Formulat dhe vetitë e piramidës. Figurat gjeometrike

Prezantimi

Kur filluam të studionim figurat stereometrike, prekëm temën "Piramida". Na pëlqeu kjo temë sepse piramida përdoret shumë shpesh në arkitekturë. Dhe që nga e jona profesionin e ardhshëm arkitekte, e frymëzuar nga kjo figurë, mendojmë se mund të na shtyjë drejt projekteve të mëdha.

Forca e strukturave arkitekturore është cilësia e tyre më e rëndësishme. Lidhja e forcës, së pari, me materialet nga të cilat janë krijuar dhe, së dyti, me veçoritë e zgjidhjeve të projektimit, rezulton se forca e një strukture lidhet drejtpërdrejt me formën gjeometrike që është themelore për të.

Me fjale te tjera, po flasim për për atë figurë gjeometrike që mund të konsiderohet si model i formës arkitekturore përkatëse. Rezulton se forma gjeometrike përcakton edhe forcën e një strukture arkitekturore.

Që nga kohërat e lashta, piramidat egjiptiane janë konsideruar si strukturat arkitekturore më të qëndrueshme. Siç e dini, ato kanë formën e piramidave të rregullta katërkëndore.

Është kjo formë gjeometrike që siguron stabilitetin më të madh për shkak të sipërfaqes së madhe të bazës. Nga ana tjetër, forma e piramidës siguron që masa të zvogëlohet me rritjen e lartësisë mbi tokë. Janë këto dy veti që e bëjnë piramidën të qëndrueshme, dhe për këtë arsye të fortë në kushtet e gravitetit.

Objektivi i projektit: mësoni diçka të re për piramidat, thelloni njohuritë tuaja dhe gjeni zbatim praktik.

Për të arritur këtë qëllim, ishte e nevojshme të zgjidheshin detyrat e mëposhtme:

· Mësoni informacion historik për piramidën

· Konsideroni piramidën si një figurë gjeometrike

· Gjeni aplikim në jetë dhe arkitekturë

· Gjeni ngjashmëritë dhe ndryshimet midis piramidave të vendosura në pjesë të ndryshme Sveta

Pjesa teorike

Informacion historik

Fillimi i gjeometrisë së piramidës u hodh në Egjiptin e Lashtë dhe Babiloninë, megjithatë zhvillim aktiv marrë në Greqia e lashte. I pari që vendosi vëllimin e piramidës ishte Demokriti, dhe Eudoksi i Knidit e vërtetoi atë. Matematikani i lashtë grek Euklidi sistematizoi njohuritë për piramidën në vëllimin XII të "Elementeve" të tij dhe gjithashtu nxori përkufizimin e parë të një piramide: një figurë e ngurtë e kufizuar nga aeroplanë që konvergjojnë nga një rrafsh në një pikë.

Varret e faraonëve egjiptianë. Më e madhja prej tyre - piramidat e Keopsit, Khafre dhe Mikerin në El Giza - konsideroheshin si një nga shtatë mrekullitë e botës në kohët e lashta. Ndërtimi i piramidës, në të cilën grekët dhe romakët tashmë panë një monument të krenarisë së paparë të mbretërve dhe mizorisë që dënoi të gjithë popullin e Egjiptit në ndërtim të pakuptimtë, ishte akti më i rëndësishëm i kultit dhe supozohej të shprehte, me sa duket, identiteti mistik i vendit dhe i sundimtarit të tij. Popullsia e vendit punonte për ndërtimin e varrit gjatë një pjese të vitit të lirë nga punët bujqësore. Një sërë tekstesh dëshmojnë për vëmendjen dhe kujdesin që vetë mbretërit (edhe pse të një kohe të mëvonshme) i kushtuan ndërtimit të varrit të tyre dhe ndërtuesve të tij. Dihet edhe për nderimet e veçanta të kultit që i bëheshin vetë piramidës.

Konceptet Bazë

Piramida quhet shumëkëndësh, baza e të cilit është një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët.

Apotemë- lartësia e skajit anësor piramida e rregullt, e nxjerrë nga maja e saj;

Fytyrat anësore- trekëndëshat që takohen në një kulm;

Brinjë anësore- anët e përbashkëta të faqeve anësore;

Maja e piramidës- një pikë që lidh brinjët anësore dhe jo e shtrirë në rrafshin e bazës;

Lartësia- një segment pingul i tërhequr përmes majës së piramidës në rrafshin e bazës së saj (skajet e këtij segmenti janë maja e piramidës dhe baza e pingules);

Seksioni diagonal i një piramide- seksioni i piramidës që kalon nga maja dhe diagonalja e bazës;

Baza- një shumëkëndësh që nuk i përket kulmit të piramidës.

Karakteristikat themelore të një piramide të rregullt

Skajet anësore, faqet anësore dhe apotemat janë përkatësisht të barabarta.

Këndet dihedrale në bazë janë të barabarta.

Këndet dihedrale në skajet anësore janë të barabarta.

Çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha kulmet e bazës.

Çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha faqet anësore.

Formulat bazë të piramidës

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore dhe të përgjithshme të piramidës.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide (e plotë dhe e cunguar) është shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave të saj anësore, sipërfaqja totale është shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave të saj.

Teorema: Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës së piramidës.

fq- perimetri i bazës;

h- apotemë.

Zona e sipërfaqeve anësore dhe të plota të një piramide të cunguar.

f 1, fq 2 - perimetrat e bazës;

h- apotemë.

R- sipërfaqja totale e një piramide të rregullt të cunguar;

Ana S- zona e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar;

S 1 + S 2- zona e bazës

Vëllimi i piramidës

Forma vëllimi ula përdoret për piramida të çdo lloji.

H- lartësia e piramidës.

Këndet e piramidës

Këndet e formuara nga faqja anësore dhe baza e piramidës quhen kënde dihedrale në bazën e piramidës.

Një kënd dihedral formohet nga dy pingul.

Për të përcaktuar këtë kënd, shpesh duhet të përdorni teoremën tre pingule.

Quhen këndet e formuara nga buza anësore dhe projeksioni i saj në rrafshin bazë këndet ndërmjet skajit anësor dhe rrafshit të bazës.

Këndi i formuar nga dy skajet anësore quhet këndi dihedral në skajin anësor të piramidës.

Këndi i formuar nga dy skajet anësore të njërës faqe të piramidës quhet kënd në majë të piramidës.

Seksione piramidale

Sipërfaqja e një piramide është sipërfaqja e një poliedri. Secila nga faqet e saj është një rrafsh, prandaj pjesa e një piramide e përcaktuar nga një plan prerës është një vijë e thyer e përbërë nga vija të drejta individuale.

Seksioni diagonal

Seksioni i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk shtrihen në të njëjtën faqe quhet seksion diagonal piramidat.

Seksione paralele

Teorema:

Nëse piramida është e prerë nga një rrafsh paralel me bazën, atëherë skajet anësore dhe lartësitë e piramidës ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

Seksioni i këtij rrafshi është një shumëkëndësh i ngjashëm me bazën;

Zonat e seksionit dhe bazës janë të lidhura me njëra-tjetrën si katrorët e largësive të tyre nga kulmi.

Llojet e piramidave

Piramida e saktë– një piramidë baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt, dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës.

Për një piramidë të rregullt:

1. brinjët anësore janë të barabarta

2. faqet anësore janë të barabarta

3. apotemat janë të barabarta

4. këndet dihedrale në bazë janë të barabarta

5. këndet dihedrale në skajet anësore janë të barabarta

6. çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha kulmet e bazës

7. çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha skajet anësore

Piramida e cunguar- një pjesë e piramidës e mbyllur midis bazës së saj dhe një rrafshi prerës paralel me bazën.

Baza dhe seksioni përkatës i një piramide të cunguar quhen bazat e një piramide të cunguar.

Një pingul i tërhequr nga çdo pikë e një baze në rrafshin e tjetrës quhet lartësia e një piramide të cunguar.

Detyrat

nr 1. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe, pika O është qendra e bazës, SO=8 cm, BD=30 cm Gjeni skajin anësor SA.

Zgjidhja e problemeve

nr 1. Në një piramidë të rregullt, të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta.

Konsideroni OSB: OSB është një drejtkëndësh drejtkëndësh, sepse.

SB 2 =SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramida në arkitekturë

Një piramidë është një strukturë monumentale në formën e një të rregullti të zakonshëm piramida gjeometrike, në të cilën palët konvergojnë në një pikë. Sipas qëllimit të tyre funksional, piramidat në kohët e lashta ishin vende varrimi ose adhurimi kulti. Baza e një piramide mund të jetë trekëndore, katërkëndore ose në formën e një shumëkëndëshi me një numër arbitrar kulmesh, por versioni më i zakonshëm është baza katërkëndore.

Ka një numër të konsiderueshëm piramidash të ndërtuara nga kultura të ndryshme. Bota e lashtë kryesisht si tempuj apo monumente. Piramidat e mëdha përfshijnë piramidat egjiptiane.

Në të gjithë Tokën mund të shihni struktura arkitekturore në formën e piramidave. Ndërtesat piramidale të kujtojnë kohët e lashta dhe duken shumë bukur.

Piramidat egjiptiane monumentet më të mëdha arkitekturore të Egjiptit të Lashtë, duke përfshirë një nga "Shtatë mrekullitë e botës", Piramidën e Keopsit. Nga këmba deri në majë arrin 137.3 m, dhe para se të humbiste majën, lartësia e saj ishte 146.7 m.

Ndërtesa e radiostacionit në kryeqytetin e Sllovakisë, që i ngjan një piramide të përmbysur, është ndërtuar në vitin 1983. Përveç zyrave dhe ambientet e zyrës, brenda vëllimit ka një sallë koncertesh mjaft të bollshme, e cila ka një nga më organe të mëdha në Sllovaki.

Luvri, i cili është "i heshtur, i pandryshuar dhe madhështor, si një piramidë", ka pësuar shumë ndryshime gjatë shekujve përpara se të bëhej muzeu më i madh në botë. Ajo lindi si një kështjellë, e ngritur nga Philip Augustus në 1190, e cila shpejt u bë një rezidencë mbretërore. Në 1793 pallati u bë muze. Koleksionet pasurohen nëpërmjet amaneteve apo blerjeve.

Nxënësit ndeshen me konceptin e një piramide shumë kohë përpara se të studiojnë gjeometrinë. Faji qëndron tek mrekullitë e famshme të mëdha egjiptiane të botës. Prandaj, kur fillojnë të studiojnë këtë poliedron të mrekullueshëm, shumica e studentëve tashmë e imagjinojnë qartë atë. Të gjitha atraksionet e sipërpërmendura kanë formën e duhur. Cfare ndodhi piramida e rregullt, dhe cilat veti ka do të diskutohet më tej.

Në kontakt me

Përkufizimi

Ka shumë përkufizime të një piramide. Që nga kohërat e lashta, ajo ka qenë shumë e popullarizuar.

Për shembull, Euklidi e përcaktoi atë si një figurë trupore të përbërë nga rrafshe që, duke filluar nga një, konvergojnë në një pikë të caktuar.

Heron dha një formulim më të saktë. Ai këmbënguli se kjo ishte shifra që ka një bazë dhe plane në formën e trekëndëshave, duke konverguar në një pikë.

Duke u mbështetur në interpretimi modern, piramida përfaqësohet si një poliedron hapësinor i përbërë nga një k-gon dhe k figura trekëndore të sheshta që kanë një pikë të përbashkët.

Le ta shohim më në detaje, nga cilat elemente përbëhet:

• K-gon konsiderohet baza e figurës;
• Format 3-gonale dalin si skajet e pjesës anësore;
• pjesa e sipërme nga e cila burojnë elementet anësore quhet maja;
• të gjithë segmentet që lidhin një kulm quhen skaje;
• nëse një vijë e drejtë ulet nga kulmi në rrafshin e figurës në një kënd prej 90 gradë, atëherë pjesa e saj që gjendet në hapësirën e brendshme është lartësia e piramidës;
• në çdo element anësor, një pingul, i quajtur apotemë, mund të tërhiqet në anën e shumëkëndëshit tonë.

Numri i skajeve llogaritet duke përdorur formulën 2*k, ku k është numri i anëve të k-gonit. Sa faqe ka një shumëfaqësh si një piramidë, mund të përcaktohet duke përdorur shprehjen k+1.

E rëndësishme! Piramida formën e saktë quhet një figurë stereometrike, rrafshi bazë i së cilës është një k-gon me brinjë të barabarta.

Vetitë themelore

Piramida e saktë ka shumë veti, të cilat janë unike për të. Le t'i rendisim ato:

1. Baza është një figurë e formës së duhur.
2. Skajet e piramidës që kufizojnë elementet anësore kanë vlera numerike të barabarta.
3. Elementet anësore janë trekëndësha dykëndësh.
4. Baza e lartësisë së figurës bie në qendër të shumëkëndëshit, ndërsa është njëkohësisht pika qendrore e të brendashkruarit dhe të rrethuarit.
5. Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd.
6. Të gjitha sipërfaqet anësore kanë të njëjtin kënd të prirjes në lidhje me bazën.

Falë të gjitha vetive të listuara, kryerja e llogaritjeve të elementeve është shumë më e thjeshtë. Bazuar në vetitë e mësipërme, ne i kushtojmë vëmendje dy shenja:

1. Në rastin kur shumëkëndëshi përshtatet në një rreth, faqet anësore do të kenë kënde të barabarta me bazën.
2. Kur përshkruani një rreth rreth një shumëkëndëshi, të gjitha skajet e piramidës që dalin nga kulmi do të kenë gjatësi të barabarta dhe kënde të barabarta me bazën.

Baza është një katror

Piramida e rregullt katërkëndore - një shumëkëndësh baza e të cilit është katror.

Ka katër faqe anësore, të cilat në pamje janë të njëtrajtshme.

Një katror është përshkruar në një plan, por bazohet në të gjitha vetitë e një katërkëndëshi të rregullt.

Për shembull, nëse është e nevojshme të lidhni anën e një katrori me diagonalen e tij, atëherë përdorni formulën e mëposhtme: diagonalja është e barabartë me produktin e anës së katrorit dhe rrënjës katrore të dy.

Ai bazohet në një trekëndësh të rregullt

Një piramidë e rregullt trekëndore është një shumëfaqësh, baza e të cilit është një 3-këndësh i rregullt.

Nëse baza është një trekëndësh i rregullt dhe skajet anësore janë të barabarta me skajet e bazës, atëherë një figurë e tillë quajtur një katërkëndor.

Të gjitha faqet e një katërkëndëshi janë 3-këndësh barabrinjës. Në këtë rast, duhet të dini disa pika dhe të mos humbni kohë për to kur llogaritni:

• këndi i prirjes së brinjëve në çdo bazë është 60 gradë;
• madhësia e të gjitha fytyrave të brendshme është gjithashtu 60 gradë;
• çdo fytyrë mund të veprojë si bazë;
• , të vizatuar brenda figurës, këto janë elemente të barabarta.

Seksionet e një poliedri

Në çdo poliedron ka disa lloje seksionesh banesë. Shpesh në një kurs të gjeometrisë shkollore ata punojnë me dy:

• boshtore;
• paralel me bazën.

Një seksion boshtor fitohet duke kryqëzuar një shumëfaqësh me një plan që kalon nëpër kulm, skajet anësore dhe boshtin. Në këtë rast, boshti është lartësia e tërhequr nga kulmi. Aeroplani i prerjes është i kufizuar nga linjat e kryqëzimit me të gjitha fytyrat, duke rezultuar në një trekëndësh.

Kujdes! Në një piramidë të rregullt, seksioni boshtor është një trekëndësh dykëndësh.

Nëse rrafshi i prerjes shkon paralelisht me bazën, atëherë rezultati është opsioni i dytë. Në këtë rast, kemi një figurë tërthore të ngjashme me bazën.

Për shembull, nëse ka një katror në bazë, atëherë seksioni paralel me bazën do të jetë gjithashtu një katror, ​​vetëm me dimensione më të vogla.

Kur zgjidhin probleme në këtë kusht, ata përdorin shenja dhe veti të ngjashmërisë së figurave, bazuar në teoremën e Talesit. Para së gjithash, është e nevojshme të përcaktohet koeficienti i ngjashmërisë.

Nëse rrafshi është tërhequr paralel me bazën dhe ai ndërpritet pjesa e sipërme poliedrik, atëherë në pjesën e poshtme fitohet një piramidë e rregullt e cunguar. Atëherë bazat e një shumëkëndëshi të cunguar thuhet se janë shumëkëndësha të ngjashëm. Në këtë rast, faqet anësore janë trapezoide izoscele. Seksioni boshtor është gjithashtu i njëtrajtshëm.

Për të përcaktuar lartësinë e një poliedri të cunguar, është e nevojshme të vizatoni lartësinë në seksionin boshtor, domethënë në trapezoid.

Sipërfaqet

Problemet kryesore gjeometrike që duhet të zgjidhen në një lëndë të gjeometrisë shkollore janë gjetja e sipërfaqes dhe vëllimit të një piramide.

Ekzistojnë dy lloje të vlerave të sipërfaqes:

• zona e elementeve anësore;
• sipërfaqe të të gjithë sipërfaqes.

Nga vetë emri është e qartë se për çfarë po flasim. Sipërfaqja anësore përfshin vetëm elemente anësore. Nga kjo rrjedh se për ta gjetur atë, thjesht duhet të shtoni zonat e planeve anësore, domethënë zonat e 3-goneve izosceles. Le të përpiqemi të nxjerrim formulën për sipërfaqen e elementeve anësore:

1. Sipërfaqja e një ekuilibri 3 këndësh është Str=1/2(aL), ku a është ana e bazës, L është apotema.
2. Numri i planeve anësore varet nga lloji i k-gonit në bazë. Për shembull, një piramidë e rregullt katërkëndore ka katër plane anësore. Prandaj, është e nevojshme të mblidhen sipërfaqet e katër figurave Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Shprehja është thjeshtuar në këtë mënyrë sepse vlera është 4a = Rosn, ku Rosn është perimetri i bazës. Dhe shprehja 1/2*Rosn është gjysmëperimetri i saj.
3. Pra, konkludojmë se sipërfaqja e elementeve anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me produktin e gjysmëperimetrit të bazës dhe apotemës: Sside = Rosn * L.

Sipërfaqja e përgjithshme e piramidës përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të rrafsheve anësore dhe bazës: Sp.p = Side + Sbas.

Sa i përket zonës së bazës, këtu formula përdoret sipas llojit të poligonit.

Vëllimi i një piramide të rregullt e barabartë me produktin e sipërfaqes së planit bazë dhe lartësinë e pjesëtuar me tre: V=1/3*Sbas*H, ku H është lartësia e shumëkëndëshit.

Çfarë është një piramidë e rregullt në gjeometri

Vetitë e një piramide të rregullt katërkëndore

Një piramidë trekëndore është një piramidë që ka një trekëndësh në bazën e saj. Lartësia e kësaj piramide është pingulja që ulet nga maja e piramidës në bazën e saj.

Gjetja e lartësisë së një piramide

Si të gjeni lartësinë e një piramide? Shume e thjeshte! Për të gjetur lartësinë e çdo piramide trekëndore, mund të përdorni formulën e vëllimit: V = (1/3)Sh, ku S është zona e bazës, V është vëllimi i piramidës, h është lartësia e saj. Nga kjo formulë, nxirrni formulën e lartësisë: për të gjetur lartësinë e një piramide trekëndore, duhet të shumëzoni vëllimin e piramidës me 3, dhe më pas ndani vlerën që rezulton me sipërfaqen e bazës, do të jetë: h = (3V)/S. Meqenëse baza e një piramide trekëndore është një trekëndësh, mund të përdorni formulën për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse dimë: sipërfaqen e trekëndëshit S dhe brinjën e tij z, atëherë sipas formulës së sipërfaqes S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, ku h është lartësia e piramidës, γ. është buza e trekëndëshit; këndi midis brinjëve të trekëndëshit dhe vetë dy brinjëve, pastaj duke përdorur formulën e mëposhtme: S = (1/2)γφsinQ, ku γ, φ janë brinjët e trekëndëshit, gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit. Vlera e sinusit të këndit Q duhet parë në tabelën e sinuseve, e cila është e disponueshme në internet. Më pas, ne zëvendësojmë vlerën e zonës në formulën e lartësisë: h = (2S)/γ. Nëse detyra kërkon llogaritjen e lartësisë së një piramide trekëndore, atëherë vëllimi i piramidës dihet tashmë.

Piramida e rregullt trekëndore

Gjeni lartësinë e një piramide të rregullt trekëndore, domethënë një piramide në të cilën të gjitha faqet janë trekëndësha barabrinjës, duke ditur madhësinë e skajit γ. Në këtë rast, skajet e piramidës janë anët e trekëndëshave barabrinjës. Lartësia e një piramide të rregullt trekëndore do të jetë: h = γ√(2/3), ku γ është buza e trekëndëshit barabrinjës, h është lartësia e piramidës. Nëse zona e bazës (S) është e panjohur dhe jepet vetëm gjatësia e skajit (γ) dhe vëllimi (V) i poliedrit, atëherë ndryshorja e nevojshme në formulën nga hapi i mëparshëm duhet të zëvendësohet. nga ekuivalenti i tij, i cili shprehet në terma të gjatësisë së skajit. Sipërfaqja e një trekëndëshi (e rregullt) është e barabartë me 1/4 e produktit të gjatësisë anësore të këtij trekëndëshi në katror me rrënjën katrore prej 3. Ne e zëvendësojmë këtë formulë në vend të sipërfaqes së bazës në të mëparshmen formulën, dhe marrim formulën e mëposhtme: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Vëllimi i një tetraedri mund të shprehet përmes gjatësisë së skajit të tij, pastaj nga formula për llogaritjen e lartësisë së një figure, mund të hiqni të gjitha variablat dhe të lini vetëm anën e faqes trekëndore të figurës. Vëllimi i një piramide të tillë mund të llogaritet duke pjesëtuar me 12 nga produkti gjatësinë e kubit të faqes së saj me rrënjën katrore prej 2.

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën e mëparshme, marrim formulën e mëposhtme për llogaritjen: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Gjithashtu e saktë prizëm trekëndor mund të futet në një sferë dhe duke ditur vetëm rrezen e sferës (R) mund të gjesh lartësinë e vetë tetraedrit. Gjatësia e skajit të tetraedrit është: γ = 4R/√6. Ne zëvendësojmë variablin γ me këtë shprehje në formulën e mëparshme dhe marrim formulën: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. E njëjta formulë mund të merret duke ditur rrezen (R) të një rrethi të gdhendur në një katërkëndor. Në këtë rast, gjatësia e skajit të trekëndëshit do të jetë e barabartë me 12 raporte ndërmjet rrenja katrore prej 6 dhe rreze. Këtë shprehje e zëvendësojmë me formulën e mëparshme dhe kemi: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Si të gjeni lartësinë e një piramide të rregullt katërkëndore

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të gjeni gjatësinë e lartësisë së një piramide, duhet të dini se çfarë është një piramidë e rregullt. Një piramidë katërkëndore është një piramidë që ka një katërkëndësh në bazën e saj. Nëse në kushtet e problemit kemi: vëllimin (V) dhe sipërfaqen e bazës (S) të piramidës, atëherë formula për llogaritjen e lartësisë së poliedrit (h) do të jetë si më poshtë - ndani vëllimin e shumëzuar. me 3 nga zona S: h = (3V)/S. Duke pasur parasysh një bazë katrore të një piramide me një vëllim të caktuar (V) dhe gjatësi të anës γ, zëvendësoni zonën (S) në formulën e mëparshme me katrorin e gjatësisë së anës: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Lartësia e një piramide të rregullt h = SO kalon pikërisht nga qendra e rrethit që është rrethuar afër bazës. Meqenëse baza e kësaj piramide është një katror, ​​pika O është pika e kryqëzimit të diagonaleve AD dhe BC. Kemi: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Më pas, ne jemi në trekëndësh kënddrejtë Ne gjejmë SOC (duke përdorur teoremën e Pitagorës): SO = √(SC 2 -OC 2). Tani ju e dini se si të gjeni lartësinë e një piramide të rregullt.

Këtu mund të gjeni informacione bazë për piramidat dhe formulat dhe konceptet përkatëse. Të gjithë ata studiohen me një mësues matematike në përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Konsideroni një plan, një shumëkëndësh , i shtrirë në të dhe një pikë S, jo e shtrirë në të. Le të lidhim S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Polyedroni që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen brinjë anësore. Shumëkëndëshi quhet bazë, dhe pika S është maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n=3), katërkëndore (n=4), pesëkëndëshe (n=5) e kështu me radhë. Një emër alternativ për një piramidë trekëndore është katërkëndësh. Lartësia e një piramide është pingulja që zbret nga maja e saj në rrafshin e bazës.

Një piramidë quhet e rregullt nëse një shumëkëndësh i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingules) është qendra e saj.

Komenti i tutorit:
Mos i ngatërroni konceptet e "piramidës së rregullt" dhe "tetraedrit të rregullt". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndor të rregullt, të 6 skajet janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Është e lehtë të vërtetohet se barazia nënkupton që qendra P e poligonit përkon me një lartësi bazë, pra një tetraedron i rregullt është një piramidë e rregullt.

Çfarë është një apotemë?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes anësore të saj. Nëse piramida është e rregullt, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. E kundërta nuk është e vërtetë.

Një mësues matematike për terminologjinë e tij: 80% e punës me piramida ndërtohet përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Që përmban apotemën SK dhe lartësinë SP
2) Që përmban skajin anësor SA dhe PA të projeksionit të tij

Për të thjeshtuar referencat ndaj këtyre trekëndëshave, është më e përshtatshme që një mësues matematike të thërrasë të parin prej tyre apotemal, dhe e dyta bregdetare. Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë nga tekstet shkollore dhe mësuesi duhet ta prezantojë atë në mënyrë të njëanshme.

Formula për vëllimin e një piramide:
1) , ku është sipërfaqja e bazës së piramidës dhe është lartësia e piramidës
2), ku është rrezja e sferës së gdhendur dhe është sipërfaqja e sipërfaqes totale të piramidës.
3) , ku MN është distanca midis çdo dy skajesh kryqëzuese dhe është zona e paralelogramit të formuar nga mesi i katër skajeve të mbetura.

Vetia e bazës së lartësisë së një piramide:

Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha fytyrat anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë nga baza
3) Të gjitha apotemat janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është e prirur njësoj nga të gjitha faqet anësore

Komenti i mësuesit të matematikës: Ju lutemi vini re se të gjitha pikat kanë një gjë të përbashkët pronë e përgjithshme: në një mënyrë apo tjetër, fytyrat anësore janë të përfshira kudo (apotemat janë elementët e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për të mësuar: pika P përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar, bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet e saj anësore. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat apotema janë të barabartë.

Pika P përkon me qendrën e një rrethi të rrethuar pranë bazës së piramidës nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën
3) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësi