Si të gjeni rangun e një matrice të zgjeruar. Llogaritja e rangut të një matrice duke përdorur transformimet elementare

Për të llogaritur gradën e një matrice, mund të përdorni metodën e kufirit të të miturve ose metodën Gaussian. Le të shqyrtojmë metodën Gaussian ose metodën e transformimeve elementare.

Renditja e një matrice është rendi maksimal i të miturve të saj, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero.

Rangu i një sistemi rreshtash (kolonash) është numri maksimal i rreshtave (kolonave) linearisht të pavarur të këtij sistemi.

Algoritmi për gjetjen e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e minoreve kufitare:

1. Të mitur M k-se rendi nuk është zero.
2. Nëse të mitur në kufi për të mitur M (k+1)th rendit, është e pamundur të kompozohet (d.m.th. matrica përmban k linjat ose k kolona), atëherë rangu i matricës është i barabartë me k. Nëse të miturit në kufi ekzistojnë dhe janë të gjithë zero, atëherë grada është k. Nëse midis të miturve në kufi ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë ne përpiqemi të kompozojmë një të mitur të ri k+2 etj.

Le të analizojmë algoritmin në më shumë detaje. Së pari, merrni parasysh minoret e rendit të parë (elementet e matricës) të matricës A. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë gradë A = 0. Nëse ka minore të rendit të parë (elementë matricë) që nuk janë të barabartë me zero M 1 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 1.

M 1. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 1 atëherë janë të barabarta me zero gradë A = 1. Nëse ka të paktën një minor të rendit të dytë jo i barabartë me zero M2 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 2.

Le të kontrollojmë nëse ka të mitur në kufi për të miturin M 2. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të tretë. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 2 atëherë janë të barabarta me zero gradë A = 2. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë jo i barabartë me zero M 3 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 3.

Le të kontrollojmë nëse ka të mitur në kufi për të miturin M 3. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të katërt. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 3 atëherë janë të barabarta me zero grada A = 3. Nëse ka të paktën një minor të rendit të katërt jo i barabartë me zero M4 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 4.

Kontrollimi nëse ka një të mitur në kufi për të miturin M 4, dhe kështu me radhë. Algoritmi ndalon nëse në një fazë të voglat kufitare janë të barabarta me zero ose minorja kufitare nuk mund të merret (matrica "mbaron" nga rreshtat ose kolonat). Rendi i minores jozero që u krijua do të jetë renditja e matricës.

Shembull

Le të shqyrtojmë këtë metodë Për shembull. Jepet një matricë 4x5:

Kjo matricë nuk mund të ketë një renditje më të madhe se 4. Gjithashtu, kjo matricë ka elemente jo zero (të vogla të rendit të parë), që do të thotë se rangu i matricës është ≥ 1.

Le të kompozojmë një të mitur 2 urdhëroj. Le të fillojmë nga këndi.

Pra, përcaktorja është e barabartë me zero, le të krijojmë një minore tjetër.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

Përcaktoni një minor të caktuar të barabartë me -2 . Pra, rangu i matricës ≥ 2 .

Nëse ky minor do të ishte i barabartë me 0, atëherë do të formoheshin minore të tjera. Deri në fund ata do të kishin kompozuar të gjithë të miturit në rreshtin 1 dhe 2. Pastaj rreshtat 1 dhe 3, rreshtat 2 dhe 3, rreshtat 2 dhe 4, derisa të gjeni një minor jo të barabartë me 0, për shembull:

Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë ishin 0, atëherë rangu i matricës do të ishte 1. Zgjidhja mund të ndalet.

3 urdhëroj.

I mituri rezultoi se nuk ishte zero. nënkupton rangun e matricës ≥ 3 .

Nëse ky minor do të ishte zero, atëherë do të duhej të kompozoheshin të mitur të tjerë. Për shembull:

Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë ishin 0, atëherë rangu i matricës do të ishte 2. Zgjidhja mund të ndalet.

Le të vazhdojmë të kërkojmë për gradën e matricës. Le të kompozojmë një të mitur 4 urdhëroj.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

Përcaktori i të miturës rezultoi i barabartë me 0 . Le të ndërtojmë një tjetër të mitur.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

E mitura rezultoi e barabartë 0 .

Ndërtoni të vogla 5 rendi nuk do të funksionojë, nuk ka asnjë rresht për këtë në këtë matricë. Minorja e fundit nuk ishte e barabartë me zero 3 rendi, që do të thotë se rangu i matricës është i barabartë me 3 .

Ne gjithashtu do të shqyrtojmë një aplikim të rëndësishëm praktik të temës: hulumtimi i sistemit ekuacionet lineare për bashkim.

Cila është rangu i një matrice?

Epigrafi humoristik i artikullit përmban një sasi të madhe të së vërtetës. Ne zakonisht e lidhim fjalën "gradë" me një lloj hierarkie, më shpesh me një shkallë karriere. Sa më shumë njohuri, përvojë, aftësi, lidhje etj. të ketë njeriu. – aq më i lartë është pozicioni i tij dhe diapazoni i mundësive. Në aspektin e të rinjve, grada i referohet shkallës së përgjithshme të "pjerrësisë".

Dhe vëllezërit tanë matematikorë jetojnë me të njëjtat parime. Le të bëjmë një shëtitje disa të rastësishme matricat zero:

Le të mendojmë për këtë, nëse në matricë të gjitha zero, atëherë për çfarë rangu mund të flasim? Të gjithë janë të njohur me shprehjen informale "zero totale". Në shoqërinë e matricave gjithçka është saktësisht e njëjtë:

Renditja e matricës zeroçdo madhësi është e barabartë me zero.

shënim : Matrica zero është shënuar Letra greke"theta"

Për të kuptuar më mirë gradën e matricës, në vijim do të përdor materiale për të ndihmuar gjeometria analitike. Konsideroni zero vektoriale hapësira jonë tredimensionale, e cila nuk përcakton një drejtim specifik dhe është e padobishme për ndërtim baza afine. Nga pikëpamja algjebrike, koordinatat e këtij vektori shkruhen në matricë"një nga tre" dhe logjike (në kuptimin gjeometrik të treguar) supozojmë se rangu i kësaj matrice është zero.

Tani le të shohim disa jo zero vektorët e kolonës Dhe vektorët e rreshtave:


Çdo shembull ka të paktën një element jo zero, dhe kjo është diçka!

Rangu i çdo vektori të rreshtit jozero (vektori i kolonës) është i barabartë me një

Dhe në përgjithësi - nëse në matricë madhësi arbitrare ka të paktën një element jo zero, pastaj renditja e tij jo më pak njësive.

Vektorët e rreshtave algjebrikë dhe vektorët e kolonave janë në një farë mase abstrakte, kështu që le të kthehemi përsëri te shoqërimi gjeometrik. Jo zero vektoriale vendos një drejtim shumë të caktuar në hapësirë ​​dhe është i përshtatshëm për ndërtim bazë, prandaj rangu i matricës do të konsiderohet i barabartë me një.

Informacion teorik : në algjebër lineare, një vektor është një element i një hapësire vektoriale (të përcaktuar me 8 aksioma), i cili, në veçanti, mund të përfaqësojë një rresht (ose kolonë) të renditur të numrave realë me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër real të përcaktuar. për ata. Me më shumë informacion i detajuar rreth vektorëve mund të gjenden në artikull Transformimet lineare.

varur në mënyrë lineare(të shprehura përmes njëri-tjetrit). Nga pikëpamja gjeometrike, rreshti i dytë përmban koordinatat e vektorit kolinear , e cila nuk e avancoi fare çështjen në ndërtim bazë tredimensionale, duke qenë në këtë kuptim i tepërt. Kështu, grada e kësaj matrice është gjithashtu e barabartë me një.

Le të rishkruajmë koordinatat e vektorëve në kolona ( transpozoni matricën):

Çfarë ka ndryshuar për sa i përket gradës? Asgjë. Kolonat janë proporcionale, që do të thotë se grada është e barabartë me një. Nga rruga, vini re se të tre linjat janë gjithashtu proporcionale. Ato mund të identifikohen me koordinatat tre vektorët kolinearë të rrafshit, prej të cilëve vetem nje e dobishme për ndërtimin e një baze "të sheshtë". Dhe kjo është plotësisht në përputhje me ndjenjën tonë gjeometrike të renditjes.

Një deklaratë e rëndësishme rrjedh nga shembulli i mësipërm:

Rangu i matricës në rreshta është i barabartë me gradën e matricës në kolona. Unë tashmë e përmenda këtë pak në mësimin për efektivitetin metodat për llogaritjen e përcaktorit.

shënim : varësia lineare e rreshtave nënkupton varësinë lineare të kolonave (dhe anasjelltas). Por për të kursyer kohë dhe jashtë zakonit, pothuajse gjithmonë do të flas për varësinë lineare të vargjeve.

Le të vazhdojmë të trajnojmë kafshën tonë të dashur. Le të shtojmë koordinatat e një vektori tjetër kolinear në matricën në rreshtin e tretë :

A na ndihmoi ai në ndërtimin e një baze tredimensionale? Sigurisht që jo. Të tre vektorët ecin përpara dhe mbrapa përgjatë të njëjtës rrugë, dhe rangu i matricës është i barabartë me një. Ju mund të merrni sa më shumë vektorë kolinearë që të doni, të themi, 100, t'i vendosni koordinatat e tyre në një matricë "njëqind nga tre", dhe renditja e një rrokaqiell të tillë do të mbetet ende një.

Le të njihemi me matricën, rreshtat e së cilës i pavarur në mënyrë lineare. Një çift vektorësh jo-kolinearë është i përshtatshëm për të ndërtuar një bazë tredimensionale. Renditja e kësaj matrice është dy.

Cila është rangu i matricës? Linjat nuk duken të jenë proporcionale... pra, në teori, ato janë tre. Sidoqoftë, rangu i kësaj matrice është gjithashtu dy. Shtova dy rreshtat e parë dhe rezultatin e shkrova në fund, d.m.th. shprehur në mënyrë lineare rreshti i tretë përmes dy të parëve. Gjeometrikisht, rreshtat e matricës korrespondojnë me koordinatat e tre vektorët koplanarë, dhe në mesin e këtyre tre ka një palë shokë jo-kolinearë.

Siç mund ta shihni, varësia lineare në matricën e konsideruar nuk është e qartë, dhe sot do të mësojmë se si ta nxjerrim atë në të hapur.

Unë mendoj se shumë njerëz mund të marrin me mend se cila është shkalla e një matrice!

Konsideroni një matricë rreshtat e së cilës i pavarur në mënyrë lineare. Formohen vektorët baza afine, dhe rangu i kësaj matrice është tre.

Siç e dini, çdo vektor i katërt, i pestë, i dhjetë i hapësirës tre-dimensionale do të shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve bazë. Prandaj, nëse shtoni ndonjë numër rreshtash në një matricë, atëherë renditja e saj do të jetë ende e barabartë me tre.

Arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për matricat madhësive më të mëdha(sigurisht, pa asnjë kuptim gjeometrik).

Përkufizimi : Rangu i një matrice është numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur. Ose: Rangu i një matrice është numri maksimal i kolonave lineare të pavarura. Po, numri i tyre është gjithmonë i njëjtë.

Një udhëzim praktik i rëndësishëm rrjedh gjithashtu nga sa më sipër: rangu i matricës nuk e kalon dimensionin e saj minimal. Për shembull, në matricë katër rreshta dhe pesë kolona. Dimensioni minimal është katër, prandaj, renditja e kësaj matrice me siguri nuk do të kalojë 4.

Emërtimet: në teorinë dhe praktikën botërore nuk ka asnjë standard të pranuar përgjithësisht për përcaktimin e gradës së një matrice më shpesh: - siç thonë ata, një anglez shkruan një gjë, një gjerman tjetër; Prandaj, bazuar në shakanë e famshme për ferrin amerikan dhe rus, le të shënojmë gradën e matricës me një fjalë amtare. Për shembull: . Dhe nëse matrica është "pa emër", nga e cila ka shumë, atëherë thjesht mund të shkruani .

Si të gjeni gradën e një matrice duke përdorur të mitur?

Nëse gjyshja ime kishte një kolonë të pestë në matricën e saj, atëherë ajo do të duhej të llogariste një tjetër të vogël të rendit të 4-të ("blu", "mjedër" + kolona e 5-të).

konkluzioni: rendi maksimal i një minoreje jo zero është tre, që do të thotë .

Ndoshta jo të gjithë e kanë kuptuar plotësisht këtë frazë: një minor i rendit të katërt është i barabartë me zero, por në mesin e të miturve të rendit të tretë ka pasur një jozero - prandaj rendi maksimal jo zero e vogël dhe është e barabartë me tre.

Shtrohet pyetja, pse të mos llogaritet menjëherë përcaktorja? Epo, së pari, në shumicën e detyrave matrica nuk është katrore, dhe së dyti, edhe nëse merrni një vlerë jo zero, atëherë detyra me probabilitet të lartë do të refuzohet, pasi zakonisht nënkupton një zgjidhje standarde "nga poshtë-lart". Dhe në shembullin e konsideruar, përcaktori zero i rendit të 4-të na lejon të deklarojmë se rangu i matricës është vetëm më pak se katër.

Më duhet ta pranoj, problemin që e kam analizuar vetë e kam gjetur për të shpjeguar më mirë metodën e kufirit të të miturve. NË praktikë reale gjithçka është më e thjeshtë:

Shembulli 2

Gjeni rangun e një matrice duke përdorur metodën e minorave të skajeve

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Kur funksionon më shpejt algoritmi? Le të kthehemi në të njëjtën matricë katër nga katër. . Natyrisht, zgjidhja do të jetë më e shkurtra në rastin e "mirës" të mitur në qoshe:

Dhe, nëse , atëherë , përndryshe - .

Mendimi nuk është aspak hipotetik - ka shumë shembuj ku e gjithë çështja kufizohet vetëm tek të miturit këndorë.

Megjithatë, në disa raste një metodë tjetër është më efektive dhe e preferueshme:

Si të gjeni rangun e një matrice duke përdorur metodën Gaussian?

Paragrafi është i destinuar për lexuesit që tashmë janë njohur me të Metoda Gaussian dhe pak a shumë ia dolën në dorë.

ME pikë teknike Nga një këndvështrim, metoda nuk është e re:

1) duke përdorur transformimet elementare, ne e zvogëlojmë matricën në një formë hap pas hapi;

2) grada e matricës është e barabartë me numrin e rreshtave.

Është absolutisht e qartë se përdorimi i metodës Gaussian nuk e ndryshon rangimin e matricës, dhe thelbi këtu është jashtëzakonisht i thjeshtë: sipas algoritmit, gjatë transformimeve elementare, të gjitha rreshtat e panevojshme proporcionale (të varura linearisht) identifikohen dhe hiqen, duke rezultuar në një "mbetje të thatë" - numrin maksimal të rreshtave linearisht të pavarur.

Le të transformojmë matricën e vjetër të njohur me koordinatat e tre vektorëve kolinearë:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë.

(2) Linjat zero janë hequr.

Kështu, ka mbetur një rresht, pra . Eshtë e panevojshme të thuhet se kjo është shumë më e shpejtë se llogaritja e nëntë zero të miturve të rendit të dytë dhe vetëm atëherë nxjerrja e një përfundimi.

Ju kujtoj këtë në vetvete matricë algjebrike asgjë nuk mund të ndryshohet, dhe transformimet bëhen vetëm për qëllimin e përcaktimit të gradës! Meqë ra fjala, le të ndalemi edhe një herë në pyetjen, pse jo? Matrica e burimit mbart informacion që është thelbësisht i ndryshëm nga informacioni i matricës dhe rreshtit. Ne disa modele matematikore(pa ekzagjerim) ndryshimi në një numër mund të jetë çështje jete a vdekjeje. ...Kujtohet mësuesit e shkollës Matematikanë të klasave fillore dhe të mesme të cilët pa mëshirë e shkurtojnë notën me 1-2 pikë për pasaktësinë më të vogël ose devijimin nga algoritmi. Dhe ishte tmerrësisht zhgënjyese kur, në vend të një "A" të garantuar në dukje, doli "i mirë" ose edhe më keq. Kuptimi erdhi shumë më vonë - si tjetër t'i besoni satelitëve, kokave bërthamore dhe termocentraleve një personi? Por mos u shqetësoni, unë nuk punoj në këto fusha =)

Le të kalojmë në detyra më kuptimplote, ku ndër të tjera do të njihemi me teknika të rëndësishme llogaritëse Metoda e Gausit:

Shembulli 3

Gjeni gradën e një matrice duke përdorur transformimet elementare

Zgjidhje: jepet një matricë "katër nga pesë", që do të thotë se renditja e saj sigurisht nuk është më shumë se 4.

Në kolonën e parë, nuk ka 1 ose –1, prandaj, kërkohen veprime shtesë për të marrë të paktën një njësi. Gjatë gjithë ekzistencës së sitit, më është bërë vazhdimisht pyetja: "A është e mundur të riorganizoni kolonat gjatë transformimeve elementare?" Këtu, ne riorganizuam kolonën e parë dhe të dytë, dhe gjithçka është në rregull! Në shumicën e detyrave ku përdoret Metoda Gaussian, kolonat me të vërtetë mund të riorganizohen. POR NUK DUHET. Dhe çështja nuk është as në konfuzionin e mundshëm me variablat, çështja është se në kursin klasik të studimit matematikë e lartë ky veprim tradicionalisht nuk konsiderohet, kështu që një i tillë i çuditshëm do të shikohet SHUMË shtrembër (ose edhe i detyruar të ribëjë gjithçka).

Pika e dytë ka të bëjë me numrat. Ndërsa merrni vendimin tuaj, është e dobishme të përdorni rregullin e përgjithshëm të mëposhtëm: transformimet elementare duhet, nëse është e mundur, të zvogëlojnë numrat e matricës. Në fund të fundit, është shumë më e lehtë të punosh me një, dy, tre sesa, për shembull, me 23, 45 dhe 97. Dhe veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një në kolonën e parë, por edhe eliminimin e numrave 7 dhe 11.

Fillimisht zgjidhja e plotë, pastaj komentet:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3. Dhe te grumbulli: rreshti i parë u shtua në rreshtin e 4-të, shumëzuar me –1.

(2) Tre rreshtat e fundit janë proporcionale. Linjat e 3-të dhe të 4-të u hoqën, rreshti i dytë u zhvendos në vendin e parë.

(3) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –3.

Matrica e reduktuar në formë shkalle ka dy rreshta.

Përgjigju:

Tani është radha juaj të torturoni matricën katër nga katër:

Shembulli 4

Gjeni gradën e një matrice duke përdorur metodën Gaussian

Ju kujtoj se Metoda Gaussian nuk nënkupton ngurtësi të paqartë, dhe vendimi juaj ka shumë të ngjarë të ndryshojë nga vendimi im. Një shembull i shkurtër i një detyre në fund të mësimit.

Cila metodë duhet të përdor për të gjetur gradën e një matrice?

Në praktikë, shpesh nuk thuhet fare se cila metodë duhet përdorur për të gjetur gradën. Në një situatë të tillë, kushti duhet të analizohet - për disa matrica është më racionale të zgjidhet përmes të miturve, ndërsa për të tjera është shumë më fitimprurëse të aplikohen transformimet elementare:

Shembulli 5

Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje: metoda e parë disi zhduket menjëherë =)

Pak më lart, unë këshillova të mos prekni kolonat e matricës, por kur ka një kolonë zero, ose kolona proporcionale / përputhëse, atëherë ia vlen të amputohet:

(1) Kolona e pestë është zero, hiqeni atë nga matrica. Kështu, grada e matricës nuk është më shumë se katër. Rreshti i parë është shumëzuar me –1. Kjo është një tjetër veçori e nënshkrimit të metodës Gauss, e cila kthehet veprimin e radhës për një shëtitje të këndshme:

(2) Në të gjitha rreshtat, duke filluar nga e dyta, u shtua rreshti i parë.

(3) Rreshti i parë u shumëzua me –1, rreshti i tretë u nda me 2, rreshti i katërt u nda me 3. Rreshti i dytë u shtua në rreshtin e pestë, shumëzuar me –1.

(4) Rreshtit të pestë iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –2.

(5) Dy rreshtat e fundit janë proporcionalë, i pesti fshihet.

Rezultati është 4 rreshta.

Përgjigju:

Ndërtesë standarde pesëkatëshe për eksplorim të pavarur:

Shembulli 6

Gjeni gradën e një matrice

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Duhet të theksohet se shprehja "gradë matricë" nuk shihet aq shpesh në praktikë, dhe në shumicën e problemeve mund të bëni pa të fare. Por ka një detyrë ku koncepti në fjalë është kryesori aktor, dhe për të përfunduar artikullin do të shikojmë këtë aplikim praktik:

Si të studiojmë një sistem ekuacionesh lineare për konsistencë?

Shpesh, përveç zgjidhjes sistemet e ekuacioneve lineare sipas kushtit, fillimisht kërkohet të ekzaminohet për përputhshmëri, pra të vërtetohet se ekziston fare ndonjë zgjidhje. Roli kryesor luan në një provë të tillë Teorema Kronecker-Capelli, të cilin do ta formuloj në formularin e kërkuar:

Nëse renditet matricat e sistemit e barabartë me gradën sistemi i matricës së zgjeruar, atëherë sistemi është konsistent dhe nëse ky numër përkon me numrin e të panjohurave, atëherë zgjidhja është unike.

Kështu, për të studiuar sistemin për pajtueshmërinë, është e nevojshme të kontrolloni barazinë , Ku - matrica e sistemit(kujtoni terminologjinë nga mësimi Metoda e Gausit), A - matrica e zgjeruar e sistemit(d.m.th. një matricë me koeficientët e variablave + një kolonë me terma të lirë).

Le të jetë A një matricë me madhësi m\herë n dhe k numri natyror, jo më shumë se m dhe n: k\leqslant\min\(m;n\). Rendi i vogël kth matrica A është përcaktuesi i një matrice të rendit k të formuar nga elementët në kryqëzimin e k rreshtave dhe k kolonave të zgjedhura në mënyrë arbitrare të matricës A. Kur shënojmë minorenë, ne do të tregojmë numrat e rreshtave të zgjedhur si tregues të sipërm, dhe numrat e kolonave të zgjedhura si tregues të poshtëm, duke i renditur ato në rend rritës.

Shembulli 3.4. Shkruani minore të rendeve të ndryshme të matricës

A=\fillimi(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\fundi(pmatrix)\!.

Zgjidhje. Matrica A ka dimensione 3\herë4. Ai ka: 12 të mitur të rendit të parë, për shembull, të mitur M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 të mitur të rendit të dytë, për shembull, M_(()_(23))^(()^(12))=\fillim(vmatrix)2&1\\2&2\fund(vmatrix)=2; 4 të mitur të rendit të tretë, për shembull,

M_(()_(134))^(()^(123))= \fillimi(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Në një matricë A me dimensione m\herë n, quhet minorja e rendit të r-të bazë, nëse është jo zero dhe të gjitha minoret e rendit (r+1)-ro janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë fare.

Rangu i matricës quhet rendi i bazës minor. Nuk ka bazë minore në një matricë zero. Prandaj, rangu i një matrice zero është, sipas përkufizimit, i barabartë me zero. Rangu i matricës A shënohet me \operatorname(rg)A.

Shembulli 3.5. Gjeni të gjitha minoret bazë dhe renditjen e matricës

A=\fillimi(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\fundi(pmatrix)\!.

Zgjidhje. Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi këto përcaktorë kanë një rresht të tretë zero. Prandaj, vetëm një minor i rendit të dytë i vendosur në dy rreshtat e parë të matricës mund të jetë bazë. Duke kaluar 6 të mitur të mundshëm, ne zgjedhim jo zero

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \fillimi(vmatrix)1&2\\0&2 \fund( vmatrix)\!,\katër M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \fillim(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\katër M_(()_(14))^(()^(12))= \fillim(vmatrix)1&0\\0&3\fund(vmatrix)\!.

Secili nga këta pesë të mitur është një bazë. Prandaj, rangu i matricës është 2.

Shënimet 3.2

1. Nëse në një matricë të gjitha minoret e rendit k janë të barabarta me zero, atëherë minoret me më shumë se rendit të lartë. Në të vërtetë, duke zgjeruar minorin e rendit (k+1)-ro mbi çdo rresht, marrim shumën e produkteve të elementeve të kësaj rreshti me minore të rendit k-të dhe ato janë të barabarta me zero.

2. Rangu i një matrice është i barabartë me rendin më të lartë të minorit jozero të kësaj matrice.

3. Nëse matricë katrore jo i degjeneruar, atëherë rangu i tij është i barabartë me rendin e tij. Nëse një matricë katrore është njëjës, atëherë renditja e saj është më e vogël se rendi i saj.

4. Emërtimet përdoren edhe për gradë \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rang)A.

5. Renditja e matricës së bllokut përkufizohet si rangu i një matrice të rregullt (numerike), d.m.th. pavarësisht nga struktura e tij e bllokut. Në këtë rast, rangu i një matrice blloku nuk është më pak se radhët e blloqeve të saj: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A Dhe \emri i operatorit(rg)(A\mesi B)\geqslant\emri i operatorit(rg)B, pasi që të gjitha minoret e matricës A (ose B ) janë gjithashtu minore të matricës së bllokut (A\mid B).

Teorema mbi bazën minore dhe rangun e matricës

Le të shqyrtojmë teoremat kryesore që shprehin vetitë e varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të kolonave (rreshtave) të një matrice.

Teorema 3.1 në bazë të vogël. Në një matricë arbitrare A, çdo kolonë (rresht) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) në të cilat ndodhet baza e vogël.

Në të vërtetë, pa humbur përgjithësimin, supozojmë se në një matricë A me madhësi m\herë n minorja bazë ndodhet në rreshtat e parë r dhe në kolonat e para r. Merrni parasysh përcaktorin

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

e cila fitohet duke i caktuar bazës minore të matricës A përkatësen elementet e saj rreshtave dhe kolonës k-të. Vini re se për çdo 1\leqslant s\leqslant m dhe kjo përcaktor është e barabartë me zero. Nëse s\leqslant r ose k\leqslant r , atëherë përcaktorja D përmban dy rreshta identikë ose dy kolona identike. Nëse s>r dhe k>r, atëherë përcaktorja D është e barabartë me zero, pasi është një minor i rendit (r+l)-ro. Duke zgjeruar përcaktorin përgjatë vijës së fundit, marrim

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

ku D_(r+1\,j) janë plotësimet algjebrike të elementeve të rreshtit të fundit. Vini re se D_(r+1\,r+1)\ne0 pasi kjo është një bazë e vogël. Kjo është arsyeja pse

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Ku \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Duke shkruar barazinë e fundit për s=1,2,\ldots,m, marrim

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \fillim(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

ato. kolona kth (për çdo 1\leqslant k\leqslant n) është një kombinim linear i kolonave të bazës minor, gjë që na duhej të vërtetonim.

Teorema bazë e vogël shërben për të vërtetuar teoremat e mëposhtme të rëndësishme.

Kushti që përcaktorja të jetë zero

Teorema 3.2 (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që përcaktorja të jetë zero). Në mënyrë që një përcaktor të jetë i barabartë me zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që një nga kolonat e tij (një nga rreshtat) të jetë një kombinim linear i kolonave (rreshtave) të mbetur.

Në të vërtetë, domosdoshmëria rrjedh nga teorema bazë e vogël. Nëse përcaktorja e një matrice katrore të rendit n është e barabartë me zero, atëherë rangu i saj është më i vogël se n, d.m.th. të paktën një kolonë nuk është përfshirë në bazë të vogël. Atëherë kjo kolonë e zgjedhur, nga Teorema 3.1, është një kombinim linear i kolonave në të cilat ndodhet baza e vogël. Duke shtuar, nëse është e nevojshme, në këtë kombinim kolona të tjera me koeficient zero, marrim se kolona e zgjedhur është një kombinim linear i kolonave të mbetura të matricës. Mjaftueshmëria rrjedh nga vetitë e përcaktorit. Nëse, për shembull, kolona e fundit A_n e përcaktorit \det(A_1~A_2~\cpika~A_n) shprehur në mënyrë lineare përmes pjesës tjetër

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

pastaj duke shtuar në A_n kolonën A_1 shumëzuar me (-\lambda_1), pastaj kolonën A_2 shumëzuar me (-\lambda_2), etj. kolona A_(n-1) e shumëzuar me (-\lambda_(n-1)) marrim përcaktorin \det(A_1~\cpika~A_(n-1)~o) me një kolonë null që është e barabartë me zero (vetia 2 e përcaktorit).

Pandryshueshmëria e renditjes së matricës nën transformimet elementare

Teorema 3.3 (mbi pandryshueshmërinë e renditjes sipas transformimeve elementare). Gjatë transformimeve elementare të kolonave (rreshtave) të një matrice, rangu i saj nuk ndryshon.

Vërtet, le të jetë. Le të supozojmë se si rezultat i një transformimi elementar të kolonave të matricës A kemi marrë matricën A". Nëse është kryer një transformim i tipit I (permutacioni i dy kolonave), atëherë çdo i vogël (r+l)-ro i rendit i matricës A" është ose i barabartë me minorën përkatëse (r+l )-ro të rendit të matricës A, ose ndryshon prej saj në shenjë (vetia 3 e përcaktorit). Nëse është kryer një transformim i tipit II (duke shumëzuar kolonën me numrin \lambda\ne0 ), atëherë çdo minor (r+l)-ro i rendit të matricës A" është ose i barabartë me minorin përkatës (r+l) -ro i rendit të matricës A ose i ndryshëm nga ai faktor \lambda\ne0 (vetia 6 e përcaktorit nëse është kryer një transformim i tipit III (duke shtuar në një kolonë një kolonë tjetër të shumëzuar me numrin \Lambda), atëherë çdo). minor i rendit të (r+1)-të të matricës A" është ose i barabartë me minorin përkatës. (r+1)-rendi i matricës A (vetia 9 e përcaktorit), ose është e barabartë me shumën e dy minore (r+l)-ro të rendit të matricës A (vetia 8 e përcaktorit). Prandaj, nën një transformim elementar të çdo lloji, të gjitha minoret (r+l)-ro të rendit të matricës A" janë të barabarta me zero, pasi të gjitha minoret (r+l)-ro të rendit të matricës A janë E barabartë me zero, është vërtetuar se nën transformimet elementare të kolonave matrica e rangut nuk mund të rritet meqënëse shndërrimet e kundërta me ato elementare janë elementare, rangu i matricës nuk mund të ulet nën transformimet elementare të kolonave, d.m.th. vërtetoi se rangu i matricës nuk ndryshon nën transformimet elementare të rreshtave.

Përfundimi 1. Nëse një rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera të saj, atëherë kjo rresht (kolona) mund të fshihet nga matrica pa ndryshuar renditjen e saj.

Në të vërtetë, një varg i tillë mund të bëhet zero duke përdorur transformime elementare, dhe një varg zero nuk mund të përfshihet në bazën e vogël.

Përfundimi 2. Nëse matrica reduktohet në formën më të thjeshtë (1.7), atëherë

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Në të vërtetë, matrica e formës më të thjeshtë (1.7) ka një bazë minore të rendit rth.

Përfundimi 3. Çdo matricë katrore jo njëjës është elementare, me fjalë të tjera, çdo matricë katrore jo njëjës është ekuivalente me një matricë identifikimi të të njëjtit rend.

Në të vërtetë, nëse A është një matricë katrore jo njëjës e rendit të n-të, atëherë \operatorname(rg)A=n(shih paragrafin 3 të komenteve 3.2). Prandaj, duke e sjellë matricën A në formën më të thjeshtë (1.7) me transformime elementare, marrim matrica e identitetit\Lambda=E_n , pasi \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(shih përfundimin 2). Prandaj, matrica A është ekuivalente me matricën e identitetit E_n dhe mund të merret prej saj si rezultat i një numri të kufizuar transformimesh elementare. Kjo do të thotë se matrica A është elementare.

Teorema 3.4 (për rangun e matricës). Rangu i një matrice është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave linearisht të pavarur të kësaj matrice.

Në fakt, le \operatorname(rg)A=r. Atëherë matrica A ka r rreshta linearisht të pavarur. Këto janë linjat në të cilat ndodhet baza e vogël. Nëse do të ishin të varura linearisht, atëherë kjo minor do të ishte e barabartë me zero nga teorema 3.2, dhe rangu i matricës A nuk do të ishte i barabartë me r. Le të tregojmë se r është numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur, d.m.th. çdo rresht p është i varur linearisht për p>r. Në të vërtetë, ne formojmë matricën B nga këto rreshta p. Meqenëse matrica B është pjesë e matricës A, atëherë \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Kjo do të thotë që të paktën një rresht i matricës B nuk përfshihet në bazën minor të kësaj matrice. Pastaj, nga teorema bazë e vogël, është e barabartë me një kombinim linear të rreshtave në të cilat ndodhet baza e vogël. Prandaj, rreshtat e matricës B janë të varura në mënyrë lineare. Kështu, matrica A ka më së shumti r rreshta linearisht të pavarur.

Përfundimi 1. Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur në një matricë është i barabartë me numrin maksimal të kolonave linearisht të pavarura:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Ky pohim rrjedh nga teorema 3.4 nëse e zbatojmë atë në rreshtat e një matrice të transpozuar dhe marrim parasysh që minorat nuk ndryshojnë gjatë transpozimit (vetia 1 e përcaktorit).

Përfundimi 2. Me transformimet elementare të rreshtave të matricës, varësia lineare (ose pavarësia lineare) i çdo sistemi të kolonave të kësaj matrice është ruajtur.

Në fakt, le të zgjedhim çdo k kolonë të një matrice të dhënë A dhe të hartojmë matricën B prej tyre. Le të merret matrica A" si rezultat i transformimeve elementare të rreshtave të matricës A, dhe matrica B" të merret si rezultat i të njëjtave transformime të rreshtave të matricës B. Nga teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prandaj, nëse kolonat e matricës B do të ishin linearisht të pavarura, d.m.th. k=\emri i operatorit(rg)B(shih përfundimin 1), atëherë kolonat e matricës B" janë gjithashtu linearisht të pavarura, pasi k=\emri i operatorit(rg)B". Nëse kolonat e matricës B ishin të varura në mënyrë lineare (k>\emri i operatorit(rg)B), atëherë kolonat e matricës B" janë gjithashtu të varura në mënyrë lineare (k>\emri i operatorit(rg)B"). Rrjedhimisht, për çdo kolonë të matricës A, varësia lineare ose pavarësia lineare ruhet nën transformimet elementare të rreshtave.

Shënimet 3.3

1. Nga përfundimi 1 i teoremës 3.4, vetia e kolonave të treguara në përfundimin 2 është gjithashtu e vërtetë për çdo sistem rreshtash matricë nëse transformimet elementare kryhen vetëm në kolonat e tij.

2. Përfundimi 3 i Teoremës 3.3 mund të rafinohet si më poshtë: çdo matricë katrore jo njëjës, duke përdorur transformime elementare vetëm të rreshtave (ose vetëm të kolonave të saj), mund të reduktohet në një matricë identiteti të të njëjtit rend.

Në fakt, duke përdorur vetëm transformimet elementare të rreshtave, çdo matricë A mund të reduktohet në formën e thjeshtuar \Lambda (Fig. 1.5) (shih Teoremën 1.1). Meqenëse matrica A është jo-singulare (\det(A)\ne0), kolonat e saj janë linearisht të pavarura. Kjo do të thotë që kolonat e matricës \Lambda janë gjithashtu linearisht të pavarura (Pasoj 2 e Teoremës 3.4). Prandaj, forma e thjeshtuar \Lambda e një matrice jo njëjës A përkon me formën e saj më të thjeshtë (Fig. 1.6) dhe është matrica e identitetit \Lambda=E (shih Përfundimin 3 të Teoremës 3.3). Kështu, duke transformuar vetëm rreshtat e një matrice jo njëjës, ajo mund të reduktohet në matricën e identitetit. Arsyetim i ngjashëm është i vlefshëm për transformimet elementare të kolonave të një matrice jo njëjës.

Renditja e produktit dhe shuma e matricave

Teorema 3.5 (për rangun e prodhimit të matricave). Renditja e produktit të matricave nuk e kalon renditjen e faktorëve:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Në të vërtetë, le të kenë matricat A dhe B madhësi m\herë p dhe p\herë n. Le t'i caktojmë matricës A matricën C=AB\pikturë\,(A\mesi C). Sigurisht që \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), meqenëse C është pjesë e matricës (A\mid C) (shih paragrafin 5 të vërejtjeve 3.2). Vini re se çdo kolonë C_j, sipas operacionit të shumëzimit të matricës, është një kombinim linear i kolonave A_1,A_2,\ldots,A_p matricat A=(A_1~\cpika~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Një kolonë e tillë mund të fshihet nga matrica (A\mid C) pa ndryshuar renditjen e saj (Pasqyra 1 e Teoremës 3.3). Duke kryqëzuar të gjitha kolonat e matricës C, marrim: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Nga këtu, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vërtetojmë se kushti është përmbushur njëkohësisht \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, dhe nxirrni një përfundim në lidhje me vlefshmërinë e teoremës.

Pasoja. Nëse A është një matricë katrore jo njëjës, pra \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B Dhe \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, d.m.th. rangu i një matrice nuk ndryshon kur ajo shumëzohet nga e majta ose nga djathtas me një matricë katrore jo njëjës.

Teorema 3.6 mbi rangun e shumave të matricave. Rangu i shumës së matricave nuk e kalon shumën e gradave të termave:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Në të vërtetë, le të krijojmë një matricë (A+B\mesi A\mesi B). Vini re se çdo kolonë e matricës A+B është një kombinim linear i kolonave të matricave A dhe B. Kjo është arsyeja pse \emri i operatorit(rg)(A+B\mesi A\mesi B)= \emri i operatorit(rg)(A\mesi B). Duke marrë parasysh që numri i kolonave linearisht të pavarura në matricë (A\mid B) nuk e kalon \emri i operatorit(rg)A+\emri i operatorit(rg)B, a \emri i operatorit(rg)(A+B)\leqslant \emri i operatorit(rg)(A+B\mesi A\mesi B)(shih seksionin 5 të vërejtjeve 3.2), marrim pabarazinë që vërtetohet.

Elementare Transformimet e mëposhtme të matricës quhen:

1) ndërrimi i çdo dy rreshti (ose kolone),

2) shumëzimi i një rreshti (ose kolone) me një numër jo zero,

3) duke shtuar në një rresht (ose kolonë) një rresht tjetër (ose kolonë), të shumëzuar me një numër të caktuar.

Të dy matricat quhen ekuivalente, nëse njëra prej tyre merret nga tjetra duke përdorur një grup të kufizuar transformimesh elementare.

Matricat ekuivalente nuk janë, në përgjithësi, të barabarta, por radhët e tyre janë të barabarta. Nëse matricat A dhe B janë ekuivalente, atëherë shkruhet si më poshtë: A ~ B.

Kanonike Një matricë është një matricë në të cilën në fillim të diagonales kryesore ka disa në një rresht (numri i të cilave mund të jetë zero), dhe të gjithë elementët e tjerë janë të barabartë me zero, për shembull,

Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave, çdo matricë mund të reduktohet në kanonike. Renditja e një matrice kanonike është e barabartë me numrin e atyre në diagonalen e saj kryesore.

Shembulli 2 Gjeni gradën e një matrice

A=

dhe e sjellin në formë kanonike.

Zgjidhje. Nga rreshti i dytë, zbritni të parën dhe riorganizoni këto rreshta:

.

Tani nga rreshtat e dytë dhe të tretë zbresim të parën, shumëzuar me 2 dhe 5, përkatësisht:

;

zbrit të parën nga rreshti i tretë; marrim një matricë

B = ,

e cila është ekuivalente me matricën A, pasi është marrë prej saj duke përdorur një grup të fundëm transformimesh elementare. Natyrisht, rangu i matricës B është 2, dhe për rrjedhojë r(A)=2. Matrica B lehtë mund të reduktohet në kanonike. Duke zbritur kolonën e parë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjitha ato pasardhëse, i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të parë, përveç të parës, dhe elementet e rreshtave të mbetur nuk ndryshojnë. Pastaj, duke zbritur kolonën e dytë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjithë ata pasues, ne i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të dytë, përveç të dytës, dhe marrim matricën kanonike:

.

Teorema Kronecker - Capelli- kriteri i përputhshmërisë për një sistem linear ekuacionet algjebrike:

Në mënyrë që sistemi linear ishte e pajtueshme, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të këtij sistemi të jetë i barabartë me gradën e matricës kryesore të tij.

Vërtetim (kushtet e përputhshmërisë së sistemit)

Domosdoshmëri

Le sistemi të përbashkët Pastaj ka numra të tillë që . Prandaj, kolona është një kombinim linear i kolonave të matricës. Nga fakti se rangu i një matrice nuk do të ndryshojë nëse një rresht (kolona) fshihet ose shtohet nga sistemi i rreshtave (kolonave) të saj, i cili është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, rrjedh se .

Përshtatshmëria

Le . Le të marrim disa minore themelore në matricë. Meqenëse, atëherë do të jetë edhe baza minore e matricës. Pastaj, sipas teoremës së bazës e mitur

, kolona e fundit e matricës do të jetë një kombinim linear i kolonave bazë, domethënë kolonave të matricës. Prandaj, kolona e termave të lirë të sistemit është një kombinim linear i kolonave të matricës.

Pasojat Numri i variablave kryesore sistemeve

e barabartë me gradën e sistemit. sistemi E përbashkët

do të përcaktohet (zgjidhja e tij është unike) nëse rangu i sistemit është i barabartë me numrin e të gjitha variablave të tij.

Sistemi homogjen i ekuacioneve15 . 2 Oferta

Sistemi homogjen i ekuacioneve

është gjithmonë i përbashkët. Dëshmi

Në këtë seksion do të përdorim shënimin matricë të sistemit: .

Sistemi homogjen i ekuacioneve15 . 3 Shuma e zgjidhjeve të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare është një zgjidhje për këtë sistem. Një zgjidhje e shumëzuar me një numër është gjithashtu një zgjidhje.

është gjithmonë i përbashkët.. Le të shërbejnë si zgjidhje për sistemin. Pastaj dhe. Le .

Pastaj

Që atëherë - zgjidhja.

Pastaj

Lë të jetë një numër arbitrar, . Pastaj15 . 1 Pasoja Nëse sistem homogjen

ekuacioni linear ka një zgjidhje jo zero, atëherë ai ka pafundësisht shumë zgjidhje të ndryshme.

Përkufizimi15 . 5 Në të vërtetë, duke shumëzuar një zgjidhje jo zero me numra të ndryshëm, do të marrim zgjidhje të ndryshme. Ne do të themi se zgjidhjet forma e sistemeve sistemi themelor i zgjidhjeve , nëse kolonat