ინვერსიული მატრიცა, როგორ უნდა ამოხსნათ. მატრიცული ალგებრა - ინვერსიული მატრიცა

იპოვეთ თითოეული 2x2 მატრიცის განმარტება.ნებისმიერი მატრიცის თითოეული ელემენტი, ტრანსპოზიციის ჩათვლით, ასოცირდება შესაბამის 2x2 მატრიცასთან. იმისათვის, რომ იპოვოთ 2x2 მატრიცა, რომელიც შეესაბამება კონკრეტულ ელემენტს, გადაკვეთეთ ის მწკრივი და სვეტი, რომელშიც მდებარეობს ეს ელემენტი, ანუ თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ორიგინალური 3x3 მატრიცის ხუთი ელემენტი. ოთხი ელემენტი, რომლებიც არის შესაბამისი 2x2 მატრიცის ელემენტები, გადაკვეთილი დარჩება.

• მაგალითად, იმ ელემენტის 2x2 მატრიცის საპოვნელად, რომელიც მდებარეობს მეორე მწკრივისა და პირველი სვეტის კვეთაზე, გადაკვეთეთ ხუთი ელემენტი, რომლებიც მეორე რიგში და პირველ სვეტშია. დანარჩენი ოთხი ელემენტი არის შესაბამისი 2x2 მატრიცის ელემენტები.
• იპოვეთ თითოეული 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი. ამისათვის გამოაკელით მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს (იხ. ნახაზი).
• დეტალური ინფორმაცია 2x2 მატრიცების შესახებ, რომლებიც შეესაბამება 3x3 მატრიცის გარკვეულ ელემენტებს, შეგიძლიათ იხილოთ ინტერნეტში.

შექმენით კოფაქტორების მატრიცა.ჩაწერეთ ადრე მიღებული შედეგები კოფაქტორების ახალი მატრიცის სახით. ამისათვის ჩაწერეთ თითოეული 2x2 მატრიცის ნაპოვნი განმსაზღვრელი, სადაც მდებარეობდა 3x3 მატრიცის შესაბამისი ელემენტი. მაგალითად, თუ (1,1) ელემენტისთვის განიხილება 2x2 მატრიცა, ჩაწერეთ მისი განმსაზღვრელი პოზიციაზე (1,1). შემდეგ შეცვალეთ შესაბამისი ელემენტების ნიშნები გარკვეული ნიმუშის მიხედვით, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურაში.

• ნიშნის შეცვლის სქემა: პირველი ხაზის პირველი ელემენტის ნიშანი არ იცვლება; პირველი ხაზის მეორე ელემენტის ნიშანი შებრუნებულია; პირველი ხაზის მესამე ელემენტის ნიშანი არ იცვლება და ასე სტრიქონი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ნიშნები "+" და "-", რომლებიც ნაჩვენებია დიაგრამაზე (იხ. სურათი), არ მიუთითებს, რომ შესაბამისი ელემენტი იქნება დადებითი ან უარყოფითი. ამ შემთხვევაში, "+" ნიშანი მიუთითებს, რომ ელემენტის ნიშანი არ იცვლება, ხოლო "-" მიუთითებს, რომ ელემენტის ნიშანი შეიცვალა.
• დეტალური ინფორმაცია კოფაქტორული მატრიცების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ ინტერნეტში.
• ასე იპოვით ორიგინალური მატრიცის ასოცირებულ მატრიცას. მას ზოგჯერ უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატ მატრიცას. ასეთი მატრიცა აღინიშნება როგორც adj(M).

მიმდებარე მატრიცის თითოეული ელემენტი გაყავით განმსაზღვრელზე.მატრიცის M-ის განმსაზღვრელი გამოითვალა თავიდანვე, რათა შემოწმდეს შებრუნებული მატრიცის არსებობა. ახლა გავყოთ მიმდებარე მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ განმსაზღვრელზე. ჩაწერეთ თითოეული გაყოფის ოპერაციის შედეგი, სადაც მდებარეობს შესაბამისი ელემენტი. ასე რომ თქვენ იპოვით მატრიცას, ორიგინალის ინვერსიას.

• ნახატზე ნაჩვენები მატრიცის განმსაზღვრელი არის 1. ამრიგად, აქ ასოცირებული მატრიცა არის შებრუნებული მატრიცა (რადგან რომელიმე რიცხვის 1-ზე გაყოფა არ ცვლის მას).
• ზოგიერთ წყაროში გაყოფის ოპერაცია იცვლება 1/det(M-ზე) გამრავლებით. ამ შემთხვევაში, საბოლოო შედეგი არ იცვლება.

ჩაწერეთ შებრუნებული მატრიცა.ჩაწერეთ დიდი მატრიცის მარჯვენა ნახევარზე განლაგებული ელემენტები ცალკე მატრიცის სახით, რომელიც არის შებრუნებული მატრიცა.

შეიყვანეთ ორიგინალური მატრიცა კალკულატორის მეხსიერებაში.ამისათვის დააჭირეთ ღილაკს Matrix, თუ ეს შესაძლებელია. Texas Instruments კალკულატორისთვის შეიძლება დაგჭირდეთ მე-2 და Matrix ღილაკების დაჭერა.

აირჩიეთ რედაქტირების მენიუ.გააკეთეთ ეს ისრის ღილაკების ან შესაბამისი ფუნქციის ღილაკის გამოყენებით, რომელიც მდებარეობს კალკულატორის კლავიატურის ზედა ნაწილში (ღილაკის მდებარეობა დამოკიდებულია კალკულატორის მოდელზე).

შეიყვანეთ მატრიცის აღნიშვნა.გრაფიკული კალკულატორების უმეტესობას შეუძლია იმუშაოს 3-10 მატრიცით, რომელთა აღნიშვნაც შესაძლებელია ასო A-J. როგორც ზოგადი წესი, უბრალოდ აირჩიეთ [A] ორიგინალური მატრიცის აღსანიშნავად. შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს Enter.

შეიყვანეთ მატრიცის ზომა.ამ სტატიაში საუბარია 3x3 მატრიცებზე. მაგრამ გრაფიკული კალკულატორებს შეუძლიათ მატრიცებით მუშაობა დიდი ზომები. შეიყვანეთ რიგების რაოდენობა, დააჭირეთ ღილაკს Enter, შემდეგ შეიყვანეთ სვეტების რაოდენობა და კვლავ დააჭირეთ ღილაკს Enter.

შეიყვანეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი.მატრიცა გამოჩნდება კალკულატორის ეკრანზე. თუ მატრიცა უკვე შეყვანილია კალკულატორში, ის გამოჩნდება ეკრანზე. კურსორი გამოყოფს მატრიცის პირველ ელემენტს. შეიყვანეთ პირველი ელემენტის მნიშვნელობა და დააჭირეთ Enter. კურსორი ავტომატურად გადავა მატრიცის შემდეგ ელემენტზე.

ინვერსიების მსგავსია ბევრ თვისებაში.

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 5

✪ როგორ მოვძებნოთ ინვერსიული მატრიცა - bezbotvy

✪ ინვერსიული მატრიცა (ძებნის 2 გზა)

✪ ინვერსიული მატრიცა #1

✪ 2015-01-28. ინვერსიული მატრიცა 3x3

✪ 2015-01-27. ინვერსიული მატრიცა 2x2

სუბტიტრები

ინვერსიული მატრიცის თვისებები

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), სად det (\displaystyle \\det)აღნიშნავს განმსაზღვრელს.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))ორი კვადრატული ინვერსიული მატრიცისთვის A (\displaystyle A)და B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), სად (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))აღნიშნავს ტრანსპოზიციურ მატრიცას.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))ნებისმიერი კოეფიციენტისთვის k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• თუ საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა, (b არის არანულოვანი ვექტორი), სადაც x (\displaystyle x)არის სასურველი ვექტორი და თუ A − 1 (\displaystyle A^(-1))არსებობს, მაშინ x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ან ამოხსნის სივრცის განზომილება მეტია ნულზე, ან საერთოდ არ არსებობს.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის გზები

თუ მატრიცა შექცევადია, მაშინ მატრიცის ინვერსიის საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთ-ერთი შემდეგი მეთოდი:

ზუსტი (პირდაპირი) მეთოდები

გაუს-იორდანიის მეთოდი

ავიღოთ ორი მატრიცა: თავად ადა მარტოხელა ე. მოვიყვანოთ მატრიცა აიდენტურობის მატრიცას გაუს-იორდანიის მეთოდით, ტრანსფორმაციების გამოყენებით მწკრივებში (შეგიძლიათ გარდაქმნების გამოყენება სვეტებშიც, მაგრამ არა მიქსებში). ყოველი ოპერაციის პირველ მატრიცაზე გამოყენების შემდეგ, იგივე ოპერაცია მეორეზე. როდესაც პირველი მატრიცის დაყვანა იდენტურ ფორმამდე დასრულდება, მეორე მატრიცა ტოლი იქნება A -1.

გაუსის მეთოდის გამოყენებისას პირველი მატრიცა მარცხნიდან გამრავლდება ერთზე ელემენტარული მატრიცები Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(ტრანსვექცია ან დიაგონალური მატრიცა მთავარ დიაგონალზე, გარდა ერთი პოზიციისა):

მეორე მატრიცა ყველა ოპერაციის გამოყენების შემდეგ იქნება ტოლი Λ (\displaystyle \Lambda), ანუ იქნება სასურველი. ალგორითმის სირთულე - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

ალგებრული დამატებების მატრიცის გამოყენება

მატრიცა ინვერსიული მატრიცა A (\displaystyle A), წარმოადგენს ფორმაში

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

სად adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- მიმაგრებული მატრიცა;

ალგორითმის სირთულე დამოკიდებულია O det განმსაზღვრელი გამოთვლის ალგორითმის სირთულეზე და უდრის O(n²) O det.

LU/LUP დაშლის გამოყენება

მატრიცული განტოლება A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))შებრუნებული მატრიცისთვის X (\displaystyle X)შეიძლება ჩაითვალოს როგორც კოლექცია n (\displaystyle n)ფორმის სისტემები A x = b (\displaystyle Ax=b). აღნიშნეთ მე (\displaystyle i)- მატრიცის მე-ე სვეტი X (\displaystyle X)მეშვეობით X i (\displaystyle X_(i)); მერე A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),იმიტომ რომ მე (\displaystyle i)- მატრიცის მე-ე სვეტი I n (\displaystyle I_(n))არის ერთეული ვექტორი e i (\displaystyle e_(i)). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შებრუნებული მატრიცის პოვნა მცირდება n განტოლების ამოხსნით ერთი და იგივე მატრიცით და სხვადასხვა მარჯვენა მხარეებით. LUP გაფართოების (დრო O(n³)) გაშვების შემდეგ n განტოლებიდან თითოეულს O(n²) დრო სჭირდება ამოსახსნელად, ამიტომ სამუშაოს ამ ნაწილს ასევე სჭირდება O(n³) დრო.

თუ მატრიცა A არასინგულარულია, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისთვის LUP დაშლა P A = L U (\displaystyle PA=LU). დაე P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). შემდეგ, შებრუნებული მატრიცის თვისებებიდან შეგვიძლია დავწეროთ: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). თუ ამ ტოლობას გავამრავლებთ U-ზე და L-ზე, მაშინ მივიღებთ ფორმის ორ ტოლობას U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))და D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). ამ ტოლობებიდან პირველი არის n²-ის სისტემა წრფივი განტოლებებიამისთვის n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))რომლის მარჯვენა გვერდები ცნობილია (სამკუთხა მატრიცების თვისებებიდან). მეორე ასევე არის n² წრფივი განტოლებების სისტემა n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))რომლის მარჯვენა მხარეები ცნობილია (ასევე სამკუთხა მატრიცების თვისებებიდან). ისინი ერთად ქმნიან n² თანასწორობის სისტემას. ამ ტოლობების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია რეკურსიულად განვსაზღვროთ D მატრიცის ყველა n² ელემენტი. შემდეგ ტოლობიდან (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. ვიღებთ ტოლობას. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU დაშლის გამოყენების შემთხვევაში, არ არის საჭირო D მატრიცის სვეტების პერმუტაცია, მაგრამ გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს მაშინაც კი, თუ მატრიცა A არასიგნორულია.

ალგორითმის სირთულე არის O(n³).

განმეორებითი მეთოდები

შულცის მეთოდები

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\ begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\ბოლო(შემთხვევები)))

შეცდომის შეფასება

საწყისი მიახლოების არჩევანი

აქ განხილული განმეორებითი მატრიცის ინვერსიის პროცესებში საწყისი მიახლოების არჩევის პრობლემა არ გვაძლევს საშუალებას მივიჩნიოთ ისინი დამოუკიდებლად. უნივერსალური მეთოდები, კონკურენციას უწევს პირდაპირი ინვერსიის მეთოდებს, რომლებიც დაფუძნებულია, მაგალითად, LU მატრიცების დაშლაზე. არსებობს რამდენიმე რეკომენდაცია არჩევისთვის U 0 (\displaystyle U_(0)), პირობის შესრულების უზრუნველყოფა ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (მატრიცის სპექტრული რადიუსი ერთიანობაზე ნაკლებია), რაც აუცილებელია და საკმარისია პროცესის კონვერგენციისთვის. თუმცა, ამ შემთხვევაში, პირველ რიგში, საჭიროა იცოდეთ ზემოდან შებრუნებული მატრიცის A ან მატრიცის სპექტრის შეფასება. A A T (\displaystyle AA^(T))(კერძოდ, თუ A არის სიმეტრიული დადებითი განსაზღვრული მატრიცა და ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), მაშინ შეგიძლიათ აიღოთ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)სად ; თუ A არის თვითნებური არასინგული მატრიცა და ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), მაშინ დავუშვათ U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), სადაც ასევე α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\მარჯვნივ)); რა თქმა უნდა, სიტუაციის გამარტივება შესაძლებელია და იმ ფაქტის გამოყენებით ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), დადება U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). მეორეც, საწყისი მატრიცის ასეთი სპეციფიკაციით, ამის გარანტია არ არსებობს ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)იქნება პატარა (ალბათ კი ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), და მაღალი შეკვეთაკონვერგენციის მაჩვენებელი დაუყოვნებლივ არ ჩანს.

მაგალითები

მატრიცა 2x2

2x2 მატრიცის ინვერსია შესაძლებელია მხოლოდ იმ პირობით, რომ a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

ნებისმიერი არაინგულარული მატრიცისთვის A, არსებობს უნიკალური მატრიცა A -1 ისეთი, რომ

A*A -1 =A -1 *A = E,

სადაც E არის პირადობის მატრიცა A -1 მატრიცას A მატრიცის შებრუნებული ეწოდება.

თუ ვინმეს დაავიწყდა, იდენტურობის მატრიცაში, ერთეულებით შევსებული დიაგონალის გარდა, ყველა სხვა პოზიცია ივსება ნულებით, იდენტურობის მატრიცის მაგალითი:

ინვერსიული მატრიცის პოვნა მიმდებარე მატრიცის მეთოდით

ინვერსიული მატრიცა განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც A ij - ელემენტები a ij .

იმათ. მატრიცის ინვერსიის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი. შემდეგ იპოვნეთ ალგებრული დამატებები მისი ყველა ელემენტისთვის და შექმენით ახალი მატრიცა მათგან. შემდეგი, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ეს მატრიცა. და გაყავით ახალი მატრიცის თითოეული ელემენტი ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელზე.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

იპოვეთ A -1 მატრიცისთვის

ამოხსნა იპოვეთ A -1 მიმდებარე მატრიცის მეთოდით. ჩვენ გვაქვს det A = 2. ვიპოვოთ A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები. ამ შემთხვევაში, მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები იქნება თავად მატრიცის შესაბამისი ელემენტები, აღებული ნიშნით შესაბამისად ფორმულა

გვაქვს A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. ჩვენ ვქმნით მიმდებარე მატრიცას

ჩვენ გადავიტანთ მატრიცას A*:

ინვერსიულ მატრიცას ვპოულობთ ფორმულით:

ჩვენ ვიღებთ:

გამოიყენეთ მიმდებარე მატრიცის მეთოდი, რომ იპოვოთ A -1 თუ

ამოხსნა უპირველეს ყოვლისა ვიანგარიშებთ მოცემულ მატრიცას, რათა დავრწმუნდეთ, რომ შებრუნებული მატრიცა არსებობს. Ჩვენ გვაქვს

აქ მეორე რიგის ელემენტებს დავამატეთ მესამე რიგის ელემენტები, რომლებიც ადრე გავამრავლეთ (-1) და შემდეგ გავაფართოვეთ განმსაზღვრელი მეორე რიგით. ვინაიდან ამ მატრიცის განმარტება განსხვავდება ნულიდან, მაშინ მასზე შებრუნებული მატრიცა არსებობს. მიმდებარე მატრიცის ასაგებად, ჩვენ ვპოულობთ ამ მატრიცის ელემენტების ალგებრულ დანამატებს. Ჩვენ გვაქვს

ფორმულის მიხედვით

ჩვენ გადავიტანთ მატრიცას A*:

შემდეგ ფორმულის მიხედვით

შებრუნებული მატრიცის პოვნა ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდით

გარდა შებრუნებული მატრიცის პოვნის მეთოდისა, რომელიც გამომდინარეობს ფორმულიდან (ასოცირებული მატრიცის მეთოდი), არსებობს შებრუნებული მატრიცის პოვნის მეთოდი, რომელსაც ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდს უწოდებენ.

ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები

შემდეგ გარდაქმნებს ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები ეწოდება:

1) მწკრივების (სვეტების) გადანაცვლება;

2) მწკრივის (სვეტის) გამრავლება არანულოვანი რიცხვით;

3) რიგის (სვეტის) ელემენტების დამატება სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების, ადრე გამრავლებული გარკვეულ რიცხვზე.

A -1 მატრიცის საპოვნელად, ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა მატრიცას B \u003d (A | E) ბრძანებების (n; 2n), მატრიცას A-ს ვაძლევთ იდენტურობის მატრიცას E გამყოფი ხაზის მეშვეობით:

განვიხილოთ მაგალითი.

ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ A -1 თუ

ამოხსნა ვქმნით მატრიცას B:

აღნიშნეთ B მატრიცის რიგები α 1 , α 2 , α 3 მდე. შევასრულოთ შემდეგი გარდაქმნები B მატრიცის მწკრივებზე.

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს მოქმედებებზე მატრიცებით. კერძოდ, ამ ლექციის შესწავლისას თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა. Ვისწავლოთ. თუნდაც მათემატიკა მჭიდრო იყოს.

რა არის ინვერსიული მატრიცა? აქ შეგვიძლია ანალოგიის გაკეთება რეციპროკულებთან: განვიხილოთ, მაგალითად, ოპტიმისტური რიცხვი 5 და მისი ორმხრივი. ამ რიცხვების ნამრავლი ერთის ტოლია: . იგივეა მატრიცებზე! მატრიცისა და მისი ინვერსიის ნამრავლი არის - პირადობის მატრიცა, რომელიც არის რიცხვითი ერთეულის მატრიცული ანალოგი. თუმცა, პირველ რიგში, მოდით გადავწყვიტოთ მთავარი პრაქტიკული კითხვა, კერძოდ, ჩვენ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ ეს ძალიან შებრუნებული მატრიცა.

რა უნდა იცოდეთ და შეძლოთ შებრუნებული მატრიცის პოვნა? თქვენ უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება განმსაზღვრელი. უნდა გესმოდეთ რა არის მატრიცადა შეძლონ მათთან ერთად შეასრულონ რამდენიმე მოქმედება.

ინვერსიული მატრიცის მოსაძებნად ორი ძირითადი მეთოდი არსებობს:
გამოყენებით ალგებრული დამატებებიდა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

დღეს ჩვენ შევისწავლით პირველ, მარტივ გზას.

დავიწყოთ ყველაზე საშინელი და გაუგებარი. განვიხილოთ კვადრატიმატრიცა . ინვერსიული მატრიცა შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

სად არის მატრიცის განმსაზღვრელი, არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა.

ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია არსებობს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის, მატრიცები "ორი ორზე", "სამი სამზე" და ა.შ.

აღნიშვნა: როგორც უკვე შენიშნეთ, მატრიცის ინვერსია აღინიშნება ზემოწერით

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - ორი-ორ მატრიცით. ყველაზე ხშირად, რა თქმა უნდა, საჭიროა "სამი სამზე", მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მკაცრად გირჩევთ უფრო მარტივი დავალების შესწავლას, რომ ისწავლოთ ზოგადი პრინციპიგადაწყვეტილებები.

მაგალითი:

იპოვეთ მატრიცის ინვერსია

Ჩვენ ვწყვეტთ. მოქმედებების თანმიმდევრობა მოხერხებულად იყოფა წერტილებად.

1) ჯერ ვპოულობთ მატრიცის განმსაზღვრელს.

თუ ამ მოქმედების გაგება არ არის კარგი, წაიკითხეთ მასალა როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

Მნიშვნელოვანი!თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ᲜᲣᲚᲘ- ინვერსიული მატრიცა ᲐᲠ ᲐᲠᲡᲔᲑᲝᲑᲡ.

განსახილველ მაგალითში, როგორც აღმოჩნდა, , რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი რიგზეა.

2) იპოვეთ მცირეწლოვანთა მატრიცა.

ჩვენი პრობლემის მოსაგვარებლად არ არის აუცილებელი ვიცოდეთ რა არის არასრულწლოვანი, თუმცა სასურველია სტატიის წაკითხვა როგორ გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი.

მცირეწლოვანთა მატრიცას აქვს იგივე ზომები, რაც მატრიცას, ანუ ამ შემთხვევაში.
საქმე მცირეა, რჩება ოთხი რიცხვის პოვნა და ვარსკვლავის ნაცვლად მათი დადება.

დაუბრუნდით ჩვენს მატრიცას
ჯერ ზედა მარცხენა ელემენტს გადავხედოთ:

როგორ მოვძებნოთ მცირეწლოვანი?
და ეს კეთდება ასე: გონებრივად გადაკვეთეთ ის მწკრივი და სვეტი, რომელშიც მდებარეობს ეს ელემენტი:

დარჩენილი რიცხვი არის მოცემული ელემენტის უმნიშვნელო, რომელსაც ჩვენ ვწერთ არასრულწლოვანთა ჩვენს მატრიცაში:

განვიხილოთ შემდეგი მატრიცის ელემენტი:

გონებრივად გადაკვეთეთ სტრიქონი და სვეტი, რომელშიც მდებარეობს ეს ელემენტი:

რჩება ამ ელემენტის მინორი, რომელსაც ჩვენ ვწერთ ჩვენს მატრიცაში:

ანალოგიურად, ჩვენ განვიხილავთ მეორე რიგის ელემენტებს და ვპოულობთ მათ მცირე რაოდენობას:


მზადაა.

Ეს მარტივია. არასრულწლოვანთა მატრიცაში გჭირდებათ ნიშნების შეცვლაორი ნომრისთვის:

სწორედ ეს რიცხვები შემოვხაზე!

არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების მატრიცა.

და მხოლოდ რაღაც…

4) იპოვეთ ალგებრული დამატებების ტრანსპოზიციური მატრიცა.

არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა.

5) პასუხი.

გახსოვდეთ ჩვენი ფორმულა
ყველა ნაპოვნია!

ასე რომ, შებრუნებული მატრიცა არის:

უმჯობესია დატოვოთ პასუხი ისე, როგორც არის. ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი 2-ზე, როგორც მიიღებთ წილადი რიცხვები. Დეტალებში ეს ნიუანსიგანხილულია იმავე სტატიაში. მოქმედებები მატრიცებით.

როგორ შევამოწმოთ გამოსავალი?

მატრიცის გამრავლება ან უნდა განხორციელდეს

გამოცდა:

უკვე ნახსენები პირადობის მატრიცაარის მატრიცა ერთეულებით მთავარი დიაგონალიდა სხვაგან ნულები.

ამრიგად, ინვერსიული მატრიცა სწორად არის ნაპოვნი.

თუ თქვენ შეასრულებთ მოქმედებას, მაშინ შედეგი ასევე იქნება იდენტურობის მატრიცა. ეს არის ერთ-ერთი იმ რამდენიმე შემთხვევიდან, როდესაც მატრიცის გამრავლება შეუცვლელია, მეტი დეტალური ინფორმაციაშეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში მატრიცებზე მოქმედებების თვისებები. მატრიცული გამონათქვამები. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ შემოწმების დროს მუდმივი (ფრაქცია) წინ მიიწევს და მუშავდება ბოლომდე - მატრიცის გამრავლების შემდეგ. ეს არის სტანდარტული მიღება.

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაში უფრო გავრცელებულ შემთხვევაზე - სამ-სამ მატრიცაზე:

მაგალითი:

იპოვეთ მატრიცის ინვერსია

ალგორითმი ზუსტად იგივეა, რაც ორ-ორ შემთხვევაში.

შებრუნებულ მატრიცას ვპოულობთ ფორმულით: , სადაც არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა.

1) იპოვეთ მატრიცის განმსაზღვრელი.

აქ ვლინდება განმსაზღვრელი პირველ ხაზზე.

ასევე, არ დაგავიწყდეთ ეს, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი კარგად არის - შებრუნებული მატრიცა არსებობს.

2) იპოვეთ მცირეწლოვანთა მატრიცა.

არასრულწლოვანთა მატრიცას აქვს განზომილება "სამი სამზე" და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცხრა ნომერი.

მე დეტალურად გადავხედავ რამდენიმე არასრულწლოვანს:

განვიხილოთ შემდეგი მატრიცის ელემენტი:

გონებრივად გადაკვეთეთ ის მწკრივი და სვეტი, რომელშიც მდებარეობს ეს ელემენტი:

დარჩენილი ოთხი რიცხვი იწერება განმსაზღვრელში "ორი ორზე"

ეს ორ-ორ-ორ განმსაზღვრელი და არის მოცემული ელემენტის მინორი. ეს უნდა გამოითვალოს:


ესე იგი, იპოვეს მცირეწლოვანი, ჩვენ მას ვწერთ არასრულწლოვანთა მატრიცაში:

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, გამოსათვლელი ცხრა ორი-ორ განმსაზღვრელია. პროცესი, რა თქმა უნდა, სავალალოა, მაგრამ საქმე არ არის ყველაზე რთული, შეიძლება უარესიც იყოს.

კარგად, კონსოლიდაციისთვის - სურათებში სხვა არასრულწლოვნის პოვნა:

დანარჩენი არასრულწლოვნები თავად გამოთვალოთ.

Საბოლოო შედეგი:
არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების მინორების მატრიცა.

ის, რომ ყველა არასრულწლოვანი აღმოჩნდა ნეგატიური, არის დამთხვევა.

3) იპოვეთ ალგებრული მიმატებების მატრიცა.

არასრულწლოვანთა მატრიცაში აუცილებელია ნიშნების შეცვლამკაცრად შემდეგი ელემენტებისთვის:

Ამ შემთხვევაში:

"ოთხი ოთხზე" მატრიცისთვის შებრუნებული მატრიცის პოვნა არ განიხილება, რადგან მხოლოდ სადისტ მასწავლებელს შეუძლია ასეთი დავალების მიცემა (მოსწავლისთვის გამოთვალოს ერთი "ოთხი ოთხზე" განმსაზღვრელი და 16 "სამი სამზე" დეტერმინანტი). . ჩემს პრაქტიკაში მხოლოდ ერთი იყო ასეთი შემთხვევა და დამკვეთი საკონტროლო სამუშაოძვირად გადაიხადა ჩემი ტანჯვა =).

უამრავ სახელმძღვანელოში, სახელმძღვანელოში შეგიძლიათ იპოვოთ ოდნავ განსხვავებული მიდგომა შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად, მაგრამ მე გირჩევთ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული ამოხსნის ალგორითმი. რატომ? რადგან გამოთვლებში და ნიშნებში დაბნევის ალბათობა გაცილებით ნაკლებია.

იყოს n-ე რიგის კვადრატული მატრიცა

მატრიცა A -1 ეწოდება ინვერსიული მატრიცა A მატრიცის მიმართ, თუ A * A -1 = E, სადაც E არის n-ე რიგის იდენტურობის მატრიცა.

იდენტობის მატრიცა- ასეთი კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა ელემენტი არის მთავარი დიაგონალის გასწვრივ, გადის მარცხნიდან ზედა კუთხექვედა მარჯვენა კუთხეში არის ერთი, ხოლო დანარჩენი არის ნულები, მაგალითად:

ინვერსიული მატრიცაშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვისიმათ. იმ მატრიცებისთვის, რომლებსაც აქვთ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა.

ინვერსიული მატრიცის არსებობის მდგომარეობის თეორემა

იმისთვის, რომ მატრიცას ჰქონდეს ინვერსიული მატრიცა, აუცილებელია და საკმარისი იყოს ის არადეგენერაციული.

მატრიცა A = (A1, A2,...A n) ეწოდება არადეგენერატითუ სვეტის ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. მატრიცის ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტის ვექტორების რაოდენობას მატრიცის რანგი ეწოდება. მაშასადამე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ინვერსიული მატრიცის არსებობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ მატრიცის რანგი უტოლდეს მის განზომილებას, ე.ი. r = n.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი

1. ჩაწერეთ A მატრიცა განტოლებათა სისტემების გაუსის მეთოდით ამოხსნის ცხრილში და მარჯვნივ (განტოლებათა მარჯვენა ნაწილების ადგილას) მიეცით მას E მატრიცა.
2. იორდანიის გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ მატრიცა A მატრიცაზე, რომელიც შედგება ერთი სვეტისაგან; ამ შემთხვევაში აუცილებელია E მატრიცის ერთდროულად გარდაქმნა.
3. საჭიროების შემთხვევაში, გადაანაწილეთ ბოლო ცხრილის რიგები (განტოლებები) ისე, რომ იდენტურობის მატრიცა E მიიღება თავდაპირველი ცხრილის A მატრიცის ქვეშ.
4. დაწერეთ შებრუნებული მატრიცა A -1, რომელიც ბოლო ცხრილშია საწყისი ცხრილის E მატრიცის ქვეშ.

A მატრიცისთვის იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა A -1

ამოხსნა: ჩავწერთ A მატრიცას და მარჯვნივ ვანიჭებთ იდენტობის მატრიცას E. იორდანიის გარდაქმნების გამოყენებით ვამცირებთ A მატრიცას იდენტურობის მატრიცამდე E. გამოთვლები ნაჩვენებია ცხრილში 31.1.

შევამოწმოთ გამოთვლების სისწორე თავდაპირველი მატრიცის A და შებრუნებული მატრიცის A -1-ის გამრავლებით.

მატრიცის გამრავლების შედეგად მიიღება იდენტურობის მატრიცა. ამიტომ, გათვლები სწორია.

პასუხი:

მატრიცული განტოლებების ამოხსნა

მატრიცული განტოლებები შეიძლება გამოიყურებოდეს:

AX = B, XA = B, AXB = C,

სადაც A, B, C მოცემულია მატრიცები, X არის სასურველი მატრიცა.

მატრიცული განტოლებები წყდება განტოლების შებრუნებულ მატრიცებზე გამრავლებით.

მაგალითად, განტოლებიდან მატრიცის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს განტოლება მარცხნივ.

ამიტომ, განტოლების ამოხსნის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა და გაამრავლოთ იგი განტოლების მარჯვენა მხარეს არსებულ მატრიცზე.

სხვა განტოლებები წყდება ანალოგიურად.

ამოხსენით განტოლება AX = B თუ

გამოსავალი: ვინაიდან მატრიცის შებრუნებული ტოლია (იხ. მაგალითი 1)

მატრიცული მეთოდი ეკონომიკურ ანალიზში

სხვებთან ერთად ისინიც პოულობენ აპლიკაციას მატრიცული მეთოდები . ეს მეთოდები ეფუძნება წრფივ და ვექტორულ-მატრიცულ ალგებრას. ასეთი მეთოდები გამოიყენება რთული და მრავალგანზომილებიანი ეკონომიკური ფენომენების ანალიზის მიზნით. ყველაზე ხშირად, ეს მეთოდები გამოიყენება მაშინ, როდესაც აუცილებელია ორგანიზაციების ფუნქციონირებისა და მათი სტრუქტურული დანაყოფების შედარება.

ანალიზის მატრიცული მეთოდების გამოყენების პროცესში შეიძლება გამოიყოს რამდენიმე ეტაპი.

პირველ ეტაპზესისტემა ყალიბდება ეკონომიკური მაჩვენებლებიდა მის საფუძველზე შედგენილია საწყისი მონაცემების მატრიცა, რომელიც წარმოადგენს ცხრილს, რომელშიც სისტემის ნომრები ნაჩვენებია მის ცალკეულ ხაზებში. (i = 1,2,....,n), ხოლო ვერტიკალური გრაფიკების გასწვრივ - ინდიკატორების რაოდენობა (j = 1,2,....,მ).

მეორე ეტაპზეთითოეული ვერტიკალური სვეტისთვის ვლინდება ინდიკატორების არსებული მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი, რომელიც აღებულია როგორც ერთეული.

ამის შემდეგ, ამ სვეტში ასახული ყველა თანხა იყოფა უმაღლესი ღირებულებადა იქმნება სტანდარტიზებული კოეფიციენტების მატრიცა.

მესამე ეტაპზემატრიცის ყველა კომპონენტი კვადრატშია. თუ მათ აქვთ განსხვავებული მნიშვნელობა, მაშინ მატრიცის თითოეულ ინდიკატორს ენიჭება გარკვეული წონის კოეფიციენტი კ. ამ უკანასკნელის ღირებულებას განსაზღვრავს ექსპერტი.

ბოლოზე მეოთხე ეტაპინაპოვნი რეიტინგების მნიშვნელობები რჯდაჯგუფებულია გაზრდის ან კლების მიხედვით.

ზემოაღნიშნული მატრიცული მეთოდები უნდა იქნას გამოყენებული, მაგალითად, როდის შედარებითი ანალიზისხვადასხვა საინვესტიციო პროექტები, ასევე ორგანიზაციების ეკონომიკური საქმიანობის სხვა მაჩვენებლების შეფასებისას.