkencëtarë të tjerë, u përdorën gjerësisht në llogaritjet shkencore dhe inxhinierike dhe mbetën të rëndësishme deri në përdorimin e kalkulatorëve dhe kompjuterëve elektronikë.

Udhëzimet

Shkruani shprehjen logaritmike të dhënë. Nëse shprehja përdor logaritmin e 10, atëherë shënimi i saj shkurtohet dhe duket kështu: lg b është logaritmi dhjetor. Nëse logaritmi ka për bazë numrin e, atëherë shkruani shprehjen: ln b – logaritmi natyror. Kuptohet se rezultati i çdo është fuqia në të cilën duhet të rritet numri bazë për të marrë numrin b.

Kur gjeni shumën e dy funksioneve, thjesht duhet t'i dalloni ato një nga një dhe të shtoni rezultatet: (u+v)" = u"+v";

Gjatë gjetjes së derivatit të produktit të dy funksioneve, është e nevojshme të shumëzohet derivati ​​i funksionit të parë me të dytin dhe të shtohet derivati ​​i funksionit të dytë të shumëzuar me funksionin e parë: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Për të gjetur derivatin e herësit të dy funksioneve, është e nevojshme të zbritet nga produkti i derivatit të dividendit shumëzuar me funksionin pjesëtues, produkti i derivatit të pjesëtuesit të shumëzuar me funksionin e dividentit dhe të pjesëtohet. e gjithë kjo nga funksioni pjesëtues në katror. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Nëse jepet një funksion kompleks, atëherë është e nevojshme të shumëzohet derivati ​​i funksioni i brendshëm dhe derivati ​​i atij të jashtëm. Le të y=u(v(x)), pastaj y"(x)=y"(u)*v"(x).

Duke përdorur rezultatet e marra më sipër, mund të dalloni pothuajse çdo funksion. Pra, le të shohim disa shembuj:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ekzistojnë gjithashtu probleme që përfshijnë llogaritjen e derivatit në një pikë. Le të jepet funksioni y=e^(x^2+6x+5), duhet të gjesh vlerën e funksionit në pikën x=1.
1) Gjeni derivatin e funksionit: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Llogaritni vlerën e funksionit në pikë e dhënë y"(1)=8*e^0=8

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Mësoni tabelën e derivateve elementare. Kjo do të kursejë ndjeshëm kohë.

Burimet:

• derivat i një konstante

Pra, cili është ndryshimi midis një ekuacioni iracional dhe atij racional? Nëse ndryshorja e panjohur është nën shenjën rrenja katrore, atëherë ekuacioni konsiderohet irracional.

Udhëzimet

Metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla është metoda e ndërtimit të të dy anëve ekuacionet në një shesh. Megjithatë. kjo është e natyrshme, gjëja e parë që duhet të bëni është të hiqni qafe shenjën. Kjo metodë nuk është teknikisht e vështirë, por ndonjëherë mund të çojë në telashe. Për shembull, ekuacioni është v(2x-5)=v(4x-7). Duke kuadruar të dyja anët ju merrni 2x-5=4x-7. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë nuk është e vështirë; x=1. Por numri 1 nuk do të jepet ekuacionet. Pse? Zëvendësoni një në ekuacion në vend të vlerës së x dhe ana e djathtë dhe e majtë do të përmbajnë shprehje që nuk kanë kuptim, domethënë. Kjo vlerë nuk është e vlefshme për një rrënjë katrore. Prandaj, 1 është një rrënjë e jashtme, dhe për këtë arsye ky ekuacion nuk ka rrënjë.

Pra, një ekuacion irracional zgjidhet duke përdorur metodën e katrorit të të dy anëve të tij. Dhe pasi të keni zgjidhur ekuacionin, është e nevojshme të priten rrënjët e jashtme. Për ta bërë këtë, zëvendësoni rrënjët e gjetura në ekuacionin origjinal.

Konsideroni një tjetër.
2х+vх-3=0
Sigurisht, ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur të njëjtin ekuacion si ai i mëparshmi. Lëviz Komponimet ekuacionet, të cilat nuk kanë rrënjë katrore, në anën e djathtë dhe më pas përdorin metodën e katrorit. zgjidhin ekuacionin racional që rezulton dhe rrënjët. Por edhe një tjetër, më elegante. Futni një ndryshore të re; vх=y. Prandaj, do të merrni një ekuacion të formës 2y2+y-3=0. Kjo është, e zakonshme ekuacioni kuadratik. Gjeni rrënjët e tij; y1=1 dhe y2=-3/2. Më pas, zgjidhni dy ekuacionet vх=1; vх=-3/2. Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë nga i pari gjejmë se x=1. Mos harroni të kontrolloni rrënjët.

Zgjidhja e identiteteve është mjaft e thjeshtë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të kryhen transformime identike derisa të arrihet qëllimi i vendosur. Kështu, me ndihmën e më të thjeshtëve veprimet aritmetike detyra në fjalë do të zgjidhet.

Do t'ju duhet

• - letër;
• - stilolaps.

Udhëzimet

Transformimet më të thjeshta të tilla janë shumëzimet e shkurtuara algjebrike (të tilla si katrori i shumës (diferenca), ndryshimi i katrorëve, shuma (diferenca), kubi i shumës (diferenca)). Përveç kësaj, ka shumë dhe formulat trigonometrike, të cilat janë në thelb të njëjtat identitete.

Në të vërtetë, katrori i shumës së dy anëtarëve është i barabartë me katrorin e të parit plus dyfishin e produktit të të parit me të dytin dhe plus katrorin e të dytit, pra (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Thjeshtoni të dyja

Parimet e përgjithshme të zgjidhjes

Përsëritni tekstin për analizën matematikore ose matematikë e lartë, që është një integral i caktuar. Siç dihet, zgjidhja integral i caktuar ekziston një funksion derivati ​​i të cilit jep një integrand. Ky funksion quhet antiderivativ. Mbi këtë parim ndërtohen integralet kryesore.
Përcaktoni sipas llojit të integrandit se cili nga integralet e tabelës është i përshtatshëm në këtë rast. Nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet kjo menjëherë. Shpesh, forma tabelare bëhet e dukshme vetëm pas disa transformimeve për të thjeshtuar integrandin.

Metoda e zëvendësimit të variablave

Nëse funksioni integrand është funksioni trigonometrik, argumenti i të cilit përmban disa polinom, më pas provoni të përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve. Për ta bërë këtë, zëvendësoni polinomin në argumentin e integrandit me një ndryshore të re. Bazuar në marrëdhënien midis variablave të rinj dhe të vjetër, përcaktoni kufijtë e rinj të integrimit. Duke e diferencuar këtë shprehje, gjeni diferencialin e ri në . Kështu që ju do të merrni lloji i ri të integralit të mëparshëm, afër ose edhe që korrespondon me ndonjë tabelor.

Zgjidhja e integraleve të llojit të dytë

Nëse integrali është një integral i llojit të dytë, një formë vektoriale e integrandit, atëherë do t'ju duhet të përdorni rregullat për kalimin nga këto integrale në ato skalare. Një rregull i tillë është marrëdhënia Ostrogradsky-Gauss. Ky ligj ju lejon të kaloni nga rrjedha e rotorit në disa funksioni vektor te integrali i trefishtë mbi divergjencën e një fushe vektoriale të caktuar.

Zëvendësimi i kufijve të integrimit

Pas gjetjes së antiderivativit, është e nevojshme të zëvendësohen kufijtë e integrimit. Së pari, zëvendësoni vlerën e kufirit të sipërm në shprehjen për antiderivativin. Do të merrni një numër. Më pas, zbritni nga numri që rezulton një numër tjetër të marrë nga kufiri i poshtëm në antiderivativ. Nëse një nga kufijtë e integrimit është pafundësia, atëherë kur e zëvendësoni atë në funksionin antiderivativ, është e nevojshme të shkoni në kufi dhe të gjeni se për çfarë priret shprehja.
Nëse integrali është dy-dimensional ose tre-dimensional, atëherë do të duhet të përfaqësoni kufijtë e integrimit gjeometrikisht për të kuptuar se si të vlerësoni integralin. Në të vërtetë, në rastin e, le të themi, një integrali tredimensional, kufijtë e integrimit mund të jenë plane të tëra që kufizojnë vëllimin që integrohet.

Logaritmi i një numri pozitiv b për bazën a (a>0, a nuk është i barabartë me 1) është një numër c i tillë që a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Vini re se logaritmi i një numri jo pozitiv është i papërcaktuar. Për më tepër, baza e logaritmit duhet të jetë një numër pozitiv që nuk është i barabartë me 1. Për shembull, nëse vendosim në katror -2, marrim numrin 4, por kjo nuk do të thotë se logaritmi bazë -2 i 4 është i barabartë. tek 2.

Identiteti bazë logaritmik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Është e rëndësishme që shtrirja e përcaktimit të anës së djathtë dhe të majtë të kësaj formule të jetë e ndryshme. Ana e majte përcaktuar vetëm për b>0, a>0 dhe a ≠ 1. Pjesa e djathtëështë përcaktuar për çdo b, por nuk varet fare nga a. Kështu, aplikimi i "identitetit" bazë logaritmik gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive mund të çojë në një ndryshim në OD.

Dy pasoja të dukshme të përkufizimit të logaritmit

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Në të vërtetë, kur e ngremë numrin a në fuqinë e parë, marrim të njëjtin numër, dhe kur e ngremë atë në fuqinë zero, marrim një.

Logaritmi i prodhimit dhe logaritmi i herësit

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Unë do të doja të paralajmëroja nxënësit e shkollave që të mos përdorin pa menduar këto formula kur zgjidhin ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Kur i përdorni ato "nga e majta në të djathtë", ODZ ngushtohet dhe kur lëviz nga shuma ose diferenca e logaritmeve në logaritmin e produktit ose koeficientit, ODZ zgjerohet.

Në të vërtetë, shprehja log a (f (x) g (x)) përcaktohet në dy raste: kur të dy funksionet janë rreptësisht pozitive ose kur f (x) dhe g (x) janë të dy më pak se zero.

Duke e shndërruar këtë shprehje në shumën log a f (x) + log a g (x), jemi të detyruar të kufizohemi vetëm në rastin kur f(x)>0 dhe g(x)>0. Ka një ngushtim të gamës së vlerave të pranueshme, dhe kjo është kategorikisht e papranueshme, pasi mund të çojë në humbjen e zgjidhjeve. Një problem i ngjashëm ekziston për formulën (6).

Shkalla mund të hiqet nga shenja e logaritmit

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dhe përsëri do të doja të bëja thirrje për saktësi. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ana e majtë e barazisë është e përcaktuar qartë për të gjitha vlerat e f(x) përveç zeros. Ana e djathtë është vetëm për f(x)>0! Duke hequr shkallën nga logaritmi, përsëri ngushtojmë ODZ-në. Procedura e kundërt çon në një zgjerim të gamës së vlerave të pranueshme. Të gjitha këto vërejtje vlejnë jo vetëm për fuqinë 2, por edhe për çdo pushtet të barabartë.

Formula për të kaluar në një themel të ri

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Se rast i rrallë, kur ODZ nuk ndryshon gjatë transformimit. Nëse e keni zgjedhur me mençuri bazën c (pozitive dhe jo e barabartë me 1), formula për të kaluar në një bazë të re është plotësisht e sigurt.

Nëse zgjedhim numrin b si bazë të re c, marrim një të rëndësishme rast i veçantë formulat (8):

Regjistri a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Disa shembuj të thjeshtë me logaritme

Shembulli 1. Llogaritni: log2 + log50.
Zgjidhje. log2 + log50 = log100 = 2. Ne kemi përdorur formulën e shumës së logaritmeve (5) dhe përkufizimin e logaritmit dhjetor.

Shembulli 2. Llogaritni: lg125/lg5.
Zgjidhje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ne përdorëm formulën për kalimin në një bazë të re (8).

Tabela e formulave që lidhen me logaritmet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)