Модели экспоненциального сглаживания и прогнозирования временных рядов. Тема: Методы экспоненциального сглаживания
Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.
Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед. Его основные достоинства простота процедуры вычислений и возможность учета весов исходной информации. Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания:
При прогнозировании данным методом возникает два затруднения:
- выбор значения параметра сглаживания α;
- определение начального значения Uo.
От величины α зависит , как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений. Если значение α близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.
Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.
Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле:
где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.
Задача выбора Uo (экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими способами:
- если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической и приравнять к ней Uo;
- если таких сведений нет, то в качестве Uo используют исходное первое значение базы прогноза У1.
Также можно воспользоваться экспертными оценками.
Отметим, что при изучении экономических временных рядов и прогнозировании экономических процессов метод экспоненциального сглаживания не всегда «срабатывает». Это обусловлено тем, что экономические временные ряды бывают слишком короткими (15-20 наблюдений), и в случае, когда темпы роста и прироста велики, данный метод не «успевает» отразить все изменения.
Пример применения метода экспоненциального сглаживания для разработки прогноза
Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %
- Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
- Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
- Сравните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение методом экспоненциального сглаживания
1) Определяем значение параметра сглаживания по формуле:
где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания. α = 2/ (10+1) = 0,2
2) Определяем начальное значение Uo двумя способами:
І способ (средняя арифметическая) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/10 = 22,13/10 = 2,21
II способ (принимаем первое значение базы прогноза) Uo = 2,99
3) Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого периода, используя формулу
где t – период, предшествующий прогнозному; t+1 – прогнозный период; Ut+1 - прогнозируемый показатель; α - параметр сглаживания; Уt - фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному; Ut - экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.
Например:
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,21 = 2,37 (І способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,37 = 2,43 (І способ) и т.д.
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II способ)
Uапр = 2,63*0,2+(1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II способ) и т.д.
4) По этой же формуле вычисляем прогнозное значение
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,08 = 1,95 (І способ)
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,18 = 2,03 (ІІ способ)
Результаты заносим в таблицу.
5) Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:
ε = 209,58/10 = 20,96% (І способ)
ε = 255,63/10 = 25,56% (ІІ способ)
В каждом случае точность прогноза является удовлетворительной поскольку средняя относительная ошибка попадает в пределы 20-50%.
Решив данную задачу методами скользящей средней и наименьших квадратов , сделаем выводы.
Простая и логически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:
Y t = b + e t
у, = Ь + г„ (11.5)
где b - константа, e - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание именно так и построено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не только те, которые попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:
S t = a y t + (1 - a) S t -1
Когда эта формула применяется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра a. Если a равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если aравен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.
На практике обычно рекомендуется брать a меньше 0,30. Однако выбор a больше 0,30 иногда дает более точный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение a по реальным данным, чем использовать общие рекомендации.
На практике оптимальный параметр сглаживания часто ищется с использованием процедуры поиска на сетке. Возможный диапазон значений параметра разбивается сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от a = 0,1 до a = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается такое значение a, для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.
Microsoft Excel располагает функцией Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), которая обычно используется для сглаживания уровней эмпирической временного ряда на основе метода простого экспоненциального сглаживания. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Tools Þ Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором следует выбрать значение Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание). В результате появится диалоговое окно Exponential Smoothing.
В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются практически те же параметры, что и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.
1. Input Range (Входные данные) - в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.
2. Labels (Метки) - данный флажок опции устанавливается в том случае, если
первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. Если заголовок отсутствует, флажок следует сбросить. В этом случае для данных выходного диапазона будут автоматически созданы стандартные названия.
3. Damping factor (Фактор затухания) - в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания а. По умолчанию принимаете значение а = 0,3.
4. Output options (Параметры вывода) - в этой группе, помимо указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), можно также потребовать автоматически построить график, для чего необходимо установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и рассчитать стандартные погрешности, для чего нужно установить флажок опции Standart Erroг (Стандартные погрешности).
Задание 2. С помощью программы Microsoft Excel, используя функцию Экспоненциального сглаживания (Exponential Smoothing), на основании данных об объеме выпуска Задания 1 рассчитать сглаженные уровни выпуска и стандартные погрешности. Затем представить фактические и прогнозируемые данные с помощью диаграммы. Подсказка: должна получиться таблица и график, аналогичный выполненному в задание 1, но с другими сглаженными уровнями и стандартными погрешностями.
Метод аналитического выравнивания
где - теоретические значения временного ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Определение теоретических (расчетных) значений , производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития временного ряда.
Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются следующие:
Линейная функция, график которой является прямой линией:
Показательная функция:
Y t = a 0 * a 1 t
Степенная функция второго порядка, график которой является параболой:
Y t = a 0 + a 1 * t + a 2 * t 2
Логарифмическая функция:
Y t = a 0 + a 1 * ln t
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:
где - выровненные (расчетные) уровни, а Yt - фактические уровни.
Параметры уравнения a i удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.
Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).
Выравнивание по показательной функции применяется, когда ряд отражает развитие в геометрической профессии, т.е. цепные коэффициенты роста практически постоянны.
Выравнивание по степенной функции (параболе второго порядка) используется, когда ряды динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста.
Выравнивание по логарифмической функции применяется, когда ряд отражает развитие с замедлением роста в конце периода, т.е. когда прирост в конечных уровнях временного ряда стремится к нулю.
По вычисленным параметрам выполняется синтез трендовой модели функции, т.е. получение значений a 0 , a 1 , a ,2 и их подстановка в искомое уравнение.
Правильность расчетов аналитических уровней можно проверить по следующему условию: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда. При этом может возникнуть небольшая погрешность в расчетах из-за округления вычисляемых величин:
Для оценки точности трендовой модели используется коэффициент детерминации:
где - дисперсия теоретических данных, полученных по трендовой модели, а - дисперсия эмпирических данных.
Трендовая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития при значениях R 2 , близких к 1.
После выбора наиболее адекватной модели можно сделать прогноз на любой из периодов. При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде следующим образом:
где среднее квадратическое отклонение от тренда; t a - табличное значение t- критерия Стьюдента при уровне значимости a , которое зависит от уровня значимостиa (%) и числа степеней свободы к = п - т. Величина - определяется по формуле:
где и – фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; п - число уровней ряда; т - количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т - 2, для уравнения параболы 2-го порядка т = 3).
После необходимых расчетов определяется интервал, в котором с определенной вероятностью будет находиться прогнозируемая величина.
С помощью Microsoft Excel строить трендовые модели достаточно просто. Сначала эмпирический временной ряд следует представить в виде диаграммы одного из следующих типов: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, точечная диаграмма, диаграмма с областями, а затем щелкнуть на диаграмме правой кнопкой мыши на одном из маркеров данных. В результате на диаграмме будет выделен сам временной ряд, а на экране раскроется контекстное меню. В этом меню следует выбрать команду Add Trendline (Добавить линию тренда). На экран будет выведено диалоговое окно Add Trendline.
На вкладке Туре (Тип) этого диалогового окна выбирается требуемый тип тренда:
1. линейный (Linear);
2. логарифмический (Logarithmic);
3. полиномиальный, от 2-й до 6-й степени включительно (Polinomial);
4. степенной (Power);
5. экспоненциальный (Exponential);
6. скользящее среднее, с указанием периода сглаживания от 2 до 15 (Moving Average).
На вкладке Options (Параметры) этого диалогового окна задаются дополнительные параметры тренда.
1. Trendline Name (Название сглаженной кривой) - в этой группе выбирается название, которое будет выведено на диаграмму для обозначения функции, использованной для сглаживания временного ряда. Возможны следующие варианты:
♦ Automatic (Автоматическое) - при установке переключателя в это положение Microsoft Excel автоматически формирует название функции сглаживания тренда, основываясь на выбранном типе тренда, например Linear (Линейная функция).
♦ Custom (Другое) - при установке переключателя в данное положение в поле справа можно ввести собственное название для функции тренда, длиной до 256 символов.
2. Forecast (Прогноз) - в этой группе можно указать, на сколько периодов вперед (поле Forward) требуется спроектировать линию тренда в будущее и на сколько периодов назад (поле Backward) следует спроектировать линию тренда в прошлое (эти поля недоступны в режиме скользящего среднего).
3. Set intercept (Пересечение кривой с осью Y в точке) - этот флажок опции и расположенное справа поле ввода позволяют непосредственно указать точку, в которой линия тренда должна пересекать ось Y (эти поля доступны не для всех режимов).
4. Display equation on chart (Показывать уравнение на диаграмме) - при установке этого флажка опции на диаграмму будет выведено уравнение, описывающее сглаживающую линию тренда.
5. Display R-squared value on chart (Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R 2) - при установке данного флажка опции на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации.
Вместе с линией тренда на графике временного ряда могут быть также изображены планки погрешностей. Для вставки планок погрешностей необходимо выделить ряд данных, щелкнуть на нем правой кнопкой мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню команду Format Data Series. На экране раскроется диалоговое окно Format Data Series (Формат ряда данных), в котором следует перейти на вкладку Y Error Bars (Y-погрешности).
На этой вкладке с помощью переключателя Error amount (Величина погрешности) выбирается тип планок и вариант их расчета в зависимости от вида погрешности.
1. Fixed value (Фиксированное значение) - при установке переключателя в это положение за допустимую величину ошибки принимается заданное в поле счетчика справа постоянное значение;
2. Percentage (Относительное значение) - при установке переключателя в данное положение для каждой точки данных вычисляется допустимое отклонение, исходя из заданного в поле счетчика справа значения процента;
3. Standard deviation(s) (Стандартное отклонение) - при установке переключателя в данное положение для каждой точки данных вычисляется стандартное отклонение, которое затем умножается на заданное в поле счетчика справа число (коэффициент кратности);
4. Standard error (Стандартная погрешность) - при установке переключателя в данное положение принимается стандартная величина ошибки, постоянная для всех элементов данных;
5. Custom (Пользовательская) - при установке переключателя в это положение вводится произвольный массив значений отклонений в положительную и/или отрицательную сторону (можно ввести ссылки на диапазон ячеек).
Планки погрешностей тоже можно форматировать. Для этого их следует выделить щелчком правой кнопки мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню команду Format Error Bars (Формат планок погрешностей).
Задание 3. С помощью программы Microsoft Excel на основании данных об объеме выпуска Задания 1 необходимо:
Представить временной ряд в виде графика, построенного с помощью мастера диаграмм. Затем добавить линию тренда, подбирая наиболее подходящий вариант уравнения.
Представить полученные результаты в виде таблицы «Подбор уравнения тренда»:
Таблица «Подбор уравнения тренда»
Представить выбранное уравнение графически, вынеся в график данные о наименовании полученной функции и величину достоверности аппроксимации (R 2).
Задание 4. Ответьте на следующие вопросы:
1. При анализе тренда для некоторого набора данных коэффициент детерминации для линейной модели оказался равен 0,95, для логарифмической - 0,8, а для полинома третьей степени - 0,9636. Какая трендовая модель наиболее адекватна изучаемому процессу:
а) линейная;
б) логарифмическая;
в) полином 3-й степени.
2. По данным, представленным в задании 1, спрогнозируйте объем выпуска продукции в 2003 году. Какая общая тенденция поведения исследуемой величины следует из результатов вашего прогноза:
а) наблюдается спад производства;
б) производство остается на прежнем уровне;
в) наблюдается рост производства.
В данном материале были рассмотрены основные характеристики временного ряда, модели декомпозиции временного ряда, а также основные методы сглаживания ряда - метод скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и аналитического выравнивания. Для решения этих задач Microsoft Excel предлагаются такие инструменты, как Moving Average (Скользящее среднее) и Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), которые позволяют сглаживать уровни эмпирического временного ряда, а также команда Add Trendiine (Добавить линию тренда), которая позволяет строить модели тренда и делать прогноз на основе имеющихся значений временного ряда.
P.S. Чтобы включить «Пакет анализ данных», выберите команду Tools →Data Analysis (Сервис → Анализ данных).
Если Data Analysis отсутствует, то необходимо выполнить следующие действия:
1. Выбрать команду Tools → Add-ins (Надстройки).
2. Выбрать в предложенном списке настроек значение Analysis ToolPak (Пакет анализа), а затем щелкнуть ОК. После этого будет выполнена загрузка и подключение к Excel пакета настройки «Анализ данных». Соответствующая команда появится в меню Tools.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27
Сервис позволит провести сглаживание временного ряда y t экспоненциальным методом, т.е. простроить модель Брауна (см. пример).
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .
Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S t , t = 1,2,...,n , то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:S t = (1-α)yt + αS t-1
В некоторых источниках приводится другая формула:
S t = αyt + (1-α)S t-1
Где α - параметр сглаживания (0 В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется (необоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0.1 до 0.3 . Других точных рекомендаций для выбора оптимальной величины параметра α пока нет. В отдельных случаях предлагается определять величину α исходя их длины сглаживаемого ряда: α = 2/(n+1).
Что касается начального параметра S 0 , то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у 1 , или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре α начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Достоинством этого метода является то, что при сглаживании не теряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого временного ряда.
Сглаживание экспоненциальным методом в Excel
Для вычисления каждого прогноза MS Excel использует отдельную, но алгебраически эквивалентную формулу. Оба компонента – данные предыдущего наблюдения и предыдущий прогноз – каждого прогноза умножаются на коэффициент, отображающий вклад данного компонента в текущий прогноз.Активизировать средство Экспоненциальное сглаживание можно, выбрав команду Сервис/Анализ данных после загрузки надстройки Пакет анализа ().
Пример
. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом экспоненциального сглаживания (α = 0.1).
В качестве S 0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S 0 = (50 + 56 + 46)/3 = 50.67
t | y | S t | Формула |
1 | 50 | 50.07 | (1 - 0.1)*50 + 0.1*50.67 |
2 | 56 | 55.41 | (1 - 0.1)*56 + 0.1*50.07 |
3 | 46 | 46.94 | (1 - 0.1)*46 + 0.1*55.41 |
4 | 48 | 47.89 | (1 - 0.1)*48 + 0.1*46.94 |
5 | 49 | 48.89 | (1 - 0.1)*49 + 0.1*47.89 |
6 | 46 | 46.29 | (1 - 0.1)*46 + 0.1*48.89 |
7 | 48 | 47.83 | (1 - 0.1)*48 + 0.1*46.29 |
8 | 47 | 47.08 | (1 - 0.1)*47 + 0.1*47.83 |
9 | 47 | 47.01 | (1 - 0.1)*47 + 0.1*47.08 |
10 | 49 | 48.8 | (1 - 0.1)*49 + 0.1*47.01 |
Скользящая средняя позволяет прекрасно сглаживать данные. Но ее главный недостаток заключатся в том, что каждое значение в исходных данных для нее имеет одинаковый вес. Например, для средней скользящей использующей период шести недель каждому значению для каждой недели уделяется 1/6 веса. В случае некоторых собранных статистических данных более актуальным значениям присваивается больший вес. Поэтому экспоненциальное сглаживание применятся для того, чтобы придать самым актуальным данным большего веса. Таким образом решается данная статистическая проблема.
Формула расчета метода экспоненциального сглаживания в Excel
Ниже на рисунке изображен отчет спроса на определенный продукт за 26 недель. Столбец «Спрос» содержит информацию о количестве проданного товара. В столбце «Прогноз» – формула:
В столбце «Скользящая средняя» определяется прогнозируемый спрос, рассчитанный с помощью обычного вычисления скользящей средней с периодом 6 недель:
В последнем столбце «Прогноз», с описанной выше формулой применяется метод экспоненциального сглаживания данных в которых значения последних недель имеет больший вес чем предыдущих.
Коэффициент «Альфа:» вводится в ячейке G1, он значит вес присвоения наиболее актуальным данным. В данном примере он имеет значение 30%. Остальные 70% веса распределяется на остальные данные. То есть второе значение с точки зрения актуальности (с право на лево) имеет вес равный 30% от оставшихся 70% веса – это 21%, третье значение имеет вес равен 30% от остальной части 70% веса – 14,7% и так далее.
График экспоненциального сглаживания
Ниже на рисунке изображен график спроса, среднее скользящие и прогноз методом экспоненциального сглаживания, который построен на основе исходных значений:
Обратите внимание, что прогноз с экспоненциальным сглаживанием более активно реагирует на изменения спроса чем скользящая средняя линия.
Данные для очередных предыдущих недель умножаются на коэффициент альфа, а результат добавляется к оставшейся части процентов веса умноженный на предыдущее прогнозируемое значение.
Экспоненциальное сглаживание – более сложный метод взвешенного среднего. Каждый новый прогноз основан на предыдущем прогнозе плюс процент разницы между этим прогнозом и фактическим значением ряда в этой точке.
F t = F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)
Где: F t – прогноз для периода t
F t -1 – прогноз для периода t-1
– сглаживающая константа
A t - 1 – фактический спрос или продажи для периода t-1
Константа сглаживания представляет собой процент от ошибки прогноза. Каждый новый прогноз равен предыдущему прогнозу плюс процент от предыдущей ошибки.
Чувствительность корректировки прогноза к ошибке определена константой сглаживания , чем ближе её значение к 0 , тем медленнее прогноз будет приспосабливаться к ошибкам прогноза (т.е. тем больше степень сглаживания). Наоборот, чем ближе значение к 1,0 , тем выше чувствительность и меньше сглаживание.
Выбор константы сглаживания – в основном вопрос свободного выбора или метода проб и ошибок. Цель состоит в том, чтобы выбрать такую константу сглаживания, чтобы, с одной стороны, прогноз остался достаточно чувствительным к реальным изменениям данных временного ряда, а с другой – хорошо сглаживал скачки, вызванные случайными факторами. Обычно используемые значения находятся в диапазоне от 0,05 до 0,50.
Экспоненциальное сглаживание – один из наиболее широко используемых методов прогнозирования, частично из – за минимальных требований по хранению данных и легкости вычисления, а частично из-за той лёгкости, с которой система коэффициентов значимости может быть изменена простым изменением значения .
Таблица 3. Экспоненциальное сглаживание
Период | Фактический спрос | α= 0,1 | α = 0,4 | ||
прогноз | ошибка | прогноз | ошибка | ||
10 000 | - | - | - | - | |
11 200 | 10 000 | 11 200-10 000=1 200 | 10 000 | 11 200-10 000=1 200 | |
11 500 | 10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120 | 11 500-10 120=1 380 | 10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480 | 11 500-10 480=1 020 | |
13 200 | 10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258 | 13 200-10 258=2 942 | 10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888 | 13 200-10 888=2 312 | |
14 500 | 10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552 | 14 500-10 552=3 948 | 10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813 | 14 500-11 813=2 687 | |
- | 10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947 | - | 11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888 | - |
Методы для тенденции
Существует два важных метода, которые можно использовать для разработки прогнозов, когда присутствует тенденция. Один из них предполагает использование уравнения тенденции; другой – расширение экспоненциального сглаживания.
Уравнение тенденции:
Линейное уравнение тенденции имеет следующий вид:
Y t = a + δ∙ t (3)
Где: t – определённое число периодов времени от t= 0 ;
Y t – прогноз периода t ;
α – значение Y t при t=0
δ – наклон линии.
Коэффициенты прямой α и δ , могут быть вычислены из статистических данных за определённый период, с использованием следующих двух уравнений:
δ= , (4)
α = , (5)
Где: n – число периодов,
y – значение временного ряда
Таблица 3. Уровень тенденции.
Период (t) | Год | Уровень продаж (y) | t∙y | t 2 | |
10 000 | 10 000 | ||||
11 200 | 22 400 | ||||
11 500 | 34 500 | ||||
13 200 | 52 800 | ||||
14 500 | 72 500 | ||||
Итого: | - | 60 400 | 192 200 |
Вычислим коэффициенты линии тенденции:
δ=
Таким образом, линия тенденции Y t = α + δ ∙ t
В нашем случае, Y t = 43 900+1 100 ∙t ,
Где t = 0 для периода 0.
Составим уравнение для периода 6 (2015 год) и 7 (2016 год):
– прогноз на 2015 год.
Y 7 = 43 900+1 100*7= 51 600
Построим график:
Экспоненциальное сглаживание тенденций
Разновидность простого экспоненциального сглаживания может использоваться, когда временной ряд выявляет тенденцию. Эта разновидность называется экспоненциальным сглаживание, учитывающим тенденцию или, иногда, двойным сглаживанием. Оно отличается от простого экспоненциального сглаживания, которое используется только тогда, когда данные изменяются вокруг некоторого среднего значения или имеют скачкообразные или постепенные изменения.
Если ряд выявляет тенденцию и при этом используется простое экспоненциальное сглаживание, то все прогнозы будут запаздывать по отношению к тенденции. Например, если данные увеличиваются, то каждый прогноз будет занижен. Наоборот, уменьшение данных даёт завышенный прогноз. Графическое отображение данных может показать, когда двойное сглаживание будет предпочтительнее, чем простое.
Скорректированный тенденцией прогноз (TAF) состоит из двух элементов: сглаженной ошибки и фактора тенденции.
TAF t +1 = S t + T t , (6)
Где: S t – сглаженный прогноз;
T t – оценка текущей тенденции
И S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)
T t = T t-1 + α 2 (TAF t –TAF t-1 – T t-1) (8)
Где α 1 , α 2 – сглаживающие константы.
Чтобы использовать этот метод, нужно выбрать значения α 1 , α 2 (обычным путём подбора) и сделать начальный прогноз и оценку тенденций.
Таблица 4. Экспоненциальное сглаживание тенденции.