Решение однородных тригонометрических уравнений. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение с.Тээли Республики Тыва
Разработка урока по математике
Тема урока:
«Однородные тригонометрические уравнения»
Преподаватель: Ооржак
Айлана Михайловна
Тема урока : «Однородные тригонометрические уравнения» (по учебнику А.Г. Мордковича)
Группа : Мастер растениеводства, 1 курс
Тип урока : Урок изучения нового материала.
Цели урока :
2. Развивать логическое мышление, умение делать выводы, умение оценивать результаты выполненных действий
3. Воспитывать у обучающихся аккуратность, чувство ответственности, воспитание положительных мотивов учения
Оборудование урока : ноутбук, проектор, экран, карточки, плакаты по тригонометрии: значения тригонометрических функций, основные формулы тригонометрии.
Продолжительность урока: 45 минут.
Структура урока:
Структурный элемент урока | Пд | (мин) | Методические особенности, краткие указания по проведению этапа урока | Деятельность преподавателя | Деятельность обучающихся |
|
Организационный момент | ||||||
Контроль явки учащихся. | α 0 | Преподаватель проверяет готовность к уроку | Дежурные сообщают отсутствующих на уроке |
|||
Актуализация опорных знаний | ||||||
Проверка домашнего задания | α 2 | Повторение основных понятий | Делает обход | 3 обучающихся у доски записывают решение. Остальные делают взаимопроверку |
||
Формирование новых знаний | ||||||
Мотивационный момент | α 2 | На экране примеры тригонометрических уравнений | Задает вопросы | Отвечают |
||
Объяснение новой темы | α 1 | На экране слайды с решением однородных тригонометрических уравнений | Преподаватель объясняет тему | Обучающиеся слушают и записывают |
Закрепление | ||||||
Решение примеров | α 2 | Слабые обучающиеся работают с преподавателем. Сильные обучающиеся работают самостоятельно. | Работает со слабыми обучающимися у доски. | Решают примеры |
||
Дифференцированная самостоятельная работа | α 2 | Раздать карточки | Делает обход. Контроль слабых обучающихся | Решают примеры |
||
Подведение итогов | α 1 | Подведение итогов урока. Сообщение оценок учащимся | Преподаватель подводит итог и сообщает оценки | Обучающиеся слушают |
||
Выдача домашнего задания | α 1 | Сообщить обучающимся домашнее задание | Преподаватель дает краткий инструктаж по домашнему заданию | Записывают домашнее задание |
Ход урока.
1. Организационный момент (1 мин)
Проверить готовность обучающихся к уроку, заслушать дежурных по группе.
2. Актуализация опорных знаний (3 мин)
2.1. Проверка домашнего задания.
Трое обучающихся решают у доски № 18.8 (в,г); № 18.19. Остальные обучающиеся делают взаимопроверку.
№ 18.8 (в) 5 cos 2 x + 6 sin x – 6 = 0 5 (1 - sin x) + 6 sin x – 6 = 0 5 - 5 sin 2 x + 6 sin x – 6 = 0 5 sin 2 x + 6 sin x – 1 = 0 5 sin 2 x – 6 sin x + 1 = 0 z=sin x, 5z 2 – 6 z + 1 = 0 z 1 = 1, sin x = 1, х= +2 π n , n Z z 2 = , sin x = , х= (-1) n arcsin + π n, n Z Ответ: х= +2 π n , х=(-1) n arcsin + π n, n Z | № 18.8 (г) 4 sin 3x + cos 2 3x = 4 4 sin 3x + (1-sin 2 3x) – 4 = 0 Sin 2 3x + 4 sin 3x – 3 = 0 sin 2 3x – 4 sin 3x + 3 = 0 z=sin 3x, z 2 – 4 z + 3 = 0 z 1 = 3, не удовлетворяет условию z 2 = 1, sin 3x =1, 3х= +2 π n , n Z X = + π n , n Z Ответ: x = + π n , n Z |
№ 18.19 (в) сos = 2x – = , n Z x 1 = , n Z x 2 = , n Z а) б) 0, , , в) - г) - , 0, |
3. Изучение нового материала (13 мин)
3.1. Мотивация обучающихся.
Обучающимся предлагается назвать уравнения, которые они знают и могут решить (слайд № 1)
1) 3 cos 2 х – 3 cos х = 0;
2) cos (х – 1) = ;
3) 2 sin 2 х + 3 sin х = 0;
4) 6 sin 2 х – 5 cos х + 5 = 0; 1 2
5) sin х cos х + cos²х = 0;
6) tg + 3ctg = 4.
7) 2sin х – 3cos х = 0;
8) sin 2 х + cos 2 х = 0;
9) sin²х – 3sinх cos х+2cos²х = 0.
Обучающиеся не смогут назвать решение уравнений 7-9.
3.2. Объяснение новой темы.
Преподаватель: Уравнения, которые вы не смогли решить довольно часто встречаются на практике. Они называются однородными тригонометрическими уравнениями. Записать тему урока: «Однородные тригонометрические уравнения». (слайд № 2)
На экране проектора определение однородных уравнений. (слайд № 3)
Рассмотреть метод решения однородных тригонометрических уравнений (слайд № 4, 5)
I степени | II степени |
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Разделим обе части уравнения почленно на cosx ≠ 0. Получим: a tgx + b = 0 Tgx = - – простейшее тригонометрическое уравнение | a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) если а ≠ 0, разделим обе части уравнения почленно на cos²x ≠0 Получим: a tg²x + b tgx + c = 0, решаем методом введения новой переменной z= tgx 2) если а = 0, то Получим: b sinx cosx + c cos²x =0, решаем методом разложения на множители |
При делении однородного уравнения a sinx + b cosx = 0 на cos x ≠ 0 | При делении однородного уравнения a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 на cos 2 x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. |
Разобрать решение примеров
Пример 1. Решить уравнение 2sin х – 3cos х = 0; (слайд № 6)
Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения почленно на cos x , получим:
2tg x – 3 = 0
tg x =
x = arctg + πn , n Z.
Ответ: x = arctg + π n, n Z.
Пример 2 . Решить уравнение sin 2 х + cos 2 х = 0; (слайд № 7)
Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения почленно на cos 2 x , получим:
tg2 x + 1 = 0
tg2 x = - 1
2x = arctg (-1)+ πn, n Z.
2x = - + πn, n Z.
x = - + , n Z.
Ответ: x = - + , n Z.
Пример 3 . Решить уравнение sin²х – 3sinх cos х+2cos²х = 0. (слайд № 8)
Каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения почленно на сos 2 x ≠ 0, получим:
tg 2 x-3tg x+2 = 0. Введем новую переменную z = tg x, получим
z 2 – 3z + 2 =0
z 1 = 1, z 2 = 2
значит, либо tg x = 1, либо tg x = 2
tg x = 1 х = arctg 1 + πn, n Z x = + πn, n Z | tg x = 2 х = arctg 2 + πn, n Z |
Ответ: x = + πn, х = arctg 2 + πn, n Z |
4. Закрепление изученного материала (10 мин)
Преподаватель подробно разбирает примеры со слабыми обучающимися на доске, сильные обучающиеся самостоятельно решают в тетрадях.
№ 18.12 (а) | 18.24 (а) | 18.24 (б) |
sin 2 х + 2 sin х cos х – 3 cos² х = 0 tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0 z = tg x z 2 + 2 z – 3 = 0 z 1 = 3; z 2 = - 1. tg x = 3, х = arctg 3 + πn, n Z tg x = -1, х = arctg (-1) + πn, n Z x = + πn, n Z Ответ: х = arctg 3 + πn, X = + πn, n Z | sin 2 х = cos 2 х tg2x = 1 2x = arctg 1 + πn, n Z 2x = + πn, n Z x = + , n Z Ответ: x = + , n Z | Tg 3 x = 1 tg 3 x = 3 x = + πn, n Z x = + , n Z |
5. Дифференцированная самостоятельная работа (15 мин)
Преподаватель выдает карточки с заданиями трех уровней: базовый (А), средний (В), повышенный (С). Обучающиеся сами выбирают, примеры какого уровня они будут решать.
Уровень А 2 sin x+ 2 cos x = 0 cos x+ 2 sin x = 0 |
Уровень В 2 sin x+ 2 cos x = 0 6 sin 2 х - 5 sinх cos х + cos 2 х =0 |
Уровень С 5 sin 2 х + 2 sinх cos х - cos 2 х =1 2 sin x - 5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos 2 х = 0 |
6. Подведение итогов. Рефлексия учебной деятельности на уроке (2 мин)
Ответить на вопросы:
Какие виды тригонометрических уравнений мы изучили?
Как решается однородное уравнение первой степени?
Как решается однородное уравнение второй степени?
Я узнал …
Я научился …
Отметить хорошую работу на уроке отдельных обучающихся, выставить оценки.
7. Домашнее задание. (1 мин)
Сообщить обучающимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.
№ 18.12 (в, г), № 18.24 (в,г), № 18.27 (а)
Использованная литература:
- Слайд 2
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
- Перфокарты для шести учащихся.
- Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
- Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
- Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
- Презентация к уроку (Приложение 1) .
- Какие уравнения называются тригонометрическими?
- Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
- Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
- Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
- Сформулировать определение арксинуса числа а.
- Сформулировать определение арккосинуса числа а.
- Сформулировать определение арктангенса числа а.
- Сформулировать определение арккотангенса числа а.
- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
- Как решаются эти уравнения?
- в нем должно быть несколько слагаемых;
- все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
- все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.
- всегда ли будет выполняться условие cosx≠0 \cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0 \cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
- что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.
«Однородные тригонометрические уравнения»
1. Уравнение вида а sin x + b cos x = 0, где а ≠0, b ≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. 2. Уравнение вида а sin 2 х + b sin х cos х + c cos 2 x = 0, где a ≠0, b ≠0, с ≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Определение:
I степени a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Разделим обе части уравнения почленно на cosx ≠ 0. Получим: a tgx + b = 0 tgx = -b /а простейшее тригонометрическое уравнение При делении однородного уравнения a sinx + b cosx = 0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. Метод решения однородных тригонометрических уравнений
a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) если а ≠ 0, разделим обе части уравнения почленно на cos ² x ≠0 Получим: a tg ² x + b tgx + c = 0, решаем методом введения новой переменной z = tgx 2) если а = 0, то Получим: b sinx cosx + c cos ² x =0, решаем методом разложения на множители / При делении однородного уравнения a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0 на cos 2 x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. II степени
Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения почленно на cos x , получим: Пример 1. Решить уравнение 2 sin х – 3 cos х = 0
Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения почленно на cos 2 x , получим: Пример 2 . Решить уравнение sin 2 х + cos 2 х = 0
Каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения почленно на с os 2 x ≠ 0, получим: Пример 3 . Решить уравнение sin ² х – 3 sin х cos х+2 cos ² х = 0
Ответьте на вопросы: - Какие виды тригонометрических уравнений мы изучили? -Как решается однородное уравнение первой степени? - Как решается однородное уравнение второй степени? Подведение итогов
Я узнал … - Я научился … Рефлексия
№ 18.12 (в, г), № 18.24 (в,г), № 18.27 (а) Домашнее задание.
Спасибо за урок! МОЛОДЦЫ!
Предварительный просмотр:
Самоанализ урока математики преподавателя Ооржак А.М.
Группа : Мастер растениеводства, 1 курс.
Тема урока : Однородные тригонометрические уравнения.
Тип урока : Урок изучения нового материала.
Цели урока:
1. Сформировать у обучающихся навыки решения однородных тригонометрических уравнений, рассмотреть методы решения однородных уравнений базового и повышенного уровня сложности.
2. Развивать логическое мышление, умение делать выводы, умение оценивать результаты выполненных действий.
3. Воспитывать у обучающихся аккуратность, чувство ответственности, воспитание положительных мотивов учения.
Урок проводился согласно тематического планирования. Тема урока отражает теоретическую и практическую часть урока и понятна обучающимся. Все этапы урока были направлены на выполнение этих целей с учетом особенностей группы.
Структура урока.
1.Организационный момент включал в себя предварительную организацию группы, мобилизующее начало урока, создание психологической комфортности и подготовку обучающихся к активному и сознательному усвоению нового материала. Подготовка группы и каждого обучающегося была проверена мною визуально. Дидактическая задача этапа: П оложительный настрой на урок.
2. Следующий этап – актуализация опорных знаний обучающихся. Основной задачей этого этапа является: восстановление в памяти обучающихся знаний, необходимых для изучения нового материала. Актуализация была проведена в форме проверки домашнего задания у доски.
3. (Основной этап урока) Формирование новых знаний. На этом этапе были реализованы следующие дидактические задачи: Обеспечение восприятия, осмысление и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.
Этому способствовали: создание проблемной ситуации, метод бесед в сочетании с использованием ИКТ. Показателем эффективности усвоения обучающимися новых знаний является правильность ответов, самостоятельная работа, активное участие обучающихся в работе.
4.Следующий этап - первичное закрепление материала. Цель которого, установка обратной связи для получения информации о степени понимания нового материала, полноты, правильности его усвоения и для своевременной коррекции обнаруженных ошибок. Для этого я использовала: решение простых однородных тригонометрических уравнений. Здесь использовались задания из учебника, которые соответствуют обязательным результатам обучения. Первичное закрепление материала проводилось в атмосфере доброжелательности, сотрудничества. На этом этапе я работала со слабыми обучающимися, остальные решали самостоятельно, с последующей самопроверкой с доски.
5. Следующий момент урока был первичный контроль знаний. Дидактическая задача этапа: Выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий, обеспечение их коррекции. Здесь реализовала дифференцированный подход к обучению, предложила ребятам на выбор задания трех уровней: базовый (А), средний (В), повышенный (С). Сделала обход и отметила себе обучающихся, которые выбрали базовый уровень. Эти обучающиеся выполняли работу под контролем преподавателя.
6. На следующем этапе – подведение итогов, решались задачи анализа и оценки успешности достижения цели. Подводя итоги урока я одновременно осуществила рефлексию учебной деятельности. Обучающиеся усвоили способы решения однородных тригонометрических уравнений. Были выставлены оценки.
7. Заключительный этап – задание на дом. Дидактическая задача: Обеспечение понимания обучающихся содержания и способов выполнения домашнего задания. Дала краткий инструктаж по выполнению домашнего задания.
В ходе урока мне довелось реализовать обучающие, развивающие и воспитательные цели. Считаю, что этому способствовало то, что с первых минут урока ребята показали активность. Они были готовы к восприятию новой темы. Атмосфера в группе была психологически благоприятной.
С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.
Дадим определения:
1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;
2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.
Сейчас рассмотрим вариант, когда a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен - b/а.
Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение, его части делят на cos mx.
Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) - 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.
Рассмотрим уравнение a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = - c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (- с/b) + πn.
2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.
3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.
1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin 2 x;
2. если в уравнении член a sin 2 x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.
3. если в уравнении a sin 2 x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.
Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.
Решим пример 3, уравнение вида 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от - π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, получим уравнение sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделив все части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от - π до π, решение будет иметь вид - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Однородные тригонометрические уравнения
Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.
Познакомимся с определением.
Уравнение вида а sin x+ b cos x = 0 (а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
уравнение вида а sin 2 x+ b sin x cos x +с cos 2 x = 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Если а=0 , то уравнение примет вид b cos x = 0.
Еслиb = 0 , то получим а sin x= 0.
Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах
Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x .
Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0 , то уравнение а sin x + b cos x = 0 примет вид а sin x = 0 , а ≠ 0, следовательно sin x = 0 . Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x+ cos 2 x =1 .
Разделив обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x , получим: + =0
Осуществим преобразования:
1. Так как = tg x, то = а tg x
2 сокращаем на cos x , тогда
Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0 .
Осуществим преобразование:
1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком
а tg x =- b
2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а
tg x= - .
Вывод: Уравнение вида а sin m x+ b cos mx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx .
ПРИМЕР 1. Решить уравнение 7 sin - 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим
1. = 7 tg (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)
2. -5 = -5 (при сокращении cos)
Таки образом получили уравнение
7tg - 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:
Arctg + πn, найдем х
х=2 arctg + 2πn.
Ответ: х=2 arctg + 2πn.
Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени
а sin 2 x+b sin x cos x + с cos 2 x= 0.
Рассмотрим несколько случаев.
I. Если а=0 , то уравнение примет вид b sin x cos x +с cos 2 x = 0.
При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x (b sin x +с cos x )= 0 . Откуда cos x = 0 или
b sin x + с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.
Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим
1 (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс).
Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет:
х = arctg + πn, .
II. Если а≠0 , то обе части уравнения почленно разделим на cos 2 x .
(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).
III. Если с=0 , то уравнение примет вид а sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).
Значит, при решении уравнения а sin 2 x + b sin x cos x +с cos 2 x = 0 можно действовать по алгоритму:
ПРИМЕР 2. Решить уравнение sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).
Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим
cos x(sin x - cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x - cos x= 0.
Ответ: х =+ πn, х= + πn.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку (- π; π).
Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением 2·1
Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x =1, то
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = раскрыв скобки получим: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Значит уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 примет вид:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos 2 2x:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Введем новую переменную z= tg2х.
Имеем z 2 - 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения - квадрат разности (), получим (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х, a =1 . А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:
2х= arctg1 + πn,
х= + , (икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).
Нам осталось найти такие значения х, которые содержатся в интервале
(- π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству - π х π. Так как
х= + , то - π + π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим
перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один
разделим на четыре получим,
для удобства в дробях выделим целые части
- Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1 Определение 1
. Пусть A
- некоторое множество пар чисел
(x
; y
) .
Говорят, что на множестве A
задана числовая функция
z
от двух переменных
x
и y ,
если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A
ставится в соответствие некоторое число. Задание числовой функции z
от двух переменных x
и y
часто обозначают
так: где f
(x
, y
)
– любая функция, отличная от функции f
(x
, y
) = ax +by + c
, где a , b , c
– заданные числа. Определение 3
. Решением уравнения (2)
называют пару чисел (x
; y
) ,
для которых формула (2) является верным равенством. Пример 1
. Решить уравнение Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x
и y
удовлетворяют системе уравнений решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ
: (6 ; 3)
Пример 2
. Решить уравнение Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел
вида (1 + y
; y
) , где y
– любое число. Определение 4
. Решением системы уравнений
называют пару чисел (x
; y
) ,
при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство. Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид g
(x
, y
)
Пример 4
. Решить систему уравнений Решение
. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y
через неизвестное x
и подставим полученное выражение во второе уравнение системы: Решая уравнение x
1 = - 1 , x
2 = 9 . Следовательно, y
1 = 8 - x
1 = 9 , Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид где a , b , c
– заданные числа, а g
(x
, y
)
– функция двух переменных x
и y .
Пример 6
. Решить систему уравнений Решение
. Решим однородное уравнение 3x
2 + 2xy
- y
2 = 0 , 3x
2 + 17xy
+ 10y
2 = 0 , рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x
: . В случае, когда x
= - 5y
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение 5y
2 = - 20 , которое корней не имеет. В случае, когда из второго уравнения системы (11) получаем уравнение , корнями которого служат числа y
1 = 3 , y
2 = - 3 .
Находя для каждого из этих значений y
соответствующее ему значение x
, получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Ответ
: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Пример 8
. Решить систему уравнений (МФТИ) Решение
. Введем новые неизвестные u
и v
, которые выражаются через x
и y
по формулам: Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x
и y
через u
и v
. Из системы (13) следует, что Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x .
С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования: В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему из которой находим Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u
через неизвестное v
и подставить это выражение во второе уравнение системы. «Величие человека в его способности мыслить».
Цели урока:
1) Обучающие
– познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений. 2) Развивающие
– развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры. 3) Воспитательные
– воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике. Тип урока:
комбинированный. Оборудование:
Ход урока
1. Организационный этап (2 минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания. Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2)
и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах. 2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах
(6 человек).
Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография. (слайд 5)
Фронтальный опрос.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)
2) arc tg (-√3) 4) tg (arc cos (1/2)) 5) tg (arc ctg √3) Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик
» На экран проектируются задания для устной работы: Проверьте правильность решения уравнений.
(правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)
Ответы с ошибками
Правильные ответы
х = ±π/6
+2πn х = ±π/3
+2πn х = π/3
+πn х = (-1)
nπ/3
+πn tg x = π/4
х = 1
+πn tg x =1, х = π/4+πn х = ±π/6+π
n
х = ±π/6
+2π
n
х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn
х = (-1)n arcsin1/3+ πn
х = ±π/6
+2πn х = ±5π/6
+2πn cos x = π/3
х = ±1/2
+2πn cos x = 1/2, х = ±π/3
+2πn Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений. 1 уравнение.
Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3
;
2х= arctg 1/√3 +πn, n
∈Z.
2х= π/6 +πn, n
∈Z.
х= π/12 +
π/2
n,
n
∈Z
.
2 уравнение
.
Решение з
аписывается учащимся на доске. 2 sin 2 x + 3 cosx = 0. 3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат.
Ответы появляются на слайде. (слайд 7)
. Введение новой переменной:
№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0. Пусть sinx = t, тогда: 2t 2 – 7t + 3 = 0. Разложение на множители:
№2.
3sinx cos4x – cos4x = 0; сos4x(3sinx – 1) = 0; cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; … №3. 2 sinx – 3 cosx = 0, №4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Преподаватель:
Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями.
Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать. 4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения. Определение.
Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. а sinx + b cosx = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. – Может ли получиться такая ситуация? – Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а
– простейшее тригонометрическое уравнение. Вывод:
Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx). Например:
2 sinx – 3 cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z. Определение.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x: а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному. Вывод: О
днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x). Например:
3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то 3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно). Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 y 1 = 1 или y 2 = 1/3 tgx = 1 или tgx = 1/3 x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z. х = arctg1 + πn, n ∈Z. x = π/4 + πn, n ∈Z. 5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2; √3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0; 4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0. (слайд 9)
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)
1)
√3sinx + cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = –1/√3; х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z. х = –π/6 + πn, n ∈Z. 2)
sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0 Замена:
tgx = у. у 2 – 10 у + 21 = 0 у 1 = 7 или у 2 = 3 tgx = 7 или tgx = 3 х = arctg7 + πn, n ∈Z х = arctg3 + πn, n ∈Z 3)
sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0. Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0 Замена:
tg2x = у. 3у 2 – 6у + 5 = 0 D = 36 – 20 = 16 у 1 = 5 или у 2 = 1 tg2x = 5 или tg2x = 1 2х = arctg5 + πn, n ∈Z х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctg1 + πn, n ∈Z х = π/8 + π/2 n, n ∈Z 4)
6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0. 5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0 Замена:
tg x = у. 5у 2 + 4у – 1 = 0 D = 16 + 20 = 36 у 1 = 1/5 или у 2 = –1 tg x = 1/5 или tg x = –1 х = arctg1/5 + πn, n ∈Z х = arctg(–1) + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения: 2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0. Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер Правильный ответ: Леонард Эйлер.
7. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». (слайд 11)
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Учащиеся отвечают на вопросы: Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки. Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики: И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу: 3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0 Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx
3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx
\cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx
5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени. Переходим ко второму выражению: 4sin
2
x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0 Первый член этой конструкции — 4sin
2
x
4{{\sin }^{2}}x. Теперь мы можем записать следующее решение: sin
2
x=sinx⋅sinx
{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x
\sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла: sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум. Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем: ˜
3=3⋅1
А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде: 1=sin
2
x⋅cos
2
x
1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде: 3=3(sin
2
x⋅cos
2
x)
=3sin
2
x+3cos
2
x
3=3\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два. С третьим выражением то же самое: sin
3
x+sin
2
xcosx=2cos
3
x
Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin
3
x
{{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin
2
xcosx
{{\sin }^{2}}x\cos x. sin
2
{{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx
\cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos
3
x
2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x
2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений. С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага: 1) доказать, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin
2
x⋅cos
2
x=1)
\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0
\cos x=0. Мы получим следующее выражение: sin
2
x=1
sinx=±1
\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align} Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx
\cos x — ноль, а вместо sinx
\sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что cosx≠0
2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку cosx≠0
\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos
n
x
{{\cos }^{n}}x, где n
n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает: \[\begin{array}{·{35}{l}} sinx
cosx
=tgx
cosx
cosx
=1
\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\] Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n
n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике. 3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0 Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Предположим противное, что cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1. Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем: 3⋅0+5⋅(±1)
=0
±5=0
\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align} На основании этого можно сказать, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx
\cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим: 3(cosx
cosx
)
+5(sinx
cosx
)
=0
3+5tgx=0
tgx=−3
5
\begin{align}& 3\left(\frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align} Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgx
arctgx: x=arctg(−3
5
)
+ π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z Поскольку arctg
arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ: x=−arctg3
5
+ π n,n∈Z
x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z 4sin
2
x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0 Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования: 4sin
2
x+2sinxcosx−3(sin
2
x+cos
2
x)
=0
4sin
2
x+2sinxcosx−3sin
2
x−3cos
2
x=0
sin
2
x+2sinxcosx−3cos
2
x=0
\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align} Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin
2
{{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx
\sin x и cosx
\cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos
2
x
{{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению. Докажем, что cosx=0
\cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное: \[\begin{array}{·{35}{l}} \cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\] Мы доказали, что cosx=0
\cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos
2
x
{{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум: sin
2
x
cos
2
x
+2sinxcosx
cos
2
x
−3=0
tg
2
x+2tgx−3=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align} Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно: (tgx+3)
(tgx−1)
=0
tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Z
tgx=1→x= π
4
+ π k,k∈Z
\begin{align}& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align} Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу. sin
3
x+sin
2
xcosx=2cos
3
x
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos
3
x
2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем: sin
3
x+sin
2
xcosx−2cos
3
x=0
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0 Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0
\cos x=0 не является корнем: \[\begin{array}{·{35}{l}} \cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\] Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию: (±1)
3
+1⋅0−2⋅0=0
±1+0−0=0
±1=0
\begin{align}& {{\left(\pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align} Следовательно, cosx=0
\cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos
3
x
{{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:
sin
3
x
cos
3
x
+sin
2
xcosx
cos
3
x
−2=0
tg
3
x+tg
2
x−2=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align} Введем новую переменную: tgx=t
Переписываем конструкцию: t
3
+t
2
−2=0
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0 Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена. Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t
3
{{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t
2
{{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t
2
{{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1
t=-1 и t=−2
t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел: ˜
t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0 Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1
t=1 является корнем. t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0 t=2
t=2 не является корнем. Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x
0
{{x}_{0}}, представим в виде: Q(x)=(x=x
0
)P(x)
Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x) В нашем случае в роли x
x выступает переменная t
t, а в роли x
0
{{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим: t
3
+t
2
−2=(t−1)⋅P(t)
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t) Как найти многочлен P(t)
P\left(t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее: P(t)=t
3
+t
2
−2
t−1
P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1} Подставляем: t
3
+t
2
+0⋅t−2
t−1
=t
2
+2t+2
\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2 Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде: (t−1)(t
2
+2t+2)=0
(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй: t
2
+2t+2=0
{{t}^{2}}+2t+2=0 Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант. D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4 Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству: \[\begin{array}{·{35}{l}} t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\] В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче: Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение. Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же. Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры: sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени; 2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени; sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени; sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители; sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x
\sin 2x — второй степени (т.к. можно представить sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx
2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет. Схема решения всегда одна и та же: Предположим, что cosx=0
\cos x=0. Тогда sinx=±1
\sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx
\sin x и cosx
\cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0
5=0), переходим ко второму пункту; Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x... — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.
tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению. Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
линейное
y
2 = 8 - x
2 = - 1 . Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Примеры решения систем уравнений других видов
Блез Паскаль.
Алгоритм решения
Выделим слагаемые
Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение
Решаем реальные задачи
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Ключевые моменты
Общая схема решения