Площадь сечения правильной четырехугольной призмы формула. Определение и свойства призмы

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ н а * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .

1. Наименьшее число ребер имеет тетраэдр - 6.

2. Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

(n - 2) - угольник.

3. Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?

Да, является.

4. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

В прямой призме.

5. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?

Нет, она может быть и не прямой.

6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?

Да, если эта грань перпендикулярна основаниям.

7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

а) да. б) нет.

8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?

По теореме п. 27 получаем, что боковые поверхности относятся, как 5: 3

9. Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?

10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?

11. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Нет, иначе бы через вершину пирамиды проходили бы как минимум две прямые, перпендикулярные основаниям.

12. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

Да (рис 183).

Общие сведения о прямой призме

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.

Практическое задание

Задача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

Обобщение пройденной темы

А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.

Свойства призмы

Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;

Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.

Какая призма называется прямой?

Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.

Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Какую призму называют наклонной?

А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.

Какую призму называют правильной?

Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.

Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.

Свойства правильной призмы

Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.

Сечение призмы

А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:

Домашнее задание

А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.

Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.

А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.

У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.

Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.

Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Многоугольники ABCDE и FHKMP , лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, перпендикуляр OO 1 , опущенный из любой точки основания на плоскость другого, называется высотой призмы. Параллелограммы ABHF , BCKH и т.д. называются боковыми гранями призмы, а их стороны СК , DM и т.д., соединяющие соответственные вершины оснований, - боковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны между собой как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Призма называется прямой (фиг.282,б ) или наклонной (фиг.282,в ) в зависимости от того, будут ли ее боковые ребра перпендикулярны или наклонны к основаниям. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. За высоту такой призмы можно принять боковое ребро.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники.
Для изображения на комплексном чертеже призмы надо знать и уметь изображать элементы, из которых она состоит (точку, прямую, плоскую фигуру).
и их изображение на комплексном чертеже (фиг.283, а - и)

а) Комплексный чертеж призмы. Основание призмы расположено на плоскости проекций П 1 ; одна из боковых граней призмы параллельна плоскости проекций П 2 .
б) Ниокнее основание призмы DEF - плоская фигура - правильный треугольник, расположенный в плоскости П 1 ; сторона треугольника DE параллельна оси х 12 - Горизонтальная проекция сливается с данным основанием и, следовательно, равна его натуральной величине; фронтальная проекция сливается с осью х 12 и равна стороне основания призмы.
в) Верхнее основание призмы АВС - плоская фигура - треугольник, расположенный в горизонтальной плоскости. Горизонтальная проекция сливается с проекцией нижнего основания и закрывает собой ее, так как призма прямая; фронтальная проекция - прямая, параллельная оси х 12 , на расстоянии высоты призмы.
г) Боковая грань призмы ABED - плоская фигура - прямоугольник, лежащий во фронтальной плоскости. Фронтальная проекция - прямоугольник, равный натуральной величине грани; горизонтальная проекция - прямая, равная стороне основания призмы.
д) и е) Боковые грани призмы ACFD и CBEF - плоские фигуры - прямоугольники, лежащие в горизонтально - проектирующих плоскостях, расположенных под углом 60° к плоскости проекций П 2 . Горизонтальные проекции - прямые, расположенные к оси х 12 под углом 60° , и равны натуральной величине сторон основания призмы; фронтальные проекции - прямоугольники, изображение которых меньше натуральной величины: две стороны каждого прямоугольника равны высоте призмы.
ж) Ребро AD призмы - прямая, перпендикулярная к плоскости проекций П 1 . Горизонтальная проекция - точка; фронтальная - прямая, перпендикулярная оси х 12 , равная боковому ребру призмы (высоте призмы).
з) Сторона АВ верхнего основания - прямая, параллельная плоскостям П 1 и П 2 . Горизонтальная и фронтальная проекции - прямые, параллельные оси х 12 и равные стороне данного основания призмы. Фронтальная проекция отстоит от оси х 12 на расстоянии, равном высоте призмы.
и) Вершины призмы. Точка Е - вершина нижнего основания расположена на плоскости П 1 . Горизонтальная проекция совпадает с самой точкой; фронтальная - лежит на оси x 12 .Точка С - вершина верхнего основания - расположена в пространстве. Горизонтальная проекция имеет глубину; фронтальная - высоту, равную высоте данной призмы.
Отсюда следует: проектируя всякий многогранник, надо мысленно расчленить его на составные элементы и определить порядок их изображения, состоящий из последовательных графических операций. На (фиг.284 и фиг.285) приведены примеры последовательных графических операций при выполнении комплексного чертежа и наглядного изображения (аксонометрии) призм.
(фиг.284).

Дано:
1. Основание расположено на плоскости проекций П 1 .
2. Ни одна из сторон основания не параллельна оси х 12 .
I. Комплексный чертеж.
I, а. Проектируем нижнее основание - многоугольник, по условию лежащий в плоскости П 1 .
I, б. Проектируем верхнее основание - многоугольник, равный нижнему основанию с соответственно параллельными нижнему основанию сторонами, отстоящий от нижнего основания на высоту H данной призмы.
I, в. Проектируем боковые ребра призмы - отрезки, расположенные параллельно; их горизонтальные проекции - точки, сливающиеся с проекциями вершин оснований; фронтальные - отрезки (параллельные), полученные от соединения прямыми одноименных проекций вершин оснований. Фронтальные проекции ребер, проведенные из проекций вершин В и С нижнего основания, изображаем штриховыми линиями, как невидимые.
I, г . Даны: горизонтальная проекция F 1 точки F на верхнем основании и фронтальная проекция К 2 точки К на боковой грани. Требуется определить места их вторых проекций.
Для точки F . Вторая (фронтальная) проекция F 2 точки F будет совпадать с проекцией верхнего основания, как точка, лежащая в плоскости этого основания; ее место определяется вертикальной линией связи.
Для точки К - Вторая (горизонтальная) проекция K 1 точки К будет совпадать с горизонтальной проекцией боковой грани, как точка, лежащая в плоскости грани; ее место определяется вертикальной линией связи.
II. Развертка поверхности призмы - плоская фигура, составленная из боковых граней - прямоугольников, у которых по две стороны равны высоте призмы, а другие две равны соответствующим сторонам основания, и из двух равных между собой оснований - неправильных многоугольников.
Натуральные размеры оснований и сторон граней, необходимые для построения развертки, выявлены на проекциях; по ним и производим построение; на прямой последовательно откладываем стороны АВ , ВС , CD , DE и ЕA многоугольника - основания призмы, взятые из горизонтальной проекции. На перпендикулярах, проведенных из точек А, В, С, D, Е и А, откладываем взятую из фронтальной проекции высоту Н данной призмы и через отметки проводим прямую. В результате получаем развертку боковых граней призмы.
Если к этой развертке пристроить основания призмы, получим развертку полной поверхности призмы. Основания призмы следует пристраивать к соответствующей боковой грани, пользуясь методом триангуляции.
На верхнем основании призмы при помощи радиусов R и R 1 определяем место точки F , а на боковой грани при помощи радиуса R 3 и Н 1 - точку K .
III. Наглядное изображение призмы в диметрии.
III, а. Изображаем нижнее основание призмы по координатам точек А, В, С, D и Е (фиг.284 I, a).
III, б. Изображаем верхнее основание параллельно нижнему, отстоящее от него на высоту Н призмы.
III, в. Изображаем боковые ребра, для чего соединяем прямыми соответствующие вершины оснований. Определяем видимые и невидимые элементы призмы и обводим их соответствующими линиями,
III, г. Определяем на поверхности призмы точки F и К - Точку F - на верхнем основании определяем при помощи размеров i и е ; точку К - на боковой грани при помощи i 1 и H" .
Для изометрического изображения призмы и определения мест точек F и К следует придерживаться той же последовательности.
фиг.285 ).

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Боковые ребра параллельны плоскости П 2 .
3. Ни одна из сторон основания не параллельна оси x 12
I. Комплексный чертеж.
I, а. Проектируем по данному условию: нижнее основание - многоугольник, лежащий в плоскости П 1 , и боковое ребро - отрезок, параллельный плоскости П 2 и наклонный к к плоскости П 1 .
I, б. Проектируем остальные боковые ребра - отрезки, равные и параллельные первому ребру СЕ .
I, в. Проектируем верхнее основание призмы как многоугольник, равный и параллельный нижнему основанию, получаем комплексный чертеж призмы.
Выявляем на проекциях невидимые элементы. Фронтальную проекцию ребра ВМ и горизонтальную проекцию стороны основания CD изображаем штриховыми линиями как невидимые.
I, г. Дана фронтальная проекция Q 2 точки Q на проекции A 2 K 2 F 2 D 2 боковой грани; требуется найти ее горизонтальную проекцию. Для этого проводим через точку Q 2 в проекции A 2 K 2 F 2 D 2 грани призмы вспомогательную прямую, параллельную боковым ребрам этой грани. Находим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место искомой горизонтальной проекции Q 1 точки Q .
II. Развертка поверхности призмы.
Имея на горизонтальной проекции натуральные размеры сторон основания, а на фронтальной - размеры ребер, можно построить полную развертку поверхности данной призмы.
Будем катить призму, повертывая ее каждый раз вокруг бокового ребра, тогда каждая боковая грань призмы на плоскости будет оставлять след (параллелограмм), равный ее натуральной величине. Построение боковой развертки будем производить в следующем порядке:
а) из точек А 2 , В 2 , D 2 . . . Е 2 (фронтальных проекций вершин оснований) проводим вспомогательные прямые, перпендикулярные к проекциям ребер;
б) радиусом R (равным стороне основания CD ) делаем на вспомогательной прямой, проведенной из точки D 2 , засечку в точке D ; соединив прямой точки С 2 и D и проведя прямые, параллельные E 2 С 2 и C 2 D , получим боковую грань CEFD ;
в) затем, аналогично пристроив следующие боковые грани, получим развертку боковых граней призмы. Для получения полной развертки поверхности данной призмы пристраиваем к соответствующим граням основания.
III. Наглядное изображение призмы в изометрии.
III, а. Изображаем нижнее основание призмы и ребро СЕ , пользуясь координатами согласно (

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.